高一数学上学期期末考试试题(含答案)
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高一上学期期末考试
一、填空题
1．集合A {－1，0}, B {0,1}, C {1,2}，则( A B) C = .
2．函数f ( x) log 1 (2x 1) 的定义域为
2
3 ．过点（ 1 ， 0 ）且倾斜角是直线 x 3y 1 0 的倾斜角的两倍的直线方程
是 ．
4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 _______________
5．点P 1,1, 2 关于 xoy 平面的对称点的坐标是 .
6．已知直线 3x 4y 3 0 与直线 6x my 14 0 平行，则它们之间的距离是
_________
7．以点 C（－ 1，5）为圆心，且与 y 轴相切的圆的方程为 ．
8．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4) , 且AB 2 6 , 则实数 x 的值是
.
9．满足条件 {0，1}∪ A={0， 1}的所有集合 A的个数是 _____.
10．函数 y=x2＋x ( －1≤x≤3 ) 的值域是 _________．
11．若点 P(3，4)，Q(a，b)关于直线 x－ y－ 1＝ 0 对称，则 2a－ b 的值是 _________．
12 ．函 数y x 2 4mx 1在[2, ) 上 是 减 函 数 ， 则m的 取 值 X 围
是 . 上 最 大值 比最 小 值 大 a
13 ． 函数
f ( x) x
( a 且
a 1)在 [1,2] ， 则 a 的 值
a 0 2
.
为
14 ．已知函数 f(x)= mx 2 mx 1 的定义域是一切实数 , 则 m 的取值X围
是 .
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二．解答题
15、（1）解方程 :lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; （2）解不等式 : 21 2 x1 ;
4
．（本小题
12 分）二次函数 f x
) 满足 f
( x＋
1) －f x ＝ x 且 f
(0) ＝ ．
16 ( ( ) 2 1
⑴求 f ( x) 的解析式；
⑵当 x [ － 1， 1] 时，不等式： f ( x) 2x m 恒成立，XX数m的X围．
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17. 如图，三棱柱 ABC A1 B1 C1， A1A 底面 ABC ，且 ABC 为正三角形，
C1
A1 A AB 6，D为AC中点．
A1 B1
(1)求三棱锥C1BCD的体积；
(2)求证：平面BC1D平面ACC1A1；
(3)求证：直线AB1//平面BC1D． C
D
A B
18．已知圆C :( x 3)2 ( y 4)2 4 ，直线 l1 过定点 A (1，0)．
（1）若l1与圆 C 相切，求l1的方程；
（2）若l 的倾斜角为 ，l 与圆 C 相交于 ， 两点，求线段 PQ 的中点 M 的坐标；
1 4 1 P Q
（3）若l 与圆
C 相交于 ， 两点，求三角形 的面积的最大值，并求此时 l 的
1 P Q CPQ 1
直线方程．
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19.（本题 14 分）已知圆M：x2( y 2)2 1 ，定点A4, 2在直线x2y0 上，点P在
线段 OA 上，过 P 点作圆 M 的切线 PT ，切点为 T ．(1)若 MP5 ，求直线 PT 的方程；
(2) 经过 P, M ,T 三点的圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小值 L .
20．已知⊙ C1：x2 ( y 5)2 5 ，点A(1,－3)
（Ⅰ）求过点A 与⊙ C1相切的直线 l 的方程；
（Ⅱ）设⊙ C2为⊙ C1关于直线 l 对称的圆，则在 x 轴上是否存在点 P，使得 P
到两圆的切线长之比为2 ？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试
说明理由．
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参考答案
一、填空题
1 ．
7．
3,9 2．(1, )
( x 1)2 ( y 1)2 2
3 ． 1 4 ． 65 ．2x3y 7 06 ．450
8．异面 9． 8 10．相交 11．12 12．4 13．(A) (2)(4) (B)
3
①③
14．(A) 15 (B) (1,2 3 )
4
二、解答题：
15．设y1a 3x 5 , y2 a 2 x，（其中a 0且a 1 ）。
（1）当y1 y2 时，求 x 的值； （2）当y1 y2时，求x的取值X围。
答案：（1） x 1 ；（2）当0 a 1， , 1 ； a 1时， 1,
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16.在正方体ABCD A1 B1C1D 1中。（1）求证： BD 平面 AAC1 1C ；（2）求
二面角 C1 BD C 大小的正切值。 D 1 C 1
答案： A1 B 1
（1）BD AC,BD AA1，
证到 BD 平面 AAC1 1C D C
（2）C1OC是二面角的平面角
A B
在 Rt C1OC 中， tan
C1OC 2
已知圆 ： x 1 2 9 内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆
17. y2
C
C 于 A、B 两点。
（1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的倾斜角为 45o 时，求弦 AB 的长。
解：（1）2 x y 2 0；（2）直线 L 方程为x y 0 ，圆心到直线L的距离为
d 2
2
可以计算得： AB34
18.如图，已知△ ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面 ABC，且 EA=AB=2a，
DC=a， F 是 BE的中点。
求证： (1)FD∥平面 ABC；(2) 平面 EAB⊥平面 EDB。
证明：（1）取AB中点 G，连 CG，FG E
四边形 DFGC 是平行四边形，得到 DF // CG D
DF 平面 ABC ， CG 平面 ABC F
所以 FD∥平面 ABC；
A
C
B
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（2）可以证明CG 平面 EAB ，
又 DF // CG ，所以DF 平面 EAB
DF 平面 EBD ，所以，平面EAB⊥平面EDB
另：可以用 AF 平面 EBD ，证明：平面EAB⊥平面EDB
19. （ ）已知圆 M ： x 2 ( y 2)2 1，定点A4,2在直线x 2 y 0上，点P
A
在线段 OA 上，过 P 点作圆 M 的切线 PT ，切点为 T ．(1)若 MP 5 ，求直
线 PT 的方程；(2)经过 P, M ,T 三点的圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小值
L 。
答案：（1）先由MP 5 求得：P(2,1)
直线 x 2 与圆不相切，设直线PT： y 1 k (x 2) ，即： kx y 1 2k 0
圆心 M (0, 2) 到直线距离为 4
1，得：k 0,或k
3
直线方程为： y 1或 4x 3y 11 0
（2）设P(2t ,t ) (0 t 2) ，经过P, M ,T三点的圆的圆心为PM的中点
D t,11t
2
1 2
5
所以， OD 2 t 2 1 t t 2 t 1， (0 t 2)
2 4
t 0 时，得 OD 的最小值 L 1
（B）已知圆M：x2 ( y 2)2 1 ，设点 B,C 是直线 l ： x 2 y 0 上的两点，它
们的横坐标分别是 t ,t 4(t R) ，点 P 在线段 BC 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA ，
切点为 A ．(1)若 t 0 ， MP 5 ，求直线 PA 的方程；(2)经过 A, P,M 三点的
圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小值 L (t) ．
答案：（1）先由MP 5 求得：P(2,1)
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直线 x 2 与圆不相切，设直线PT： y 1 k (x 2) ，即： kx y 1 2k 0
圆心 M (0, 2) 到直线距离为1，得： k 0,或 k 4
3
直线方程为： y 1或 4x 3y 11 0
（2）设P( x,1x) (t x t 4) ，
2
经过 P,M ,T 三点的圆的圆心为PM的中点D1x,1 1 x
2 4
1 x2 2
5 x2 1 x 1 2 4， (t x t 4) 所以 OD2 1 1 x 5 x 4
4 4 16 2 16 5 5
5 t2 1 t 1 t 4
16 2 5
讨论得： L(t ) 2 5 24 t 4
5 5 5
5 t2 3t 8 t<- 24
16 5
20. (A) 定义在D上的函数f ( x)，如果满足；对任意x D，存在常数
M 0 ，都有 | f (x) | M 成立，则称 f (x) 是D上的有界函数，其中M称为
函数 f (x) 的上界。已知函数 f ( x) 1 a 2x 4x， g(x) 1 2x。
1 2x
（ 1）当a 1时，求函数f ( x)在(0, ) 上的值域，并判断函数 f (x) 在
(0, ) 上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数g( x)在[0,1]上的上界 T 的取值X围；
（3）若函数f ( x)在( ,0] 上是以 3 为上界的函数，XX数a的取值X
围。
解：（1）当a 1时，f (x) 1 2x 4x，设 t 2x，x (0, ) ，所以： t 1,
y t2 t 1，值域为 3, ，不存在正数 M，使x (0, ) 时，| f ( x) | M 成
立，即函数在 x (0,) 上不是有界函数。
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