高观点下的高中数学1

就你认为的某个具有高等数学背景的中学数学问题进行讨论，并写成一篇3000字以上的论文。

高观点下的中学解题策略1 对于解题课教学有关概念的把握1.1数学家对数学“问题”及其解决的论述美国当代数学家哈尔莫斯详细阐述了问题对数学的重要性：“数学家存在的理由，就是解决问题．因此，数学的真正组成部分是问题和解．”“数学的产生及发展都是为了回答人们提出问题的需要，是问题的不断提出与解决在向数学输送着新鲜的血液，促进着数学的生长与发育，所以说，问题是数学的心脏．”数学家波利亚长期致力于“怎样解题”的研究，他指出：“掌握数学就是意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”法国著名数学家阿达玛在其名著《数学领域中的发明心理学》把学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论：“一个学生解决某一代数或几何问题的过程与数学家做出发现或创造的过程具有相同的性质，至多只有程度上的差异．”1.2数学问题的意义数学问题是指数学上要求回答或解释的题目，需要研究或解决的矛盾，是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统．一个完整的数学题包含条件、结论、解题方法三个要素．从具体范围看，数学问题可以是一个待求解的答案、一个待证明的结论、一个待求作的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题、一个待寻求的问题解法等形式；从教学场景看，数学问题有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的课外作业和测验试题，有师生共同进行的研究性课题等；从问题要素看，可分为标准性题（三个要素都已知）、训练性题（三个要素中有一个未知）、探索性题（三个要素中有两个未知）．传统意义上的数学问题具有接受性、封闭性和确定性的特征．其内容是熟知的，学生通过对教材的模仿操作性练习，就能较好地完成；其结构是常规的，答案基本确定、条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决．主要目的在于巩固和变式训练，题目的挑战性不是很强．现代意义上的数学问题具有灵活性、应用性和探究性等特征．包含数学情景题、数学应用题、数学开放题、数学探究题等崭新形式．它们拉近了数学与实际、数学与自然、数学与其它学科的距离，正在改变着传统解题教学的环境、格局和意义．1.3数学解题的认识解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．教学中的解题是一个再创造或再发现的过程，是数学学习的核心内容．解题是真正发生数学教育的关键环节，尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉．解题是掌握数学并学会“数学地思维”的基本途径．概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动．解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式．尽管不能认为是惟一的方式，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的一种方式．可以说解题贯穿了认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程．解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”．对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标．传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目．而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养．作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性提出了较高的要求．波利亚在《数学的发现》中将问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的．解决问题就是寻找这种活动．”第六届国际数学教育大会报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．“问题解决”是数学学科的一个永恒的课题．从信息论的观点探讨解题的思维过程．数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用．数学解题的过程是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆网络中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．数学解题的思维过程是“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”三位一体的工作．有用捕捉，即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?有关提取．即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据与解题方法．良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础．有效组合．即将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构．逻辑思维能力是有效组合的基础．1.4高中学生的心理和认知发展规律高中学生处于青少年中期，是个体身心发展的剧变期．青少年的可能性思维使他们能运用假设检验去解决问题，提高了问题解决的速度和效率，能够有计划和预见地解决问题，思维和推理更具抽象性、预测性和灵活性．高中生的思维中虽然仍有形象思维的成分，但抽象逻辑思维已经占主导地位．除把具体情景和环境作为思维对象外，还开始实际思考自己和他人的思维，把抽象的思想意识作为思维对象．高中生的元认知能力大大增强，能够更好地监控自己的思维活动．他们运用更多的时间反思自己将要解决问题的思想观念和表象，具有了自我反省能力．他们的元记忆知识更加丰富，元理解能力已经发展到一个较高水平．根据高中学生的心理和认知发展规律可以看出，高中生已经能够承担较为复杂的学习任务，有能力参与高中数学解题课的教学，并顺利完成相应的教学任务．中学数学解题方法是数学方法论、学习论、思维论研究的重要组成部分．数学解题课具有教学功能、思想教育功能、发展功能和反馈功能．数学解题课的教学，可使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成完善合理的认知结构．数学解题课的教学，达到知识的应用，有利于启发学生学习的积极性．它是采用一段原理去解释具体的同类事物，由抽象到具体的过程．数学解题课的教学，也是一种独立的创造性活动．数学问题所提供的问题情境，需要探索思维和整体思维，也需要发散思维和收敛思维．因而可培养学生的观察、归纳、类比、直觉、抽象等合情推理以及寻找论证方法等演绎推理能力，准确、简要、清晰地表述以及判断、决策等一系列数学素养和能力，给学生以施展才华、发展智慧的机会．数学解题课是高中数学重要的基本课型之一．2 高中数学解题课的教学要求2.1课程标准对数学解题课的基本要求高中教育首先是人生发展的一个重要阶段，是学生生活的一部分，而不是服务于某一个既定目标的工具．高中阶段的任务应超越“单一任务”和“双重任务”这种教育工具化的倾向，实现从精英教育到大众教育的转变．定位于奠定高中生进一步学习的基础学力，养成其人生规划能力，培养公民基本素养并形成健全人格上．《数学课程标准》指出：“数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．”《数学课程标准》在界定高中数学课程性质时指出：“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人文社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”《数学课程标准》关于高中数学课程性质中专门对数学的应用提出要求：“高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力．”《数学课程标准》在“建立合理、科学的评价体系”中提出，要“关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神”．2.2数学解题课的教学目标高中数学解题课的目标是：在数学方法论、学习论、思维论、多元智能、建构主义等教育理论指导下，培养学生形成“提出问题—分析问题—解决问题—反思问题”的良好习惯和品质，形成理性思维，发展智力和创新能力．培养学生实事求是的态度、锲而不舍的精神，学会用数学的思考方式解决问题、认识世界．培养学生在数学解题过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神，全面提高学生的综合素质．倡导积极主动，创新学习方式；经历思维过程，培养数学素养；开展数学建模，培养应用意识；强调返璞归真，揭示发展规律；体验数学美感，强化文化价值．解题课的教学应突出三个方面：一是使学生准确、灵活地掌握数学知识，扩大知识的联系；二是使学生形成分析和求解数学问题的思路和方法；三是发展学生的思维能力．数学解题教学的根本任务是发展学生的思维潜能，促进学生整体素质的提高，通过素质的全面提高反过来带动学业成绩的提高．2.3数学解题课的特点该课型应体现学生的学习活动是在“解决问题中学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决问题的方法．解题课的教学过程应着力展现解题思维的全过程，充分发掘数学教材中没有具体表述的能力、智力的教育因素，注意对解题策略、思维方法、解题技巧等进行分类、归纳、评价．根据数学问题的难度、学生的知识基础及思维能力水平，铺设合适的梯度，设计好同类知识的训练题组．解题课的教学，应让师生共同交流解题思维的全过程，引导学生自己动脑、动手、动口，积极参与解题教学活动；引导学生自我评价、优化解题思路，改进解题策略，从而寻求最优的解题方法．解题活动以思维的“动”为最大特点．要提高数学解题能力，就必须拓展学生自由思维和联想的空间，让思维“动”起来．在传统的数学解题课教学中，课堂由老师支配，对课堂问题的思考、回答和讨论都是教师预设的，学生的一切活动都依赖于老师．学生不敢也不愿意突破固有的框架，学生的个性受到压抑，主体性得不到发挥，思维得不到发展．新课程理念要求教师的课堂以学生为主体，创设民主、和谐、宽松、自由的课堂环境，调动一切因素和状态，拓展学生思维活动空间．使学生主动地参与教学．在这样的环境里，师生平等，学生消除了胆怯和依赖心理，他们可以无拘无束地表现自己，表达自己对问题的想法和认识．学生的积极参与和质疑扩大了生生之间的信息交流与师生之间的信息反馈，有利于新思想、新方法的展示，也有利于问题的发现．这样，教师才能沿着学生的思想轨迹，综合学生反映出来的各种问题因势利导，澄清疑点，纠正错误，优化思想品质．2.4数学解题的规范解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段．规范的解题能够养成良好的学习习惯，提高思维水平．在学习过程中做一定量的练习题是必要的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担，弱化解题的作用．要克服题海战术，强化解题的作用，就必须加强解题的规范．做到审题规范、表达规范、答案规范．审题规范是正确解题的关键．审题是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程，包括明确条件与目标、分析条件与目标的联系、确定解题思路与方法三部分．明确条件与目标，一是找出题目中明确告诉的已知条件，发现题目的隐含条件并加以揭示，二是明确要求什么或要证明什么，把复杂目标转化为简单目标；把抽象目标转化为具体目标．一个题目的条件与目标之间存在着一系列必然的联系，这些联系是由条件通向目标的桥梁．数学解题就是根据这些联系所遵循的数学原理确定解题思路．数学解题的实质就是分析这些联系与哪个数学原理相匹配．有些题目，这种联系十分隐蔽，必须经过认真分析才能加以揭示；有些题目的匹配关系有多种，而这正是一个问题有多种解法的原因．叙述规范是数学解题的重要环节．语言（包括数学语言）叙述是表达解题程式的过程，规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据．数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云．怎样把数学的解答严谨地叙述出来是一件不容易做到的事，这有着较高的能力要求．总的说来，叙述要正确、合理、严密、简捷和清楚．把运算、推理、作图与所得的结果无误地加以叙述，是解题的一项基本要求．对列式、计算、推理、作图都要有充分的理由，遵循严格的思维规律，做到言必有据，理由充足，合乎逻辑性．要周密地考虑问题中的全部内容，不能遗漏，也不能重复．任何数学问题的解答都有一定的格式要求，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述规范．这里包含书写时要力求字迹清楚，作图正确，疏密适度，行款得体．所有这些能力的培养有一个渐进的过程．在不同的学习阶段，应提出不同的要求，教师在解题课教学过程中要作出示范，使学生学有榜样，逐步培养严谨的表达能力．答案规范是数学解题的成果体现．答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整．要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答．在数学解题课上，常常是先把问题转化成一般数学问题，再把一般数学转化为规范数学问题，最后的答案必须进一步转化到原有问题中去，并考虑到原有问题对解的各种限制和要求．2.5数学解题课教学的基本要求培养学生的问题意识．解题活动不仅指解决问题的过程，更重要的是指提出问题的过程，解决问题最困难的部分之一是提出正确的问题．问起于题，疑源于思．数学学习过程是一个复杂的思维过程，也是一个不断地“生题——质疑——释疑”的过程．大胆怀疑，是数学创造活动的特征．质疑，表现了一种求知欲，包含着智慧的火花；质疑，是一种探索精神，孕育着创造．要逐步培养学生敢于提出问题，勇于提出问题，善于提出问题的问题意识．合情推理与问题解决．数学既是严谨的演绎科学,又是实验性的归纳科学．数学的发生、发展过程是观察、实验、归纳、类比、猜想等合情推理与判断、证明等演绎推理的交织互动．数学问题的分析过程就是一种数学发现，观察、联想、类比、猜想、归纳、概括等合情推理是数学问题分析过程的主要形式．在数学问题解决教学过程中，引导学生通过经历可信的、自然的、有一定弯拐歧路的知识生长过程，模拟数学家研究数学的过程．从合情推理发现数学命题及其证明思路，再由演绎推理证明命题的真伪，正是人们发现、发明、创造的一般程序．数学探索、研究中艰难坎坷的体验和成功的喜悦，是人生十分珍贵的经历．只要引导学生勤于思考，他们在日常的阅读中，在听讲中，在解题中，总会有所思考，有所猜想，有所发现．这日常中的点滴发现，与重大的数学发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．多元智能与问题解决．数学问题的解决依赖于逻辑/数学智能，又是空间智能、语言智能、自我认识智能、人际交往智能等综合作用的过程．数学解题课中要充分考虑多元智能在问题解决中的重要作用，分析不同个性特征对“问题解决”的影响，发展学生的数学心智．一般解题方法的教学．学习借鉴波利亚《怎样解题表》，逐步培养学生养成“理解题意——拟定方案——执行方案——反思回顾”的科学、规范的一般解题过程．了解波利亚的数学启发法与数学解题的常用模式及其在数学解题教学中的意义．从认知心理学与数学教育学的角度认识数学基础知识、基本技能与数学解题的关系，认识知识的合理组织、调控、信念在分析与解决问题中的意义，将数学解题与思维培养紧密结合起来．要熟悉数学解题的常用策略和方法，理解数学解题策略在数学解题及生活中的意义．熟悉数学解题的一般方法与技巧．重视学生的发散思维．思维是人脑反映事物的一般特性和事物之间规律性的联系，以已有知识为中介进行推断和解决问题的过程．任一思维现象均是多种思维形态的综合．根据思维所承担的任务不同，而对于某种思维形态有所侧重．发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径．具体地说，就是依据定理、公式和已知条件，产生多种想法，广开思路，提出新的设想，发现和解决新的问题．发散思维富于联想，思路宽阔，善于分解、组合、引申、推广，灵活采用各种变通方法，在数学教学中，可以培养学习兴趣，提高解题能力．在解题课教学中，对于数学问题的讲解，要结合对方法的思考及方法的选择过程，应注意“抛砖引玉”，决不“能越俎代庖”．要引导学生“察言观色”，广泛地开展联想，寻找解决问题的多种途径．学会举一反三，重视学生发散思维的培养．重视解题的基本理念．无论解决什么问题，我们都不忘从“知识—方法—观念”的角度去审视题目，做到让学生心里有数，做到知识熟、方法活、观念有．基本知识熟就是熟悉知识的等价表述，熟悉知识的有关范例，做到“一道题就是一个观点，就是一种方法”；基本方法活就是活用“基本的逻辑证法、数形结合法、待定系数法与估算法”，做到用“有限去把握无限”；基本观念有则要求学生心中要有“一与多”、“有限与无限”、“数与形”、“整体与部分”等观念．重视学生的反思能力．在数学解题课教学中，要引导学生摆脱“题海战术”，提高数学素质，培养数学能力．使学生学会“反思”．做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训．搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”．一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等．反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础．长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣．2.6精心设计数学解题课的问题解题课的问题要处于学生的“最近发展区”．学生的认知系统和教师的认知系统是不一样的，教师在进行问题设计时，必须根据学生的“最近发展区”进行设计．学生的发展必须在现有的基础上发展，而学生课堂上的认知系统，就是他们以后逐步提高的“最近发展区”．要想使设计出的问题能达到预设目的，使学生根据问题进行讨论和学习，教师必须能够设计出切入到学生的认知系统的问题．反之，武断地根据教师自己的认知系统设计，只能使学生产生厌倦和畏难情绪，常有教师抱怨说“在课堂上无论怎样引导，学生总是启而不发”，其实关键是没有找出学生的“最近发展区”．如果问题处于学生的“最近知识区”，在老师的引导下，他们会很快解决这个问题，并能够获得独立完成思考的能力和成就感．解题课问题的设计要多功能化．数学问题应使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识系统，逐步形成和完善合理的认识结构．体现其教学功能、发展功能、检查功能和思想教育功能．解题课问题的选择要有针对性．问题要针对教学目标、针对知识点、针对学生的学习现状．问题选择要注意可行性，不宜过易也不宜过难．问题选择要有典型性，要克服贪多、贪全，既要注意到对知识点的覆盖面，又要能通过训练让学生掌握规律，达到“以一当十”的目的．要注意对课本例题的挖掘，课本例题均是经过专家多次筛选后精品，教师要精心设计和挖掘课本例题，编制一题多解、一题多变、一题多用的例题，提高学生灵活运用知识的能力．解题课的问题要有很强的探索性．一个问题的好坏，不在于它一定有多大的实用价值，而在于在该问题实施的过程中是否具有探索性，能否让学生更深入挖掘问题深处的内涵，能。

高等数学观点审视下的高中数学难题的解题思路教学摘要：本文用高等数学观点审视高中数学难题的解题思路教学过程，并应用多元函数极值、拉格朗日中值定理、极点极线等高数观点作为主线，注重研究高等数学观点如何有助挖掘题目本质，有助于形成中学数学的解题思路，从而达到深入浅出，提升尖子生的解题能力与数学素养。

关键词：解题思路形成；高等数学观点；多元函数极值；拉格朗日中值定理；极点极线一、论证高等数学观点在高中数学难题的解题思路点拨中的必要性首先，高中数学难题的解题思路与能力提升离不开学生的主动参与和建构。

教育心理学家布鲁纳认为：“知识的获得过程是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动的接受者，而应是知识获取的主动参与者。

”如果教师在高考数学难题解题的教学过程中，只注重把题型归类，解题步骤灌输给学生，然后让学生针对这些题型的大量刷题就以为万事大吉，那么在实践中往往事与愿违，因为高考中往往会出现教师没归纳到的新类型，所以学生又不会做了。

所以，我们在高中数学难题教学中需要重视帮助学生挖掘题目的本质以及让学生知道解题思路的形成过程是怎样的，体验到解题的思维痕迹生成过程，从中真正提高解题思维与数学核心素养。

其次，要把握高中数学难题的本质与思维突破口，往往需要站在更高角度上去思考问题，比如从高等数学的层面思考。

罗增儒[1]在《高考数学压轴题的认识研究（续）》文章中指出，高考数学压轴难题都有背景特征。

因此，如果我们把尖子的思维与目光只局限于现有的中学阶段，这其实不利于培养尖子继续深造的潜力的，没有培养出尖子洞察到难题的思维本质，只是依靠题山题海的刷题模式打造出来的尖子是“只见树木不见森林”，其解题思维认知是孤立零散的，与当前倡导考查数学素养的高考趋势相背离。

我们用高等数学的观点去审视高中数学难题的教学，但并不是用高等数学方法代替中学数学的解题方法。

我们的难题教学模式应该是不管题目再难，在高等数学观点下，题目的本质一览无遗，找到解题的思维痕迹，再从容的用高中数学知识解出来，达到深入浅出的一个效果，这对提升尖子生的解题思维与能力是有必要的。

高1数学知识点总结第1篇1.函数知识：基本初等函数性质的考查，以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。

2.向量知识：向量具有数与形的双重性，高考中向量试题的命题趋向：考查平面向量的基本概念和运算律;考查平面向量的坐标运算;考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。

3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解，是不等式命题的新取向。

高考中不等式试题的命题趋向：基本的线性规划问题为必考内容，不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高;解不等式的试题，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。

考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

4.立体几何知识：20xx年已经变得简单，20xx年难度依然不大，基本的三视图的考查难点不大，以及球与几何体的组合体，涉及切，接的问题，线面垂直、平行位置关系的考查，已经线面角，面面角和几何体的体积计算等问题，都是重点考查内容。

5.解析几何知识：小题主要涉及圆锥曲线方程，和直线与圆的'位置关系，以及圆锥曲线几何性质的考查，极坐标下的解析几何知识，解答题主要考查直线和圆的知识，直线与圆锥曲线的知识，涉及圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线方程联立，定点，定值，范围的考查，考试的难度降低。

6.导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。

用高观点教数学概述这里所说的高观点，是高层次的观点、理论、思想、方法的总称。

中国有一句古老的教育名言：师傅领进门，修行在个人。

这句话虽然家喻户晓。

但是，怎样领法呢？根据我的经验，教师主要用高观点武装学生头脑，使他们居高临下，自主修行。

任何事情，只有用较高的观点去审视，才能看清它的本质。

严格来说，同数学课本中的知识一样，高观点也属于知识的范围。

因此，从数学教学的角度来看，我们面对的是一座知识的高楼大厦，不同层次的知识居住在不同的楼层。

课本住在哪？主要在底下，D1，D2，D3等。

高观点住在哪？主要在地上，F1，F2，F3等。

可见，这里所说的高观点主要是高于课本的观点，它是获取课本上基本知识的有效手段。

没有高观点，即使有苦读深思的习惯，即使把书读破读烂，也是事倍功半。

可以这样讲：精读深思+高观点=如虎添翼。

就中学数学教学而言，高观点有哪些呢？我不可能说出全部的高观点，根据几十年的经验，我大致谈五个层面。

第一、共性个性原理；第二、简易逻辑知识；第三、学习数学的主要原则；第四、数学的主要特点；第五、一些数学学习方法口诀。

以下，将分别加以叙述。

一、共性个性原理（一）回顾和问题本来，从数学教学的角度看问题应该把方法和知识区分开来，把方法看做获取知识的手段。

方法和知识的关系，应看成渔和鱼的关系。

渔和鱼，无论如何不能混为一谈。

试想，有哪个人，吃鱼时却吃起鱼杆来？但是，严格说来，方法和知识又很难区分。

比如，有个计算题“已知三角形的两个角分别是50°和60°，求第三个角”，若问，解这个题应该用什么方法，人们都会说三角形的内角和定理，可见，三角形内角和定理这个基本知识，此时很自然地被人们看成了方法。

又比如，解一元二次方程的公式法，是一个方法，但根的公式却又是很重要的基本知识。

在中学数学里，想以上那样，方法和知识难以区分的事实还可以举出很多很多。

事实上，教科书里，每一个定理，法则，公式等基本知识都可以看成方法，而每一个带“法”字的所谓方法又都是基本知识。

《高观点下中学数学——分析学》练习题一一、填空题1.若C B C A ⊂⊂,，则C B A _____ .2.若},{b a A =，则_______2=A.3.设Y X f →:，若Y X f =)(，则称f 为从X 到Y 上的 .4.若复数0x 是某个整系数多项式方程的根，则称0x 是 数.5.设nn x nx f ∑∞==11)(，则ln(_____))(=x f . 6.设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内，对于)1,0(),,(,21∈∀∈∀αb a x x ，有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≤-+，则称)(x f 是),(b a 内的 函数.7．集合X 中的关系R 同时为反身的、对称的、（ ），则称关系R 为等价关系。

8．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（ ），则称该集合为有限集。

9．函数)(x f 在点a 的邻域内有定义，若（ ），则称函数)(x f 在点a 处连续。

10．设)(x ϕ是从),0(+∞到R 上的连续函数，满足： 1）（ ）；，2）对于,1,0≠>a a 有1)(=a ϕ,则)(x ϕ是以a 为底的对数。

11．若函数)(),(t c t s 是定义在R 上的连续函数，且满足： 1）（ ）；2）0>∃λ，当),0(λ∈t 时，0)(,0)(>>t s t c ；3）1)()0(==λs c ,则分别称)(),(t c t s 是正弦函数与余弦函数。

12．设F 为从集合X 到集合Y 中的关系，若X x ∈∀,有唯一的Y y ∈，使（ ），则称F 为（从X 到Y 中的）映射。

13.若C A B A ⊂⊂,，则C B A ⋂_____. 14.若}{,乙甲=A ，则_________2=A.15.设Y X f →:，若2121,,x x X x x ≠∈∀，有)()(21x f x f ≠,则称f 为从X 到Y 上的 .16.含有 的等式叫做函数方程. 17.设121)!12(1)1()(-∞=∑--=n n nx n x f ，则_____)2(=πf .18．设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内，对于)1,0(),,(,21∈∀∈∀αb a x x ，有)()1()())1((2121x f x f x x f αααα-+≥-+，则称)(x f 是),(b a 内的 函数.19．集合X 中满足（ ）的二元关系称为序关系。

《高观点下中学数学—分析学》一1. A 的幂集A 2的构成形式是什么？ 解： A 2=｛B|B ⊆A ｝2. A ，B 是两个集合，集合A ⨯B 的构成形式？ 解：A ×B=｛（a ，b ）| B b A a ∈∈,｝3. 什么有限集？解：若集合A 中的元素个数|A|有限，则A 为有限集。

4. 什么叫函数)(x f 在点a 连续？解：设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，如果对于任何ε>0，都存在δ>0，使当 |x-a|<δ时，有| )(x f －)(a f |< ε，则称)(x f 在点a 连续。

5. 设A ，B 是两个集合且B A ⊂，则)(A B B --和A.是什么关系？ 解：)(A B B --=A 。

6．的关系。

（与说明))()(C A B A C B A -⋂-⋃-解：).)()(C A B A C B A -⋂-=⋃-（。

7．设X B X A Y X f ⊂⊂→,,:，则什么关系？与)()()(B f A f B A f ⋂⋂. 解：)()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂。

8. 设R 是X 中的关系，若φ=-1R R ，则称R 为什么？解：称R 为实数集。

9 X 是一集合，对于XB A 2,∈，规定,B A B A ⊂⇔<则称),2(<X是否是全序集？解：是。

{}d c b a X ,,,=，则a,{a}与集合X 的关系是什么？解：a X ∈,｛a ｝⊆X.11. 函数)(x f 在开区间),(b a 内可导，则)(x f 在开区间),(b a 内是否连续？给出理由。

解：连续。

可导必连续。

)sin()cos()(22x x x f +=，求)(x f '.解：)(x f '=－sin(x 2)·2x ＋cos(x 2)·2x=2x[sin(x 2)＋cos(x 2)]x f x f x =+)()(51，求)(x f .解：根据题意得：x f x f x =+)()(51 ① ， xxf xf 1)11()1(5=+ ②，由①、②解得 。

一道高观点下的数学高考压轴题518102 广东深圳宝安西乡中学 李兴无今年北京高考理科数学最后一道大题（第20题）是有关抽象函数的不等式的证明题，认真分析研究该题中的（Ⅱ），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题。

本文给出这个问题的两个推广，其中后一个推广是用微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz ）条件表述。

第20题：设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （ⅰ）0)1()1(==-f f ；（ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，都有v u v f u f -≤-)()(。

（Ⅰ）证明：对任意的]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1；（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1)()(≤-v f u f ；（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，使得v u v f u f -<-)()(，当]21,0[,∈v u ，v u v f u f -=-)()(，当]1,21[,∈v u 。

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

推广一：函数)(x f 定义在],[b a 上，)()(b f a f =，且满足条件： 对任意的],,[,21b a x x ∈都有2121)()(x x x f x f -≤-，则必有 2)()(21a b x f x f -≤-。

证明：（ⅰ）当221a b x x -≤-时，由2)()(2121a b x x x f x f -≤-≤-知， 显然成立。

（ⅱ）当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则221a b x x --<-，从而 )()()()()()(2121x f b f a f x f x f x f -+-=-)()()()(21x f b f a f x f -+-≤2121x b a x x b a x -+-=-+-≤2221a b a b a b x x a b -=---<-+-=. 综合可知，总有2)()(21a b x f x f -≤-成立。

2011/3数学大世界shu xue da shi jie 数学大世界（下转81页）75☆百家讲坛☆一、为什么要讨论“高观点”近几年来，新课程改革如火如荼地进行着，新课程改革对教师的要求提到了更高的层次，如何全方位地把握高中数学教学，能不能高观点下驾驭中学数学内容也成了衡量一位高中数学教师够不够胜任的重要标准之一。

教师应首先转变观念，充分认识数学课程改革的理念和目标，以及自己在课程改革中的角色和作用。

教师不仅是课程改革的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量。

教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。

为了更好地实施新课程，教师应积极地探索和研究，提高自身的数学专业素质和教育科学素质。

”可见，数学课程改革对教师提出了更高的要求，教师不能再是以前照本宣科式的只能给学生灌输知识的教书匠了，教师要从学生需要的角度出发，从学生终身发展的角度出发来实施教学。

2006年11月3日－5日，“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计”第二次课题会议在浙江省温州市举行，会议的主题是：中学数学核心概念、思想方法及其教学设计典型案例研究。

省高中数学新课程专业指导小组成员金克勤指出：核心概念的教育价值，实际上是从高层次理解核心概念；成员薛红霞指出高观点下看中学内容是非常重要的，如何在高观点下驾驭中学数学内容是当前新课程改革不可回避的问题。

2009年9月28日－29日，浙江省高中数学新课程“疑难问题解决”暨高观点下的数学教学研讨会在宁波市惠贞书院举行，浙江省海宁电大张小明副教授，浙江省教育学会数学教学分会会长金蒙伟教授为全体与会代表分别作了《例举初等数学与高等数学的一些联系》及《从高等数学看中学数学—高观点下中学数学教学》的精彩报告，两位教授站在高等数学角度看中学数学问题的报告让全体老师清楚认识到高中数学教师必须得站得高，才能看得远，才能真正把准高中数学教学脉搏。

德国著名的数学家、数学教育家F ·Klein 在其名著《高观点下的初等数学》中曾指出：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好象同中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他们很快就完全忘了中学所学的东西，但是毕业以后，他们当了教师，他们又突然发现，要他们按老师的教法教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前所教内容与所受大学数学训练之间的联系，于是很快就坠入相沿成习的教学方法，而他们所受到的大学训练至多就成为一种愉快的回忆，对他们的教学毫无影响。