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322 函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题. （重点）2.能建立函数模型解决实际问题. （重点、难点）3. 了解拟合函数模型并解决实际问题. （重点）4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力. （重点）［自主预习•探新知］1•常见函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y= kx + b（k, b 为常数，k 丰 0）（2）二次函数模拟y= ax2+ bx+ c（a, b, c为常数，a*0）（3）指数函数模型y= ba x+ c（a, b, c 为常数，b*0, a>0 且a* 1）（4）对数函数模型y= nlog a x + n（m, a, n 为常数，m*0, a>0且a* 1）（5）幕函数模型y= ax n+ b（a, b 为常数，a*0）（6）分段函数ax+ b x<m , y= icx + d x > m2.建立函数模型解决问题的基本过程用甫數模凹解胖宝际问题思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？［提示］利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行:（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原.这些步骤用框图表示如图：［基础自测］1 •思考辨析（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. （）（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. （）（3）当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型.［答案］⑴V ⑵V (3) V2•某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y= a log2(x + 1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A. 300 只B. 400 只C. 600 只D. 700 只A ［将x = 1, y= 100 代入y = a log 2(x + 1)得，100 = a log 2(1 + 1)，解得a= 100.所以x = 7 时，y =100log2(7 + 1) = 300.］3. 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()【导学号：37102385】A. y = 0.3 x+ 800(0< x<2 000)B. y = 0.3 x+ 1 600(0 w x<2 000)C. y =- 0.3 x + 800(0w x w2 000)D. y =- 0.3 x + 1 600(0 w x w2 000)D ［由题意知，变速车存车数为(2 000 - x)辆次，则总收入y= 0.5x + (2 000 - x) X 0.8 =- 0.3 x+ 1 600(0 w x w 2 000).］4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x€ N)为二次函数关系(如图3-2-5)，则客车有营运利润的时间不超过_______________ 年._ 2 ______________________________________10 ［设二次函数y= a(x-6) + 11,又过点(4,7),所以a=- 1，即y =—(x—6)2+ 11.解y >0,得6- . 11w x w6+ 11,A 0<x<10.］［合作探究•攻重难］［类塹」 ______________________利用已知函数模型解决实际问题 例物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T o ,经过一［1 E定时间t 后的温度是 T ,贝y T - T a = (T 0-T a ) X 其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88C 热水冲的速溶咖啡，放在 24C 的房间中，如果咖啡降温到40C 需要20 min ，那么降温到32 C 时，需要多长时间？【导学号：37102386】［解］先设定半衰期h ,由题意知2020解之，得h = 10，故原式可化简为,当T = 32时，代入上式，得,131 10即1 = 8 1 1 t 「64— 8 = 2 '…t =30.因此，需要30 min ，可降温到32 C.［规律方法］已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据 代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值［跟踪训练］1 •某种商品在近30天内每件的销售价格 R 元）和时间t （天）的函数关系为:(t + 20 (Kt 〈25 , p= *-t + 吻〕2 廷设该商品的日销售量 Q 件）与时间t （天）的函数关系为 Q = 40 - t （0<t < 30, t € N *），求这种商品 的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ ［解］设日销售金额为 y （元），则y = PQ 、 -12+2o t + Mi （KtC25 , *所以 y =5 2（t € N ）40 - 24= (88 - 24) X即1= 4T - 24 = (88 - 24) X32 - 24= (88 - 24) X't2- 140t +4 MX） 2知.①当0<t<25 且t € N时，y =- （t - 10）+ 900,所以当t = 10 时，y max= 900（元）•②当25W t w 30 且t € N 时，y = （t - 70）- 900, 所以当t = 25 时，y max= 1 125（元）•结合①②得 y max = 1 125(元)• 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大自建确定性函数模型解决实际问题x［解］(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为 x 只，则畜养率为 m ，故空闲率为1⑵ 对原二次函数配方，得 y =-k (x 2-mxmxx［解］根据题意，由于最大畜养量为 m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为m 故空闲率为1 - m(o<x <m •2.(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时， k 的取值范围.［解］由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0<x + y <mm , km 十，m km ”， 十，因为当x = 2时，y max =才，所以0<2+"4<m 解得一2<k <2.又因为k >0,所以0<k <2.卜例牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量 y 只和实际畜养量比，比例系数为k (k >0) •(1) 写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域. (2) 求羊群年增长量的最大值.x 只与空闲率的乘积成正【导学号：37102387】思路探究:畜养率一> 空闲率y 与x 之间—单调性的函数关系' 求最值x-m 由此可得y = kx i 1mx - m母题探 1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如因为羊群的年增长量 y 只和实际畜养量 x 只与空闲率的乘积成反比，由此可得km 卄‘+亍即当x = y 取得最大值亍 何表示出y 关于x 的函数解析式?列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等•限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要 考虑变量的实际含义，如人不能是半个等•［类型別 ___________拟合数据构建函数模型解决实际问题 ［探究问题］1 •画函数图象的一般步骤有哪些? 提示：列表、描点、连线.2•学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？ 提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点•女口(1 , x i ) , (2 , X 2)，…，(7 , X 7).第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示. 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点.第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整.2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长•已知2014年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示:x 1 2 3 4 f (x )4.005.58 7.00 8.44 (1) 画出214〜217年该企业年产量的散点图；(2) 建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型， 并求出函数解析 式；⑶2018年(即x = 5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 函数模型，a +b = 4, 设 f (x )= ax + b (a ^0).由已知得 i p a + b = 7,••• f (X ) = 1.5 x + 2.5.检验：f (2) = 5.5，且 |5.58 — 5.5| = 0.08<0.1.f (4) = 8.5，且 |8.44 — 8.5| = 0.06<0.1.• 一次函数模型f (x ) = 1.5x + 2.5能基本反映年产量的变化.⑶根据所建的函数模型，预计 2018年的年产量为f (5) = 1.5 X 5+ 2.5 = 10万件，又年产量减少30%试根据所建立的确定 2018年的年产量为多少?思路探究: 描点 依散点图 --- >选模待定系数法求模 4早圭误差验模 ［解］⑴ (2)由散点图知，可选用一次函数模型.画出散点图，如图所示. a = 1.5 ,解得b = 2.5 ,某企业常年生产一种出口产品，自30% 即10X 70%= 7万件，即2018年的年产量为7万件.［跟踪训练］2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:(1) 根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？【导学号：37102388】［解］(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y= a • b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.取其中的两组数据(70,7.90) , (160,47.25)，代入y= a • b x得：7.9 = a • b705 !60 ，用计算器算得a-2, b~ 1.02.47.25 = a • b160这样，我们就得到一个函数模型：y= 2X 1.02 x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.⑵将x = 175代入y = 2X 1.02 x得y = 2X 1.02 175,由计算器算得y-63.98.由于78- 63.98 -1.22>1.2，所以，这个男生偏胖.［当堂达标•固双基］1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图3-2-6所示，那么图象所对应的函数模型是()B [由题意h = 20— 5t (0 w t w 4)，其图象为B.] 4.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元, 并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q = 40Q- 20Q ,则总利润L (Q 的最大值是万元•【导学号：37102390】2 500 [•每生产一单位产品，成本增加10万元,•单位产品数 Q 时的总成本为2 000 + 10Q 万元.•- K (O = 40Q-20&,•••利润 L (Q ) = 40Q- 20C f — 10Q- 2 000100xy = (0.957 6)x©957 6 \y= 100xx[由题意可知 y = (95.76%) 100，即 y = 0.9576 100.]若一根蜡烛长 20 cm ，点燃后每小时燃烧 5 cm ，则燃烧剩下的高度 h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )A. C. 分段函数 指数函数2. B .二次函数 D.对数函数[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.若镭经过 ]100年后剩留原来质量的 95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x , y 的函数关系是【导学号：37102389】A. xy = 0.957 6 100B. C.D.xy = 1 — 0.042 4 1003.201 2=-20( Q- 300) + 2 500 ,••• Q= 300时，利润L (Q 的最大值是2 500万元.］5.已知A , B 两地相距150 km,某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小 时后再以50 km/h 的速度返回 A 地.(1) 把汽车离开 A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2) 把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.［解］(1)①汽车由 A 地到B 地行驶t h 所走的距离s = 60t (0 w t w 2.5).② 汽车在B 地停留1小时，则汽车到 A 地的距离s = 150(2.5 v t w 3.5).③ 由B 地返回A 地，则汽车到 A 地的距离s = 150 — 50( t — 3.5) = 325 — 50t (3.5 v t w 6.5).60t t ：综上，s = 2飞 v i ，325 — 50t &jv t 总 I ］：，它的图象如图(1)所示.(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v = 0 2飞v t 冬：厂 ， 604020 石o 0 一 2O Q+ 30Q- 2 000 它的图象如图(2)1-5()15v tWfiV 所示.。
第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。
2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。
【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。
h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。
课时分层作业(二十五) 函数模型的应用实例(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到细胞的个数y 与x 的函数关系是( )【导学号：37102391】A ．y ＝2xB ．y ＝2x －1C ．y ＝2xD ．y ＝2x ＋1D [分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x 次后y ＝2x ＋1个．]2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图327所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )图327A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元B [由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.]3．有一组实验数据如下表所示：【导学号：37102392】A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2C [可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D ；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B ，故选C.]4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16D [由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16.] 5．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：【导学号：37102393】A ．20元B ．18元C ．16元D ．14元C [每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．] 二、填空题6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模拟较好．甲 [对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．] 7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_______km.【导学号：37102394】9 [设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，由y＝22.6，解得x ＝9.]8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是_____________(lg 2≈0.301 0)． 4 [设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x≤1100，所以x ≥1lg 2≈3.322，所以需4次．]三、解答题9．某种产品的年产量为a ，在今后m 年内，计划使产量平均每年比上年增加p %. (1)写出产量y 随年数x 变化的函数解析式； (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p . [解] (1)设年产量为y ，年数为x ，则y ＝a (1＋p %)x， 定义域为{x |0≤x ≤m ，且x ∈N *}． (2)y ＝a (1＋p %)2＝4a ，解得p ＝100.10．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v ＝12log 3x100－lg x 0，单位是km/min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．(参考数据：lg 2＝0.30，31.2＝3.74,31.4＝4.66)(1)若x 0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，它的飞行速度是多少km/min? (2)若x 0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min ，雌鸟的飞行速度为1.5 km/min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【导学号：37102395】[解] (1)将x 0＝2，x ＝8 100代入函数式可得 v ＝12log 3 81－lg 2＝2－lg 2＝2－0.30＝1.70，故此时候鸟飞行速度为1.70 km/min. (2)将x 0＝5，v ＝0代入函数式可得 0＝12log 3x100－lg 5， 即log 3x100＝2lg 5＝2·(1－lg 2)＝2×0.70＝1.40.所以x100＝31.4＝4.66，于是x ＝466.故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．(3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2.5＝12log 3x 1100－lg x 0，1.5＝12log 3x 2100－lg x 0，两式相减可得1＝12log 3x 1x 2，于是x 1x 2＝9.故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．[冲A 挑战练]1.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率P 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系P ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图328记录了三次实验数据，根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为( )图328A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟B [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以P ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316.所以当t ＝154＝3.75时，P 取得最大值．即最佳加工时间为3.75分钟．]2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )【导学号：37102396】A ．125B ．100C ．75D ．50C [由已知，得49a ＝a ·e －50k，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1， ∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.]3．2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)2 037 [由题意，得14(1＋1.25%)x －2 008>20，即x －2 008>lg107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，解得x >2 036.7，又x ∈N ，故x ＝2 037.]4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：地震强度(x )和震级(y )的模拟函数关系可以选用y ＝a lg x ＋b (其中a ，b 为常数)．利用散点图(如图329)可知a 的值等于_____．(取lg 2＝0.3进行计算)图32923[由记录的部分数据可知 x ＝1.6×1019时，y ＝5.0， x ＝3.2×1019时，y ＝5.2.所以5.0＝a lg (1.6×1019)＋b ，① 5．2＝a lg (3.2×1019)＋b ，②②－①得0.2＝a lg 3.2×10191.6×10，0.2＝a lg 2.所以a ＝0.2lg 2＝0.20.3＝23.]5．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【导学号：37102397】[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20<x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x －x ，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
