初中数学解直角三角形综合讲义

解直角三角形初三下册第一章： 知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。

（1） 三边关系：222c b a （2） 锐角关系：∠A+∠B=90°； ( 3 ) 边角关系：正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记sinA ,即sinA =c a余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记cosA ,即cosA=c b；正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记tanA ，即tanA=ba；特殊锐角的三角函数值① 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22 A A ; 商数关系：tanA=AAcos sin ②互余两角的三角函数关系：sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A )2.实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。

俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。

典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A、B、C、D、2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6B、7C、8D、93、已知a为锐角，且sin（a-10°）=，则a等于（）A、50°B、60°C、70°D、80°4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A、B、C、D、5、如图，如果∠A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、B、C、D、16、△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定7、计算：sin213°+cos213°+sin60°-tan30°．8、求下列各式的值：（1）a、b、c是△ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值．题型二：解直角三角形1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、C、2D、42、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cmB、cmC、2cmD、cm3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、cmB、cmC、cmD、8cm4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、B、C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、6、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、B、C、D、7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A、5B、5C、5D、108、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2 C、D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A、1B、C、D、10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A、16B、18C、6D、711、如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC 于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50mB、4.40mC、4.00mD、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）m．A、5B、10C、15D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A 处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米B、45米C、30米D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A、B、C、D、2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A、68米B、70米C、121米D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60°；B、由楼顶望塔基俯角为60°；C、由楼顶望塔顶仰角为30°；D、由楼顶望塔基俯角为30°6、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45°向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30°向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米B、26.0米C、27.9米D、32.8米7、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．8、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里B、14海里C、7海里D、14海里2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A、北偏东20°方向上B、北偏西20°方向上C、北偏西30°方向上D、北偏西40°方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A、100米B、米C、米D、米4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）．6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）．7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C 处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）8、（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．练习作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°2、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．那么c等于（）A、acos A+bsin BB、asin A+bsin BC、D、3、如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、B、C、D、4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）A、15°B、20°C、30°D、45°5、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（）A、B、C、D、6、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、500cot55°米7、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A、3 B、C、D、8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．9、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．（结果保留根号）10、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）．11、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．。

b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1

4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)

解直角三角形知识点讲解及例题解析 一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式 面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件 在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 二、例题解析： 例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积， 解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。

《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。

在直角三角形中，90 度角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

二、解直角三角形的定义解直角三角形就是已知直角三角形中的除直角外的两个元素（至少有一个是边），求出其余的未知元素。

三、解直角三角形的依据1、三边关系（勾股定理）：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。

2、锐角关系：直角三角形的两个锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°。

3、边角关系：正弦（sin）：对边与斜边的比，即 sinA ＝ a/c，sinB ＝ b/c。

余弦（cos）：邻边与斜边的比，即 cosA ＝ b/c，cosB ＝ a/c。

正切（tan）：对边与邻边的比，即 tanA ＝ a/b，tanB ＝ b/a。

四、解直角三角形的基本类型1、已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及两个锐角。

先利用勾股定理求出斜边 c ＝√（a²＋ b²)，然后根据三角函数求出锐角。

例如：已知直角三角形的两条直角边分别为3 和4，求斜边和锐角。

斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5sinA ＝ 3/5，则∠A ≈ 3687°sinB ＝ 4/5，则∠B ≈ 5313°2、已知一条直角边 a 和斜边 c，求另一条直角边 b 及两个锐角。

利用勾股定理求出 b ＝√（c² a²)，再通过三角函数求出锐角。

比如：直角边为 6，斜边为 10，求另一直角边和锐角。

b ＝√（10² 6²) ＝ 8sinA ＝ 6/10 ＝ 06，∠A ≈ 3687°sinB ＝ 8/10 ＝ 08，∠B ≈ 5313°3、已知一条直角边 a 和一个锐角 A，求其他元素。

余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。

《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

图
形
概
念
定
义
一般指以观测者的位置为中心，将正北
或正南方向作为起始方向旋转到目标方
向线所成的角（一般指锐角），通常表
方向角
示成北（南）偏东（西）多少度，方向
角的角度在0°～90°之间.点A，B，C关于
点O的方向角分别是北偏东30°，南偏东
60°，北偏西45°（也称西北方向）
图
形
考点一
锐角三角函数的定义
典例1 （2023·芜湖镜湖一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
2，AB＝3，则cosB的值为（ D ）
A.
C.
5
2
3
2
B.
5
3
D.
2
3
典例1图
典例2 （2023·蚌埠蚌山模拟）如图，在由边长为1的小正方形组成的网
格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的☉A与BC交于点F，则
DF⊥CE于点F，则∠AEF＝∠DFC＝∠DFE＝90°.
又∵ ∠DAB＝90°，∴ 四边形AEFD是矩形.
∴ ∠ADF＝90°，AE＝DF.∵ ∠ADC＝120°，∴
∠CDF＝∠ADC－∠ADF＝30°.在Rt△CDF中，

cos30°＝ ，CD＝100，∴ DF＝CD·cos30°＝


＝50
tan53.3°≈1.34，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50）.
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，过
点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F.易得四边形CDEF
是矩形，∴ EF＝CD＝10cm，DE＝CF.在Rt△ADE中，

学习目标
1.了解并掌握解直角三角形的概念. 2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 3.学会解直角三角形.
课堂导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中 心点为 B，塔身中心线与垂直中心线 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 引垂线，垂足为点 C .在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，BC =5.2 m，AB =54.5 m.
解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，
b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位). A
c
b
35°
20
B
a
C
3.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 13，BC = 5， 试 求AB 的长.
随堂练习
D ∠A≠30° ,AC =2
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少 有一个是边. 2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明 已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
元素之间有如下关系：
B
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) =90°； c a
A bC
B ca A bC
新知探究 知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
已知两边解直角三角形的方法
1.已知斜边和一直角边：通常先根据勾股定理求出 另一条直角边，然后利用已知直角边与斜边的比得 到一个锐角的正弦(或余弦)值，求出这个锐角，再 利用直角三角形中的两锐角互余求出另一个锐角. 2.已知两直角边：通常先根据勾股定理求出斜边， 然后利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切 值，求出该锐角，再利用直角三角形中的两锐角互 余求出另一个锐角.

a

， tanA＝.
1
1
a •b c • h
2
2
Ａ
b
Ｃ
知识讲解
知识讲解
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个
直角三角形.(结果精确到0.001)
【思考】
(1)要解这个直角三角形,需要求出哪些元素?
(需要求∠B的大小及BC,AB的长.)
(2)∠A与∠B的大小关系是什么?
方便,最好遵循“先求角后求边”和“宁乘勿除”的原则.
4.选择关系式时要尽量利用原始数据,以防“累积误差”.
5.遇到不是直角三角形的图形时,要适当添加辅助线,将其转
化为直角三角形求解.
随堂训练
1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,欲求∠A的值,最适
宜的做法是
( A )
A.计算tan A的值求出
∵∠B=30°,
∴b=
1
c 4 堂训练
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,b=30,
解这个直角三角形 (精确到0.1) .
尽量选择原
始数据,避
免累积误差
随堂训练
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=
解这个直角三角形.
解：∵sinA=
a
2
1

,
c 2 2 2
你能求出这个三角形的其他元素吗?
不能
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道
两个元素, (其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
知识讲解
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个
元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做

第13课 解直角三角形=========⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=∠=∠=∠000000000000060tan ;45tan ;30tan 60cos ;45cos ;30cos 60sin ;45sin ;30sin :)900()900(tan ,cos ,sin 特殊三角函数值平方关系：正切：余弦：正弦：：取值范围越大，正切值正切：越大，余弦值余弦：越大，正弦值正弦：：增减性αααααA A A中考真题练习1.在Rt △ABC 中，∠C=900，若sinA=513,则cosA 的值为（ ） A.12B.13C.3D.132.式子2000)160(tan 45tan 30cos 2---的值是（ ） A.232-B.0C.32D.23.在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（ ） A.34B.43C.35D.455.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3,m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角的正切值是,则的值是( ) A. B. C. D. α43sin α455435536.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A.23B.32C.21313D.31313第6题图第7题图第8题图7.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l为( )A.hsinaB.htanaC.hcosaD.h·sina8.如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,若AC=a，BD=b，则□ABCD的面积是（）A.αsin21ab B.αsinab C.αcosab D.αcos21ab9.在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则BC=10.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC的长为米．第10题图第11题图第12题图11.如图，在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成750角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为300，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．12.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．第13题图第14题图14.如图，点E（0,4），O（0,0），C（5,0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=________．16.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度,如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为 米．第16题图 第17题图 第18题图17.如图,某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O 为圆心,AD 长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O 的切线BD （点D 为切点）上选择相距300米的B 、C 两点,分别测得∠ABD=300,∠ACD=600，则直径AD= 米.18.如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且BD 平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=1200，则四边形ABCD 的面积为 ．（结果保留根号）19.如图,是一张宽m 的矩形台球桌ABCD,一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC,然后反弹到边AB 上的P 点.如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .第19题图 第20题图20.如图,正方向ABCD 的边长为3cm,E 为CD 边上一点,∠DAE=30°，M 为AE 的中点,过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ=AE ，则AP 等于 cm ．21.已知α是锐角,且sin(α+150.的值.22.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1． （1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．310184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭23.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离.24.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB 的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．25.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为600．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为450，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米,AE=15米．（3:1=i 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比） （1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD 的高度．26.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．27.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？28.如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,．（1）求证:直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．29.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．23DB DCDP DO==30.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE 为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（1）如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启,则AC开启至A/C/的位置时,A/C/的长为m；（2）如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=540，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=730，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．32.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)第13课解直角三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A.1,2,3B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,32.在Rt△ACB中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.53.点M（-sin600，cosn600）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）4.如图,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为（12，5），则tanα等于（）A.513 B.1213C.512D.125第4题图第5题图第6题图5.如图,在△ABC中,∠C=900，AD是BC边上的中线,BD=4,52=AD,则tan∠CAD的值是（）A.2B.2C.3D.56.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC/B/，则tanB/的值为（） A. B. C. D.7.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为（）A.34米 B.56米 C.512米D.24米321232-12-32-1212-32-121314248.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4，BC=5,则tan∠AFE的值为（） A. B. C. D.9.△ABC中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC的长10.若a=3-tan600，则=11.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠B=370，BC=32,则AC= ．（sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75）第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_____13.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．14.如图,在△ABC中,∠A=300,∠B=450,AC=32,则AB的长为．15.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B 两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）16.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．43353445196)121(2-+-÷--aaaa17.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．。

AD 4 2 2
∴∠ADC=45°, ∴∠ADB=180°-45°=135°.
5.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边 分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形. (1)已知a=5,∠B=60°; (2)已知a=5 2 ,b=5 6 .
解析 (1)∵∠C=90°,∠B=60°, ∴∠A=30°, ∵cos B=cos 60°= a = 1 ,a=5,∴c=10,
5
(1)求AB的长; (2)求cos∠BAD的值.
图28-2-1-6
解析 (1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= AC = 4,AD=5,∴AC=4.
AD 5
由勾股定理得CD= AD2 -AC2 =3, ∴BC=CD+DB=3+5=8, 在Rt△ABC中,∠C=90°, 由勾股定理得AB= AC2 BC2 = 42 82 =4 5 . (2)∵AD=BD, ∴∠BAD=∠ABD.
知识点一 解直角三角形 1.解直角三角形的定义与边角关系
2.解直角三角形的类型
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
已知条件
解法
两直角边 斜边、一直角边(如c,a) 一锐角与邻边(如∠A,b) 一锐角与对边(如∠A,a) 斜边与一锐角(如c,∠A)
由tan A= a,求∠A;∠B=90°-∠A;c= a2 b2
点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= 2,则BD的长是
.
3
图28-2-1-3
答案 20
解析 ∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB
⊥AC,AB=8,tan∠ACB= 2= AB ,∴AC= 3AB=12,∴OA=6,∴BO= OA2 AB2=

初中数学专题讲义-解直角三角形一、课标下复习指南 1．锐角三角函数的定义如图17－1，在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ；把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．图17－1的斜边的对边A A A ∠∠=sin ；的斜边的邻边A A A ∠∠=cos ；的邻边的对边A A A ∠∠=tan2．三角函数值(1)角度三角函数0° 30°45°60°90° sin α 0 2122 23 1 cos α 1 23 22 21 0tan α33 13 不存在(2)会用计算器求0°～90°的任意角的三角函数值 (3)锐角三角函数值的性质当0°＜α＜90°时，0＜sin α＜1，且正弦值随着角度的增大而增大；0＜cos α＜1，且余弦值随着角度的增大而减小；tan α＞0，且正切值随着角度的增大而增大． 3．互余角的三角函数间的关系sin(90°－α)＝cos α；cos(90°－α)＝sin α；⋅=-ααtan 1)90tan(ο 4．同角三角函数间的关系⋅==+αααααcos sin tan ;1cos sin 22 5．解直角三角形由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边)，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 6．解直角三角形相关的知识如图17－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，图17－2(1)三边之间的关系： a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：c a B A ==cos sin ，⋅====Bb a Ac b B tan 1tan ,sin cos (4)如图17－3，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则图17－3由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ； 由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 的面积，得ab ＝ch ．(5)如图17－4，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则图17－4①CD ＝AD ＝BD ＝;21AB ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径.21AB R =(6)如图17－5，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2c b a r -+=⋅++=c b a ab图17－5(7)直角三角形的面积：①如图17－3，S △ABC 21=.sin 2121B ac ch ab ⋅== ②如图17－5，S △ABC ).(21c b a r ++=图17－578．测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角、株距、坡距等二、例题分析例1 解答下列各题：(1)化简求值：οοοοοο45cos 45sin 30cos 60sin 45tan 60tan -+-＋sin30°； (2)若,sin cos ,232sin αβα==(2α，β为锐角)，求)32tan(β的值； (3)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简A A cos sin 21-．分析 第(3)题可以先利用关系式sin 2A ＋cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式．解 (1)οοοοοοο30sin 45cos 45sin 30cos 60sin 45tan 60tan +-+- 211333212222232313+--=+-+-=⋅-=6323(2)232sin =αΘ，且2a 为锐角，∴2α＝60°，α＝30°．,2221sincos===∴αβ⋅==∴=∴3330tan)32tan(.45οοββ(3)∵AA cossin21-AAAA cossin2cossin22-+=|,cossin|)cos(sin2AAAA-=-=AA cossin21-∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=)9045(cossin)450(sincosοοοοAAAAAA．说明：由第(3)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin a cos a＝(sin a±cos a)2．例如，若设sin a＋cos a＝t，则).1(21cossin2-=tαα例2(1)如图17－6，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．图17－6A．10·tan50°B．10·cos50°C．10·sin50°D．ο50tan10(2)如图17－7，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝53，求cos A＋tan B的值．图17－7(3)如图17－8所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sin B的值等于______．图17－8分析 (1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k 表示各边．(3)要求sin B 的值，可以将∠B 转化到一个直角三角形中． 解 (1)选B ．(2)在△ABC 中，⋅===∠53sin ,90A AB BC C ο设BC ＝3k ，则AB ＝5k (k ＞0)．由勾股定理可得AC ＝4k ，⋅=+=+∴15323454tan cos k k k k B A (3)由已知，AD 是半圆的直径，连接CD ，可得∠C ＝90°． 而∠B ＝∠D ，所以⋅===32sin sin AD AC D B 说明 已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cos A 时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2A ＋cos 2A ＝1，读者可自己尝试完成．例3 如图17－9，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5，求sin B ·sin C 的值．图17－9分析 为求sin B ，sin C ，需将∠B ，∠C 分别置于直角三角形之中，另外已知∠A 的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B ，C ，向CA ，BA 的延长线作垂线段，即可顺利求解．解 过点B 作BD ⊥CA 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BA 的延长线于点E ． ∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝60°．;5211060cos =⨯=⋅=∴οAB AD .35231060sin =⨯=⋅=οAB BD又∵CD ＝CA ＋AD ＝10，,7522=+=∴CD BD BC⋅==∠∴721sin BCBD BCD 同理，可求得⋅=∠1421sin ABC 1421721sin sin ⨯=∠⋅∠∴BCD ABC ⋅=143说明 由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可以通过作垂线段等方法将其置于直角三角形中．例4 (1)如图17－10，在△ABC 中，∠ACB ＝105°，∠A ＝30°，AC ＝8，求AB 和BC 的长；图17－10(2)在△ABC 中，∠ABC ＝135°，∠A ＝30°，AC ＝8，如何求AB 和BC 的长? (3)在△ABC 中，AC ＝17，AB ＝26，锐角A 满足1312sin =A ，如何求BC 的长及△ABC 的面积?若AC ＝3，其他条件不变呢?分析 第(1)题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B ＝45°；过点C 作CD ⊥AB 于D ，则Rt △ACD 是可解三角形，可求出CD 的长，从而Rt △CDB 可解，由此得解；第(2)题的条件是“两角一对边”；第(3)题的条件是“两边一夹角”，均可用类似的方法解决．解 (1)过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵∠A ＝30°，∠ACD ＝105°，∴∠B ＝45°． ∵AC ·sin A ＝CD ＝BC ·sin B ，.2445sin 30sin 8sin sin ==⋅=∴οοBA AC BC ∴AB ＝AD ＋BD ＝AC ·cos A ＋BC ·cos B .43445cos 2430sin 8+=+=οο(2)作CD ⊥AB 的延长线于D ，则AB ＝.24,434=-BC(3)作BD ⊥AC 于D ，则BC ＝25，S △ABC ＝204．当AC ＝3时，∠ACB 为钝角，BC ＝25，S △ABC ＝36．说明 对一个斜三角形，通常可以作一条高，将它转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角(如30°、45°、60°的角)，然后通过解直角三角形得到原来斜三角形的边、角的大小．例5 在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝3，AB ＝33，求∠BCA 的度数和AC 的长．分析 由于∠A 是一个特殊角，且已知AB ，故可以作AC 边上的高BD (如图17－11)，可求得233=BD ．由于此题的条件是“两边一对角”，且已知的对角边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC 与AC 边上的高BD 的大小，而33233<<BC ，所以此题有两解．图17－11解 作BD ⊥AC 于D ．(1)C 1点在AD 的延长线上． 在△ABC 1中，233,31==BD BC ， ⋅=∴23sin 1C ∴∠C 1＝60°．由勾股定理，可分别求得⋅==29,231AD DC .6232911=+=+=∴DC AD AC (2)C 2点在AD 上．由对称性可得，∠BC 2D ＝∠C 1＝60°，⋅==2312D C D C .32329,12022=-==∠∴AC A BC ο 综上所述，当∠BCA ＝60°时，AC ＝6；当∠BCA ＝120°时，AC ＝3．说明 由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．例6 如图17－12，某船向正东航行．在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30°方向，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A ，D 两点间的距离(结果保留根号)．图17－12解 作CE ⊥AD 于E ，设CE ＝x (海里)， ∵∠CAD ＝∠CDA ＝45°， ∴CE ＝AE ＝DE ＝x ．在Rt △CEB 中，∠CEB ＝60°，BE ＝DE －BD ＝x －10．.360tan 10===-∴οBECFx x 解得.35153330+=-=x)31030(2+==∴x AD (海里)．答：A ，D 两点间的距离为)31030(+海里．说明 已知斜三角形中的SSS ，SAS ，ASA ，AAS 以及SSA 条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图17－13)：图17－13例7 如图17－14，河流两岸a ，b 互相平行，C ，D 是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆，某人在河岸b 上的A 处测得∠DAB ＝30°，然后沿河岸走了100m 到达B 处，测得 ∠CBF ＝60°，求河流的宽度CF 的值(结果精确到个位)．图17－14解 过点C 作CE ∥AD 交AB 于E ． ∵CD ∥AE ，CE ∥AD ，∴四边形AECD 是平行四边形．∴AE ＝CD ＝50，EB ＝AB －AE ＝50， ∠CEB ＝∠DAB ＝30°．又∵∠CBF ＝60°，故∠ECB ＝30°． ∴CB ＝EB ＝50．在Rt △CFB 中，CF ＝CB ·sin ∠CBF ＝).m (4332560sin 50≈=ο答：河流的宽度约为43m ．例8 如图17－15所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．图17－15分析 这是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 解 如图17－16，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ．图17－16∴DF ＝DB ·sin15°≈50×0.26＝13.0， CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50×0.97＝48.5． ∴AE ＝CE ·tan10≈48.5×0.18＝8.73．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝8.73＋1.5＋13.0≈23.2(m)． 答：树高约为23.2m ．说明 一些特殊的四边形，可以通过切割补形的方法将其转化为若干个三角形来解． 例9 如图17－17，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，S △ACD ∶S △CDB ＝2∶3，,54cos =∠DCB AC ＋CD ＝18，求tan A 的值和AB 的长．图17－17解 作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°． ∵,54cos =∠=DCE CE CD 设CD ＝4k (k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ． ∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同， ∴AD ∶DB ＝S △ACD ∶S △CDB ＝2∶3．⋅=+==∴35DB DB AD DB AB DE AC 即.533535k k DE AC =⨯==⋅===∴5454tan k k AC CD A∵AC ＋CD ＝18，∴5k ＋4k ＝18．解得k ＝2．.4124122==+=∴k CD AC AD.41523=+=+=∴AD AD DB AD AB说明 本章解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程．在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等．例10 如图17－18，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．图17－18(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 解 (1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB －AP ＝2－t (0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°，∴S △PCD =⋅⋅=⋅=B BP CD PE CD sin 2121,23)2(23⋅-t 即).20(233433<≤+-=t t y (2)由(1)不难得出，BE t PE ),2(23-=).2(21t -= ).2(21)2(212t t BE BC EC +=--=-=∴∵22222)2(41)2(43t t EC PE PC ++-=+=422+-=t t ).20(422<≤+-=∴t t t z说明 锐角三角函数及解直角三角形的内容经常与函数、圆等知识进行综合．三、课标下新题展示例11 (2009济宁市)坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图17－19为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶(M )的仰角α＝35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M )的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A ，B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．图17－19(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m(如图17－20)，你能否利用这一数据设计一个测量方案?如果能，请回答下列问题：图17－20①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：_________； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据? ____________．解 (1)设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x m ，则ME ＝(x －1.6)m ． ∵β＝45°，∴DE ＝ME ＝x －1.6．∴CE ＝x －1.6＋18.6＝x ＋17． ∵,35tan tan ο==αCE ME7.0176.1=+-∴x x ，解得x ＝45． ∴太子灵踪塔MN 的高度为45m ． (2)①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度(注：答案不唯一)．例12 (2009泰安市)如图17－21，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y ＝m x +-33与x 轴交于点E ．求点E 的坐标．图17－21解 作AF ⊥x 轴于F ．∴OF ＝OA ·cos60°＝1°， AF ＝OF ·.360tan =ο∴点A 坐标为)3,1(．代入直线解析式，得,3133=+⨯-m ⋅=∴334m ⋅+-=∴33433x y 当y ＝0即033433=+-x 时，x ＝4． ∴点E 坐标为(4，0)．四、课标考试达标题 (一)选择题1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3．下列各式中，正确的是( )．A ．32sin =B B ．32cos =B C ．23tan =BD ．32tan =B2．如图17－22，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值是( )．图17－22A ．32B ．23 C ．43D ．343．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，=B cos 32，则tan A 的值为( )．A ．352B ．35 C ．55 D ．552 4．如果α是锐角，且54sin =α，那么cos(90°－α)＝( )．A ．54B ．43 C ．53 D ．515．已知α是锐角，且cos α的值小于21，那么∠α( )．A ．大于60°B ．大于30°C ．小于30°D ．小于60°6．如图17－23，P 为⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，OP ＝5，P A ＝4，则sin ∠APO 的值等于( )．图17－23A ．54 B ．53 C ．34D ．437．如图17－24，已知⊙O 的半径为1，AB 与⊙O 相切于点A ，OB 与⊙O 相交于点C ，CD ⊥OA ，垂足为D ，则tan ∠AOB 的值等于( )．图17－24A ．ODB ．OAC ．CD D ．AB8．如图17－25，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m ，l 2＝6.2m ，l 3＝7.8m ，l 4＝10m ．4种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )．图17－25A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4(二)填空题9．若03sin 32=-⋅α，α为锐角，则α＝______．10．在△ABC 中，∠C ＝90°，,53,15==AC BC 则∠A ＝________，AB ＝_______，S △ABC ＝______．11．如图17－26，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于______．图17－2612．把两块含有30°的相同的直角尺按如图17－27所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD ，若AC ＝6cm ，则△BCD 的面积是______cm 2．图17－2713．如图17－28，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形纸片，A 点坐标为(0，2)，E 是线段BC 上一点，且∠AEB ＝60°，将纸片沿AE 折叠后B 点落在点F 处，那么点F 的坐标是______．图17－28(三)解答题14．计算οοοοο30cos 90sin 0tan 60cos 145tan 22++-＋sin 245°．15．如图17－29，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ，AD ＝7，tan A ＝2，求CD 的长．图17－2916．如图17－30，已知正方形纸片ABCD 中，E 为BC 上一点，将正方形折叠起来，使A点和E 点重合，折痕为MN ，若tan ∠AEN ＝31，DC ＋CE ＝10．求：(1)△ANE的面积；(2)sin∠ENB的值．图17－3017．为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其横截面为一梯形(如图17－31)．堤的上底宽AD和堤高DF都是6 m，其中∠B＝∠CDF．图17－31(1)求证：△ABE∽△CDF；(2)如果tan B＝2，求堤的下底BC的长．参考答案解直角三角形1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．A ． 5．A ． 6．B ．7．D ． 8．B ． 9．60°．10．30°，⋅2315,152 11．2.4． 12．27． 13．)32,1(--． 14．⋅4115．37=CD ．提示：分别延长AD ，BC 相交于点O ．16．(1)△ANE 的面积为310；(2)⋅=∠53sin ENB17(1)略；(2)BC 长21米．。