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2.3.2 事件的独立性 学案(苏教版高中数学选修2-3)

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第 1 页 共 10 页 2.3.2 事件的独立性 学案（苏教版高中数学选修2-3）

23.2事件的独立性事件的独立性学习目标

1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一事件的独立性甲箱里装有3个白球.2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，事件B“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗答案不影响思考2PA，PB，PAB的值为多少答案PA35，PB12，PAB32543

10.思考3PAB与PA，PB有什么关系答案PABPAPB梳理事件独立的定义一般地，若事件A，B满足PA|BPA，则称事件A，B独立知识点二

事件独立的性质思考1若A，B独立，PAB与PAPB相等吗答案相等因为PABPA|BPBPAPB思考2若A，B独立，那么A与B，A与B，A与B相互独立吗答案独立梳理事件独立的性质及PAB的计算公式性质1若A，B独立，且PA0，则B，A也独立，即A与B相互独立2约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是PABPAPB概率计算公式1若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A第 2 页 共 10 页 发生的概率与事件B发生的概率之积，即PABPAPB2推广若事件A1，A2，，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率PA1A2AnPA1PA2PAn结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立2必然事件与任何一个事件相互独立3如果事件A与事件B相互独立，则PB|APB4“PABPAPB”是“事件A，B相互独立”的充要条件类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件1甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲.乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；3掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解1“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件2“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为5

7.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件3记A出现偶数点，B出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以PA3612，PB2613，PAB16，所第 3 页 共 10 页 以PABPAPB，所以事件A与B相互独立反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性1定义法直接判定两个事件发生是否相互影响2公式法检验PABPAPB是否成立3条件概率法当PA0时，可用PB|APB判断跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性1家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解有两个小孩的家庭，男孩.女孩的可能情形为男，男，男，女，女，男，女，女，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1

4.这时A男，女，女，男，B男，男，男，女，女，男，AB男，女，女，男，于是PA12，PB34，PAB1

2.由此可知PABPAPB，所以事件A，B不相互独立2有三个小孩的家庭，小孩为男孩.女孩的所有可能情形为男，男，男，男，男，女，男，女，男，男，女，女，女，男，男，女，男，女，女，女，男，女，女，女由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件于是PA6834，PB4812，PAB38，显然有PAB38PAPB成立，从而事件A与B是相互独立的类型二

求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求1这三第 4 页 共 10 页 列火车恰好有两列正点到达的概率；2这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则PA0.8，PB0.7，PC0.9，所以PA0.2，PB0.3，PC0.1.1由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.

20.

70.

90.

80.

30.

90.

80.

70.10.3

98.2三列火车至少有一列正点到达的概率为P21PABC1PAPBPC

10.

20.

30.

10.9

94.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解恰有一列火车正点到达的概率为P3PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0. 第 5 页 共 10 页 80.

30.

10.

20.

70.

10.

20.

30.90.0

92.2若一列火车正点到达计10分，用X表示三列火车的总得分，求PX20解事件“X20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以PX201PABC1PAPBPC

10.

80.

70.

90.4

96.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为PA，PB，那么1A，B中至少有一个发生为事件A

B.2A，B都发生为事件A

B.3A，B都不发生为事件AB.4A，B恰有一个发生为事件ABA 第 6 页 共 10 页 B.5A，B中至多有一个发生为事件ABABAB.跟踪训练2甲.乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率1两人都能破译的概率；2恰有一人能破译的概率；3至多有一人能破译的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”1两个人都破译出密码的概率为PABPAPB13141

12.2恰有一人破译出密码分为两类甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即ABAB，PABABPABPABPAPBPAPB13114113145

12.3至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1PAB111211

12.类型三

相互独立事件的综合应用例3在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手1至5号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手1求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；2X表示3号歌手得到观众甲.乙.丙的票数之和，求X的概率分布考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与概率分布解1设事件A表示“观众甲选中3号歌手”，事件B表示“观众乙选中3号歌手”，则PAC12C2323，PBC24C353 第 7 页 共 10 页 5.因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为PABPAPBPA1PB23254

15.或PABC12C34C23C354152设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则PCC24C3535，因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为PX0PABC132525475，PX1PABCPABCPABC2325251335251325352075415，PX2PABCPABCPABC2335252325351335351125，PX3PABC2335356

25.所以X的概率分布如下表X0123P4754151125625反思与感悟概率问题中的数学思想1正难则反灵活应用对立事件的概率关系PAPA1简化问题，是求解概率问题最常用的方法2化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类考虑加法公式，转化为互斥事件还是分几步组成考虑乘法公式，转化为相互独立事件3方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程组，通过解方程组使问题获解跟踪训练3甲.乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格1分别求甲.乙两人考试合格的概率；2求甲.乙两人至少有一人考试合格的概率解1设甲.乙两人考试合格的事件分别为A，B，则PAC26C14C36C310602012023，PBC28C12C38C310565612021

15.所以甲考试合格的概率为23，乙考试合格的概率为14 第 8 页 共 10 页 15.2方法一因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人考试均不合格的概率为PABPAPB123114151

45.则1PAB114544

45.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为44

45.方法二

因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为PPABPABPABPAPBPAPBPAPB2311513141523141544

45.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为44

45.1甲.乙两水文站同时做水文预报，若甲站.乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲.乙预报都准确的概率为________考点相互独立事件的定义题点独立事件与互斥事件的区别答案0.56解析PABPAPB0.

80.

70.

56.2打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_________________________________________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率答案1425解析设事件A为“甲站预报准确”，事件B为“乙站预报准确”，P甲81045，P乙710，所以PP甲P乙14

25.3甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________答案

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2019-2020学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.2 事件的独立性 Word版缺答案

2019-2020学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.2 事件的独立性 Word版缺答案

2．3.2 事件的独立性

[对应学生用书P33]

有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．

问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？

提示：不影响．

问题2：试求P(A)，P(B)．

提示：P(A)＝35，P(B)＝12.

问题3：P(A|B)与P(A)相等吗？

提示：相等．

问题4：P(AB)为何值？

提示：∵P(A|B)＝错误!＝P(A)，

∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×12＝310.

事件的独立性

概念

一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立

性质 (1)若A，B独立，且P(A)>0，则B，A也独立，即A与B相互独立

(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)

概率

计算

公式 (1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)

结论 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.

1．事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率．

2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．

[对应学生用书P33]

相互独立事件的概念

[例1] 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．

(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？

(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？

高中数学 2.3独立性 精品导学案 苏教版选修2-3

高中数学 2.3独立性 精品导学案 苏教版选修2-3

2.3 独立性

学习目标 重点、难点

1．能说出条件概率的概念；

2．能记住相互独立事件的概念及意义；

3．能用条件概率公式及相互独立事件的概率乘法公式解决简单的实际问题. 重点：条件概率，独立事件的概念．

难点：条件概率，独立事件的概率计算.

1．条件概率

一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．

一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝P(AB)P(B).

预习交流1

任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件A＝x 0

提示：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1412＝12＝0.5.

2．事件的独立性

一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．P(AB)＝P(A)P(B)．

预习交流2

若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)与P(AB)＝P(A|B)·P(B)矛盾吗？

提示：不矛盾，若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝P(A)．

在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！

我的学困点 我的学疑点

一、条件概率

盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．

(1)取两次，求两次都取得一等品的概率；

(2)取两次，求第二次取得一等品的概率；

(3)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的二等品的概率．

思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．

解：记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.

(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝35×24＝310.

(2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品．

苏教版数学高二- 选修2-3学案 2.3.2《事件的独立性》

苏教版数学高二- 选修2-3学案 2.3.2《事件的独立性》

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高中数学 2.3.2 事件的独立性 学案

学习目标

（1）理解两个事件相互独立的概念；

（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．

学习学重难点

理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．

学习过程

一．问题情境

1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．

在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？

2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．

二．学生活动

设B表示事件“第一次正面向上”， A表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知

12PA，12PB，14PAB，

所以12PABPABPB．

即PAPAB，这说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．

三．建构数学

1．两个事件的独立性

一般地，若事件A，B满足PABPA，则称事件A，B独立．

当A，B独立时，若0PA，因为PABPABPAPB，

所以 PABPAPB，反过来PABPBAPBPA，

即B，A也独立．这说明A与B独立是相互的，此时事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即

PABPAPB．（*） 打印版本

高中数学 若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A，B相互独立的充要条件是PABPAPB．今后我们将遵循此约定．

事实上，若B，则()0PB，同时就有()0PAB，此时不论A是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与独立．同理任何事件也与必然事件独立.

2． 个事件的独立性可以推广到(2)nn个事件的独立性，且若事件12,,,nAAA相互独立，则这n个事件同时发生的概率1212nnPAAAPAPAPA．

3． 立与互斥

回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.

2018版高中数学第二章概率2.3.2事件的独立性学案苏教版选修2-3

2018版高中数学第二章概率2.3.2事件的独立性学案苏教版选修2-3

232 事件的独立性

【学习目标】1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念 .2.能利用独立事件同时发生的概 率公式解决一些简单的实际问题.

IT问题导学 -----------------------------

知识点一事件的独立性

甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有 2个白球，2个黑球•从这两个箱子里分别摸出 1个球，记事件 A=“从甲箱里摸出白球”，事件 B= “从乙箱里摸出白球”.

思考1事件A发生会影响事件 B发生的概率吗？

思考2 P(A) , P(B), P(AB的值为多少?

思考3 P(AB与P(A) , RB)有什么关系?

梳理事件独立的定义

一般地，若事件 A, B满足 __________________ ，则称事件 A, B独立.

知识点二事件独立的性质

思考1 若A, B独立，RAB与P^A)P(B)相等吗？

思考2 若A, B独立，那么 A与B , A与B, A与B相互独立吗?

梳理事件独立的性质及 RAB的计算公式

性质 (1)若A, B独立，且P(A) > 0,则B, A也独立，即 A与

B .

-2 -

(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独 立，则两个事件代B相互独立的充要条件是

概率计算公式 (1) 若事件A 与 B相互独立，则 A 与 B同时发生的概率等于事

件A发生的概率与事件 B发生的概率之积，即 RAB —

HARB).

(2) 推广：若事件 A, A，…，A相互独立，则这n个事件冋时 发生的概率RAA…A)—

结论 如果事件A与B相互独立，那么 与 ，与

, 与 也都相互独立

题型探究

类型一 事件独立性的判断

例1分别抛掷两枚质地均匀的硬币， 设事件A是“第一枚为正面”， 事件B是“第二枚为正

面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有 _____________ .(填序号)

① A, B；② A, C；③ B, C