高一数学上册期末试题(含答案)

高一数学上册期末试题（含答案）

一、选择题

1. 已知全集 U={0,1,2,3,4} ，集合A={1,2,3}, B={2,4}，则(∁UB)∩A=( )

A.{0,1,2,3} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D.{0,2,4}

2. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )

A.y=x3 B.y=x2 C.y=x D.y=√x

3. 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−√3,1)，则sin(π−α)=( )

A.−12 B.12 C.−√32 D.√32

4. 已知函数f(x)=log2(x2−x)，则f(x2)的定义域为( )

A.(−∞,−1)∪(1,+∞) B.(−∞,0)∪(1,+∞) C.(−1,1) D.(0,1)

5. 已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c<0”是“b2−4ac<0”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（ ）

A.a2+b2=1 B.ab=1 C.a2+b=12 D.a2−b2=12

7. 某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有( )

A.10个 B.15个 C.20个 D.25个

8. 已知函数f(x)=ln(√sin2x+1+sinx)(x∈R)，则存在非零实数x0，使得( )

A.f(x0)=−1 B.f(x0)−f(−x0)=2

C.f(f(x0))=ln(√2+1) D.f(π+x0)−f(x0)=32 二、多选题

9.已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是( )

A.cosθ>0 B.cos(π−θ)>0 C.cos(π+θ)>0 D.cos(π2+θ)>0

10.已知函数f(x)=|sinx|，则下列说法正确的是( )

A.f(x)的图像关于直线x=π2对称 B.(π,0)是f(x)图像的一个对称中心

C.f(x)的周期为π D.f(x)在区间[−π2,0]单调递减

11.已知函数y=f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(x−1)，则下列说法正确的是( )

A.函数y=f(x)有2个零点 B.当x<0时， f(x)=−x(x+1)

C.不等式f(x)<0的解集是(0,1) D.∀x1，x2∈[−1,1]，都有|f(x1)−f(x2)|≤12

12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )

A.M={x|x<0}，N={x|x>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

三、填空题

13.已知sinα=−35，α是第四象限角，则tan(α−π4)=________.

14.当x>0时，函数f(x)=xx2+1的最大值为________.

15.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.

16. 某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位： m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=alog2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s，则a=________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s，其耗氧量至少要________个单位．

四、解答题

17.已知函数f(x)=x2−ax+4−a2的定义域是[−2,3].

(1)当a=2时，求函数f(x)的值域；

(2)设p:a∈M，q:∀x∈[−2,2]，都有f(x)≤0，若p是q的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M并说明理由．

18.已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=loga(3−ax)(a>0且a≠1）.

(1)求当x<0时的f(x)的解析式；

(2)在①f(x)在(1,4)上单调递增；①在区间(−1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)=(12)a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

19.已知函数f(x)=(sinx4+cosx4)2−2√3cos2x4+√3−1.

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的单调递减区间；

(2)将f(x)的图象先向左平移π6个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数g(x)，若g(x0)=√24，x0∈(π,5π4)，求sinx0的值．

20.已知函数f(x)=3x−a3x+1+3是奇函数．

(1)求a的值，判断f(x)的单调性并用定义证明之；

(2)解不等式：log2|f(x)|+2≤0

21.游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光．据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟．以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)试将游客甲离地面的距离ℎ(t)（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数；

(2)若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大．

22.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](n>m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；

(3)已知函数ℎ(x)=(x−a)2(a≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”.若存在实数x∈[43,4] ，使得对任意的t∈R ,不等式ℎ(x)≥−t2+(s−t)x+4恒成立，求实数s的最大值.

参考答案:

一、

1-8 BDBA ADCD

二、

9.B,C

10.A,C,D

11.B,C,D

12.B,D

三、

13.−7

14.12

15.y=sin(12x−π6)

16.6,10240

S有最大值为12−√34．

四、

17.解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，

又函数的定义域是[−2,3]，

则其值域是[−1,8]．

(2)据题意使“∀x∈[−2,2]，都有f(x)≤0”为真命题的充要条件是fmax(x)≤0，

即要{f(−2)=−a2+2a+8≤0,f(2)=−a2−2a+8≤0,

其解集是{a|a≤−4或a≥4}，

故使p是q的充分不必要条件的集合M可以是[4,+∞).

18.解：(1)当 x<0时，−x>0，

又f(x)是偶函数，

则f(x)=f(−x)=loga(3+ax)

即f(x)=loga(3+ax),x<0．

(2)选条件①：由于f(x)在(1,4)上单调递增，

显然a>1不合题意， 则{0

此时g(a)=(12)a的取值范围是[√242,1)，

选条件①：若0

当a>1时，f(0)=loga3>0，而f(x)与y=x2都是偶函数，

则只需考虑x∈[0,1)即可，此时f(x)是单调递减的，而y=x2是单调递增的，

则{a>1,f(1)≥1,

即{a>1,loga(3−a)≥1,

解得a∈(1,32]，

此时g(a)=(12)a的取值范围是[√24,12)．

19.解：(1)f(x)=(sinx4+cosx4)2−2√3cos2x4+√3−1

=1+2sinx4cosx4−√3(1+cosx2)+√3−1

=sinx2−√3cosx2

=2sin(x2−π3)．

则f(x)的最小正周期为T=4π，

由π2+2kπ≤x2−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，

解得5π3+4kπ≤x≤11π3+4kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间是[5π3+4kπ,11π3+4kπ]，k∈Z.

(2)将f(x)的图象先向左平移π6个单位长度，

得到函数y=2sin(x+π62−π3)=2sin(x2−π4)，

再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数g(x)=2sin(x−π4)，

据题意有sin(x0−π4)=√28，且x0−π4∈(3π4,π)，

则cos(x0−π4)=−√628，

则sinx0=sin[(x0−π4)+π4]