数学建模_价格和包装的关系

数模论文题目：牙膏包装模型指导老师：韩志全组员：王心愿赵金政王霞弟牙膏包装模型摘要：市场上的商品琳琅满目，有越来越多的消费者发现包装越大，越实惠，现以牙膏包装模型为例，通过比例模型，探究牙膏重量和牙膏价格的关系，进而帮助消费者和厂家作出更合理的决策。

提出问题：在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50装的每支1.50元，120装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

问题分析对牙膏包装和价格的关系、牙膏价格和牙膏重量的关系这两个问题，我们从两个方面进行研究，一是牙膏价格和牙膏重量的关系，二是牙膏单位重量的价格与牙膏重量的关系，针对问题一，我们分别探究价格与生产成本、包装成本和其他成本之间的关系，在这些成本中，生产成本与牙膏重量成正比；包装成本主要包括内、外包装成本，它们分别与内外包装成本的表面积成正比，而牙膏重量与牙膏包装的体积成正比，进而可以总结出牙膏包装的成本与重量的关系；而生产牙膏还需要涉及运输费、电费、机器生产费等一系列费用，这些费称之为其他成本，它与重量无关，可看做常量处理。

综合三方面的分析，建立牙膏价格与牙膏重量的数学模型。

而对于问题二，在问题一的基础上，作比例处理很容易得出牙膏单位重量价格c与重量w的函数模型，利用几何画板作出其函数图象，进行图象分析，得出更多的启示，从而对商家与消费者提出合理有效的建议和意见。

模型假设（一）、特殊符号说明：C——牙膏成本价格（单位：元）w——牙膏的重量（单位：克）c——牙膏的生产成本（单位：元）1k——单位重量的牙膏生产成本（单位：元∕克）1c——牙膏的内包装成本（单位：元）2k——牙膏内包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克）2c——牙膏外包装包装成本（单位：元）3k——牙膏外包装的单位表面积的包装成本（单位：元∕克）3Q——牙膏的其他成本（单位：元）——牙膏内包装的表面积（单位：平方厘米）S1S——牙膏外包装的表面积（单位：平方厘米）2r——牙膏内包装的底面半径（单位：厘米）α——牙膏内包装的高于底面半径r的比值h——牙膏外包装的高（单位：厘米）ρ——牙膏的密度（单位：克∕立方厘米）V——牙膏内包装的体积（单位：立方厘米）c——牙膏单位重量的成本价格（单位：元）（二）、情况假设：1. 将牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体；2. 一般给牙膏内包装的高h与内包装底面半径r的比例关系设为一个定值；3. 将牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体；4. 由于牙膏一般可在盒里360转动，可以假设底面边长即牙膏较扁的一段的长度；5. 假设内外包装的高是一样的.模型建立与求解按照问题分析中的思路，我们分别对问题一、二进行详细分析。

商品价格与商品包装大小关系摘要：本文主要研究商品大小包装的成本与价格的最优化问题。

在超市购物时我们经常会发现同种商品大包装单位货物量价格往往比小包装单位货物量价格低的现象。

由此可见，大包装的商品每单位重量的价格比小包装的同类商品的价格要低。

显然这是由于节省包装成本的缘故。

我们用比例方法构造模型，通过定性的分析，观察货物的包装成本的规律。

最后得出结论:（1）当包装增大时每件产品的单位货物量的成本将下降，（2）总的成本降低的速度是随着所包装的货物总量的增加而减少。

因此当我们购买货物时并不一定是越大的包装越合算。

一、问题引入我们都知道许多商品都是以包装的形式出售的，并且同一种商品的包装经常有大小不同的包装规格(例如我们经常吃的大白兔奶糖，通常会有250g和500g两种包装形式)。

我们可以发现很多时候尽管大包装的产品的净重是小包装产品净重的n倍时，大包装产品的价格往往低于小包装产品价格的n倍。

二、问题分析大包装商品与同类小包装的商品，当两者的净重相同时，大包装商品往往比小包装商品其便宜，这与生产成本、包装成本和其它成本因素有关，比如销售一样重量的大小两种包装商品，包装小的商品使用的包装成本较包装大的商品高。

即小包装产品的单位质量的价格大于大包装产品的单位质量的价格。

（其中单位重量价格等于总价格除以总质量）三、模型假设根据以上分析作如下假设：1）大包装产品和小包装产品的生产效率和包装效率相同。

2）大包装产品和小包装产品的包装材料、形状没有较大区别。

3）大包装产品和小包装产品的成分和产品的品质相同。

四、符号说明1）商品价格：P；2）商品质量：m ；3）单位重量价格：c；4）商品包装面积：S；5）商品总成本：C；6）生产成本：C1；7）包装成本：C2；8）其它成本：C3五、模型建立1）商品包装面积与重量的关系：因为形状一定时，一般有S=L2 ，m=p*L3（p为物体密度），推出S m2/3，所以设S =a*m2/3 2）生产成本与重量的关系：生产成本主要与质量成正比，所以设C1=b*m3）包装成本与重量的关系：包装成本与包装表面积成正比，所以设C2= c* S=a*c*m2/34）其他成本与重量，商品包装面积无关，为固定常数。

B题商品包装问题摘要本文研究的是关于商品包装问题，通过分析题目所给出的条件及客观规律建立了商品价格和影响商品价格因素的关系模型、商品包装面积和商品中产品重量关系模型，利用SPSS、EXCEL软件对上述模型进行了逐一求解,分别回答了题目提出的所有问题.针对问题一，首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。

具体分析确立商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定.然后建立了商品包装面积和商品中产品重量关系，同时考虑到商品的所占包装容积的实际容量关系和利润对价格的影响，将各个因素有机的结合。

通过分析商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子，从而初步的建立起第一个关于描述包装和价格关系的模型。

又考虑到商品的包装有不同的形状,将商品外形大致等效为长方体和柱体。

将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的浮动性，将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，在模型一的基础上，建立起模型二。

针对问题二，我们在市场中选取真心瓜子和百事可乐两种商品，首先对问题一中建立的模型一进行验证(详见正文5页和6页）,其检验结果与实际调查结果大致吻合，但有一定差异。

所以，将这两种商品带入针对模型一进行改进的模型二中进行验证（详见正文8页),其检验结果较模型一的结果更为合理和可靠。

因此我们认为，所建立的模型二能较好的反应商品的包装和商品的价格之间的关系。

关键词：包装价格关系成本因子逐层分析法一问题重述1。

1 背景资料:在实际生活中,我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但是价格不同的情况,比如：在超市中的“真心瓜子”有100g、200g、300g三种规格，它们的价格分别为 3.5元、6元和8。

5元。

三者单位重量的价格比是17：15：14；百事可乐有500ml、1250ml、2000ml三种规格，它们的价格分别为12:9:7。

巨 犯论 坛
数学建模在定量包装中的应用
黄会芸 ( 南京化工职业技术学院 南京 210048 )
摘 要:本文通过对当前定量包装设备控制的分析入手， 提出当前包装设备控制方案的缺点.针对这一缺点， 本文利用建模来 建立数学模型使包装方案达到较高的快速性和良好的谁确性 关键字:定量 包装设备 快速 准确 数学建模 中图分类号 : G7 12 文献标识码 : A
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斌 一 仪 下 描周 料冲 重 单 kg : : 表的 一扫 期物 击 量 位: 城 表的 一扫 期物 ，仪 上 描周 料冲击 量 单 kg 重 位:
因仪表显示重量是已知的，通过仪表可以直接看出， 现在只要求出冲击重量即可得到物料的真实重量， 冲量I计 算公式如下 :
等行业的包装物料几乎是匀质的， 重量和体积有着密切的关 系 ，计量料斗内的物料越多，重量越重，则物位就会越 高。在物料冲击力、物料高度、物料重量三者之间存在密 切的关系，只要我们求出一个即可得到其他的数据。 物料的冲击力直接与物料重量和下料口与计量斗底部距 离有关，在最开始下料的时刻，由于下料 口距计量斗底部 的距离最远，物料经过重力的加速度使其冲击力增大 ，所 以在最开始下料的那一时刻， 称重仪表显示的物料重量变化 率最快， 对其进行微分可以求得最大的突变变化率几乎接近 无穷大，但这一刻持续的时间非常短，我们的仪表几乎是 检测不到的，随着物料的增加 ，计量斗内物料不断的增 高 ，其与下料 口之间的距离逐渐缩短 ，冲击力也逐渐减 一 、提 出问题 小，所以重量的增长速率减慢，仪表显示重量曲线的斜率 一个好的包装设备控制方案一般都要求具有较高的快速 是在逐渐减小的，这是由干冲击力减小的缘故。由此我们 性和良好的准确性， 如何解决快速性和准确性是衡量一个包 可以看出一个明显的规律， 即物料由于下落运动所产生的冲 击力会造成信号失真 ，但物料随着位置的上升，其冲击力 装设备的最基本标谁， 目前化肥包装行业称重设备主要的解 决办法有如下两种 : 是有规律的变化的，随着物位上升，冲击离减小，显示重 1极力避免重量抖动的发生或者避开在重量抖动的时间 量增加的速率是线性减小的，我们可以将这一信号检测出 控制包装设备动作， 主要采取减小下料速度和下料量来减小物 来， 我们可以认为物料重量增长速率是与物料位置是息息相 料冲击力所造成的信 号 失真。这种方案是行之有效的，但 关的，当物料增长速率达到一定值的时候，我们可以认为 这种方法减小了下料速度，很大程度上影响了包装的速度。 物料达到了一定的位置，在物料的密度一定的情况下，我 所以根 2 另外一种办法调节下料口的大小，设置多次下料 (一 们近似的可以认为是物料的重量达到了一定的程度， 般是两次或是三次 ) ，在最开始的时候采用大料 日下料 ， 据这个原理我们可以把物料位置信 号 作为真实的信号 (剔除 当重量达到一定值的时候采用小料口来下料， 这样方法可以 了物料冲击的影响) 来控制我们的称重设备动作，稳定可 保证下料的速度，也可以保证计量的精度，具有明显的优 靠的提高设备的运行速度和精度， 当物料重量达到一定程度 点，这重方法是 目前使用最普遍的一种方法 ，但其也有明 的时候，将下料门缩小，改为传统的小门细料加料，这时 显的缺点就是由于物料的冲击力产生的失真信号会造成多次 候因为物料距下料门之间的距离已经非常的短了， 同时下料 下料门误动作，容易产生一次冲断致使下料门关死不下料， 非常的细小，我们可以认为由物料所产生的冲击力非常的 也在一定程度上影响了计量的速度和精度， 所以一次下料量 小，可以几乎不考虑，可以将有物料增长速率控制改为由 真实重量来控制，这样即保证了速度又保证了下料的质量。 不可能设的过快过高 上面的两重方案是目 前化肥行业包装设备采用最多的两 三、数学模型的建立 种方法，其核心都是消除冲击力所产生的重量信号失真， 通过以上的曲线我们可以看出， 物料呈现出的是一个递增 但这两种方法都是在牺牲计量速度的情况下通过减小下料量 我们可以用下一扫描周期物料重量和上一扫描周期的 来实现的，在一定程度上影响了保证设备的运行能力，存 的趋势， 在明显的弊端 ，有没有一种方法保证最高的包装速度，又 物料重量的增量和时间的积分来描述计量的过程 ， 能保证最好的计量速度呢? 方法当然是存在的， 如果我们可 憋“ 伙+哄 ① 目 前定量包装设备在国民经济各个行业中都有广泛应用， 如粮食， 化肥， 塑胶等等， 不同的行业拥有不同的产品， 对包装 设备的要求也各有不同， 所以目前的包装设备是五花八门， 功 能各异， 但是其基本原理大同小异， 都是建立在一个称重传感 器基础上， 传感器感应到包装容器内物料的重量， 将信号传到 设备的中央处理器内， 处理器根据传感器传来的信号控制设备 动作， 当重量达到规定值之后， 停止灌料， 完成一次计量.在一 个周期的计量过程中， 物料的重量随着时间的推移总是在不断 的变化的， 一般呈现逐步递增或逐步递减的趋势， 在突然加料 或者突然减料的情况下， 由于重力突变所产生的惯性也会使物 料重量曲线在一个计量周期内呈现出几个局部转折点.

习题精选第一部分练习第二部分练习第三部分练习第四部分练习试卷A试卷B试卷A参考答案试卷B参考答案第一部分练习1（1）某甲8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。

次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回旅店。

某乙说，甲必然在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者距今如下一轮，知道比赛结束。

问共需要多少场比赛，共需进行多少轮比赛。

如果是n支球队比赛呢？(3)甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间有一中间站丙，某人在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

(4)某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？(5)一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。

以小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩奔向男孩，如此往返直到回到家中。

问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？2 学校共1000名学生，235人住A宿舍，333人住B宿舍，432人住C宿舍。

学生们组织一个10人的委员会，试用下列办法分配个宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。

（2）Q值方法。

（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用整数n=1,2,…相除，其商数如，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

B题商品包装问题摘要本文研究的是关于商品包装问题，通过分析题目所给出的条件及客观规律建立了商品价格和影响商品价格因素的关系模型、商品包装面积和商品中产品重量关系模型，利用SPSS、EXCEL软件对上述模型进行了逐一求解，分别回答了题目提出的所有问题。

针对问题一，首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。

具体分析确立商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。

然后建立了商品包装面积和商品中产品重量关系，同时考虑到商品的所占包装容积的实际容量关系和利润对价格的影响，将各个因素有机的结合。

通过分析商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子，从而初步的建立起第一个关于描述包装和价格关系的模型。

又考虑到商品的包装有不同的形状，将商品外形大致等效为长方体和柱体。

将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的浮动性，将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，在模型一的基础上，建立起模型二。

针对问题二，我们在市场中选取真心瓜子和百事可乐两种商品，首先对问题一中建立的模型一进行验证（详见正文5页和6页），其检验结果与实际调查结果大致吻合，但有一定差异。

所以，将这两种商品带入针对模型一进行改进的模型二中进行验证（详见正文8页），其检验结果较模型一的结果更为合理和可靠。

因此我们认为，所建立的模型二能较好的反应商品的包装和商品的价格之间的关系。

关键词 :包装价格关系成本因子逐层分析法一问题重述1.1 背景资料：在实际生活中,我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但是价格不同的情况,比如：在超市中的“真心瓜子”有100g、200g、300g三种规格，它们的价格分别为3.5元、6元和8.5元。

三者单位重量的价格比是17:15:14；百事可乐有500ml、1250ml、2000ml三种规格，它们的价格分别为12:9:7。

商品价格和包装大小的关系摘要我们知道现在很多商品都不止一种包装，为了满足不同消费者需求，厂家生产时将相同商品分成不同质量的包装，定价也各不相同。

显然由于节省包装成本的缘故，大包装商品单位重量价格明显比小包装商品便宜，那么商品价格及单位重量价格与包装大小的具体关系是怎样的，需要我们建立模型来说明。

本文建模的主要目的即是说明商品包装大小和价格的关系，用比例方法构造模型，通过定性分析，观察商品包装成本规律。

可得基本结论:包装增大时单位重量商品的成本减小；单位重量商品价格的减小值不会随着包装增大而无限增大。

我们知道成本包括生产成本、包装成本和其他成本。

由生活常识易知生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积与重量有关，假设出三个参数建立成本与重量的函数关系，进而求导观察函数的增减。

可得价格和单位重量价格与商品包装大小的关系。

关键词：商品包装；比例模型；单位质量价格；成正比一、问题的重述在超市购物时我们注意到大包装商品比小包装商品便宜。

比如题目中提到的洁银牙膏，50g装每只1.50元，即单价为0.03元/g,120g装3.00元，即单价为0.025元/g,单价比1.2:1,。

第一小题要求我们分析商品价格C与商品质量w的关系，价格由生产成本、包装成本和其他成本决定，其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比等。

第二小题要求我们给出单位质量价格c与w的关系并画出简图说明w越大c越小但是随着c减小的程度变小，解释其实际意义。

整个建模过程要求运用比例方法构造模型。

二、问题分析题目中要求分析商品价格和重量的关系，即分析成本和重量的关系，成本由生产成本、包装成本和其他成本组成，生产成本与重量成正比，包装成本与表面积成正比，表面积又与质量有关，其他成本由于其不确定性为建模带来巨大困难，设为常数即忽略包装损耗及工作效率的差异。

建立几个量之间的函数关系，即可求解。

三、模型假设1.总成本=生产成本+包装成本+其他成本，其中其中生产成本和重量w成正比，包装成本与表面积S成正比，其他成本记为与w,s无关。

数学模型在包装装潢设计中的应用引言包装装潢设计是一门原创性和技术性很强的综合性学科，是提高产品品质和特色的重要手段，增加了产品包装装潢设计的科学、文化和艺术性。

应用合理的设计理念和方法能够使包装设计更具特色，并能形成独立的产品风格[1]。

在具体的设计中需依据产品特点结合包装的不同属性，将应用的具体结构和图形设计出来。

从哲学角度对此问题进行分析，设计中应用的学科都有其相应的属性，利用属性数学模型来设计包装装潢方案，可准确判断研究成果的基本特征。

因此，将其应用于包装装潢设计中是非常必要的。

本文以包装装潢及数学模的基本情况为起点，分析数学模型在包装装潢设计方案中的应用，为提高包装装潢的设计水品提供理论指导，现综述如下。

1包装装潢及数学模的基本情况1.1包装装潢包装装潢是指对商品包装的表面及造型的具体设计。

在确保设计的合理性和科学性的基础上，应用适宜的设计方法和理念对产品包装进行更深一步的美化和装饰，应用图案、色彩、文字、品牌和外形等相关因素将产品包装以艺术整体构造的形式体现出来，充分发挥包装的宣传性、美化性、特色性和信息性，为商品的销售提供有力支持。

在对商品进行包装中，依照目的分为运输包装和销售包装，运输包装以保证商品安全、便于运输、衔接生产和销售为主要目地。

而对商品的包装装潢，主要侧重于销售包装，是衔接消费和商品销售为主要目地。

包装装潢是对商品的宣传和促销，展示产品的特点和信息，有效提升商品在市场竞争中的竞争能力，是产品市场营销的有力推手。

合理产品销售包装，可显著提升商品的市场价格，增加产品的销售量，对消费者的购买判断存在重要作用。

有调查发现，在商品销售中，有半数以上的消费者通过商品的装潢和包装来选择购买的商品。

由此可知，对商品进行包装装潢成为影响商品市场竞争能力的重要因素[2]。

1.2属性数学属性数学是研究人员在了解掌握了自然持续变化、无限发展规律及整体运动这些问题后建立起来的一种数学学科。

是对于物质和事物之间的相互变化内涵、规律、发展趋势的分析和整体运动属性关系的表达。

数学建模习题景德镇陶瓷学院信息工程学院习题一1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。

试构造模型并求解。

2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。

将时间分为若干段，分别确定增长率r 。

（2）阻滞增长模型。

换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。

4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为)(01)(t t r m ex t x --+=,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系.5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。

次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。

某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

为什么？7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。

问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。

如果是n支球队比赛呢？8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。

比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。

故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。

（2）显然c是w的减函数。

说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。

T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。

问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。

为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

2013-02课堂内外模型思想是数学课程标准提出的核心关键词之一，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.近几年来，各地市中考数学试卷中出现的一类包装型问题，由于其取材贴近生活，背景朴实而又为学生所熟悉，且题中蕴含许多重要的数学思想与方法，因此，正逐渐被命题老师所青睐.深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.一、直角三角形模型生活中对一些柱体进行外包装较为常见.在解决这类问题的过程中，往往需要将立体图形通过剪切展开成平面图形，将问题置于平面中来寻求解题思路.其中常通过现成的或构造而成的直角三角形，运用三角函数、勾股定理等相关知识解决问题.例1.如图1，是一个侧棱长为15cm的直三棱柱包装盒，它的底面是正三角形.现将宽为4cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.则在图2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是.评析：如何将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴.前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以按题目要求进行包贴.故AB长即为三棱柱的底边周长.求∠BAD可转化到直角三角形中求解.本题所涉及的知识点有：三棱柱侧面展开图，解直角三角形，平行四边形和平移等一些实践操作知识.解决本题，关键是能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法和理解“侧面全部包贴满”等字眼，能否通过图2与图3找出解决此题的切入口.处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形.同时平面图形与立体图形之间又有着密切的联系.图1图2图3二、方程模型胶带纸对学生来说是相当熟悉的，灵活利用它，同样可命制一类好题.解决过程中往往会涉及有关面积的知识，有时也不乏用到不等式等知识.其中常根据隐含的有关面积的等量关系，通过建立方程模型来解决问题.例2.小明买来一卷包装用胶带纸（如图4）.他突发奇想：这卷胶带纸拉开来到底有多长？他首先想到可以拉开来直接测量，显然这是不切实际的.思考后，他想到了用数学知识来解决.他从网上查得这种包装胶带纸的厚度约为0.005cm，他量得整卷胶带纸的内径为5cm，外径为10cm.请你帮助小明解决这个问题（结果精确到1米）.10cm5cm图4评析：利用学生熟悉的胶带纸，对此进行联想而编制成本题.解决该问题需要有思维的开放性和深刻性.一方面它提供了一个生活情境的再现，呈现“活生生”的数学知识应用场景，考查学生对现实问题的理解能力和解决问题的能力，即数学建模能力；另一方面，作为该试题，体现了命题的“公平性”原则，人人都接触过胶带纸，不会给学生带来陌生感.再者，还在于它解法的巧妙：以面积法求得胶带纸的长度.想象中把整卷胶带纸拉开，拉开后的胶带纸的截面可看做是长未知、宽为0.005cm的很扁很扁的矩形，若设全长为x cm，则圆环面积可表示为0.005x，利用面积建立等量关系，列出方程，从而求得x的值.显然，直接去求长度的难度要大得多，这需要思维的广阔性与发散性，没有较强的抽象思维能力与建模能力，要比较轻松地解决本题是有一定难度的.三、不等式模型建立不等式模型来解决生活中的包装问题，看似风马牛不相及，然通过巧设载体，将它们有机结合起来，运用不等式等相关知识，硬是解决了一些包装问题中的包装带长度问题，彰显数学的无穷魅力.例3.（1）比较大小：①3+523×5√②12+35212×35√③2+1222×12√④6+626×6√（2）通过（1）的判断，你可猜想：当a，b为正实数时，a+b与2ab√的大小关系为a+b2ab√.（3）利用上述猜想解决下列问题：如图5，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800cm2，，现要用包装带如图包扎（点E、例说包装问题的数学建模方略文/刘和珍摘要：近年来，各地市的中考数学卷中，常出现与包装有关的数学实际问题。

数学建模练习题数学建模习题题⽬11. 在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。

⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的每⽀元，⼆者单位重量的价格⽐是：1.试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减⼩的程度变⼩，解释实际意义是什么。

解答：（1）分析：⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其他成本也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均⽆关的成本。

⼜因为形状⼀定时⼀般有3事/ ,故商品的价格可表⽰为1 ⼀.⼀⼀ | ⼀： :（a，B，丫为⼤于0的常数）。

（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。

说明⼤包装⽐⼩包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。

函数图像如下图所⽰：题⽬22. 在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。

⼜设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）今将销售期分为⼀⼆，?⼀和?⼕-⼁两段，每段的价格固定，记为/ .求的最优值，使销售期内的总利润最⼤。

如果要求销售期T内的总销售量为丁 ,再求'的最优值解答：由题意得：总利润为 ||| ：；◎,「.=' ⼚「I ⼗、^.7 -⼗+ '' ■■''■' ■■- l ，J以⼧⼈hPt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]由⼀=0, — -「，可得最优价格设总销量为丁 ,〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +在此约束条件下U的最⼤值点为$bT~ bT a题⽬33. 某商店要订购⼀批商品零售，设购进价 G ,售出6,订购费C o （与数量⽆关），随机需求量r 的概率密度为p （r ），每件商品的贮存费为（与时间⽆关）。

数学建模习题及答案课后习题第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。

学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。

（2）节中的Q值⽅法。

（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种⽅法的道理吗。

如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。

将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。

（4）你能提出其他的⽅法吗。

⽤你的⽅法分配上⾯的名额。

2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。

⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。

试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。

解释实际意义是什么。

3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。

假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：⾝长（cm）重量76548211627374821389652454（g）胸围（cm）先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。

若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

数学建模_价格和包装的关系
商品的包装规格和价格的关系
1、问题：我们都知道许多商品都是以包装的形式出售的，同一种包装有着不同的规格，价格高低也不同。

我们在新街口的物美超市调查了几种商品不同包装规格及其价格，旨在探究商品包装规格和价格的关系。

2、假设:
2.1. 商品价格只受成本影响，不考虑其他因素对价格的影响。

2.2.成本只计工时、产品成本和包装材料。

2.3.不同规格的商品装包时工作效率相同。

2.4.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。

3、组建模型：
3.1.参量与变量：
A: 每件商品中产品的成本,
W:每件商品中产品的含量,
B: 每件商品的包装成本,
B1: 装包工时投入,
B2: 包装材料成本
S: 包装表面积, V：包装体积，
C(W): 总成本,
3.2模型：
由于产品的成本和工时都与产品量w成正比，故A+B1=k1*w。

包装的材料消耗B2将正
比于S，S=k3?V 2
，而体积正比于产品量w。

即 B2=k2?w
2
则，产品总成本为：
C(w)=A+B1+B2=k1?w+k2?w2/3 4、代入数据：
利用上述公式，带每种商品的前两种价格计算k1，k2.
结果发现差异非常明显，说明商品价格的不能简单用包装成本和产品成本来计算。

调查数据来自：新街口物美超市2011年10月中旬。

调查成员：张博文，王启明。

商品包装与成本模型摘要本模型是讨论商品规格对商品价格的影响。

主要分析包装成本对商品价格造成的影响。

首先进行假设，来简化问题。

然后设出各个变量，建立模型并求解，并与实际调查结果对比。

最后对模型进行讨论并分析模型误差。

关键词：包装：商品价格：预测：问题描述调査包装类似但多少不同的三种同一商品齐两组，组建模型描述包装与价格的关系。

基本假设1.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响C2.包装只计装包工时和包装材料。

3.不同规格的商品装包时工作效率相同。

4.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。

A：每件商品中产品的成本；W：每件商品中产品的含帚::B：每件商品的包装成本：Bp装包工时投入；F2：包装材料成本；S：包装材料用最；C(W)：总成本；c(W)：单位商品平均成本；模型推导由常识C(W) = A+B = A+B1 + B2 (1.1)由假设1 A =©"(1.2)由假设3 = a2W (1.3)由假设4以及面积S = kW2/3得仍=Q3S = a4W2/3 (1.4)所以由(1.1)式得C(W)=幻"+*2“2/3 (1.5)这就是商品总成本和所设参量的关系所以C (W) = C(W)/W = ki + k 2W~^3 (1.6)模型的求解由理论推导可知，若产品价格为5、C2分别为同一产品不同规格的两种商品价格, W ］、W2为商品的规格，则kj * 4- k 2 * wf = c 12人 * w 2 + k 2 * w 2 0 = c 2 其中灯、*2为所求系数。

模型检验调査时间：2011年4月7日调查地点：知春路沃尔玛 商品价格调查 商品 规格价格恰恰瓜子 150g 3.5 228g 5.3 250g 6.5 奇强洗衣粉 400g 4 1180g11 1480g 13恰恰瓜子由调查数值旳=150 w 2 = 228 5 = 3.5 c 2 = 5.3,将其带入式(1.8) 得灯=0.0227 k 2 = 0.0036所以0.0227 * w + 0.0036 * w% = c (1.9)将W3 = 250带入式(1.9)得，C3 = 5.8179实际值为6.5 奇强洗衣粉由调査数值wi = 400 w 2 = 1180 c x = 4 c 2 = 11，将其带入式(1.8)得幻=0.0078 k 2 = 0.0165所以0.0078 * w + 0.0165 * w% = c (1.10)将W3 = 1480带入式（1.10）得，c 3 = 13.6868实际值为13误差分析与进一步讨论(1.7)(1.8)“A从上面的讨论看出，奇强洗衣粉的预测价格与实际价格很好符合，相对误差（I实际值一预测值丨/实际值）仅为5.3%。

可得 ，若d一定，w趋于0， 趋于 /2；w趋于 d， 趋于0。若管道长度为 ，不考虑两端的影响时布条长度显然为 d /w，若考虑两端影响，则应加上 dw/sin 。对于其它形状管道，只需将 d改为相应的周长即可。
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由 可得平衡点 .
在平衡点 处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点 处,因 ,所以
(i) 当 时,平衡点 不稳定;
(ii) 当 时,平衡点 不稳定.
第
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）单位重量价格 ，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长 的立方成正比，即 ， 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 ， 为比例系数。

【2017年整理】数学建模试题与答案华南农业大学期末考试试卷(A卷)2009学年第二学期考试科目: 数学模型考试类型:(闭卷) 考试时间: 120分钟学号姓名年级专业题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总分得分评阅人1、 (13分)设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的得分圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

(1) 排列1:圆盘中心按正方形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)2020，,100 解:圆盘总数: 22排列2:圆盘中心按六角形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)202,，，解:行数: ，,111,,3，，2011,圆盘总数: 11105，，,22(2) 设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。

(5分)解:前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106得分 2、 (10分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型:(1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分(2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

5分解:设体重w(千克)与举重成绩y (千克)(1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y I S2 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S , h32 再体重正比于身高的三次方，则w , h 3ykw, 故举重能力和体重之间关系的模型为:(2) 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为 2 3ykwa,,(),更好的模型: ykwa,,()得分3、 (10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象1了吗,比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

(1)请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。