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第3课时 坡度问题1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题．重点解决有关坡度的实际问题． 难点解决有关坡角的实际问题．一、情境引入教师展示图片，引出问题． 读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、探究新知教师利用课件展示例1，例2，结合前面所学知识，可由学生自主完成，小组讨论，教师适当给予分析，最后作出点评．例1 如图，一段路基的横截面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F. 知DE ＝CF ＝4.2，EF ＝CD ＝12.51， 在Rt △ADE 中， ∵DE AE ＝4.2AE ＝tan 32°， ∴AE ＝4.2tan 32°≈6.72.在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝4.2tan 28°≈7.90.∴AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6.72＋12.51＋7.90 ≈27.1(米)答：路基下底的宽约为27.1米．例2 学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3(即CD 与BC 的长度之比)．A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则易求得AC ＝6，BC ＝6 3.在Rt △BDC 中，i ＝DC BC ＝13，易得DC ＝13BC ＝23，∴AD ＝AC －DC ＝(6－23)米． 三、练习巩固教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，其中第1，2，3，4题由学生抢答，第5题教师点名上台展示，再给予点评．1．已知一坡面的坡度i ＝1∶3，则坡角α为( ) A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°2．彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米，则他离地面的高度为( ) A ．25 3 米 B ．50米 C ．25米 D ．50 3 米3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，则此处大坝的坡角和高分别是________米．4．如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________．5．如图，已知在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m 到点D 处，测得点A 的仰角为60°，求AB 的高度．四、小结与作业 小结1．本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题． 2．本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想． 布置作业从教材相应练习和“习题24.4”中选取．本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识．实际问题与二次函数知识点一 二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0) 的最小(大)值 一般抛物线(a ≠0) 的顶点是最低(高)点，顶点【注意】对称轴自变量x 的取值范围内，顶点处能够取到二次函数极值。
24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角知识点 1 坡度与坡角1．以下对坡度的描述正确的是( ) A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比2．若斜坡AB 的坡角为56°19′，坡度i ≈3∶2，则( ) A ．sin56°19′≈1.5 B ．cos56°19′≈1.5 C ．tan56°19′≈1.5 D ．tan56°19′≈233．如果坡角的余弦值为31010，那么坡度为( )A ．1∶10B ．3∶10C ．1∶3D ．3∶1 4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m 处的点D 离地面的高度DE ＝0.6 m ，又量得竿底与坝脚的距离AB ＝3 m ，则石坝的坡度为( )A. 34 B ．3 C. 35D ．4图24－4－245．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．图24－4－255．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为________．6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD ＝4 m ，渠底宽BC ＝2 m ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，渠深1 m ，求渠壁的坡度和坡角α .图24－4－26知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度) 7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是( )A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米图24－4－278．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( )A ．4 3米B ．6 5米C ．12 5米D ．24米图24－4－289．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )A ．6 mB ．3 5 mC ．3 mD ．12 m图24－4－2910．［2017·泰州］小明沿着坡度i 为1∶3的直路向上走了50 m ，则小明沿垂直方向升高了______m.11．某地下车库的入口处有一斜坡AB ，其坡度i ＝5∶12，且AB ＝26 m ，则车库的深度为___________________m.12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s (米)与时间t (秒)之间的关系式为s ＝10t ＋2t 2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．图24－4－3013．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯角为20°，则该建筑物AB 的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米图24－4－3114．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m 到达B 点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m 到达山顶C 点，则此山高为__________m.图24－4－3215．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处60 3米的点D (点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度.(Ｋ参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值 )Ｋ图24－4－3316．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)图24－4－3417．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C 处测得一座建筑物顶点A 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得该建筑物顶点A 的仰角为45°.已知BC ＝90米，且B ，C ，D 在同一条直线上，坡面坡度为12(即tan ∠PCD ＝12)．(1)求该建筑物的高度(即AB 的长)；(2)求此人所在位置点P 的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．图24－4－35教师详答1．B 2.C 3.C 4.B 5.30°6．解：分别过点A ，D 作AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F . ∵AD ∥BC ，∴四边形AEFD 为矩形， ∴EF ＝AD ，AE ＝DF . 又∵AB ＝DC ，∴Rt △ABE ≌Rt △DCF ， ∴BE ＝CF .∵AD ＝4 m ，BC ＝2 m ， ∴BE ＝CF ＝1 m ，∴渠壁的坡度i ＝1∶1， 即tan α＝1， ∴α＝45°.答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°.7．A [解析] 如图，假设AC ＝13米，作CB ⊥AB 于点B ， ∵cos α＝1213＝ABAC ，∴AB ＝12(米)，∴BC ＝AC 2－AB 2＝132－122＝5(米)， ∴小车上升的高度是5米． 故选A.8．B [解析] 在Rt △ABC 中，∵BC AC ＝i ＝12，AC ＝12米，∴BC ＝6米．根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝6 5米．故选B. 9．B10．25 [解析] 如图，过点B 作BE ⊥AC 于点E ， ∵坡度i ＝1∶3， ∴tan A ＝1∶3＝33， ∴∠A ＝30°. ∵AB ＝50 m ， ∴BE ＝12AB ＝25 m ，∴小明沿垂直方向升高了25 m. 故答案为25.11．1012．解：如图，由题意知t ＝4时，s ＝72，i ＝1∶ 3.设BC ＝x ，则AC ＝3x ， 由勾股定理得AB ＝2x ＝72， ∴x ＝36， ∴BC ＝36，∴此人下降的高度为36米．13．A [解析] 作DE ⊥BC 于点E ，作AF ⊥DE 于点F ，如图． 设DE ＝x 米，则CE ＝2.4x 米，由勾股定理，得 x 2＋(2.4x )2＝1952， 解得x ＝75，∴DE ＝75米，CE ＝2.4x ＝180米， EB ＝BC －CE ＝306－180＝126(米)． ∵AF ∥DG ，∴∠1＝∠ADG ＝20°，∴tan ∠1＝tan ∠ADG ≈0.364.∵AF ＝EB ＝126米，tan ∠1＝DF AF≈0.364， ∴DF ≈0.364AF ＝0.364×126≈45.86(米)， ∴AB ＝FE ＝DE －DF ≈75－45.86≈29.1(米)． 故选A.14． (50 2＋100 3)15．解：过点B 作BE ⊥CD 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，则四边形CEBF 是矩形． ∵斜面DB 的坡度i ＝1∶3，∴∠BDE ＝30°. 在Rt △BED 中，BD ＝30，∴BE ＝BD ·sin30°＝15，ED ＝BD ·cos30°＝15 3， ∴BF ＝CE ＝CD －ED ＝45 3. 在Rt △AFB 中，∠ABF ＝53°，∴AF ＝BF ·tan ∠ABF ≈45 3×43＝60 3，∴AC ＝AF ＋FC ＝AF ＋BE ≈60 3＋15. 答：楼房AC 的高度约为(60 3＋15)米． 16．[解析] 假设点D 水平移动到点D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，根据锐角三角函数的定义求出DE ，CE ，CE ′的长，进而可得出结论．解：假设点D 水平移动到D ′的位置时，恰好有∠D ′CE ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝6 3(米)，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴D′E′＝DE＝6 3米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈6 30.81≈12.8(米)，∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)，∴DD′＝EE′≈7米．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°，∴AB＝BC·tan60°＝90 3.答：该建筑物的高度为90 3米．(2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE.设PE＝x，则BF＝PE＝x.在Rt△PCE中， tan∠PCD＝PECE＝12，∴CE＝2x.∵AF＝AB－BF＝90 3－x，PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，且在Rt△APF中，∠APF＝45°，∴AF＝PF，即90 3－x＝90＋2x.解得x＝30 3－30.答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 3－30)米．。
