专题一：圆的综合解答题
【知识储备】
1、同圆或等圆中，半径处处相等；
2、射影定理；
3、有一条公共边的两个三角形相似，公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。
AB
CD
BC?
=
2AC
CD
BC?
=
2（公共边的平方等于共线边之积）。
4、垂径定理基本模型：
2
2
2
2
?
?
?
?
?
+
=
d
h
r
（r：半径、h：圆心距、d：弦长）
5、∥+角平分线→等腰三角形（知二推一）
6、相等的角的三角函数值相等。
【例题讲解】
基本题型：条件发散
例1、（2016.江）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC、BC 及AB的延长线相交于点D、E、F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD、FH。
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
HG?的值。
（3）在（2）的条件下，求HB
练习：（2016.资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD。
（1）求证：∠A＝∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM＝1时，求MN的长。
例2、（2016.）如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是
BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF ＝4，求AC 的长度。
练习： 1、（2016.）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，OC ＝1，以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。 （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）如果tan ∠CAO=
3
1
，求cosB 的值。
2、（2016.甘孜）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H 。
（1）判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：H 为CE 的中点； （3）若BC ＝10，cosC ＝
5
5
，求AE 的长。
例3、（2016.）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接BD 、BE 。 （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当
3
4
=BC AB 时，求tanE ； （3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F 。若AF ＝2，求⊙C 的半径。
练习： （2016.凉山）如图，已知四边形ABCD 接于⊙O ，A 是?
BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且?
?
=AD BF 。
（1）求证：△ADC ∽△EBA ；
（2）如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值。
【当堂检测】 1、（2016.）如图，△ABC 接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线交于点E ，且∠A ＝∠EBC 。 （1）求证：BE 是⊙O 的切线；
（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若48=?BA BG ，FG=2，DF=2BF ，求AH 的值。
2、（2016.）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F 。 （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若EB ＝
23，且5
3
sin =∠CFD ，求⊙O 的半径与线段AE 的长。
3、（2014.）如图，在△ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，且D 是
BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F .
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2) CF =5，cos ∠A = 2
5
，求BE 的长.
2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一．解答题（共30小题） 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．（2015?枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．（2015?西宁）如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM， AM． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．（2015?广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6．（2015?北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 7．（2015?莆田）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O 在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中，
∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，55△AFG的面积.
中考数学试题专题复习：圆 【学生版】 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点， 过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， OB OC 5∴==， AB m 5==， OB OC AB ∴==， AOB ∴是等边三角形， AOB 60∠∴=，
1 ACB AOB 302 ∠∠∴==， 故答案为30； ()2①如图2，连接AO 并延长交 O 于D ，连接BD ， AD 为O 的直径， AD 10∴=，ABD 90∠=， 在Rt ABD 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3 tan ADB BD 4 ∠∴= =， C ADB ∠∠=， C ∠∴的正切值为3 4 ； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ， AC BC =，AO BO =， CE ∴为AB 的垂直平分线， AE BE 3∴==， 在Rt AEO 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=， CE OE OC 9∴=+=， ABC 11 S AB CE 692722 ∴=?=??=； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，
图 3 图6 《圆》综合复习测试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．图1是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（ ） （A ）内含 （B ）相交 （C ）相切 （D ）外离 2．如图2，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若72AOB ∠=?，则A C B ∠ 的度数是（ ） （A ）18° （B ）30° （C ）36° （D ）72° 3．已知1O 和2O 的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距124O O =cm ，则两圆的位置关系是（ ） （A ）相切 （B ）内含 （C ）外离 （D ）相交 4.如图3，已知CD 是⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50o ，则∠C 的度数是（ ） （A ）50o （B ）40o （C ）30o （D ）25o 5.边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） (Ａ) 3 3 (B) 3 (Ｃ)2 3 (Ｄ)2 3 3 6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为 （ ） (A)3 8 cm (B) 3 16cm (C)3cm (D) 3 4cm 7.如图5，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin∠APO 等于（ ） (A)5 4 (B)5 3 (C)3 4 (D)4 3 8.如图6,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 9.如图7，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC 夹角为120 ，AB 的长为30cm ，贴纸部分 BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） 图1 O C B A 图2 P O A · 图5
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°
圆的方程练习题（学生版） 1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程. 2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程． 3．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线1 2 y x =上。 (1)求圆的方程； (2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。 4．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y x =上截得弦长为③圆心在直线30x y -=上.求圆C 的方程. 5．求圆心在直线3x+y-5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程 6．求圆心为（1，1）并且与直线4=+y x 相切的圆的方程。
7．求与圆x 2+y 2?2x =0外切且与直线x + 3y =0相切于点M (3,? 3)的圆的方程. 8．求圆心在直线 40x y --=上，并且过圆22640x y x ++-=与圆 226280x y y ++-=的交点的圆的方程. 9．已知圆心为C 的圆经过三个点O (0,0)、A (?2,4)、B (1,1)． (1)求圆C 的方程； (2)若直线l 的斜率为?4 3，在y 轴上的截距为?1，且与圆C 相交于P 、Q 两点，求△O P Q 的面积． 10．已知圆C ：x 2+y 2+10x+10y+34=0。 （I ）试写出圆C 的圆心坐标和半径； （II ）若圆D 的圆心在直线x=-5上，且与圆C 相外切，被x 轴截得的弦长为10，求圆D 的方程。 11．已知圆C 的圆心在直线y =1 2x 上，且过圆C 上一点M (1,3)的切线方程为y =3x . （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）设过点M 的直线l 与圆交于另一点N ，以M N 为直径的圆过原点，求直线l 的方程.
1.（2019江苏扬州）（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥OA ，OC 交于AB 于P ，且CP=CB 。 （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）已知∠BAO=25°，点Q 是弧A m B 上的一点。 ①求∠AQB 的度数； ②若OA=18，求弧A m B 的长。 【考点】：直线与圆的位置关系，扇形的弧长，圆心角于圆周角关系， 等腰三角形 【解析】： 解（1）连接OB ∵CP=CB ∴∠CPB=∠CBP ∵OA ⊥OC ∴∠AOC=90° ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA ∵∠PAO+∠APO=90° ∴∠ABO+∠CBP=90° ∴∠OBC=90° ∴BC 是⊙O 的切线 （2）①∵∠BAO=25° OA=OB ∴∠BAO=∠OBA=25° ∴∠AOB=130°∴∠AQB=65° ②∵∠AOB=130° OB=18 ∴l 弧AmB=（360°-130°）π×18÷180=23π 2.（江苏泰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为弧AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ,交BC 的延长线于点E. （1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为5，AB=8，求CE 的长.
3.（2019山东济宁）（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E 为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长． 【分析】（1）根据垂径定理得到OE⊥AC，求得∠AFE＝90°，求得∠EAO＝90°，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ODB＝∠C，求得tan C＝tan∠ODB＝＝，设HF＝3x，DF＝4x，根据勾股定理得到DF＝，HF＝，根据相似三角形的性质得到CF＝＝，求得AF＝CF＝，设OA＝OD＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵D是的中点， ∴OE⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠E+∠EAF＝90°， ∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C， ∴∠CAE＝∠AOE， ∴∠E+∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝90°， ∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠C＝∠B， ∵OD＝OB，
圆的综合题 1. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D ，交⊙O 于点C 和点E ，连接AC 、BC 、OB ，cos ∠ACB ＝1 3 ，延长OE 到点F ，使EF ＝2OE . (1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径； (3)求证：BF 是⊙O 的切线． 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，分别与⊙O 相交于 点D 、点E ，且? ?AD DE ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE . (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)试判断△DEC 的形状，并说明理由； (3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值． 3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O
的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：DF是⊙O的切线； (3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值． 4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC. (1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF; (3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长． 5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE ＝CE ； (2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长． 6 (2017 原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点D ，点E 为 ?DC 的中点，连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点G . (1) 求证：AB ＝AG ； (2) (2)若DG ＝DE ，求证：GB 2 ＝GC ·GA ； (3)在(2)的条件下，若tan D ＝3 4 ，EG ＝10，求⊙O 的半径． 7.(2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平 分线CD 交⊙O 于点D ，F 为? AD 上一点，且??AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延
九年级《圆》测试题 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请选出来） 1．如图，点A B C ，，都在⊙O 上，若34C =o ∠， 则AOB ∠的度数为（ ） A ．34o B ．56o C ．60o D ．68o 2．已知两圆的半径分别为6和8，圆心距为7， 则两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 3．如图，圆内接正五边形ABCD E 中，∠ADB ＝（ ）． A ．35° B ．36° C ．40° D ．54° 4．⊙O 中，直径AB ＝a ， 弦CD ＝b ,,则a 与b 大小为（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ． a ≥b 5．如图，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，． 已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 那么EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70° 6．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ． 2 4 3a B ．2a C ． 2 2 33a D ．233a 7．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方 向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的 方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时 处于弧AB 上，此时∠AOE ＝56°，则α的度数是（ ） A ．52° B ．60° C ．72° D ．76° 8．一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） O C B A （第1题图） O A F C E （第5题图） E A B C D （第3题图） （第7题图）
中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32
郴州数学圆几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G． （1）如图1，求证：GD＝GF； （2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小； （3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）1810 ． 【解析】 【分析】 （1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°； （3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】 解：（1）证明：∵DE⊥AB ∴∠BED＝90° ∴∠A+∠ADE＝90° ∵∠ADC＝90° ∴∠GDF+∠ADE＝90° ∴∠A＝∠GDF ∵BD BD ∴∠A＝∠GFD
圆的综合练习题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
圆的综合练习题答案 1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长. （1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°. ∴ ∠EAB +∠E =90°. …………………… ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°. ∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………（2）解：由（1）可知∠ABE =90°. ∵ AE =2AO =6, AB =4, ∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ …………………………………………………4分 ∴ . AE BE AD AB = ∴ 5 512=AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA＝∠AOE，交 AB 的延长线于点D. （1）求证：FD 是⊙O 的切线； （2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O 半径的长； 证明：（1）连接OC （如图①）， ∵O A ＝OC ，∴∠1＝∠A. ∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°. 又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°. ∴FD 是⊙O 的切线. (2) 分 （2）连接BC （如图②）， ∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥B C 且BC OE 2 1 = (3)
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)含详细答案 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B为弧CD中点， ∴BD=BC=， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB， ∵∠DBE=∠DBA， ∴△DBE∽△ABD， ∴， ∴BE?AB=BD?BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tan A=1 2 ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径． 【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】 试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
2017年圆中考分类(4） 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题) 1．（2017?恩施州）如图，AB、CD是⊙O的直径,BE是⊙O的弦，且BE∥CD,过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC． （1）求证：BC平分∠ABP； （2）求证:PC2=PB?PE； （3）若BE﹣BP=PC=4,求⊙O的半径． 【考点】MC：切线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2； (2）连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE即可; (3）由PC2=PB?PE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可． 【解答】解：（1)∵BE∥CD, ∴∠1=∠3， 又∵OB=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP； （2）如图，连接EC、AC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCD=90°, 又∵BE∥DC， ∴∠P=90°， ∴∠1+∠4=90°, ∵AB为⊙O直径， ∴∠A+∠2=90°，
又∠A=∠5， ∴∠5+∠2=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠5=∠4， ∵∠P=∠P, ∴△PBC∽△PCE, ∴=，即PC2=PB?PE; （3）∵BE﹣BP=PC=4， ∴BE=4+BP， ∵PC2=PB?PE=PB?（PB+BE）， ∴42=PB?（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0， 解得:PB=2， 则BE=4+PB=6， ∴PE=PB+BE=8， 作EF⊥CD于点F, ∵∠P=∠PCF=90°， ∴四边形PCFE为矩形， ∴PC=FE=4，FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°， ∵BE∥CD， ∴=， ∴DE=BC, 在Rt△DEF和Rt△BCP中， ∵， ∴Rt△DEF≌Rt△BCP(HL）, ∴DF=BP=2， 则CD=DF+CF=10， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题主要考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 2．(2017?常德）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO． （1）求证：BC是∠ABE的平分线; （2）若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长．
2017 年圆综合大题 8.（2011年苏州市?第26题8分）如图，已知AB 是⊙ O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB 上的任意一点（不与点 A 、B重合），连接CO并延长CO交于⊙ O于点D，连接AD．（1）弦长AB 等于▲ （结果保留根号）； （2）当∠ D＝20°时，求∠ BOD 的度数； （3）当AC 的长度为多少时，以 A 、C、D 为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 9．（2012年苏州市第27题满分8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l 的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC 的长为x（2 11．（2014?苏州第27题8分）如图，已知⊙ O上依次有A、B、C、D四个点，= ，连 接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF ． （1）若⊙ O 的半径为3，∠ DAB =120°，求劣弧的长； 2）求证：BD； （3）设G 是BD 的中点，探索：在⊙ O 上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF ？并说明PB 与AE 的位置关系．江南汇教育网 12．（2015年苏州第26题满分10分）如图，已知AD 是△ABC的角平分线，△O经过A、B、D三点，过点B作BE△AD，交△O于点E，连接ED． （1）求证：ED△AC； 2 （2）若BD=2CD，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S1216S2 4 0，求△ABC 的面积． 13．（2016年苏州第26 题10 分）如图，AB 是△O 的直径，D、E 为△O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C，使得CD=BD，连接AC 交△O 于点F，连接AE 、DE 、DF ． （1）证明：△E= △C； （2）若△E=55 °，求△BDF 的度数； （3）设DE 交AB 于点G，若DF =4，cosB = ，E 是的中点，求EG?ED 的值． 1、如图，线段AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，2,4AH CH ==． （1）求O e 的半径r 的长度； （2）求sin CMD ∠； （3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交O e 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE HF g 的值． 2、如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于 C ， D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC ，DB 交于点 E ．若AC ：CE=1：2． （1）求点P 的坐标； （2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式． 3、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC ． （1）求证：∠BAC=∠CBP ； （2）求证：PB 2=PC?PA ； （3）当AC=6，CP=3时，求sin ∠PAB 的值． 4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若A 为EH 的中点，求的值； （3）若EA=EF=1，求圆O 的半径． 5、如图，O 为Rt C ?AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ， 交OA 于点E ．已知C B =C 3A =． （1）求D A 的长； （2）求图中阴影部分的面积． 6、已知ABC 的内切圆O 与,,AB BC AC 分别相切于点,,D E F ，若EF DE =，如图 1. (1)判断ABC 的形状，并证明你的结论； (2)设AE 与DF 相交于点M ，如图2，24,AF FC ==求AM 的长. 圆的综合题 1.如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D，交⊙O 于点C 和 1 点E，连接A C、B C、O B，c o s∠A C B＝，延长O E到点F，使E F＝2O E. 3 (1)求证：∠B O E＝∠A C B; (2)求⊙O 的半径； (3)求证：BF 是⊙O 的切线． 2.如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O 相交于点D、点E，且 AD D E ，过点D作D F⊥B C于点F，连接B D、D E、A E. (1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)试判断△D E C的形状，并说明理由； (3)若⊙O的半径为5，A C＝12，求 s i n∠E A B的值． 3.(2016 长沙 9 分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C作A C的垂线交A D的延长线于点E，点F为C E的中点，连接D B，D C，D F. (1)求∠C D E的度数； (2)求证：DF 是⊙O 的切线； (3)若A C＝25D E，求t a n∠A B D的值． 4.(2016德州10分)如图，⊙O是△A B C的外接圆，A E平分∠B A C交⊙O于点E，交B C 于点D，过点E作直线l∥B C. (1)判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A B C的平分线B F交A D于点F，求证：B E＝E F; (3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF 的长． 5.(2015永州)如图，已知△A B C内接于⊙O，且A B＝A C，直径A D交B C于 圆综合题 专题分类汇编 一．垂径与等腰 例1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为弧AB 上一点，D 为弧AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ． 求证：（1）DF AF =；（2）1 2 DE AC = ． 2．如图，已知BC 为半圆O 的直径，弧AB =弧AF ，AC 与BF 交于点M ． （1）若∠FBC =α，求∠ACB （用α表示）； （2）过A 作AD ⊥BC 于D ，交BF 于E ，求证：BE =EM ． 3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠B =70°，求∠CAD 的度数；（2）若AB =4，AC =3，求DE 的长． F M E D C B A 4．如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径A B⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN． （1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程； （2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积． 二．切线与等腰 例2.如图：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于 点D，与边AC交于点E，过D作DF⊥AC于点F ⑴求证：DF为⊙O的切线 ⑵若DE＝5，AB＝5，求AE的长 2.如图AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E过D作DF⊥AC于F ⑴求证：DF是⊙O的切线 ⑵若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长 E G O F B 【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物 21 6 y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． ⑵ 点()8Q m ，在抛物线21 6 y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求 PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式． 【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。 （3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。 【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线． 动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由． 提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式． （2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值． （3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P′的坐标，连接P′Q ，那么P′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标． 《圆》的综合测试题 学校: __________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、选择題（題型注释） 1.用半径为3cm,圆心角是120。的扇形鬧成一个惻锥的侧面，则这个圆锥的底面半径 为（） A. B? 1. 5cm C.仇cm D. lcm 2.已知G）O］的半径为5cm, （DO?的半径为3cm,两圆的圆心距为7cm,则两圆的 位置关系是（） A外离 B.外切C,内切D,相交 3.如图是某公园的一角，ZA0B=90° ,弧AB的半径0A长是6米，C是0A的中点，点D在弧AB上.CD〃0B?则图中休闲区（阴影部分）的面积是【】 4.如右图，圆心角ZAOB=100\则ZACB的度数为（） 10/r —牙米-B. C A、100° B. 50° C. 80° D、45° 6.如图，肋是00的直径，弦CDLAB^点￡ ZCDB=3/ , 00的半径为3cm?则圆 心0到弦少的距离为（ 7.圆心角为120%弧长为12n的扇形半径为（） A. 6 B. 9 C. 18 D. 36 8.。0的直径AB = 10cm,弦CD丄AB,垂足为P?若OP： 0B=3： 5,则CD的长为（） 9.如图.在△磁中，ZJ=90\ AB=AC=2.以％的中点0为圆心的圆弧分别与月从相切于点八E.则图中 阴影部分的面枳是【】 小 4 717T71X A. 1- — B.— C. 1 — _ D. 2- — 4422 ■ 10.如图，PA、PB切00于A、B两点，CD切00于点E,交PA, PB于C、D,若00的半径为r, Z\PCD的周长等于3“贝lj tanZAPB的值是（） 二、填空题（题型注释） 11.母线长为4,底面圆的半径为1的圆锥的侧面枳为_______________ ■， 12.如图，AB是半圆0的直径，点P在AB的延长线卜.，PC切半圆0于点C,连接AC?若ZCPA=20° ,则ZA二_______ ° ? A. 2 Cm B. 3 cm C. 3^3 cm D. 6cm A? 6cm B. 4cm C. 8cm D. 5/9? cm D. 3圆综合题专题
2017中考数学圆的综合题试题(可编辑修改word版)
圆综合题_专题分类汇编(含答案)
(完整版)二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)
圆综合测试题(含详细解析及答案)
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