初中数学解直角三角形综合讲义
一、理解概念
1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形
阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除
直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形
定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素
举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4，
∠B=42°6′，解这个直角三角形。 解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′
（2）∵ cosB=
c a
, ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=c
b
, ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7
二、研究概念
1.条件：
直角三角形 2.构成和本质
[边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征：
[角] 两锐角互余，∠A+∠B=90°
[边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2
[等式的性质] a 2 =c 2 —b 2
b 2=
c 2 —a 2
勾股定理逆定理
[边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
[圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半
45°角所对的直角边是斜边的2
倍 4.下位
无
5.应用：
三、例题讲解
1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级）
A 、 asin 2α
B 、acos 2
α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数
分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= a
AB
AB= a ·cos R t △ABD sin α=AB
AD
AD= sin α·AB
AD= asin αcos α
2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD=
对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。分四种情况：
BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6
（2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。 3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，
AC=3，则BD=
对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形
分析：△ABC ～△CBD BC 2
=BD ·AB
BC=3，AC=3 AB=32 BD=2
1
4、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝2
1
，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。 求△ＡＢＣ的面积。
对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝
2
1，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90°
△ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2
3
25 AC=5
3,BC=5
5、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。
C
A
D
B
现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ， 求缆绳AC 的长。 (B 级)
对象：R t △ABC 和R t △ABD 角度：三角函数
分析：∠EAC=30°，∠EAD=45° ∠ACB=30°,∠ADB=45° AB= x AC=2x ，BC=3x ，BD=x [CD=50]BD=3x －50
x=3x －
50 x=25(3－1) AC=50(3－1)
6、如图某船向正东航行。在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望
见灯塔C 在北偏西30°，又航行了半小时到D 处，望见灯塔C 恰在西北方向， 若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。（结果不取近似值） （B 级）
对象：右图 角度：锐角三角函数
分析：很显然，AC=DC ，设AE=DE=x ，则CE=x,CD=2x
BD=220=10 BE= x －10 tan ∠ECB=x x 10-=3
3
x= 5（3+3） AD=10（3+3）
7、在海上有一灯塔P ，在它周围3海里内有暗礁，一客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A 处测得灯塔P 到它北偏东60°，继续行驶10分钟后，到达B 处，又测得灯塔P 在它的北偏西45°，问客轮不改变航线继续前进有无触礁危险？ （B 级）
（此题有现有条件不变的情况下，还可能问：①船离灯塔P 的最近距离是多少？②船再走多远，离灯塔最近？③船再行驶多少时间，离灯塔P 最近？）
对象： 右图中Rt △PAC 中PC 角度：锐角三角函数 分析：∠PAC=30 ∠PBC=45 设PC=X BC=X ，AC=3X
AB=9×
6010=23 23+X=3X X=4
)13(3+＜3 所以不改变航线继续前进有触礁危险
8、将两块三角板如图放置，∠C ＝∠EDB ＝90º，∠A ＝45º，∠E ＝30º，AB ＝DE ＝6。求重叠部分四边形DBCF 的面积。 （C 级）
对象：四边形DBCF 的面积 角度：直角三角形的面积 分析：在△EDB 中，∵ ∠EDB ＝90°，∠E ＝30°，DE ＝6，
∴ 323
3
630tan ＝＝⨯
=︒⋅DE DB ． ∴ 326－－＝=DB AB AD ．
又∵ ∠A ＝45°，∴ ∠AFD ＝45°，得FD ＝AD ． ∴ 31224)326(2
1
2122－＝－＝
⨯=∆AD S ADF ． 北
