2009年河北中考数学试题展望与备考

参赛单位:0042009年某某省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共20分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的某某、某某号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）⒈.4的平方根是 （ ）A.2±B.2C. －2D 162．下列运算正确的是 （ ）Ａ．532a a a =+Ｂ．532a a a =⋅Ｃ．532)(a a =Ｄ．10a ÷52a a =3．如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为 （ ）4．二次函数()3122+-=x y 的图像的顶点坐标是 （ ）A ．（1，3）B ．（－1，3）C ．（1，－3）D ．（－1，－3） 5．袋中放有一套（五枚）2008年奥运会吉祥物福娃纪念币，依次取出（不放回）两枚纪念币，恰好能够组成“欢迎”的概率是（ ）A ．251B ．201C ．101D ．51 6．在平面直角坐标系中，若点P(m －3，m ＋1)在第二象限，则m 的取值X 围为（ ） A ．－1＜m ＜3B ．m ＞3 C ．m ＜－１ D ．m ＞－１7．如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：A ．B ．C ．D ．（3题）贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮（1）DE=1，（2）AB 边上的高为3，（3）△CDE ∽△CAB ，（4）△CDE 的面积与 △CAB 面积之比为1：4.其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB则线段OM 的长可能是 A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.59．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是 A ．10 B ．16 C ．18 D ．2033⨯方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该33⨯方格纸上最多可画出的正方形的个数是（ ）A.13B.14C.18D. 202009年某某省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷卷Ⅱ（非选择题，共100分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分．把答案写在题中横线上）11．分解因式：2x 2+4x+2＝___________．第7题第8题图图 1图 212．∠α=︒25，则∠α的余角为度。

2009年中考数学试卷分析分析近几年河北省的中考试题，对照河北省《数学考试说明》，试题按照要求，注意重要知识点的考查。

分析命题特点，总结取得的成绩，查找答题中的问题，对今后的教学工作具有极强的指导意义.现对兴隆县2009年中考数学试卷分析如下：一、09年中考数学试题特点（一）准确把握对数学知识与技能的考查从知识点上看，在命题方向上，没有太多的起伏；从内容上看，对这些知识点的考查并不放在对概念、性质的记忆上，而是对概念、性质的理解与运用上，通过现实生活来体验数学的妙趣。

（二）着重考查学生数学思想的理解及运用从学习能力上看，着重考查学生数学思想的理解及运用。

数学能力是学好数学的根本，主要表现为数学的思想方法。

初中数学中最常见的思想方法有：分类、化归、数形结合、函数思想、方程思想和运动的思想等。

其中，数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等几乎是历年中考试卷考查的重点，必须引起足够的重视。

1）分类讨论思想：当面临的问题不宜用统一方法处理时，就得把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案。

这种解决问题的方法就是分类讨论的思维方法。

例如：今年中考数学题对分类讨论思想特别重视，在综合题第25题和第26题都要分类讨论，而且在填空题的最后一题（第18题）也有分类讨论的思想。

2）“化归”是转化和归结的简称。

我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把未知问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。

例如：第20题3）数形结合思想：指将数量与图形结合起来分析、研究、解决问题的一种思维策略，具有直观形象，为分析问题、解决问题创造了条件。

例如：第21题图像信息题用来解决实际问题。

4）方程与函数思想：方程与函数思想就是分析和研究具体问题中的数量关系，经过适当的数学变化和构造，建立方程或函数关系，运用方程或函数的知识，使问题得到解决。

例如：第22题利用方程问题解决二次函数的性质与图像问题。

2008年河北省初中毕业生升学数学试卷一、选择题（本大题共10个小题；每小题2分，共20分．） 1．(08河北)8-的倒数是（ ） A ．8B ．8-C ．18D ．18-2．(08河北)计算223a a +的结果是（ ） A ．23aB ．24aC ．43aD ．44a3．(08河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图1则这个不等式组可能是（ ） A ．41x x >⎧⎨-⎩，≤B ．41x x <⎧⎨-⎩，≥C ．41x x >⎧⎨>-⎩，D ．41x x ⎧⎨>-⎩≤，4．(08河北)据河北电视台报道，截止到2008年5月21日，河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15 510 000元．将15 510 000用科学记数法表示为（A ．80.155110⨯ B ．4155110⨯C ．71.55110⨯D ．615.5110⨯5．(08河北)图2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ A ．点P B ．点O C ．点M D ．点N6．(08河北)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x += B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=7．(08河北)如图3，已知O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．(08河北)同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ） A ．两枚骰子朝上一面的点数和为6 B ．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2 C ．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D ．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数9．(08河北)如图4，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）图1图2 图310．(08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）A ．上B ．下C ．左D ．右二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分．把答案写在题中横线上）11．(08河北)如图6，直线a b ∥，直线c 与a b ， 相交．若170∠=， 则2_____∠=．12．(08河北)当x =时，分式31x -无意义． 13．(08河北)若m n ，互为相反数，则555m n +-= ． 14．(08河北)如图7，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 连结BC ．若36A ∠=，则______C ∠=．15．(08河北)某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表：成绩/分3 4 5 6 7 8 9 10 人数1 12 2 8 9 15 12 则这些学生成绩的众数为 ． 16．(08河北)图8每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是 g ．17．(08河北)点(231)P m -，在反比例函数1y x=的图象上，则m 18．(08河北)图9-1全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图4 x A ． x B ． x C ． D ． 图5-1 图5-2 图5-3 …1 2 ba图6 c图7图8第3页，共29页三、解答题（本大题共8个小题；共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(08河北)（本小题满分7分）已知2x =-，求21211x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值．20．(08河北)（本小题满分8分）某种子培育基地用A ，B ，C ，D 四种型号的小麦种子共2 000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C 型号种子的发芽率为95％，根据实验数据绘制了图10-1和图10-2两幅尚不完整的统计图． （1）D 型号种子的粒数是 ； （2）请你将图10-2的统计图补充完整；（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广； （4）若将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到B 型号发芽种子的概率．21．(08河北)（本小题满分8分）如图11，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接．．写出点P 的坐标．ABC图9-1 图9-2A35% B20% C 20% D 各型号种子数的百分比 图10-1 图10-2图1122．(08河北)（本小题满分9分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B点生成，测得OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？23．(08河北)（本小题满分10分）在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )d P A P B =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳C 6045图12图13-1 图13-2图13-3第5页，共29页（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24．(08河北)（本小题满分10分）如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．25．(08河北)（本小题满分12分）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式2159010y x x =++，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲，p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）A （E ） BC （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-32m n 2-=22()m n ∴-当22m n -当22m n -22m n -（1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，11420p x =-+甲，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w 甲（万元）与x 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，110p x n =-+乙（n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．26．(08河北)（本小题满分12分）如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是A C AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．图15第7页，共29页2008年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBBCAAC BDC二、选择题 11．70； 12，1； 13．5-； 14．27；15．9分（或9）；16．20； 17．2； 18．76． 三、解答题 19．解：原式21(1)x xx x -=⨯- 11x =-． 当2x =-时，原式13=-．20．解：（1）500； （2）如图1；（3）A 型号发芽率为90％，B 型号发芽率为92.5％， D 型号发芽率为94％，C 型号发芽率为95％． ∴应选C 型号的种子进行推广． （4）3701(B )6303703804705P ==+++取到型号发芽种子． 21．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=．1x ∴=．(10)D ∴，． （2）设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：4x =，0y =；3x =，32y =-． 4033.2k b k b +=⎧⎪∴⎨+=-⎪⎩，326.k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-． （3）由333 6.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23.x y =⎧⎨=-⎩，(23)C ∴-，． 3AD =，193322ADC S ∴=⨯⨯-=△． （4）(63)P ，． 图122．解：（1）B -，200C -； （2）过点C 作CD OA ⊥于点D ，如图2，则CD =． 在Rt ACD △中，30ACD ∠=，CD =，3cos30CD CA ∴==200CA ∴=． 20020630-=，5611+=， ∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．23．观察计算 （1）2a +； （2． 探索归纳（1）①<；②>；（2）222212(2)420d d a a -=+-=-．①当4200a ->，即5a >时，22120d d ->，120d d ∴->．12d d ∴>； ②当4200a -=，即5a =时，22120d d -=，120d d ∴-=．12d d ∴=； ③当4200a -<，即5a <时，22120d d -<，120d d ∴-<．12d d ∴<．综上可知：当5a >时，选方案二； 当5a =时，选方案一或方案二；当15a <<（缺1a >不扣分）时，选方案一． 24．解：（1）AB AP =；AB AP ⊥． （2）BQ AP =；BQ AP ⊥．证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=． 又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．②如图3，延长BQ 交AP 于点M ．/kmC6045图2lAB FC Q 图3M12 34 EP第9页，共29页Rt Rt BCQ ACP △≌△，12∴∠=∠．在Rt BCQ △中，1390∠+∠=，又34∠=∠，241390∴∠+∠=∠+∠=．90QMA ∴∠=．BQ AP ∴⊥．（3）成立． 证明：①如图4，45EPF ∠=，45CPQ ∴∠=．又AC BC ⊥，45CQP CPQ ∴∠=∠=．CQ CP ∴=．在Rt BCQ △和Rt ACP △中，BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=，CQ CP =，Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．②如图4，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．Rt Rt BCQ ACP △≌△，BQC APC ∴∠=∠．在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=，90APC PBN ∴∠+∠=．90PNB ∴∠=．QB AP ∴⊥．25．解：（1）甲地当年的年销售额为211420x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元； 2399020w x x =-+-甲． （2）在乙地区生产并销售时， 年利润222111590(5)9010105w x nx x x x n x ⎛⎫=-+-++=-+-- ⎪⎝⎭乙． 由214(90)(5)535145n ⎛⎫⨯-⨯--- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，解得15n =或5-． 经检验，5n =-不合题意，舍去，15n ∴=． （3）在乙地区生产并销售时，年利润2110905w x x =-+-乙， 将18x =代入上式，得25.2w =乙（万元）；将18x =代入2399020w x x =-+-甲， lABQP EF图4N C得23.4w =甲（万元）．w w >乙甲，∴应选乙地．26．解：（1）25． （2）能．如图5，连结DF ，过点F 作FH AB ⊥于点H ， 由四边形CDEF 为矩形，可知QK 过DF 的中点O 时，QK 把矩形CDEF 分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时12.5QH OF ==．由20BF =，HBF CBA △∽△，得16HB =． 故12.5161748t +==． （3）①当点P 在EF 上6(25)7t ≤≤时，如图6．4QB t =，7DE EP t +=，由PQE BCA △∽△，得7202545030t t--=． 21441t ∴=． ②当点P 在FC 上6(57)7t ≤≤时，如图7． 已知4QB t =，从而5PB t =，由735PF t =-，20BF =，得573520t t =-+． 解得172t =． （4）如图8，213t =；如图9，39743t =． （注：判断PG AB ∥可分为以下几种情形：当6027t <≤时，点P 下行，点G 上行，可知其中存在PG AB ∥的时刻，如图8；此后，点G 继续上行到点F 时，4t =，而点P 却在下行到点E 再沿EF 上行，发现点P 在EF 上运动时不存在PG AB ∥；当6577t ≤≤时，点P G ，均在FC 上，也不存在PG AB ∥；由于点P 比点G 先到达点C 并继续沿CD 下行，所以在6787t <<中存在PG AB ∥的时刻，如图9；当810t ≤≤时，点P G ，均在CD 上，不存在PG AB ∥）E B图5B图6E B图7B图8B图9第11页，共29页图32009年河北省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．） 1．3(1)-等于（ ）A ．－1B ．1C ．－3D ．32．在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ＞0D ．x ＜03．如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15C ．10D ．54．下列运算中，正确的是（ ）A ．34=-m mB ．()m n m n --=+C ．236m m =（）D ．m m m =÷225．如图2，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点， 且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°6．反比例函数1y x =（x ＞0）的图象如图3所示，随着x 值的增大，y 值（ ） A ．增大 B ．减小C ．不变D ．先减小后增大7．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A ．某个数的绝对值小于0 B ．某个数的相反数等于它本身 C ．某两个数的和小于0D ．某两个负数的积大于08．图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点 C 上升的高度h 是（ ）AmB ．4 mC ． mD ．8 m9．某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s B ．20 m/s C ．10 m/sD ．5 m/s10．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方BAC D图1A 图2图5图44=1+3 9=3+616=6+10图7…体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的表面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24D ．2611．如图6所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．比较大小：－6－8．（填“＜”、“=”或“＞”）14．据中国科学院统计，到今年5月，我国已经成为世界第四风力发电大国，年发电量约 为12 000 000千瓦．12 000 000用科学记数法表示为 ． 15．在一周内，小明坚持自测体温，每天3次．测量结果统计如下表：则这些体温的中位数是 ℃．ADCB图6图8第13页，共29页电视机月销量扇形统计图第一个月 15%第二个月 30% 第三个月 25%第四个月图11-116．若m 、n 互为倒数，则2(1)mn n --的值为 ． 17．如图8，等边△ABC 的边长为1 cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长 为 cm ．18．如图9，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）已知a = 2，1-=b ，求2221a b a ab --+÷1a的值．20．（本小题满分8分）图10是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ， OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？21．（本小题满分9分）某商店在四个月的试销期内，只销售A 、B 两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图11-1和图11-2．O图10图9（1）第四个月销量占总销量的百分比是 ； （2）在图11-2中补全表示B 品牌电视机月销量的折线；（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，求 抽到B 品牌电视机的概率；（4）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断 该商店应经销哪个品牌的电视机．22．（本小题满分9分）已知抛物线2y ax bx =+经过(33)A --，和点P （t ，0），且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图12，请通过观察图象，指出此时y 的最小值， 并写出t 的值；（2）若4t =-，求a 、b方向；（3）直．接．写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．23．（本小题满分10分）如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：（1）如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周． （2）如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由 ⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n周．实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在 阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周．电视机月销量折线统计图图12图13-1图13-2图13-3第15页，共29页（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=12c ．⊙O 从 ⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动 到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．拓展联想：（1）如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（2）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多 边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接．．写 出⊙O 自转的周数．24．（本小题满分10分）在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由）图13-4 图14-1A HC (M )D EB FG (N )G图14-2AHCDBFNM AHCD图14-3BFG MN 图13-5图1525．（本小题满分12分）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16第17页，共29页2009年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题参考答案一、选择题二、填空题13．＞； 14．1.2 × 107； 15．36.4； 16．1；17．3； 18．20． 三、解答题 19．解：原式=()()1()a b a b a a a b +-+⋅-=1a b ++． 当a = 2，1-=b 时， 原式 = 2．【注：本题若直接代入求值，结果正确也相应给分】 20．解：（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24，∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）．（2）OE 5．∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．21．解：（1）30%； （2）如图1； （3）8021203=；（4）由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A 品牌的月销量呈下降趋势，而B 品/月图1第一 第二 第三 第四 电视机月销量折线统计图牌的月销量呈上升趋势． 所以该商店应经销B 品牌电视机．22．解：（1）－3．t =－6．（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入2y ax bx =+，得0164,393.a b a b =-⎧⎨-=-⎩解得 1,4.a b =⎧⎨=⎩向上．（3）－1（答案不唯一）．【注：写出t ＞－3且t ≠0或其中任意一个数均给分】 23．解：实践应用（1）2；l c ．16；13．（2）54． 拓展联想（1）∵△ABC 的周长为l ，∴⊙O 在三边上自转了lc周．又∵三角形的外角和是360°， ∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360=（周）．∴⊙O 共自转了（lc +1）周．（2）lc+1．24．（1）证明：∵四边形BCGF 和CDHN 都是正方形，又∵点N 与点G 重合，点M 与点C 重合，∴FB = BM = MG = MD = DH ，∠FBM =∠MDH = 90°． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ．∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM ⊥HM ．（2）证明：连接MB 、MD ，如图2，设FM 与AC 交于点P ． ∵B 、D 、M 分别是AC 、CE 、AE 的中点， ∴MD ∥BC ，且MD = BC = BF ；MB ∥CD ， 且MB =CD =DH ．图2AHCDBFG NMP第19页，共29页∴四边形BCDM 是平行四边形． ∴ ∠CBM =∠CDM ．又∵∠FBP =∠HDC ，∴∠FBM =∠MDH ． ∴△FBM ≌ △MDH ． ∴FM = MH ， 且∠MFB =∠HMD ．∴∠FMH =∠FMD －∠HMD =∠APM －∠MFB =∠FBP = 90°． ∴△FMH 是等腰直角三角形． （3）是．25．解：（1）0 ，3． （2）由题意，得2240x y +=， ∴11202y x =-． 23180x z +=，∴2603z x =-．（3）由题意，得 121206023Q x y z x x x =++=+-+-．整理，得 11806Q x =-．由题意，得112022603x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩解得 x ≤90．【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小． 此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．26．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC ==， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．图4P图3F由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】图52010年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算3×(-2) 的结果是A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于 A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是A ．020=B ．2a a a =+C 3=±D ．623)(a a =4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M7．化简ba b b a a ---22的结果是 A ．22b a -B ．b a +C ．b a -D ．18．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x9．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h ，水流速度为5 km/h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是AB CD图2 ABC40°120°图1图3A B D 0CABCD图910．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 A ．7 B ．8C ．9D ．1011．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 A ．（2，3） B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子 向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按 上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．-的相反数是 ．14．如图7，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ．15．在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是 ．16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则222n mn m ++的值为 ．17．某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB 与底面半径OB 的夹角为α，34tan =α，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）． 18．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆图10-1图10-2图5图7图8 图4图6-1 图6-2第23页，共29页放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）解方程：1211+=-x x ． 20．（本小题满分8分）如图11-1，正方形ABCD 是一个6 × 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD 中点处的光点P 按图11-2的程序移动．（1）请在图11-1中画出光点P 经过的路径； （2）求光点P 经过的路径总长（结果保留π）．21．（本小题满分9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．（1）在图12-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °． （2）请你将图12-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好． （4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 22．（本小题满分9分）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反比例函数x my =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是 否在该函数的图象上； （3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围．甲校成绩统计表D图11-1 乙校成绩扇形统计图图12-1乙校成绩条形统计图图12-2图15-2AD OBC 21 MN图15-1A DB M N1 2 图15-3AD OBC 21MNO23．（本小题满分10分）观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．解决问题 （1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米； ②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．24．（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．l图14-3lQ 图14-2 图14-1。

2009年河北省中考数学试题分析与思考随着基础教育改革的不断深入，2009年河北省中考数学试题在继承我省近几年中考命题整体思路的基础上，坚持“整体稳定，局部调整，稳中求变、变中求新”的命题原则，贯彻《义务教育课程标准（实验稿）》和《河北省2009年中考文化课学科说明》所阐述的命题指导思想，中考数学命题更加成熟。

今年中考数学试题突出对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学创新意识，整套试题充满着人文关怀。

试题设计新颖，解题方法常规，由易到难，较好的落实了“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”的新课改理念。

与往年数学试题相比，今年试题保持了命题思路的连续性和稳定性，但今年的试题仍给人以耳目一新的感觉。

解答今年中考题感觉面前不再是枯燥的计算与证明，而好像是在书写一篇优美的作文———试卷给我们呈现了数与形的完美结合，生活中实用有趣的数学知识，更能让我们体会探索与归纳的乐趣。

一、面向全体，考察双基基础知识和技能是其他一切思想方法和能力培养的基础，只有基础扎实思想方法才能得到充分的挖掘，能力培养才能顺利的进行。

纵观整套试题，覆盖近百个知识点，所关注的内容，是支撑学科的基本知识和基本技能，强调考查学生在这一学段所必须掌握的通法通则，淡化了繁杂的运算和技巧性很强的方法。

本份试题在数和形的两条线对双基进行了重点考查，例如数线索方面：数（1，13，14题）——式（2，4，16，19题）——方程（9.18题）——函数（6，9，11题）——统计与概率（7，15题）形线索方面：基本图形（10题）——三角形（8，17题）——四边形（3题）——圆（5，20题）数形结合方面（11，12，22题），并且今年有些双基类题目考查方式特别新颖，例如第7题考查的是不可能事件的概念，但其中却蕴含着考生对数的基础知识的思考，使这道看似简单的题目变得丰满而扎实；再如第11题对函数图像的考查，借助程序设计的背景，将函数表达式的产生与函数图象的性质完美的衔接起来，设计出了一个好题目。

从2009年的中考数学试题看2010年数学命题的方向 一年一度的中考脚步声越来越近，同学们你准备好了吗？为了帮助同学们在有限的温考，掌握三年来所学的知识，及时了解中考的动向，笔者认真学习了2007年全国部分省市的中考试题，从中获得一些2008年中考数学的命题方向，现解读如下，希望对同学们的复习能有点帮助.一、通过复习，应注意优化思想方法数学思想是数学的灵魂，数学方法使数学思想得以具体落实，二者相互依存，成为数学中考永恒的主题。

但是，如果因循守旧，仅用一些传统题型、固定模式进行考查，则往往会产生思维定势，忽视了数学思想方法的本质，所以必须对其优化，力争出新创奇，才能让学生真正体会到数学思想方法的重要性.例1（2009年成都市中考试题）如图1，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于A (－2，1)，B (1，n )两点.（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积.分析 由于点A 和B 既在一次函数图象上，又在反比例函数的图象上，所以可以先利用待定系数法求出m ，进而求出n ，这样再运用待定系数法构造关于k 和b 的二元一次方程组即可求解.至于要求△AOB 的面积，令直线与y 轴的交点为C ，也容易求出点C 有坐标，这样△AOB 的面积即由△AOC 和△BOC 组成.解（1）因为点A (－2，1)在反比例函数y ＝m x 的图象上，所以m ＝(－2)×1＝－2. 所以反比例函数的表达式为y ＝－2x. 因为点B (1，n )也在反比例函数y ＝－2x的图象上，所以n ＝－2，即B (1，－2). 把点A (－2，1)，点B (1，－2)代入一次函数y ＝kx +b 中，得212.k b k b -+=⎧⎨+=-， 解得11k b =-⎧⎨=-⎩，．一次函数的表达式为y ＝－x －1.（2）在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1. 直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C (－1，0).因为线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，所以S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝12×1×1+12×1×2＝32. 说明 确定正比例函数的解析式，只要一个条件，而要求一次函数的解析式，则需要两个独立的条件.本题在求解时，以数形结合、方程和待定系数法的思想方法为主线，涉及到对问题的转化等思想方法.虽然也是主要运用了“以形定数”的思维方式，但是由于实际图1背景的介入，使得题目新颖别致，不同于一般的通过图像求关系式的题目.二、通过复习应注意突出信息问题的转化当今社会，信息容量迅速增多，表现形式丰富多彩，被人们称为“信息化时代”.在日常的生产生活、学习工作中，我们经常需要将各种形式的信息转化整合、分析处理.鉴于此，对信息转化的突出考查，具有强烈的时代感.例2（2009年河南省中考试题）如图2是根据2006年某省各类学校在校生人数情况制作的扇形统计图和不完整的条形统计图.已知2006年该省普通高校在校生为97.41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）2006年该省各类学校在校生总人数约多少万人？（精确到1万人）（2）补全条形统计图；（3）请你写出一条合理化建议.分析 要解答本题中的三个问题，可以直接从已知的两个统计图中寻找解题的信息，再通过统计的方法求解.解（1）2006年该省种类学校在校生总数为97.41÷4.87﹪≈2000（万人）.（2）普通高中在校生人数约为2000×10.08﹪＝201.6（万人），即可补全条形统计图，如图2中的阴影部分.（3）答案不唯一，回答合理即可.说明 本题以统计为背景，而运用统计思想解决问题一般要经过这样两个程序：（1）从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题.（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式.值得注意的是，求解信息问题的试题，应及时将图形、表格、数据、文字等多种信息形式综合为一体，需要同学们对各种不同信息“互译”转化，才能顺利解答.三、通过复习要强化数学的应用意识对数学知识应用性的考查，已经成为全国各地中考的普遍趋势，是强化“用数学”意识的必然结果。

2009年河北省中考数学试题评析2009年的数学试题在继承我省近几年中考命题整体思路的基础上，坚持“整体稳定，局部调整，稳中求变、变中求新”的命题原则，贯彻《义务教育课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）和《河北省2009年中考文化课学科说明》（以下简称《学科说明》）所阐述的命题指导思想，突出对基础知识、基本技能和基本数学思想的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学创新意识，整套试题充满着人文关怀．一、总体评价试题命制严格按照《课程标准》和《学科说明》的相关要求，充分体现和落实新课程改革的理念和精神．整套试题覆盖面广，题量适当，结构合理，难度适中，内容新颖，表述科学．在考查方向上，体现了突出基础，注重能力的思想；在考查内容上，体现了基础性、开放性、应用性、探究性和综合性．在具体操作上，紧扣《学科说明》，参照我省各地使用的不同版本教科书，强调教材的重要性，保证素材的公平性，对教学工作能够起到明显的指导作用．1．整体稳定，局部调整今年的数学试卷在保证整体格局稳定的基础上，作出了一些调整：选择题由原来的10个小题增至12个；填空题由原来的8个小题减至6个；解答题依然是8个小题．各题型的分值和部分试题的考查重点，也作了相应的调整．2．全面考查，突出重点纵观整套试题，覆盖近百个知识点．所关注的内容，是支撑学科的基本知识、基本技能和基本思想．强调考查学生在这一学段所必须掌握的通法通则，淡化繁杂的运算和技巧性很强的方法．试题重点考查了代数式、方程（组）与不等式（组）、函数、统计与概率、相交线与平行线、三角形与四边形等学科的核心内容，同时关注了函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、统计与随机意识等数学思想，以及特殊与一般、运动与变化、矛盾与转化等数学观念．试题突出了对学生研究问题的策略和运用数学知识解决实际问题能力的考查．3．层次分明，确保试题合理的难度和区分度试题在结构上形成合理的层次，整套试题从易到难形成梯度．其中第一、二大题分三个层次：第一层次（第1~7、13~15小题）考查基础知识、基本技能，判断、运算或操作方式单一，学生能直接上手；第二层次（第8、9、11、16~18小题）是小范围的综合题，旨在考查最基本的数学方法和数学思想；第三层次（第10、12小题）更多的是关注数学思辨和思维过程．第三大题注重数学能力，也分三个层次：第一层次（第19~22小题），考查代数式变形和运算的能力，用所学知识解决简单实际问题的能力，对统计与概率知识的理解与应用，以及对函数概念的理解与应用的能力；第二层次（第23、24小题），考查学生的形成性学习方法与能力，以及逻辑思维能力．第三个层次（第25、26小题），考查学生的综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用．同时在试题的赋分方面，既尊重了学生数学水平的差异，又能较好地区分出不同数学水平的学生，较好地保证了区分结果的稳定性，从而确保了试题具有良好的区分度，有利于高一级学校选拔新生．4．科学严谨，确保试题的信度、效度和自洽性试卷题目陈述简明、科学准确；图形、图象规范美观．凡是联系实际题目，情景不仅不会干扰学生对其内容的分析与理解，而且有助于学生对其中数量关系的把握；凡是带有创新成分的试题，其内容均属《课程标准》和《学科说明》要求范围之内的核心知识．这就确保了考试具有较高的信度．每类题型由易到难形成三个难度循环．试题的设置，在提问方式、分值和位置等方面，充分考虑了学生不同的解答习惯、学习水平和承受能力．后面的几道解答题，设3~4问，形成问题串，起点很低，循序渐进，层层铺垫，且最后一问思维含量较高，具有一定的挑战性．这样“入口宽、出口窄”的试题设计，有利于学生临场发挥．各类型题目解答起来，容易上手，但要解答完整、准确，则需要具备较强的数学能力．这样的布局，能确保考试具有较高的效度．同时，试题的命制注意了整体的和谐性，试题的搭配，使考查功能之间形成合理的支撑，努力实现试题在能力层面上的相互校正功能．注重了整套试卷题目间的合理性、自洽性与可推广性．二、试题特点1．从全新角度考查基础知识和基本技能要想学好数学，就必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活的加以运用．因此本套试题在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意了考查方式的多样化和考查角度的新颖性．例1（第5题）如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于 A ．30° B ．45°C ．60°D ．90° 评析 本题旨在考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系．但其呈现方式却与众不同，自然而巧妙地把问题置于正方形之中，建立起了知识间的相互联系．例2（第7题）下列事件中，属于不可能事件的是A ．某个数的绝对值小于0B ．某个数的相反数等于它本身C ．某两个数的和小于0D ．某两个负数的积大于0评析 本题考查的是不可能事件的概念，但其中却蕴含着考生对数的基础知识的思考，使这道看似简单的题目变得丰满而扎实． 例3（第11题）如图2所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为B A 图14=1+3 9=3+616=6+10图6 … 图7单位：cm评析 对函数图象的考查是中考命题的常见内容，但本题不是平铺直叙，而是另辟蹊径——借助程序设计的背景，将函数表达式的产生与函数图象的性质完美的衔接起来，设计出了一道新而不偏、新而不怪的好题．2．关注数学思想方法，渗透数学文化数学的思想方法是数学学科的灵魂，它有时并非刻意指向解题所运用的数学知识，而更多的体现在对解题策略的思考和选择上．本套试题在对数学思想与方法的考查方面可谓独树一帜，其往往借助看似平实简洁的问题设置，却凸显了数学思想方法在解题时的重要作用．此外，渗透数学文化、陶冶学生心灵、感受数学魅力，使数学具有更为积极的教育功能，也是命题组在试题命制中始终关注的一个环节．例4（第10题）从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图3所示的零件，则这个零件的表面积是A ．20B ．22C ．24D ．26 例5（第17题）如图4，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′ 处，且点A ′ 在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ． 评析 从表面看，上述两题是对基本几何知识性质（图形的周长和面积）的考查，但通过对解题策略的分析，却不难发现，其关注的核心实际是数学的思想方法，即利用平移和轴对称实现对问题的转化（化归）． 这两道试题还具有良好的推广性．如例4（第10题）中，让挖去的小正方体经过大正方体的两个面或只在一个面上时，其表面积会怎样变化？例5（第17题）中，点A′ 在△ABC 的内部或边上时，阴影部分的周长有什么不同？等等．一根露出水面的长度是它的13，例6（第18题）如图5，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．评析 本题通过现实有趣的数学情景，将方程思想巧妙地蕴含其中．此外，解法的多样性也是本题的一大特点，既可以形成一元一次方程的模型（设水的深度为未知数），又可以形成二元一次方程组的模型（设两根木棒的长度为未知数），还可以有其他方法．这样使学生单向封闭的思路拓展成多维开放的思路，有效地培养了学生的创新思维能力．例7（第12题）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”．从图6中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31评析 该题以毕达哥拉斯学派的发现为切入点，以数字间的内在关系为背景，不仅考查了学生探究发现规律的能力，而且还可以借助图形进行分析，很好的体现了“数形结合”的思想．同时又向学生渗透了世界古代文化的精深与美妙，有一种内在的和谐与古远幽深的意境，激发了学生对数学文化的热爱，既有趣味性、挑战性，又有教育功能，令人耳目一新．3．联系现实生活，突出应用意识现实生活是数学学科的出发点和最终归宿，让数学回归现实是数学课程改革的重要目标之一．《学科说明》明确指出，要着重考查学生运用所学知识解决简单实际问题的能力，要求学生能够解决带有实际意义的问题，能够解决日常生活中的实际问题，能够用数学语言表达问题．为彰显课程改革的方向，本套试题联系实际的题目占有相当的比例． 例8（第25题）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm ×30 cm ，B型板材规格是40 cm ×30 cm ．现只能购得规格是150 cm ×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图7是裁法一的裁剪示意图）设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m = ，n = ；（2）分别求出y 与x 和z 与x图5 图4 A D C B 图3图9-3 的函数关系式；（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？评析 试题在背景呈现上贴近社会现实，充满着生活气息，使学生真实地感受到“数学来源于生活，又返回来指导生活”的价值．这正体现了《课程标准》中提到的“问题情景—建立模型—解释、应用和拓展”的数学学习模式．本题借助一次函数关系式及其性质为知识载体，考查的核心是从现实情景中提取信息、分析数据、建立数学模型的思想和能力．4．在考查思维能力的同时，更关注对思维方式和思维过程的考查与“能力立意”的同时，又注入了“过程立意”例9（第22题）已知抛物线2y ax bx =+经过点A (－3，－3)和点P (t 0)，且t ≠ 0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图8，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t 的值；（2）直接．．写出使该抛物线开口向若4t =-，求a 、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3下的t 的一个值． 评析 该题以二次函数为背景，而是带有浓郁的探究成分，清晰地为我们勾勒出了“在两个点确定的情况下，抛物线的某些属性（开口方向）随另一个点的运动而变化”的一个连续的动态过程，将代数演绎与几何直观有机地结合了起来．本题考查的主旨并非是对解题方法和技巧的机械运算，而是巧妙地考查了学生直观思维的过程与方法，正所谓“四两拨千斤”就是这个道理．例10（第23题）如图9-1至图9-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：（1）如图9-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置，当AB = c 时，⊙O 恰好自转1周．（2）如图9-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转360n 周． 实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB = l ，则⊙O 自转 周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转_____ 周．（2）如图9-3，∠ABC=90°，AB=BC=12c ．⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周．拓展联想：（1）如图9-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（2）如图9-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直．接．写出⊙O 自转的周数． 评析 本题以课题学习的形式呈现，从简单的“圆在直线段和角外部滚动的周数”的数学事实出发，循序渐进，层层深入，引导学生在解决问题的过程中，不断产生认知发展，进而在不知不觉中提炼归纳出一般性的结论，使自己对知识的认识得到升华．可以看出，本题清晰地给学生展现了一个从“提出基本事实→解决具体问题→归纳整合方法→实现思维升华”的完整思维过程，所呈现的情境不是对解题方法的简单重复，而是不断引导学生去探究和掌握一类问题的一般解决策略．因此，在解答本题过程中可以充分体验到从“特殊到一般”的数学思想，这也正是学生学习数学乃至认识一切事物的重要方式之一（同化与演绎）．此外，本题还可拓展成一个圆在另一个圆的外部（或内部）滚动周数计算的问题，从而使解题思路得到进一步的深化和发展．例11（第24题）在图10-1至图10-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图10-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图10-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图10-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图10-2中的CE 缩短到图10-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） 评析 本题的主旨是在考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），但通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴含了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念．将学生的观察操作、猜想推断、演绎论证等数学活动有机的融为一个整体．这样做，既使学图9-4 图9-5 图9-1 A 图9-2 图10-1 A H C (M ) D E B F G (N ) G 图10-2 A H C D EB F N M A HCDE 图10-3 BFG M N 图8生获得了一种科学探究的思维模式，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现了尊重学生的数学个体差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，增加自信心和成就感，同时也有效地提高了试题的信度与效度．5．注重综合运用，合理体现选拔功能为体现数学学业考试向高一级学校选拔和提供新生的目的，试题在命制过程中，充分注意到了设置合理的区分度，精心编制压轴题，综合考查学生的各种数学能力，以便正确区分不同学生的数学学习水平．例12（第26题）如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 评析 本试题仍然是以几何图形中的运动元素为背景，集代数、几何核心内容于一体的综合题．但一改过去点、线或图形运动的切入角度，在构思上做出了两个方面的突破：一是点的运动方式从过去的单向单程，变为双向往返；二是由两个点的运动带动了一条射线（动线段的垂直平分线）的运动．本题涉及知识与方法众多，勾股定理、相似三角形的判定与性质、直角梯形、线段的垂直平分线、一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程、分类讨论思想、函数与方程思想、转化思想、运动变化观点等等，几乎涉及了7~9年级所有重要的数学核心知识．该题从命题技术上采用“宽入窄出、缓步提升”的分层次考查策略，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用．事实上，依据本题素材，还可提出其他问题，如：①△APQ 的面积何时最大；②△APQ 何时是等腰三角形；③DE 何时经过点B 、何时平分BC 等等，在实践教学中可作推广．三、对日常教学的建议与思考1．加强研究，转变观念想要提高学生的数学能力，适应当前中考的变化，最有效的途径就是加强对《课程标准》、《学科说明》和教材自身的学习与研究，不断转变我们的教学观念．《课程标准》、《学科说明》和教材既是中考命题的依据，也是衡量日常教学效果的重要标尺．我省近几年中考数学的试题，多取材于《课程标准》、《学科说明》和教科书中的原型．也就是说，《课程标准》、《学科说明》和教材才是编拟中考数学试题的真正“题源”．所以，我们的教学要紧扣课标，吃透考试要求，回归教材，发挥其示范作用．唯有这样，教学和复习才会起到事半功倍的作用．2．正确认识数学基础知识和基本技能当前中考试题考查的重点，仍是数学的基础知识和基本技能．加强基础知识和基本技能的训练是提高数学成绩的一个重要环节，但我们首先要对加强“双基”有一个正确的认识．中考中要求的基础知识和基本技能，是解决常规数学问题的“通法通则”，而并非特殊的方法和技巧，因此抓好“双基”，绝不是片面追求解偏题、难题和怪题，更不是刻意去补充课标和教材要求之外的知识与方法．加强“双基”，很重要的一个方面是对学生解题规范性的培养．只有做到答题规范、表述准确、推理严谨，才能保证学生考试时会做的题不丢分．建议教师在日常的教学中，充分重视对学生解题步骤和解题格式的规范要求．加强“双基”，不能通过要求学生机械记忆概念、公式、定理、法则来实现，而是要将这些核心知识的理解与掌握，置于解决具体数学问题的过程中，所以适当的解题训练是必要的．但加强“双基”，又不能仅靠大量的不加选择的解题来完成，更不能把数学课变成习题课，搞题海战术．要认识到，“双基”的提升不是一蹴而就的，需要一个循序渐进的过程．在日常教学中，学生对数学知识的初次认知尤为重要，因此一定要留给学生充分的探究发现、归纳概括的时间，扎扎实实地掌握好每一个数学概念．任何匆忙追求教学进度、最后依靠机械性的强化训练的做法，都不可能取得真正良好的效果．3．关注数学方法和数学思想的渗透要想在中考取得理想的成绩，除了理解基础知识，掌握基本技能外，还必须关注数学方法和数学思想，而这正是目前教学中较为薄弱的环节之一．值得注意的是，对数学方法和数学思想的教学不能孤立进行，它应以具体的数学知识为载体，所以我们要注意在日常教学中对数学方法和数学思想的渗透．如在“分式”教学中渗透类比思想（与分数的类比），在方程组的教学中渗透转化思想（与方程的转化）等等．只要我们平时注重这一点，数学思想方法就会自然的“内化”在学生的思维方式之中．4．注重过程教学，培养思维品质“重结论、轻过程”，仍是当前教学中的一个重要误区．这种忽视知识形成过程的教学，会导致学生只重视结论本身，甚至死记硬背结论，“只知其然而不知其所以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用与迁移转化了．因此在教学过程中，一定要从重视知识结论转向重视知识的形成过程．要真正改变现有的教学方式，关注学生的学习方式，图11使教学的过程变成一个学生思维方式不断发展的过程．培养思维能力，还应在提高学生的思维品质上下功夫．如培养学生思维的灵活性、全面性、严密性，以及思维的广度和深度等等．。