初一上 角-角平分线

5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

七年级上册角平分线的定义一．选择题（共20小题）1．如图A、O、B三点共线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD=55°，则∠AOC的度数是（）A．110°B．70°C．55°D．35°3．如图，如果∠AON=∠BOM，OC平分∠MON，那么图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．如图，OC是∠AOB的平分线，下列表达式中错误的是（）A．∠AOC=∠AOB B．∠AOB=2∠BOC C．∠AOC=∠COB D．∠AOB=2∠O5．如图，OM平分∠AOB，OC是∠AOB内部的一条射线，ON平分∠BOC，有以下说法：①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有（）个．A．4 B．5 C．6 D．76．如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．30°7．点C在∠AOB的内部，现在五个等式：∠AOB=∠BOC，∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠AOC，∠AOC+∠BOC=∠AOB，其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．如图，∠AOB是平角，∠AOC，∠BOC的角平分线分别是OD，OE，则∠DOE 是（）A．80°B．90°C．100° D．105°9．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部，OC是∠AOD的平分线，若∠AOB=100°，∠COD=15°，则∠BOD的度数为（）A．85°B．80°C．70°D．60°10．如图，已知∠AOB=40°，∠AOC=90°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°11．如图，已知OD平分∠AOB，OE平分∠BOD，若=，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，已知∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠AOD=25°，那么∠AOB的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．90°13．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125° D．145°14．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．点P在∠MON内部，则四个等式：①∠POM=∠NOP；②∠PON+∠POM=∠MON；③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP，其中能表示OP是角平分线的式子有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．已知∠AOB=60°，作射线OC，使∠AOC等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A．100°B．100°或20°C．50°D．50°或10°17．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°18．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）A．52°B．38°C．64°D．26°19．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB20．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=68°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．44°D．46°二．填空题（共20小题）21．若∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠α．22．如图，∠AOB=68°，OC平分∠AOB，则∠BOC的度数为．23．如图，∠1=∠2=∠3=∠4．（1）那么OD是的角平分线，OE是是的角平分线，OC是的角平分线；（2）=4∠1，==3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=．24．一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是．25．从一个角的点引出一条线，把这个角分成个，这条线叫做这个角的平分线．如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，那么：①∠AOC==；②∠AOB==．26．一条以一个角的为的射线把这个角分成的角，这条射线叫做这个角的．27．如图，∠AOB是直角，∠BOC=50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为．28．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC=29°34′，则∠AOB=°′．29．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，则∠AOB=．30．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=66°，则∠EOC=度．31．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是．（填序号）32．如图直线AB、CD相交于点E，EF是∠BED的角平分线，已知∠DEF=70°，则∠AED的度数是．33．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为．34．如图所示，已知OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=β，求∠DOE；；（2）若∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），求∠BOE．．35．已知直线AB上有一点O，射线OC、OD在AB的同侧，∠AOD=24°，∠BOC=46°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为．36．如图，O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=度．37．如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=（∠AOE+∠BOC）；④∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD）．其中正确结论有．38．如图所示，∠AOB=85°，∠AOC=10°，OD是∠BOC的平分线，则∠BOD的度数为度．39．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，则∠AOB的度数为．40．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°30′，则∠AOB=度．三．解答题（共10小题）41．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．（1）如果∠AOD=75°，∠BOC=19°，则∠DOE的度数为；（2）如果∠BOD=56°，求∠AOE的度数．解：如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=°．42．已知平角AOB及其平分线OC，如果作射线OD，使∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，那么∠AOD等于多少度？43．已知，如图，∠AOB=90°，∠EOD=70°，OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数．44．如图，已知O为直线AF上一点，OE平分∠AOC，（1）若∠AOE=20°，求∠FOC的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOB=84°，求∠DOE的度数．45．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度数．46．如图，O是直线AB上的一点，OC是△BOD的平分线，已知∠AOD=113°24′，求∠COD的度数．47．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB=76°．（1）求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画图加以说明；（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还成立吗？请你在图3中画图加以说明．48．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC．（1）求∠BOD的度数；（2）若OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．49．如图，OC是∠AOM的平分线，OD是∠BOM的平分线．（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOM=60°，求∠COD的度数；（2）如图2，若∠AOB=90°，∠AOM=130°，则∠COD=°；（3）如图3，若∠AOB=m°，∠AOM=n°，则∠COD=°．50．如图所示，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB=120°，则∠COE是多少度？（2）若∠EOC=65°，∠DOC=25°，则∠BOE是多少度？七年级上册角平分线的定义参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图A、O、B三点共线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】根据角平分线的定义可得∠COD=∠AOC，∠COE=∠COB，再根据∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）可得答案．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠COB，∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠COB=180°=90°，故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．2．如图，点O在直线AB上，OD平分∠BOC，若∠BOD=55°，则∠AOC的度数是（）A．110°B．70°C．55°D．35°【分析】先由角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOD，再根据邻补角定义即可求解．【解答】解：∵OD平分∠BOC，∠BOD=55°，∴∠BOC=2∠BOD=110°，∵AB是直线，∴∠AOC=180°﹣∠B0C=70°．故选B．【点评】此题考查角平分线与邻补角的定义，属于基础题，比较简单．3．如图，如果∠AON=∠BOM，OC平分∠MON，那么图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【分析】根据角平分线的定义和图中角与角间的和差关系进行计算．【解答】解：∵∠AON=∠BOM，∴∠AON+∠MON=∠BOM+∠MON，即∠AOM=∠BON；又∵OC平分∠MON，∴∠MOC=∠NOC，∴∠AON+∠NOC=∠BOM+∠MOC，即∠AOC=∠BOC．综上所述，图中除∠AON=∠BOM外，相等的角还有∠AOM=∠BON、∠MOC=∠NOC、∠AOC=∠BOC，共有3对．故选：C．【点评】本题考查了角平分线的定义．实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．4．如图，OC是∠AOB的平分线，下列表达式中错误的是（）A．∠AOC=∠AOB B．∠AOB=2∠BOC C．∠AOC=∠COB D．∠AOB=2∠O 【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠AOB，故本选项正确；B、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠BOC，故本选项正确；C、∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠COB，故本选项正确；D、∵从点O出发由三个角，故不能确定∠AOC的大小，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．5．如图，OM平分∠AOB，OC是∠AOB内部的一条射线，ON平分∠BOC，有以下说法：①∠AOC=∠BOM②∠CON=∠BON③∠AOC=∠AOM+∠COM④∠AOC=∠BOM+∠COM⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON⑦∠AOC=2∠MON其中正确的有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据角平分线的定义对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM=∠BOM，∠BON=∠CON．①∵∠AOM=∠BOM，∴∠AOC≠∠BOM，故本小题错误；②∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，故本小题正确；③由图可知，∠AOC=∠AOM+∠COM，故本小题正确；④∵∠AOC=∠AOM+∠COM，∠AOM=∠BOM，∴∠AOC=∠BOM+∠COM，故本小题正确；⑤∵∠AOC=∠AOM+∠MOC，∠AOM=∠BOM，∠BOC+∠MOC=∠BOM，∴∠AOC=2∠MOC+∠COB，故本小题正确；⑥∵∠AOC=2∠MOC+∠COB，∠COB=2∠CON，∴∠AOC=2∠MOC+2∠CON，故本小题正确；⑦∵∠AOM=∠BOM=2∠CON+∠MOC，∠BOM=2∠CON，∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2∠CON+∠MOC+∠MOC=2∠MON．故本小题正确．故选C．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．6．如图，已知∠AOB是直角，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．30°【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB 的关系，即可求出∠MON的度数．【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOC﹣∠BOC）=（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）=∠AOB=45°．故选C．【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，此类问题，注意结合图形，运用角的和差和角平分线的定义求解．7．点C在∠AOB的内部，现在五个等式：∠AOB=∠BOC，∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠AOC，∠AOC+∠BOC=∠AOB，其中能表示OC是∠AOB 平分线的等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据角平分线的定义对各等式进行逐一分析即可．【解答】解：点C在∠AOB的内部时，∠AOB＞∠BOC，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；∠BOC=∠AOB，原等式能表示OC是∠AOB平分线；∠AOB=∠AOC，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；∠AOB=2∠AOC，原等式能表示OC是∠AOB平分线；∠AOC+∠BOC=∠AOB，原等式不能表示OC是∠AOB平分线；故选A．【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．8．如图，∠AOB是平角，∠AOC，∠BOC的角平分线分别是OD，OE，则∠DOE 是（）A．80°B．90°C．100° D．105°【分析】本题比较多的条件是角平分线，OD和OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，则2∠DOC+2∠EOC=180°，从而可以求解．【解答】解：∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∴∠AOC=2∠DOC，∠BOC=2∠COE，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴2∠DOC+2∠EOC=180°，∴∠DOE=90°，故选：B．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．9．如图，射线OC，OD在∠AOB的内部，OC是∠AOD的平分线，若∠AOB=100°，∠COD=15°，则∠BOD的度数为（）A．85°B．80°C．70°D．60°【分析】根据角平分线的定义，及角的和差进行计算即可．【解答】解：∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠COD，∵∠COD=15°，∴∠AOD=2∠COD=30°，∵∠BOD=∠AOB﹣∠AOD，∠AOB=100°，∴∠BOD=100°﹣30°=70°．故选C．【点评】此题考查了角的平分线的定义，及角的和差计算，解题的关键是：根据角平分线的定义，先求出∠AOD的度数．10．如图，已知∠AOB=40°，∠AOC=90°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】先求出∠BOC=40°+90°=130°，再根据角平分线的定义求得∠BOD=65°，把对应数值代入∠AOD=∠BOD﹣∠AOB即可求解．【解答】解：∵∠AOB=40°，∠AOC=90°，∴∠BOC=40°+90°=130°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=65°，∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=65°﹣40°=25°．故选B．【点评】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．要会结合图形找到其中的等量关系：∠BOC=∠AOC+∠AOB，∠AOD=∠BOD﹣∠AOB是解题的关键．11．如图，已知OD平分∠AOB，OE平分∠BOD，若=，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由=，可设∠AOC=3x，∠BOC=2x，则∠AOB=5x，由OD平分∠AOB，可得∠AOD=∠BOD==，进而可得∠DOC=x，由OE平分∠BOD，可得∠DOE=∠BOE=∠BOD=，进而可得∠COE=∠DOE﹣∠DOC=，将∠COE=，∠BOE=，代入即可．【解答】解：∵=，可∴设∠AOC=3x，∠BOC=2x，则∠AOB=5x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD==，∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=x，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=∠BOD=，∴∠COE=∠DOE﹣∠DOC=，∴==故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系．12．如图，已知∠BOC=40°，OD平分∠AOC，∠AOD=25°，那么∠AOB的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．90°【分析】利用角平分线的定义得出∠COD=25°，进而得出答案．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=25°，∴∠COD=25°，∴∠AOB的度数是：∠BOC+∠AOD+∠COD=90°．故选：D．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，得出∠COD的度数是解题关键．13．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125° D．145°【分析】先画出图形，然后根据角平分线的定义解题．【解答】解：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC=64°，∠DON=46°，∴∠MOE=∠MOC=×64°=32°，∠NOF=∠DON=×46°=23°，∴∠EOF=180°﹣∠MOE﹣∠NOF=180°﹣32°﹣23°=125°．故选C．【点评】根据题意画出图形是解题的关键．然后根据角平分线的定义进行计算．14．如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，则∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可．【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）=∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠MON=×90°=45°．故选B．【点评】本题考查了角平分线的定义，做这类题时学生总会认为条件不够，其实只要把这些等量关系合并化简即可求出角的度数，所以学生做题时有是不要急于计算，而是要先化简后再合并，属于基础题．15．点P在∠MON内部，则四个等式：①∠POM=∠NOP；②∠PON+∠POM=∠MON；③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP，其中能表示OP是角平分线的式子有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线可得答案．【解答】解；如图：根据角平分线定义可得三个等式：①∠POM=∠NOP，③∠MOP=∠MON，④∠MON=2∠NOP；故选：C．【点评】此题主要考查了角平分线定义，题目比较简单，画出图形分析即可．16．已知∠AOB=60°，作射线OC，使∠AOC等于40°，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD的度数是（）A．100°B．100°或20°C．50°D．50°或10°【分析】分为两种情况：①当OC在∠AOB外部时，②当OC在∠AOB内部时，求出∠BOC，根据∠BOD=∠BOC求出即可．【解答】解：分为两种情况：①当OC在∠AOB外部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°，∴∠BOC=60°+40°=100°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠BOC=50°，②当OC在∠AOB内部时，∵∠AOB=60°，∠AOC=40°，∴∠BOC=60°﹣40°=20°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠BOC=10°，故选D．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，解此题的关键是求出符合条件的所有情况．17．已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC=20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．30°或50°【分析】由于OA与∠BOC的位置关系不能确定，故应分OA在∠BOC内和在∠BOC外两种情况进行讨论．【解答】解：当OA与∠BOC的位置关系如图1所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠AOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠COB=×20°=10°，∴∠MON=∠BON﹣∠AOM=40°﹣10°=30°；当OA与∠BOC的位置关系如图2所示时，∵OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOB=80°，∠COB=20°，∴∠BOM=∠AOB=×80°=40°，∠BON=∠BOC=×20°=10°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=10°+40°=50°．故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义，解答≜此题时要根据OA与∠BOC的位置关系分两种情况进行讨论，不要漏解．18．如图，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（）A．52°B．38°C．64°D．26°【分析】先求得∠BOC的度数，然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数，最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可．【解答】解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠BOC=26°．∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°．故选：C．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．19．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB【分析】利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．【解答】解：A、正确；B、不一定正确；C、正确；D、正确；故选B．【点评】此题主要考查了从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．20．如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=68°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．40°B．45°C．44°D．46°【分析】根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵OD平分∠BOC，∴∠BOC=2∠1=2×168°=136°，∴∠2=180°﹣∠BOC=180°﹣136°=44°．故选C．【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．二．填空题（共20小题）21．若∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，则∠AOC=2∠α．【分析】直接根据角平分线的定义即可求解．【解答】解：∵∠AOB=4∠α，OC为∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠AOB=×4∠α=2∠α．故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线的性质：从角的顶点引一条射线，把这个角分成相等的两部分，那么这条射线叫这个角的平分线．22．如图，∠AOB=68°，OC 平分∠AOB ，则∠BOC 的度数为 34° ．【分析】根据角平分线的定义即可直接求解．【解答】解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=∠AOB=×68=34°．故答案是：34°．【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，理解定义是关键．23．如图，∠1=∠2=∠3=∠4．（1）那么OD 是 ∠AOB 和∠COE 的角平分线，OE 是 ∠BOD 是的角平分线，OC 是 ∠AOD 的角平分线；（2） ∠AOB =4∠1， ∠BOC = ∠AOE =3∠1；（3）∠BOD= ∠BOC= ∠AOB ；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE= 90° ．【分析】根据角平分线的定义、结合图形进行解答即可．【解答】解：（1）OD 是∠AOB 和∠COE 的角平分线，OE 是∠BOD 是的角平分线，OC是∠AOD的角平分线；（2）∠AOB=4∠1，∠BOC=∠AOE=3∠1；（3）∠BOD=∠BOC=∠AOB；（4）若∠BOE=30°，那么∠AOE=90°，故答案为：（1）∠AOB和∠COE；∠BOD；∠AOD；（2）∠AOB；∠BOC；∠AOE；（3）；；（4）90°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握角平分线是经过角的顶点把这个角分成相等的两个角的射线是解题的关键．24．一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，则这个角是60°．【分析】依据角平分线的定义回答即可．【解答】解：∵一个角的平分线把这个角分为30°的两个角，∴这个角=30°×2=60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．25．从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图所示，如果OC是∠AOB的平分线，那么：①∠AOC=∠BOC=∠AOB；②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．【分析】根据角平分线的定义和性质进行解答即可．【解答】解：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；①∠AOC=∠BOC=∠AOB；②∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．故答案为：顶；射；两；相等的角；射；①∠BOC；∠AOB；②2∠AOC；2∠BOC．【点评】从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．26．一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【分析】根据角平分线的定义解答．【解答】解：顶点、端点、两个相等．一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．【点评】此题考查了角平分线的定义，直接按定义填空即可．27．如图，∠AOB是直角，∠BOC=50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为45°．【分析】先根据∠AOB是直角，∠BOC=50°得出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC，ON平分∠BOC得出∠COM与∠CON的度数，由∠MON=∠COM﹣∠CON 即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB是直角，∠BOC=50°，∴∠AOC=90°+50°=140°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠COM=∠AOC=×140°=70°，∠CON=∠BOC=25°，∴∠MON=∠COM﹣∠CON=70°﹣25°=45°．故答案为：45°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．28．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC=29°34′，则∠AOB=59°8′．【分析】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．根据定义求得即可．【解答】解：∠AOB=2×29°34′=59°8′．故答案为59、8．【点评】本题主要考查了角平分线的定义．29．如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，则∠AOB=28°．【分析】设∠AOB=x°，根据已知和角平分线定义得出∠AOD=∠COD=（x+14）°，求出∠AOC=2∠AOD=3∠AOB，得出方程3x=2（x+14），求出方程的解即可．【解答】解：设∠AOB=x°，∵∠BOD=14°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=（x+14）°，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠AOC=2∠AOD=3∠AOB，∴3x=2（x+14），解得：x=28，∴∠AOB=28°，故答案为：28°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能得出关于x的方程，难度适中．30．如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=66°，则∠EOC=57度．【分析】先根据OE平分∠AOC，∠BOC=66°求出∠COD的度数，再由OD平分∠BOC，OE平分∠AOC得出∠EOD的度数，根据∠EOC=∠EOD﹣∠COD即可得出结论．【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠BOC=66°，∴∠COD=∠BOC=×66°=33°，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD=∠EOC+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，∴∠EOC=∠EOD﹣∠COD=90°﹣33°=57°．故答案为：57．【点评】本题考考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．31．如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线，其中正确的是①③④．（填序号）【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可．【解答】解：①∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB=90°﹣∠BOC，∠COD=90°﹣∠BOC，∴∠AOB=∠COD；故①正确．②只有当OB，OC分别为∠AOC和∠BOD的平分线时，∠AOB+∠COD=90°；故②错误．③∵∠AOC=∠BOD=90°，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠COB=45°，则∠COD=90°﹣45°=45°∴CB平分∠BOD；故③正确．④∵∠AOC=∠BOD=90°，∠AOB=∠COD（已证）；∴∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线．故④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．32．如图直线AB、CD相交于点E，EF是∠BED的角平分线，已知∠DEF=70°，则∠AED的度数是40°．【分析】根据角平分线的定义求出∠DEB的度数，然后根据平角等于180°列式进行计算即可求解．【解答】解：∵EF是∠BED的角平分线，∠DEF=70°，∴∠DEB=2∠DEF=2×70°=140°，∴∠AED=180°﹣∠DEB=180°﹣140°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了角平分线的定义，平角等于180°，是基础题，需熟练掌握．33．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°．【分析】根据已知得出∠AOC+∠EOC=180°，∠BOC=∠AOC，∠DOC=EOC，求出∠BOC+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=90°，即可得出答案．【解答】解：∠BOC+∠DOC=90°，理由是：∵A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴∠AOC+∠EOC=180°，∠BOC=∠AOC，∠DOC=EOC，∴∠BOC+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=180°=90°，∴∠BOC与∠COD的关系为∠BOC+∠DOC=90°，故答案为：∠BOC+∠DOC=90°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，能识别图形是解此题的关键．34．如图所示，已知OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线．（1）若∠AOC=120°，∠BOC=β，求∠DOE；60°﹣β；（2）若∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），求∠BOE．α﹣β．【分析】根据角平分线的性质计算．【解答】解：（1）∠AOC=120°，∴∠COE=60°（角平分线定义），∵∠BOC=β，∴∠COD=β（角平分线定义），∴∠DOE=60°﹣β；（2）∵∠AOC=α，OE是∠AOC的平分线，且∠BOC=β（α＞β），∴∠COE=α（角平分线定义）．∴∠BOE=∠COE﹣∠BOC=α﹣β．【点评】此题主要考查了角平分线定义．由角平分线的定义，易求该角的度数．35．已知直线AB上有一点O，射线OC、OD在AB的同侧，∠AOD=24°，∠BOC=46°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数为145°．【分析】先根据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求得∠AOF和∠EOB的度数，然后依据平角是180°可求得∠EOF的度数．【解答】解：如图所示：∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=AOD==12°．同理可知：∠EOB=．∴∠EOF=180°﹣∠AOF﹣∠EOB=180°﹣12°﹣23°=145°．故答案为：145°．【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，根据题意画出图形是解题的关键．36．如图，O是直线AB上的一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=90度．【分析】利用角平分线的性质计算．【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE=（∠AOC+∠BOC）=90°．故答案为90．【点评】此题主要考查角平分线的定义和平角的定义．37．如图，OB在∠AOC内部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分线，∠BOC=3∠COE，则下列结论：①∠EOC=∠AOE；②∠DOE=5∠BOD；③∠BOE=（∠AOE+∠BOC）；④∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD）．其中正确结论有①②④．【分析】根据∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得∠COE=∠AOB，则∠BOC=∠AOE，设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，得出①②④正确，③不正确．【解答】解：①∵∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，∴∠COE=∠AOB，∴∠COE+∠BOE=∠AOB+∠BOE，∴∠BOC=∠AOE，∵OD是∠AOB的平分线，∴∠AOD=∠BOD，设∠AOD=x，则∠AOB=∠COE=2x，∠AOE=∠BOC=6x，∴∠COE=∠AOE；所以①正确；②∵∠DOE=∠BOD+∠BOE=x+4x=5x，∠BOD=x，∴∠DOE=5∠BOD，所以②正确；③∵∠BOE=4x，（∠AOE+∠BOC）=（6x+6x）=6x，∴∠BOE≠（∠AOE+∠BOC），所以③不正确；④∵∠AOE=6x，（∠BOC﹣∠AOD）=（6x﹣x）=6x，∴∠AOE=（∠BOC﹣∠AOD），所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了角平分线的性质和角的和差倍分，一般情况下，根据已知条件得出各角之间的关系，设一个最小角为x°，分别表示出各角的关系，得出相应的结论．38．如图所示，∠AOB=85°，∠AOC=10°，OD是∠BOC的平分线，则∠BOD的度数为37.5度．【分析】利用角与角的和差关系及角平分线的性质计算．【解答】解：∵∠AOB=85°，∠AOC=10°∴∠BOC=85°﹣10°=75°又∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠COD=∠BOC，即∠BOD的度数为×75°=37.5°故∠BOD的度数为37.5度．【点评】本题主要考查角平分线的知识点，比较简单．39．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，则∠AOB的度数为100°40′．【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOC的度数，进而得出答案．【解答】解：∵OD是∠AOC的平分线，且∠COD=25°10′，∴∠AOC=2×25°10′=50°20′，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB的度数为：50°20′×2=100°40′．故答案为：100°40′．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．40．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°30′，则∠AOB=55度．【分析】直接利用角平分线的定义得出∠AOC=∠BOC，进而得出答案．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵∠AOC=27°30′，∴∠AOB=27°30′×2=55°．故答案为：55．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及度分秒的换算，正确把握角平分线的定义是解题关键．三．解答题（共10小题）41．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．（1）如果∠AOD=75°，∠BOC=19°，则∠DOE的度数为37°；（2）如果∠BOD=56°，求∠AOE的度数．解：如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以AOC=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以COE=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°．【分析】（1）角平分线的定义求得∠AOC=38°，∠DOE=∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°；（2）根据角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD．【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，∠BOC=19°，∴∠AOC=2∠BOC=38°．∴∠DOC=∠AOD﹣∠AOC=75°﹣38°=37°．又∵OD是∠EOC的平分线，∴∠DOE=∠DOC=37°．故填：37°；（2）如图，因为OB是∠AOC的平分线，所以AOC=2∠BOC．因为OD是∠EOC的平分线，所以COE=2∠COD．所以∠AOE=∠AOC+∠COE=2∠BOC+2∠COD=112°°．故填：∠AOC，∠COE，112°．【点评】本题考查了角平分线的定义．解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．42．已知平角AOB及其平分线OC，如果作射线OD，使∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，那么∠AOD等于多少度？【分析】根据题意画出图形，由角平分线的定义得出∠COB的度数，再根据∠BOD 与∠COD的度数之比为7：3求出∠COD的度数，根据∠AOD=∠AOC+∠COD即可得出结论．【解答】解：如图1所示，∵∠AOB=180°，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=×180°=90°．∵∠BOD与∠COD的度数之比为7：3，∴∠COD=∠COB=×90°=27°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+27°=117°．如图2所示，∵∠AOD：∠COD=1：3，∴∠AOD=90°×=22.5°．答：∠AOD等于117°或22.5°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．43．已知，如图，∠AOB=90°，∠EOD=70°，OE、OD分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数．【分析】先由∠AOB=90°，OE是∠AOB的角平分线，得出∠EOB=∠AOB=45°，那么∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°，再由OD是∠BOC的角平分线，得出∠BOC=∠BOD=50°．【解答】解：∵∠AOB=90°，OE是∠AOB的角平分线，∴∠EOB=∠AOB=45°，∵∠EOD=70°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠EOB=70°﹣45°=25°，∵OD是∠BOC的角平分线，∴∠BOC=∠BOD=50°．【点评】本题考查了角的计算及角平分线的定义，首先确定各角之间的关系，利用角平分线的性质来求．44．如图，已知O为直线AF上一点，OE平分∠AOC，（1）若∠AOE=20°，求∠FOC的度数；（2）若OD平分∠BOC，∠AOB=84°，求∠DOE的度数．【分析】①利用角平分线的定义求出∠AOC，∠FOC与∠AOC和是180°．②从图中不难看出∠DOE是由∠AOB与∠BOC半角之和，也就是∠AOB的一半．【解答】解：①∵OE平分∠AOC，∠AOE=20°∴∠AOC=2∠AOE=40°∴∠FOC=180°﹣∠AOC=140°；②∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，∴∠AOE=∠COE=∠AOC，∠COD=∠BOD=∠BOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=∠AOB，已知∠AOB=84°∴∠DOE=42°．【点评】本题考查了角平分线的定义，解决本题的关键牢记角平分线的定义，注意实际问题中的转化．45．如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度数．【分析】此题的关键是要先设∠ABC的度数．然后再利用题中的关系求出，∠DBE 的值，让它与27°列成等式．从而求出∠ABC的度数．【解答】解：设∠ABC=α，则∠ABD=，∠ABE=α∵∠DBE=∠ABD﹣∠ABE∴﹣α=27°得α=126°。

《角的比较与运算2--角平分线》教学设计【教材】人教版数学七年级上册4.3.2 角的比较与运算【课时安排】第2课时【教学对象】初一学生【授课教师】东莞长安实验中学郑健微【教材分析】本节课是人教版数学七年级上册 4.3.2 角的比较与运算的第二课时，在本节课学习之前，学生已经认识了角，并学会角的表示方法以及角的和差，这为本节课的教学做了知识和思维上的准备，本节课不仅是对角基本概念的进一步研究，更是解决以后有关的几何问题的基础，鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

【学情分析】七年级学生逻辑思维正迅速发展，但同时，又好动，注意力易分散，爱发表见解，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生上台发表见解，发挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在小学的时候已经认识了角，对角的计算已经有了初步的认识，但是，由于初中要求学生能够运用文字语言、图形语言和几何语言对问题进行综合描述，而几何语言表达具有一定的抽象性，学生写起来较为吃力，为了化解本难点，让学生有充足的时间掌握几何语言的表达，本节课大胆将教材中角的和差放在第一课时上，对教材进行加工。

【教学目标】✧知识与技能（1）认识角平分线，理解角平分线的几何意义及其数量关系，（2）学会用文字语言、图形语言和符号语言进行综合描述。

✧过程与方法（1）经历类比线段中点来学习角平分线的过程，体会类比思想；（2）经历探究角平分线运用的过程，学会结合图形分析数量关系，体会数形结合思想。

✧情感态度价值观（1）通过对角平分线性质的探究应用，引导学生在独立思考的基础上积极参与课堂，培养学生的口头表达能力与小组合作意识。

（2）通过学习几何语言的表达，体会数学的合理性和严谨性【教学重点】角平分线性质的探究应用【教学难点】学会用几何语言书写几何证明过程【教学方法】引导探究、小组合作讨论交流。

EBOBO初一几何练习 —— 角平分线一．角平分线的概念1．角平分线： 。

2．角平分线的结论：若点OC 是∠AOB 的角平分线，则有：（1）相等关系： 。

（2）一半关系： 。

（3）二倍关系： 。

二．角平分线的性质的应用1．直接应用：（1）已知：如图1，OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 70°；求：∠AOC 的度数。

（2）已知：如图1，OC 是∠AOB 的平分线，∠AOC = 35°；求：∠AOB 的度数。

2．整体思想的应用：（1）已知：如图2，∠AOB = 80°，OC 是∠AOB 的平分线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ；求：∠EOF 的度数。

（2）已知：如图2，∠EOF = 40°，OC 是∠AOB 的平分线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ；求：∠AOB 的度数。

图2（3）已知：如图3，∠AOB = 80°，OC 是∠AOB内部任意一条射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ；求：∠EOF 的度数。

（4）已知：如图3，∠EOF = 40°，OC 是∠AOB内部任意一条射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ；求：∠AOB 的度数。

图3B AAEFA（5）解答下列问题：如图4；① 已知；∠AOB=90°, ∠BOC=30°, OE 平分∠AOC, OF 平分∠BOC, 求：∠MON 的度数. ② 若①题中，∠AOB=，其他条件不变，α求∠MON 的度数.③ 若①题中，∠BOC=（为锐角），其他条件不变，ββ求∠MON 的度数.④ 从①、②、③题的结果中能看出有什么结论？3．证明题：（1）已知：如图5，∠ABC = ∠ACB ，BE 平分∠ABC ， CF 平分∠ACB ；求证：∠1 = ∠2。

（2）已知：如图5，∠1 = ∠2，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ；求证：∠ABC = ∠ACB 。

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。

它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。

这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。

在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。

以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。

角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。

换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。

这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。

这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。

这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。

利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。

它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。

通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。

1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。

专题07 角的平分线性质知识网络重难突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP典例1 （2018春 泰安市期中）如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB=4，AC=3，则△ADF 周长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【答案】B【详解】 因为∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，所以∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB.因为DF∥BC，所以∠EBC=∠BED，∠ECB=∠FEC，则DE=DC ，EF=FC ，则DF=DE+EF=DB+FC ，所以△ADF 周长=3+4=7.故选择B 项.典例2 （2019春 邯郸市期中）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【详解】 解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，故选D.典例3 （2018出 盐城市期末）如图，AOB ∠与AOC ∠互余，AOD ∠与AOC ∠互补，OC 平分BOD ∠，则AOB∠的度数是（）A.20︒B.22.5︒C.25︒D.30°【答案】B【详解】解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=45°，∴∠AOC=45°+∠AOB，∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），∴∠AOB=22.5°，故选：B．知识点二角平分线常考四种辅助线：⏹图中有角平分线，可向两边作垂线。

初一角平分线的定义初一角平分线的定义初一角平分线是一个通过初一角的内部射线，将该角分成两个相等的角的直线。

初一角平分线在数学中是一个非常重要的概念，它在解决很多几何问题时都有重要作用。

在本篇文章中，我们将探讨初一角平分线的定义和性质，以及一些相关的例子。

一、定义初一角平分线，是一个通过初一角的内部射线，将该角分成两个相等的角的直线。

换句话说，初一角平分线将一个角分成两个相等的角。

假设ABC是一个角，而AD是它的一条内部射线。

如果AB和AC这两条线段把角ABC分成了两个相等的角，则这条射线AD就是初一角平分线。

二、性质首先，在一个角中，初一角平分线将该角分成两个相等的角。

其次，如果在一个角的内部有一条线，它把这个角分成两个相等的角，那么这条线就是初一角平分线。

第三，初一角平分线在该角中是唯一的。

第四，如果一条直线同时是一个角的内部射线和初一角平分线，那么它将该角分成两个相等的角。

三、例子下面给出几个初一角平分线的例子，以帮助读者更好地理解这个概念。

例子1在正方形中，连续取四分之一周长的线段分别与连续的某一边相交，将四个小角分别标号为I，II，III，IV，如图所示。

那么，角I和角II的初一角平分线相交于下列哪一个点上？(1)正方形中心 (2)四边形IJKL对角线交点 (3)四边形KIMJ对角线交点 (4)切线O答案是(1)正方形中心。

解析: 在正方形中，我们知道所有角的度数都是90度。

因此，每个小角的度数为90度除以4，即22.5度。

又因为我们要找的是初一角平分线，所以我们只需要在小角的中心画一条射线，它会把角分成两个相等的角。

既然每个小角的度数都是一样的，那么每个小角中心的射线将会相交于正方形中心。

例子2在一个三角形ABC中，角A的初一角平分线交BC边于点D，使得BD=DC，如图所示。

问角A的度数是多少？解析: 我们只需要使用角平分线的性质就可以解决这个问题。

由于BD=DC，所以角DBC和角DCB的度数相等。

角的平分线的性质谷宁陈(北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校)教学目标1．从“航线”的具体情境中，抽象出几何模型，初步感悟“具有某条件的点的特征”．2．类比平行线，探索并证明角的平分线的性质．3．在探索活动中，体会合情推理的作用，理解模型思想、集合思想．4. 通过对定理证明的一般步骤的梳理，体会数学的严谨性，发展逻辑推理能力．教学重点：理解角的平分线的性质教学难点：发现并证明角的平分线的性质教学流程示意(可选项)借助情境，发现问题问题变式，类比探究证明猜想，归纳小结拓展探究，提高能力课后反思，提升认识教学过程(文字描述)一．借助情境，发现问题情境1：端午节是我们国家的传统节日，人们吃粽子，划龙舟来庆祝．在龙舟比赛中，为了明确船航行的方向，通常在河面上放置一些浮标．若河的两岸互相平行，最中间一排浮标的位置是如何确定的？ab 师生活动：学生观看视频后，从实际情境中抽象出数学问题，画出图形，并确定浮标的位置．教师适当追问，引导学生分析“中间的线”“到两平行线距离相等的点”之间的关系，明确应从两个角度去探【活动4.2】拓展作业能否用尺规作一个角的平分线？设计意图：多种画图方法，体现了学生思维的多样性和灵活性，发展了学生解决问题的能力，也进一步加深了对角平分线性质的理解．在此基础上，将“能否用尺规作一个角的平分线”布置为课后探究作业，学生的思维层层深入，学习的过程形成体系．五．课后反思，提升认识通过对本节课的学习，你有哪些收获和体会？设计意图：通过小结环节，使学生不仅更能够在知识上有所收获，更重要的，是从探究过程和思想方法的角度来提升对本节课的认识．本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数) 本节课的教学重点是角的平分线的两条性质定理的探究及证明，角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合，为了让学生能够对角的平分线有更加深刻和完整的理解，教师设计了充分的活动．首先在情境引入环节，教师没有直接引入角和角的平分线，而是先由一个实际情境引出了学生更易理解的两平行线和两平行线间的“中间的线”，引导学生提出“中间的线”的两条猜想，再画图说明；再将平行线变为相交线，通过类比“中间的线”的研究思路，再来探究角的平分线，分散了角的平分线的性质探究的难点，对提升学生思维有很大的帮助，这种设计思路非常新颖．教师引导学生从充分性和必要性两个角度去提出猜想，在整个授课的过程中也都在不断渗透这种集合思想，很好的训练了学生思维，对以后数学学习起着很重要的作用．教师在授课前，对七至九年级的学生进行了充分的调研和学情分析，基于学生的问题，设计学生活动，有的放矢，课堂上让学生充分的参与和展示，真正的做到了以学生为本．。

§1．4．1角平分线（一）教学目标（一）知识目标1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的判定定理的证明。

3．用尺规作已知角的角平分线。

（二）能力目标1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。

2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。

教学重点1．角平分线的性质和判定定理的证明。

2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。

教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

教学过程1、创设问题情境：〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。

）2、新课引入问题：（1）还记得角平分线的概念吗？（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？（3）你是怎样理解结论的？（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。

）问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）证明∵AC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。

又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。

角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。

角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。

角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。

由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。

三角形的角平分线交点一定在三角形内部。

角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。

三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。

当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

七年级角的平分线易错题总结(含答案）一、选择题（本大题共1小题，共3.0分）1.如图，点O是直线AB上的一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠DOC，图中互补的角有()A. 10对B. 11对C. 12对D. 13对【答案】D【解析】解：图中互补的角有：∠AOF与∠BOF，∠AOF与∠COE，∠DOE与∠BOF，∠DOE 与∠COE，∠AOE与∠EOB，∠AOE与∠DOF，∠DOF与∠EOB，∠BOD与∠AOD，∠EOF与∠AOD，∠BOC与∠AOD，∠BOD与∠AOC，∠EOF与∠AOC，∠BOC与∠AOC，有13对．故选：D．根据补角的定义和同角或等角的补角相等解答即可．本题考查了补角的定义，性质：同角或等角的补角相等．二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）2.如图，点O在直线AB上，∠AOD=120°，CO⊥AB，OE平分∠BOD，则图中一共有______对互补的角．【答案】6【解析】解：∵∠AOD=120°，CO⊥AB于O，OE平分∠BOD，∴∠COD=∠DOE=∠EOB=30°，∴这三个角都与∠AOE互补．∵∠COE=∠DOB=60°，∴这两个角与∠AOD互补．另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此一共有6对互补的角．故答案为：6．根据互补的定义进行解答，找到两个角之和为180°角的对数．本题主要考查余角和补角、角平分线的知识点，两角之和为90，两角互余，两角之和为180，两角互补，解答此题的关键是找全互补的角．3.如图，点O在直线AB上，∠AOD=120°，CO⊥AB，OE平分∠BOD，则图中一共有_________对互补的角．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查余角和补角、角平分线的知识点，两角之和为90°，两角互余，两角之和为180°，两角互补，解答此题的关键是找全互补的角．根据互补的定义进行解答，找到两个角之和为180°的角的对数．【解答】解：∵∠AOD=120°，CO⊥AB于O，OE平分∠BOD，∴∠COD=∠DOE=∠EOB=30°，∴这三个角都与∠AOE都互补．∵∠COE=∠DOB=60°，∴这两个角与∠AOD都互补．另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此一共有6对互补的角．故答案为：6．三、解答题（本大题共13小题，共104.0分）4.已知∠AOC和∠BOC是互为邻补角，∠BOC=50∘，将一个三角板的直角顶点放在点O处(注：∠DOE=90∘，∠DEO=30∘).(1)如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE=______．(2)如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线．∠AOE时，求∠BOD的(3)如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14度数．(4)将图1中的三角板绕点O以每秒5∘的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【答案】(1)40°，(2)∵OE平分∠AOC，∠COA，∴∠COE=∠AOE=12∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；(3)设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，∴5x=40，∴x=8，即∠COD=8°∴∠BOD=58°．(4)如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t=140，t=28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t=320，t=64．所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．【解析】【解析】∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠BOC=50°，∴∠COE=40°，故答案为：40°；(2)见答案；(3)见答案．(4)见答案．(1)代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；(2)求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD= 90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；(3)根据平角等于180°求出即可；(4)分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O 旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．5.(1)已知∠AOB=25°42′，则∠AOB的余角为____，∠AOB的补角为____；(2)已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，用含α，β的代数式表示∠MON的大小；(3)如图，若以OA、OB中的一条为钟表上的时针，另一条为分针，且∠AOB=65°，时针在3点到4点之间，求此刻的时间．【答案】解：(1)64°18′；154°18′；(2)①如图1：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM=∠BOM=12∠AOB=12α，∠CON=∠BON=12∠COB=12β，∴∠MON=∠BOM+∠CON=α+β2；②如图2，∠MON=∠BOM−∠BON=α−β2；③如图3，∠MON =∠BON −∠BOM =β−α2． ∴∠MON 为α+β2或α−β2或β−α2．(3)设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x 分钟，时针与分针成65°角． ①当分针在时针上方时，由题意得：(3+x 60)×30−6x =65，解得：x =5011②当分针在时针下方时，由题意得：6x −(3+x 60)×30=65解得：x =31011．∴此刻的时间为3点5011分或3点31011分．【解析】【分析】此题考查了余角和补角，角的计算以及钟面角，解题时注意：分针60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°；时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．(1)根据余补角的定义解答；(2)分三种情况，分别画出图形，根据角平分线的定义解答即可；(3)分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．【解答】解：(1)∵∠AOB =25°42′，∴∠AOB 的余角=90°−25°42′=64°18′，∠AOB 的补角=180°−25°42′=154°18′；故答案为：64°18′，154°18′；(2)见答案；(3)见答案．6.如图所示，射线ON，OE，OS，OW分别表示从点O出发向北、东、南、西四个方向，点A在点O的北偏东45°方向，点B在点O的北偏西30°方向．(1)画出射线OB，若∠BOC与∠AOB互余，请在图中画出∠BOC．(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程)．【答案】解：(1)如图所示，射线OB，∠BOC与∠BOC′即为所求；(2)∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，∴∠AOC=90°，∠AOC′=60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP=45°或30°．【解析】此题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．(1)根据题意作出图形即可；(2)根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】(1)∵∠AON=45°，∠BON=30°，∴∠AOB=75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC=∠BOC′=15°，故射线OB，∠BOC与∠BOC′即为所求；(2)见答案．7.如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．(1)已知∠EOD=80°，∠AOB=20°，求∠BOC的度数．(2)设∠EOD=α，用含α的代数式表示∠BOC．(3)若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．【答案】解：(1)∵OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．∴∠AOB=∠BOD=12∠AOD，∠EOC=∠AOC=12∠EOA，∵∠EOD=80°，∠AOB=20°，∴∠EOA=80°+20°×2=120°，∴∠EOC=∠AOC=12∠EOA=60°，∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=60°−20°=40°．(2)∵∠BOC=∠AOC−∠AOB=∠DOE−∠COD−∠BOD=∠DOE−∠BOC，∴2∠BOC=∠DOE，∴∠BOC=12∠DOE=12α，(3)∵∠EOD与∠BOC互余，∴∠EOD+∠BOC=90°，∵∠BOC=12∠DOE，∴∠BOC=13×90°=30°．【解析】本题主要考查角平分线的意义，互余的意义，根据图形直观得出各个角的和或差是得出结论的前提，等量代换起到非常关键的作用．(1)根据角平分线和∠EOD=80°，∠AOB=20°，求出各个角，得出答案；(2)由特殊到一般，根据角平分线的意义，和各个角之间的和差关系，等量代换得出∠EOD 与∠BOC的数量关系，(3)利用(2)中的结论和∠EOD与∠BOC互余，求出∠BOC的度数．8.(1)已知∠1与∠2互为补角，且∠2的13比∠1小15∘，则∠1的余角为多少？(2)已知∠AOB为直角，∠AOC为锐角，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．【答案】解：(1)设∠1=x°，由题意可得，解得x=2254；(2)若OC在∠AOB内部，则∠MON=12∠AOB=45°，若OC在∠AOB外部，则∠MON=12(∠AOB+∠AOC)−12∠AOC=45°．【解析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握相关概念是解答本题的关键．(1)设∠1=x°，根据题意可列出方程，即可解答；(2)分两种情况：当若OC在∠AOB内部，当若OC在∠AOB外部进行分析．9.已知：∠AOD=156°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．(1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，则∠MON的大小为______；(2)如图2，若∠BOC=24°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；(3)在(2)的条件下，若∠AOB=30°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值【答案】解：(1)78°；(2)∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM−∠BOC=12∠AOC+12∠BOD−24°=12(∠AOC+∠BOD)−24°，∴∠MON=12(∠AOD+∠BOC)−24°=12×180°−24°=66°；(3)∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=(54+2t)°，∠AOM=(27+t)°，∠BOD=(126−2t)°，∠DON=(63−t)°，若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2(63−t)，∴t=33；若2∠AOM=∠DON，即2(27+t)=63−t，∴t=3；∴当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，分类讨论思想，利用一元一次方程解决问题是本题的关键．(1)由角平分线的定义可得∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，即可求∠MON的大小；(2)由角平分线的定义可得∠COM=12∠AOC，∠BON=12∠BOD，即可求∠MON的大小；(3)由题意可得∠AOC=(54+2t)°，∠AOM=(27+t)°，∠BOD=(126−2t)°，∠DON=(63−t)°，分∠AOM=2∠DON，∠DON=2∠AOM两种情况讨论，列出方程可求t的值．【解答】解：(1)∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM=12∠AOB，∠BON=12∠BOD，∵∠MON=∠BOM+∠BON=12∠AOD，∴∠MON=78°故答案为：78°(2)见答案；(3)见答案．10.如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF．(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；(2)若∠AOE=30°，请直接写出∠BOD的度数；(3)观察(1)(2)的结果，猜想∠AOE和∠BOD的数量关系，并说明理由.【答案】解：(1)∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°；∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠BOE=∠AOB−∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD−∠BOE=20°；(2)∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=30°，∴∠AOF=150°；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF=75°，∴∠EOD=∠FOC=75°；∵∠BOE=∠AOB−∠AOE=60°，∴∠BOD=∠EOD−∠BOE=15°；(3)∠BOD=12∠AOE，理由如下：∵∠AOE+∠AOF=180°，∴∠AOF=180°−∠AOE；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=12∠AOF=90°−12∠AOE，∴∠EOD=∠FOC=90°−12∠AOE；∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠BOE=∠AOB−∠AOE=90°−∠AOE，∴∠BOD=∠EOD−∠BOE=(90°−12∠AOE)−(90°−∠AOE)=12∠AOE；∴∠BOD=12∠AOE．【解析】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线定义等知识点．(1)先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；(2)先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；(3)先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案．11.已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD=90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．(1)如图1所示，当∠DOE=20°时，∠FOH的度数是______．(2)若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．(3)若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．【答案】解：(1)35°；(2)∠BOE=2∠FOH，理由如下：设∠AOH=x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=x所以∠FOH=90°−∠HOE=90°−x∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x所以∠BOE=2∠FOH；(3)如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF−∠FOH=1∠BOF−(∠AOH−∠AOF)=12(180°−∠AOF)−12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF−12(90°+∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF−45°−12∠AOF+∠AOF=45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE 因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF+∠FOH=12∠BOF+∠AOH+∠AOF=12(180°−∠AOF)+12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF+12(90°−∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF+45°−12∠AOF+∠AOF=135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．【解析】解：(1)因为∠AOD=90°，∠DOE=20°所以∠AOE=∠AOD+∠DOE=110°因为OH平分∠AOE所以∠HOE=12∠AOE=55°所以∠FOH=90°−∠HOE=35°；故答案为35°；(2)∠BOE=2∠FOH，理由如下：设∠AOH=x，因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=x所以∠FOH=90°−∠HOE=90°−x∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x 所以∠BOE=2∠FOH；(3)如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=1∠BOF所以∠GOH=∠GOF−∠FOH=12∠BOF−(∠AOH−∠AOF)=12(180°−∠AOF)−12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF−12(90°+∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF−45°−12∠AOF+∠AOF=45°；所以∠GOH的度数为45°；如图4，当OE落在其他位置时因为OH平分∠AOE所以∠HOE=∠AOH=12∠AOE 因为OG平分∠BOF∠FOG=∠GOB=12∠BOF所以∠GOH=∠GOF+∠FOH=1∠BOF+∠AOH+∠AOF=12(180°−∠AOF)+12∠AOE+∠AOF=90°−12∠AOF+12(90°−∠AOF)+∠AOF=90°−12∠AOF+45°−12∠AOF+∠AOF=135°；所以∠GOH的度数为135°；综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．(1)根据∠AOD=90°，∠DOE=20°得∠AOE=∠AOD+∠DOE=110°，再根据OH平分∠AOE，即可求解；(2)可以设∠AOH=x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE=∠AOH=x，进而∠FOH= 90°−∠HOE=90°−x，∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x，即可得结论；(3)分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．本题考查了余角和补角、角平分线定义，解决本题的关键是掌握角平分线定义，进行角的和差计算．12.如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．(1)求∠MON的度数；(2)如果已知∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果已知∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)(2)(3)中你能看出什么规律？【答案】解：(1)因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=12∠AOC．又ON平分∠BOC，所以∠NOC=12∠BOC．所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12∠AOB．而∠AOB=90°，所以∠MON=45°；(2)当∠AOB=80°，其他条件不变时，∠MON=12×80°=40°；(3)当∠BOC=60°，其他条件不变时，则∠MON=45°；(4)分析(1)、(2)、(3)的结果和(1)的解答过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．【解析】本题考查角的平分线，难度不大．(1)根据题意，可得∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12∠AOB，即可得解；(2)根据题意，即可得解；(3)根据题意，即可得解；(4)分析可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关，即13.(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若∠AOD=40°，则∠COB=_________(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数．(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若OF平分∠DOB，则OE平分∠AOC吗？为什么？【答案】解：(1)140°；(2)如图，由题意知，∠1+∠2=50°①，∠1+∠3=60°②，又∠1+∠2+∠3=90°③，①+②−③得∠1=20°；(3)OE平分∠AOC，理由如下：∵∠COD=∠AOB，∴∠COA=∠DOB(等角的余角相等)．同理：∠EOA=∠FOB．∵OF平分∠DOB，∴∠DOF=∠FOB=12∠DOB，∴∠EOA=12∠DOB=12∠COA，∴OE平分∠AOC．【分析】本题考查了角的计算，余角和补角以及正方形的性质，根据所给出的图形，找到角与角的关系是本题的关键．(1)根据正方形各角等于90°，得出∠COD+∠AOB=180°，再根据∠AOD=40°，∠COB=∠COD+∠AOB−∠AOD，即可得出答案；(2)根据已知得出∠1+∠2，∠1+∠3的度数，再根据∠1+∠2+∠3=90°，最后用∠1+∠2+∠1+∠3−(∠1+∠2+∠3)，即可求出∠1的度数；(3)根据∠COD=∠AOB和等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，∠EOA=∠FOB，再根据角平分线的性质得出∠DOF=∠FOB=12∠DOB和∠EOA=12∠DOB=12∠COA，从而得出答案．【解答】解：(1)∵两个图形是正方形，∴∠COD=90°，∠AOB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∵∠AOD=40°，∴∠COB=∠COD+∠AOB−∠AOD=140°．故答案为140°；(2)见答案；(3)见答案．14.如图，已知∠AOB=2∠BOC，又OD，OE分别为∠AOB和∠BOC的平分线，若∠DOE=66∘.求∠AOB的度数．【答案】解：∵OE，OD分别是∠BOC、∠AOB的平分线，∴∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB，∵∠DOE=66°，∴∠AOB+∠BOC=2∠DOB+2∠BOE=2∠DOE=132°，∵∠AOB=2∠BOC，×132°=88°．∴∠AOB=23【解析】本题考查的是角平分线的定义，角的计算有关知识，根据角平分线定义得出∠BOC=2∠BOE，∠AOB=2∠DOB，根据∠DOE=66°求出∠AOB+∠BOC=132°，根据∠AOB=2∠BOC求出即可．15.已知∠AOB是锐角，∠AOC=2∠BOD．(1)如图，射线OC，射线OD在∠AOB的内部(∠AOD>∠AOC)，∠AOB与∠COD互余．①若∠AOB=60°，求∠BOD的度数．②若OD平分∠BOC，求∠BOD的度数．(2)若射线OD在∠AOB的内部，射线OC在∠AOB的外部，∠AOB与∠COD互补．方方同学说：∠BOD的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下∠BOD的度数是确定的，另一种情况下∠BOD的度数不确定．你认为谁的说法正确？为什么？【答案】解(1)①∵∠AOB=60°，∠AOB与∠COD互余，∴∠COD=30°，∵∠AOC=2∠BOD，∴∠BOD=10°．②设∠BOD=x°，∵OD平分∠BOC，∠AOC=2∠BOD，∴∠BOD=∠COD=1∠BOC，∠AOC=2x°，2∵∠AOB与∠COD互余，∴4x+x=90，解得：x=18，∴∠BOD=18°．(2)设∠BOD=x，∠AOD=y．当射线OD在∠AOC内部时(如图1)，由题意，得∠AOB+∠COD=180°，即x+y+2x−y=3x=180°，此时∠BOD=60°，确定．当射线OD在∠AOC外部时(如图2)，由题意，得∠AOB+∠COD=180°，即x+y+y+2x=3x+2y=180°，此时∠BOD不确定；∴圆圆的说法正确．【解析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，还用到了方程的思想．注意(2)要根据射线OD的位置不同，分类讨论，分别求出∠BOD的度数．(1)①根据∠AOB=60°，∠AOB与∠COD互余，可得∠COD=30°，再根据∠AOC=2∠BOD，可得∠BOD的度数；②先设∠BOD=x°，则4x+x=90，求出x的值，进而可得出结论；(2)分射线OD在∠AOC的内部与在∠AOC的外部两种情况进行讨论．16.已知，直线AB与直线CD相交于点O，OB平分∠DOF．(1)如图，若∠BOF=40°，求∠AOC的度数；(2)作射线OE，使得∠COE=60°，若∠BOF=x°(0<x<90)，求∠AOE的度数．(用含x的代数式表示)【答案】解：(1)∵OB平分∠DOF，∴∠BOD=∠BOF=40°，∴∠AOC=40°；(2)∵OB平分∠DOF，∴∠BOD=∠BOF，∵∠BOF=x°，∴∠BOD=x°，∴∠AOC=∠BOD=x°，如图1，∵∠COE=60°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=(60+x)°(0<x<90)；如图2，当0<x≤60时，∵∠COE=60°，∴∠AOE=∠COE−∠AOC=(60−x)°(0<x≤60)，当60<x<90时，∵∠COE=60°，∴∠AOE=∠AOC−∠COE=(x−60)°(60<x<90)．由图2可得：∠AOE=|x−60|°(0<x<90)，综上所述：∠AOE的度数为(60+x)°或|60−x|°．【解析】(1)根据角平分线的定义可得∠BOD的度数，再根据对顶角相等可得答案；(2)此题分两种情况，首先画出图形，再计算角度．此题主要考查了对顶角和角平分线定义，关键是掌握对顶角相等．。

课题7.1.2三角形的高、中线、角平分线教学目标1、理解三角形的高、中线、角平分线的概念。

2、能做出任意一个三角形的高、中线、角平分线，通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,角平分线也都交于一点.3、经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。

教学重点1、了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.2、掌握三角形的高、中线、角平分线的几何语言表达。

了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.教学难点1、钝角三角形高的画法.2、不同的三角形三条高的位置关系.3、三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.教具多媒体，PPT课件，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各3个。

学具几何作图工具、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各3个。

教学过程一、复习引入回忆如何过一点画已知直线的垂线。

同样的，过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?（引入三角形的高）二、合作交流、探究新知活动一、探究三角形的高1、三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

注意：（1）标明垂直的记号和垂足的字母（2）三角形的高与垂线有何区别和联系?（3）表示方法：①AD是△ABC的BC边上的高线.②AD⊥BC于D.③∠ADB=∠ADC=90°2、做一做：（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）问题1、你能画出这个三角形的三条高吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系,可以反过来画好高后，找哪条边上高）锐角三角形的三条高都在三角形的内部，交于同一点。

ABCD问题2、你能用折纸的方法得到它们吗？ 使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合 3、议一议：如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？直角三角形有三条高，其中直角边BC 的高是AB 边 直角边AB 边 上的高是 BC 边 ; 直角三角形的三条高交于直角顶点。

角平分线和线段的垂直平分线一、知识点讲解：1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。

那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。

4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。

其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。

5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

二、例题精讲例1.已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。

分析：欲证AD⊥EF，就要证∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°。

所以要考虑证ΔAEO≌ΔAFO。

由题中条件可知ΔAEO，ΔAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明ΔAED≌ΔAFD。

证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtΔAED和RtΔAFD中∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL), ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)在ΔAEO和ΔAFO中∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等)∴∠AOE=∠EOF=90°，∴AD⊥EF（垂直定义）。

例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。

(1)同位角相等，两直线平行。

(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果ΔABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ΔABC的三个外角中只有两个钝角。