三角形三条重要线段

三角形的三种重要线段中线角平分线高线文字语言在三角形中，连接一个顶点与它对边在三角形中，一个内角的平从三角形的一个顶点向它的对中点的连线分线与它的对边相交，这个边所在直线作垂线，顶点和垂角的顶点与交点之间的线足之间的线段段图形语言作图语言取 BC边的中点 D，连接 AD 作∠ BAC的平分线 AD，交 BC 过点 A 做 AD⊥ BC于点 D于点 D符号语言（ 1）AD是△ ABC的中线；（ 1）AD是△ ABC的角平（1）AD是△ ABC的高；（ 2）AD是△ ABC的 BC边上的中分线；（2）AD是△ ABC中 BC边上线；（ 2）AD平分∠ BAC，交的高；（ 3）；BC于点 D；（3）AD⊥ BC于点 D；（ 4）点 D 是 BC边上的中点（ 3）∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；（4）推理语言因为 AD是△ ABC的中线，所以因为 AD是△ ABC的角平分因为 AD是△ ABC的高，所以；线，所以∠ 1=∠ 2= ∠ BAC；AD⊥ BC（或）用途举例（ 1）线段相等；角度相等（1）线段垂直；（ 2）面积相等（2）角度相等重要特征一个三角形有三条中线，它们相交于一个三角形有三条角平分一个三角形有三条高，它们所三角形内一点，这点称为三角形的重线，它们相交于三角形内一在直线相交于三角形内一点，心点，这点称为三角形的内心这点称为三角形的垂心共同点每个三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线，它们所在的直线都相交于一点，它们都是线段精讲精练1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画 BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D．2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3.给出以下判断：（ 1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有（）A．一个B．两个C．三个D．四个4. 如图，在△ ABC 中， AD⊥ BC于点 D， BE=ED=DC，∠ 1=∠ 2，则：①AD是△ ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ ABE的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5. 如图，在△ ABC中，BD是∠ ABC的角平分线，已知∠ ABC=80°，则∠ DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点 D 是△ ABC的边 BC上任意一点，点 E、 F 分别是线段AD、 CE的中点，且△ ABC 的面积为18cm2，则△ BEF 的面积 =cm2．8．如图， D、E 分别是△ ABC边 AB、BC上的点， AD=2BD，BE=CE，设△ ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2，若 S△ABC=6，则 S1﹣ S2的值为．9．如图， A、 B、C 分别是线段A1B， B1C， C1A 的中点，若△ ABC 的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图， G是△ ABC的重心， AG⊥ GC， AC=4，则 BG的长为．11．如图，点 G是△ ABC的重心，且△ ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点 B 在直线上 b 上，且 AB⊥ BC，∠ 1=55°，求∠ 2 的度数．13．如图，在△ ABC 中，已知点D，E， F 分别为 BC，AD， CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少14．已知：点A、 B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知： AD是△ ABC的角平分线， CE是△ ABC的高，∠ BAC=60°，∠ BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠ MON=40°，OE平分∠ MON，点 A、B、 C分别是射线OM、 OE、 ON上的动点（ A、B、 C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ ON，则①∠ ABO的度数是；②当∠BAD=∠ ABD时， x= ；当∠ BAD=∠ BDA时， x= ．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ ABC 中， CF⊥AB于 F，BE⊥ AC于 E， M为 BC的中点．（1）若 EF=4， BC=10，求△ EFM的周长；（2）若∠ ABC=50°，∠ ACB=60°，求∠ FME的度数．18．如图，△ ACB 中，∠ ACB=90°，∠ 1=∠ B．（1）试说明 CD是△ ABC的高；（2）如果 AC=8， BC=6， AB=10，求 CD的长．。

三角形的重要线段知识整理三角形的世界其实比你想象的要有趣得多，尤其是那些藏在它内部的“重要线段”。

你可能觉得，哎呀，这些东西就是简单的线条嘛，有啥了不起？别看它们看上去普通，个个都有着非凡的使命哦！我们就一起来“揭秘”一下这些神秘的三角形线段，搞清楚它们到底有啥作用，真的是一学就会，一用就灵。

咱得聊聊最基础也是最重要的——三角形的“高”。

要是你想要量三角形的“身高”，这条线段可就要派上用场了。

三角形的高，从顶点垂直下降到对边，就是它的“身高”。

别看它垂直下来的这么简简单单，实际上一旦找对了这个点，你就能很轻松地算出三角形的面积。

是不是很酷？就像你量身高一样，一测就知道。

高的作用，可不止这个哦！它还是一些几何问题中的关键，很多时候，它就像是你在解谜时的“万能钥匙”。

要是没有它，很多难题可能就不好解决了。

然后说到“中线”，很多人可能一听这名字就有点迷糊，“中线？是指中午的线？”嘿嘿，别逗了！中线是从三角形的一个顶点，直接连到对边的中点。

如果你把三角形的每条边的中点都连起来，你就会发现一个奇妙的现象——这些中线交汇的地方，居然能将三角形分成六个完全相等的区域！这简直就是三角形的“中心思想”，就像你找到了三角形的心脏一样。

说到这，你是不是有点佩服这个三角形了？它的每个部位都有着严密的联系，简直就像一台精密的机器。

再来说说“角平分线”。

一提到角平分线，大家脑袋里肯定就会冒出一个问题：“这不是说把一个角一分为二吗？”对！你没听错，角平分线就是把一个角“分成两半”的那条线。

它不仅仅是分割角度那么简单，更厉害的是，它会把三角形的边分成一种特定的比例。

换句话说，角平分线就像是一个“神奇的分割大师”，它帮助你精确地把边分割成合适的比例，这可不是随便谁都能做到的哦。

你想象一下，角平分线就像是在三角形里找到了最佳的平衡点，它是一个“调和大师”，让整个三角形变得更加和谐。

再看看“重心”这个家伙，它可不是我们平常意义上的“重心”哦。

三角形的中线、高线、角平分线【考点精讲】三角形的重要线段定义图形表示法说明三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的高线。

2. AD⊥BC于D。

3.∠ADB=∠ADC=90°。

三角形有三条高，且它们（或它们的延长线）相交于一点，这个交点叫做三角形的垂心。

三角形的中线三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段。

1. AD是△ABC的BC边上的中线。

2. BD=DC=12BC。

三角形有三条中线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

三角形的重心在三角形的内部。

三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这1. AD是△AB C的∠BAC的平分线。

2.∠1=∠2=12∠BA C三角形有三条角平分线，都在三角形的内部，且它们相交于一点，这个交点叫做三角形个角的顶点与交点之间的线段。

的内心。

三角形的内心在三角形的内部。

【典例精析】例题1 如图，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE ，其中画对的是_______。

甲 乙 丙 丁思路导航：根据三角形的高是过一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的线段是该三角形的高，对各图形作出判断。

答案：丁点评：这是学生在画图时的一个易错点，通过本题理解画高时的两个注意点：一是过哪个点；二是垂直于哪条边。

这道题是过B 点，垂直于AC 边。

例题 2 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是______。

思路导航：根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论。

答案：设等腰三角形的腰长是x cm ，底边是y cm 。

根据题意，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+212122x y x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+122212x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==178y x 或⎩⎨⎧==514y x根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去。

第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。

文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。

最后，文章提供了基础演练题目。

1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。

2.三角形的分类：按边分类。

3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。

4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。

2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。

3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。

2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。

3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。

6.三角形具有稳定性。

7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。

2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。

8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。

9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。

基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。

求估计池塘岸边A、B两点的距离。

已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。

3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。

4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。

第四章三角形单元复习班级：姓名：学号：家长签字：【知识回顾】一、三角形的定义：不在上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形。

二、三角形的重要线段：1、三角形的角平分线：2、三角形的中线：3、三角形的高线：【例1】.对下面每个三角形，过顶点A画出中线，角平分线和高.A AAB C(1)C B(2)B C(3)练习：1、已知，如图在△ABC 中，∠B＞∠C，AD 是B C 边上的高，AE 平分∠BAC．(1)若∠B＝40°，∠C＝30°，则∠DAE＝；(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE＝；(3)由(1)、(2)猜想出∠DAE与∠B、∠C之间的关系为．2、如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥BC，CF⊥AB，BG⊥AC，垂足分别为D，C，F，G．(1) 是△ABC 中B C 边上的高，是△ABC 中A B 边上的高，是△ABC中A C 边上的高；(2)CF 是△ABC 的高，也是，，，，的高．3、如图, 在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边B C,AD,CE 的中点, 且S△ABC=4cm2,则S阴影的面积= .【例2】如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在D B、DC、BC 的延长线上，BE、CE 分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF 分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= .（例题2）三、三角形的有关性质1、三边关系：三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；确定第三边（未知边）的取值范围时用字母可表示为。

2、角的性质（1）三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角。

（2）三角形按内角的大小可分为、、。

注：判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。

3、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

第5讲：三角形的三条重要的线段三角形三条重要的线段：(1)三角形的高：从三角的一个顶点向它的对边所在的直线作_______,顶点和_______之间的线段叫做三角形的高.（1）符号语言：___________________________练习：如图，在△ABC中，BC边上的高是________；在△AFC中，CF边上的高是________；在△ABE中，AB边上的高是_______三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．(2)三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的___叫做三角形的___的角平分线如图：BD是ABC则有如下性质：________=___________思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别?三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．(3)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边_____________的线段，叫做这个三角形的中线1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；2.AD 是边BC 上的中线，那么ABD ∆与ADC ∆的面积相等吗？如何证明？PS :三角形中线分三角形面积相等的两个三角形例：在△ABC 中，D ，E 分别为BC 上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部．【例1】如图，在ABC △中，AM 是中线，AD 是高线．（1）若AB 比AC 长5cm ，则ABM △的周长比ACM △的周长多cm ．（2）若AMC △的面积为102cm ，则ABC △的面积为 2cm ．（3）若AD 又是AMC △的角平分线，130AMB ∠=︒，求ACB ∠的度数．练习1：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，则∠ =∠ =12∠ ；E 在AC 上，且AE=CE,则BE 是△ABC 的 ；CF 是△ABC 的高，则∠ =∠ =900，CF AB. 2、如图,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABC 的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,M D CB A则∠CAE= 3、如图，AB ⊥BD 于B, DC ⊥AC 于C,AC 与BD 交于点E,则△ADE 的边DE 上的高为 ，AE 上的高为4、如上图，BD=DE=EF=FC ，那么，AE 是_____的中线。

三角形知识点与对应习题一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．六、多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°与三角形有关的线段一、选择题：1.如图,在△ABF中，∠B的对边是（）A.ADB.AEC.AFD.AC2.关于三角形的边的叙述正确的是（）A.三边互不相等B.至少有两边相等C.任意两边之和一定大于第三边D.最多有两边相等3.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A.3cm, 4cm, 8cmB.8cm, 7cm, 15cmC.13cm, 12cm, 20cmD.5cm, 5cm, 11cm4.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( )A.13B.17C.13或17D.不能确定5.在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（5，0），C（0，4）所组成的三角形ABC的面积是（）A.32B.4C.16D.86.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A.3B.5C.7D.97.下列说法错误的是( ).A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点8.给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角③三角形的角平分线是射线④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。