人教中考数学易错题精选-圆的综合练习题及答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度数；

（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．

【解析】

【分析】

（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．

（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．

（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．

【详解】

（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，

故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；

∴AC=12OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，

而OC是⊙O的半径，

故PC与⊙O的位置关系是相切．

（3）如图；有三种情况：

①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；

劣弧MA的长为：60441803；

②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；

劣弧MA的长为：120481803；

③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；

优弧MA的长为：2404161803；

④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；

优弧MA的长为：3004201803；

综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．

【点睛】

本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．

2．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．

(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;

(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，

求证:GF=GD;

(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1114.

【解析】

试题分析：（1）延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．由圆周角定理可得：∠AQB=∠ACB，再由等角的余角相等即可得出结论；

（2）证明△DFG是等边三角形即可；

（3）延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中， AH=5k．设NH=x，则AN=5k-x， AD=10k-2x．在△AQF中，

AF=k，AQ=2k，FQ=32k．由(2)知：△GDF是等边三角形，得到GD=GF=DF，进而得到AG=9k-2x．

OM=NH=x，BC=23x， GF=BC=23x．在△GQF中，GQ=AG+AQ=192k-2x，QF=32k，GF=23x，由勾股定理解出74xk，得到AG=9k-2x=112k，AR=2OB=4OM=4x=7k．在△GAR中，由sin∠ADG=sin∠R即可得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．

∵BQ是⊙O直径，∴∠QAB=900．∵AD⊥BC，∴∠AHC=900．

∵弧AB=弧AB，∴∠AQB=∠ACB．

∵∠AQB+∠ABO=900，∠ACB+∠CAD=900

∴∠ABO=∠CAD

（2）证明：如图2，连接DF．

∵AG∥OB，∴∠ABO=∠BAG．∵∠ABO=∠CAD，∴∠CAD=∠BAG．

∵∠BAC=600，∴∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠BAG=600，即∠GAD=∠BAC=60°．∵∠BAD=∠CAF．∴∠CAF+∠CAD=600，∴∠GAD=∠DAF=600，∴∠DGF=∠DAF=60°．

∵弧GD=弧GD，∴∠GAD=∠GFD=600，∴∠GFD=∠DGF=600，∴△DFG是等边三角形，∴GD=GF．

（3）如图3，

延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．

∵AF：FE=1：9，∴设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中，∠E=300，∴AH=5k．

设NH=x，则AN=5k-x．∵ON⊥AD，∴AD=2AN=10k-2x

又在△AQF中，∵∠GAF=1200，∴∠QAF=600，AF=k，∴AQ=2k，FQ=32k．

由(2)知：△GDF是等边三角形，∴GD=GF=DF，

∵∠GAD=∠DAF=600，∴DP=DK，∴△GPD≌△FKD，△APD≌△AKD

∴FK=GP，AP=AK，∠ADK=300，∴AD=2AK=AP+AK=AF+AG

∴AG=10k-2x-k=9k-2x．

∵作OM⊥BC，ON⊥AD，∴OM=NH=x．∵∠BOD=12∠BOC=∠BAC=600

∴BC=2BM=23x．∵∠BOC=∠GOF，∴GF=BC=23x

在△GQF中，GQ=AG+AQ=192k-2x，QF=32k，GF=23x

∵222GQFQGF

∴22219322322kxkx，

1271342xkxk，舍去．

∴AG=9k-2x=112k，AR=2OB=4OM=4x=7k，

在△GAR中，∠RGA=900，

∴sin∠ADG=sin∠R=AGAR=1114．

点睛：本题是圆的综合题．熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关键．

3．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.

(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；

(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．

【答案】（1）见解析；（2）12

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度

试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO，cos∠EOD=35ODOE，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣185=325，EA=EO+OA=10+6=16． ∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DMEMGAEA，即24325516GA ，解得GA=12．

点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．

4．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．

（1）求证：PD2=PE•PF；

（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．

【答案】（1）详见解析；（2）D（﹣34a，34a），E（﹣334a，34a），F（﹣32a，0），P（﹣32a，2a ）；S△DEF=3316a2．

【解析】

试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出 PBPEOPPD ，同理，△OPF∽△BPD，得出PBPDOPPF ，然后利用等量代换即可．

（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积． 试题解析：（1）证明：连接PB，OP，

∵PE⊥AB，PD⊥OB，

∴∠BEP=∠PDO=90°，

∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，

∴△PBE∽△POD，

∴=，

同理，△OPF∽△BPD

∴=，

∴=，

∴PD2=PE•PF；

（2）连接O1B，O1P，

∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，

∴∠ABP=30°，

∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，

∵O1B=O1P，

∴△O1BP为等边三角形，

∴O1B=BP，

∵P为弧BO的中点，

∴BP=OP，

即△O1PO为等边三角形，

∴O1P=OP=a，

∴∠O1OP=60°，

又∵P为弧BO的中点，

∴O1P⊥OB，

在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，

∴O1D=a，OD=a，

过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，

OM=DM=a，

∴D（﹣a， a），

∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°

∴∠POF=30°，

∵PE⊥OA，

∴PF=OP=a，OF=a，