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第2章 控制系统的数学模型习题及解答2-1 已知质量-弹簧系统如题2-1图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。
当外力F (t )作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，试列写系统的运动方程。
解： 设 质量m 1的位移量为x (t ),根据牛顿第二定律有y k y x k dt yd m 21222-)(−= ①)(1221y x k F dtxd m −−= ②①式可以写作y k k x k dtyd m )(211222+−= ③由①式也可以得到y k dtyd m y x k 22221)(+=− ④③式两端同时求二阶导数，可得2221221442)(dty d k k dt x d k dt yd m +−= ⑤将②、③式代入⑤式中，整理可得F m k y m k k dty d m k m k m m dt y d m 1112122122121442)(=−++++ 2-2 求题2-2图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。
其中，x (t )为基底相对于惯性空间的位移，y (t )为质量相对于惯性空间的位移。
z (t )= y (t )- x (t )为基底和质量之间的相对位移，z (t )由记录得到， x (t )和z (t )分别为输入量和输出量。
解：应用牛顿第二定律可得dtt dz f kz dt y d m )(22−−= 将z (t )= y (t )- x (t )代入上式，整理可得2222dtx d m kz dt dz f dt z d m −=++题2-2图题2-1图解：（a ）引入中间变量u c (t)表示电容器两端的电压。
根据基尔霍夫电流定律有o c c u R u R dt du C2111=+ 根据基尔霍夫电压定律有o i c u u u −=联立消去中间变量，可得描述输入量u i (t )和输出量u o (t )之间关系的微分方程为i i o o u R dt du C u R R R R dt du C121211+=++ （b ）引入回路电流i (t )和电容器两端的电压u c (t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定律有i o u u i R =+1 另有电容元件的元件约束关系方程dtdu Ci c =和i R u u o c 2−=联立求解，消去中间变量可得i i o o u R dt du C u R R R R dt du C121211+=++（c ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)，根据基尔霍夫电流定律有dtduC u u R dt u u d C c o i o i 2211)(1)(=−+− ①求导可得22221221)(1)(dtu d C dt u u d R dt u u d C c o i o i =−+− ② 另有输出支路电压方程o c c u u dtdu C R =+2222 等式两边求导有dtdu dt du dt u d C R oc c =+222222 ③将①、②代入③式，整理可得i ii ooo u C R dt du C R C R C R dt u d C R u C R dt du C R C R C R C R dt u d C R 2121221121221212122112121122+++=++++2-4 试求题2-4图所示有源RC 电路的微分方程，其中u i (t )为输入量，u o (t )为输出量。
自动控制原理习题详解（上册夏超英主编科学出版社）第一章习题解答1-1什么是开环控制系统？什么是闭环控制系统？比较开环控制系统和闭环控制系统的不同，说明各自的优缺点。
答：在开环控制系统中，信号从控制器到执行机构再到被控对象单方向传递，输出量不对控制作用产生影响。
开环控制系统结构简单，成本低，但无法克服被控对象变化和扰动对输出的影响。
在闭环控制系统中，被控对象的输出反方向被引到控制系统的输入端，信号沿前向通路和反馈通路闭路传输，控制量不仅与参考输入有关，还与输出有关，即根据参考输入和系统输出之间的偏差进行控制。
闭环控制系统需要对输出量进行测量，存在稳定性设计问题，较开环控制系统复杂，但可以有效地克服被控对象变化和扰动对输出的影响。
1-2日常生活中反馈无处不在。
人的眼、耳、鼻和各种感觉、触觉器官都是起反馈作用的器官。
试以驾车行驶和伸手取物过程为例，说明人的眼、脑在其中所起的反馈和控制作用。
答：在驾车行驶和伸手取物过程的过程中，人眼和人脑的作用分别如同控制系统中的测量反馈装置和控制器。
在车辆在行驶过程中，司机需要观察道路和行人情况的变化，经大脑处理后，不断对驾驶动作进行调整，才能安全地到达目的地。
同样，人在取物的过程中，需要根据观察到的人手和所取物体间相对位置的变化，调整手的动作姿势，最终拿到物体。
可以想象蒙上双眼取物的困难程度，即使物体的方位已知。
1-3 水箱水位控制系统的原理图如图1-12所示，图中浮子杠杆机构的设计使得水位达到设定高度时，电位器中间抽头的电压输出为零。
描述图1-12所示水位调节系统的工作原理，指出系统中的被控对象、输出量、执行机构、测量装置、给定装置等。
出水进水阀门进水2Q图1-12 水箱水位控制系统原理图答：当实际水位和设定水位不相等时，电位器滑动端的电压不为零，假设实际水位比设定水位低，则电位器滑动端的电压大于零，误差信号大于零（0e >），经功率放大器放大后驱动电动机M 旋转，使进水阀门开度加大，当进水量大于出水量时（12Q Q >），水位开始上升，误差信号逐渐减小，直至实际水位与设定水位相等时，误差信号等于零，电机停止转动，此时，因为阀门开度仍较大，进水量大于出水量，水位会继续上升，导致实际水位比设定水位高，误差信号小于零，使电机反方向旋转，减小进水阀开度。
习题习题2-1 列写如图所示系统的微分方程习题2-1附图习题2-2 试建立如图所示有源RC网络的动态方程习题2-2附图习题2-3 求如图所示电路的传递函数, 并指明有哪些典型环节组成（a）(b)(c)习题2-3附图习题2-4 简化如图所示方块图, 并求出系统传递函数习题2-4附图习题2-5 绘制如下方块图的等效信号流图, 并求传递函数图（a）图(b)习题2-5附图习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号流图, 并求传递函数。
),(d )(d )(),(d )(d ),()()()(),()(),(d )(d )(),()()(54435553422311121t y tt y T t x k t x k tt x t y k t x t x t x t x k t x t x k tt x t x t y t r t x +==--==+=-=τ习题2-7 利用梅逊公式直接求传递函数。
习题2-7附图习题2-8 求如图所示闭环传递函数, 并求(b)中)(s H x 的表达式, 使其与(a)等效。
图（a ）图（b）习题2-8附图习题2-9 求如下各图的传递函数（a）(b)(c)习题2-9附图习题2-10 已知某些系统信号流图如图所示, 求对应方块图（a ）(b)(c)(d)习题2-10附图习题答案习题2-1答案：解:设外加转矩M 为输入量,转角θ为输出量,转动惯量J 代表惯性负载,根据牛顿定律可得:θθθ1122d d d d k t f M tJ --=式中,1,1,k f 分别为粘性阻尼系数和扭转弹性系数,整理得:M k t f tJ =++θθθ1122d d d d习题2-2答案：解: 设r u 为输入量,c u 为输出量,,,,21i i i 为中间变量,根据运算放大器原理可得:1221d d R u i R u i t u c i r c c ===消去中间变量可得: r c c u R Ru t u C R 122d d -=+ 习题2-3答案： 解: (a)11111111221212211121121120++=+++=+++=+++=Ts Ts s R R R C R s C R R sC R sC R sC sC R R sC R u u i β其中:221121,R R R C R T +==β, 一阶微分环节，惯性环节.(b)21121212111221122011//1R R s C R R R s C R R R sC R R R sC R R u u i+++=++=+= 11111111212121221121111++=+∙++∙+=+++=Ts Ts s C R R R R s C R R R R R R s C R R s C R αα其中 α=+=21211,R R R T C R , 一阶微分环节，惯性环节.(c)s C R s C R s C R s C R s C R sC R R sC sC R u u i 21221122112211220)1)(1()1)(1(1//11+++++=+++= 由微分环节，二阶振荡环节组成。
第一章绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优弊端.解答： 1 开环系统(1)长处 :构造简单，成本低，工作稳固。
用于系统输入信号及扰动作用能早先知道时，可获得满意的成效。
(2)弊端：不可以自动调理被控量的偏差。
所以系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2闭环系统⑴长处：不论因为扰乱或因为系统自己构造参数变化所惹起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去消除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调理的控制系统。
在实质中应用宽泛。
⑵弊端：主要弊端是被控量可能出现颠簸，严重时系统没法工作。
1-2什么叫反应？为何闭环控制系统常采纳负反应？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反应。
闭环控制系统常采纳负反应。
由1-1 中的描绘的闭环系统的长处所证明。
比如，一个温度控制系统经过热电阻（或热电偶）检测出目前炉子的温度，再与温度值对比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3试判断以下微分方程所描绘的系统属于何种种类（线性，非线性，定常，时变）？2 d 2 y(t)3 dy(t ) 4y(t ) 5 du (t ) 6u(t )（1）dt 2 dt dt（2） y(t ) 2 u(t)（3）t dy(t) 2 y(t) 4 du(t) u(t ) dt dtdy (t )u(t )sin t2 y(t )（4）dtd 2 y(t)y(t )dy (t ) （5）dt 2 2 y(t ) 3u(t )dt（6）dy (t ) y 2 (t) 2u(t ) dty(t ) 2u(t ) 3du (t )5 u(t) dt（7）dt解答： （1）线性定常（2）非线性定常 （3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的表示图， 图中 Q1，Q2 分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为必定的高度。
自动控制原理第2章习题解(共10页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-习 题 22-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2-77习题2-1图证明：首先看题2-1图中(a)()()()s U s U s U C R R -=()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R R R ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=11 ()()s I s C R s U C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=221()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1122112211111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C11122211122211111+⨯+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯+2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。
图2-78 习题2-2图解：(a)()()()t u R t u R dt t du Co r r 211-=+ (b)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111(c)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t u dt t du C R t u R r c c 211 2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。
在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x 0=，0，时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。
解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。
于是有，在x 0=，0，这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：1）()()35.5625.2805.175.040402.1==----=-=x dx df2）20020400=--==x dx df 3）65.2155.0320355.2==--==x dx df2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u 为输入量，负载转速ω为输出量。
自动控制原理-夏超英-第2章+习题解答第二章习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。
（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin 32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s =+（b ）23372()1F s s s s=+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ?? ?++??=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ???? ? ?+++=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ?? ?++??=+=++ 2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。
()x t 04πtt 1()x t 04πtt ()x t 0at2t bc 1t 3t ()x t 01t2T2T1-（a ）（b ）（c ）（d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s ss s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-?-+---+--+- 所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s ------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。
第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。
（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s =+（b ）23372()1F s s s s=+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。
（a ） （b ） （c ） （d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s s s s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-⨯-+---+--+-所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。
（a ）2()(2)F s s s =+，（b ）10()(1)(10)F s s s s =++，（c ）232()420s F s s s +=++，（d ）22(2)()(1)(4)s F s s s +=++，（e ）21()s F s s+=，（f ）22()s e F s s -=解：（a ）部分分式分解有211()(2)2F s s s s s -==+++查表得2()1t f t e -=-（b ）部分分式分解有101 1.11110.1111()(1)(10)110F s s s s s s s -==++++++查表得10()1 1.11110.1111t t f t e e --=-+（c ）部分分式分解有222223224()3420(2)4(2)4s s F s s s s s ++==-++++++⎫=查表得2222()3cos 4sin 4 3.162(0.949cos 40.3162sin 4)3.162sin(4108.38)t t t tf t e t e t e t t et ----=-=-=+（d ）部分分式分解有222222222222(2)0.6670.667 2.667()(1)(4)120.66720.66720.66720.2980.4470.894122122s s F s s s s s s s s s s s s s +-+==+++++⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭查表得()()0.6670.2980.447cos20.894sin 20.6670.298(sin 2153.4)t t f t e t t e t --=--=-+（e ）部分分式分解有22111()s F s s s s+==+ 查表得()1f t t =+（f ）根据位移定理有()(2)1(2)f t t t =-⋅-2-4用拉氏变换求解下面的常微分方程。
（a ）30,(0)1,(0)2y y y y y ++=== （b ）245,(0)1,(0)1y y y t y y ++=== （c ）sin ,(0)1,(0)2y y t y y +=== （d ）243,(0)1,(0)4t y y y te y y -++===-解：（a ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得2()2()13()0s Y s s sY s Y s --+-+=即23()3s Y s s s +=++部分分式分解有2222230.5 1.658() 1.50763(0.5) 1.658(0.5) 1.658s s Y s s s s s ++==+++++++ 拉氏反变换得到0.50.5()cos1.658 1.5076sin1.658t t y t e t e t --=+（b ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得232()24()45()s Y s s sY s Y s s--+-+=即432362()(45)s s Y s s s s ++=++部分分式分解有4323322262282210324961()(45)525125125(2)1125(2)1s s s Y s s s s s s s s s +++==-+++++++++拉氏反变换得到2221822103496()cos sin 525125125125t ty t t t e t e t --=-+++（c ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得221()2()11s Y s s sY s s --+-=+ 即322234()()(1)s s s Y s s s s +++=++部分分式分解有322222234 2.50.50.5()()(1)111s s s s Y s s s s s s s s +++==-+++++++ 拉氏反变换得到()4 2.50.5cos 0.5sin t y t e t t -=-++（d ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得221()44()43()(2)s Y s s sY s Y s s -++-+=+即3222441()(43)(2)s s s Y s s s s +++=+++部分分式分解有32222224413111()(43)(2)(3)(2)3(2)s s s s s Y s s s s s s s s +++++===-+++++++拉氏反变换得到32()t t y t e te --=-注：可利用Matlab 命令来求解微分方程。
例如对本题的（a ），键入Matlab 命令('23*0','(0)1,(0)2')y dsolve D y Dy y y Dy =++=== 回车后得到exp(-1/2*)*cos(1/2*11^(1/2)*)5/11*exp(-1/2*)*11^(1/2)*sin(1/2*11^(1/2)*)y t t t t =+2-5设质量、弹簧、阻尼器系统如图2.55（a ）、（b ）、（c ）所示，图中i x 是输入位移，0x 是输出位移。
试分别列写各系统的输入输出微分方程描述。
i x0xx ixx ix f（a ） （b ） （c ）图2.55 习题2-5图解：（a ）对于图2.55（a ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有01020()i mx f x x f x =-- 即01201()i mx f f x f x ++=（b ）对于图2.55（b ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，设弹簧1K 下端位置为y ，则有10020()()()i K x y f y x f y x K x -=--=即有120()i K x y K x -=消去中间变量y 得到1212001()i K K K K x x K x f++= （c ）对于图2.55（c ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有20010()()i i K x f x x K x x =-+- 即01201()i i f x K K x f x K x ++=+2-6车轮的减震器模型如图2.56所示，图中y 为减振系统支撑点向上的位移，单位为m ；2375m kg =为去掉四个车轮质量后的整车质量的四分之一；130000s k N m =为减震器的弹性系数；9800f N s m =⋅为减震器的阻尼系数；120m kg =kg 为单个车轮的质量；1000000w k N m =为轮胎的弹性系数。
图中所示为重力作用下，车辆在水平路面匀速行驶时减振系统所处于的平衡位置。
考虑由于路面不平引起的轮胎变形r ∆，减振系统支撑点的增量运动y ∆，求二者间的输入输出微分方程并求传递函数。
图2.56 习题2-6图解：根据牛顿力学知识，有12()()()()()w w w s w w s w w m y k r y k y y f y y m y k y y f y y =-----=-+-对上面的第2式微分，将w y 表示成w y 、y 、y 、y 、y 的函数有2s s w w k k my y y y y f f f=++-将结果代入上面的第1式，消去w y 得1212222211111()s w w s w w s s s s s fk fk f k k m m fm y y y y y r y m k f m k f m k f m k f m k f+=++--+----- 将结果代入上面的第2式，消去w y 得2221212112222222221111()s s w w s w s w s w s wm m f m m k m k f k fm m y y y y r m k f k m k f k m k f k m k f k +-=--++++++将上述w y 的结果及其微分代入到上面的第2式，消去w y 和w y ，整理得1212122()()s s w w s w w s w m m y f m m y k m k m k m y fk y k k y fk r k k r +++++++=+根据上面的结果得到传递函数为4321212122()()()()w s w s s w w s wfk s k k Y s R s m m s f m m s k m k m k m s fk s k k +=+++++++ 将各个参数的数值代入得到432()130666617333333()51656846130666617333333Y s s R s s s s s +=++++2-7用一根弹簧连接两个摆，如图2.57所示，系统在下平衡位置时弹簧刚好不受力。
