2018届高三文科数学讲义 极坐标和参数方程

极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。

第7讲 坐标系与参数方程[明考情]坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度. [知考向]1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一 极坐标与直角坐标的互化要点重组 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长. 解 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3， 可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.3.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 4.在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A ，B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32， ∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.考点二 参数方程与普通方程的互化 要点重组 常见曲线的参数方程(1)过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).(2)圆心在P (x 0，y 0)，半径等于r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).方法技巧 参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制.5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16， t 2＋(3＋2)t －11＝0.所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.6.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.考点三 极坐标与参数方程的综合应用方法技巧 解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.10.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]. (1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，求C 1与C 2的公共点的极坐标.解 (1)把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入曲线C 1的极坐标方程ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，故C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)由曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为π6，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6(ρ＞0).将θ＝π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，舍去.故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 11.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值.解 (1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2.所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离d ＝ |3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；(2)若Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α得椭圆的参数方程―――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角公式转化 Q 到l 距离的最大值 规范解答·评分标准解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x ＋2y ＝0， 即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.由ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.即椭圆C 的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………4分(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，………………6分可设Q (2cos α，sin α)，因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45，……8分所以当α＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.故点Q 到直线l 的距离的最大值为2105.……………………………………………10分构建答题模板[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化. [第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程. [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式. [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解 (1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)易知C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0. 由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心的圆， 且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32， 所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， ①曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝322，所以直线被曲线C 截得的弦长为210－92＝22.4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，曲线C 2：ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0. (1)将曲线C 1化成普通方程，将曲线C 2化成参数方程；(2)判断曲线C 1和曲线C 2的位置关系.解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，∴t ＝x －4， 代入y ＝5＋2t ，得y ＝5＋2(x －4)，即y ＝2x －3，∴曲线C 1的普通方程是y ＝2x －3.将ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线C 2的方程ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0，得x 2＋y 2－6x －10y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝25.设x －3＝5cos α，y －5＝5sin α得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝5＋5sin α(α为参数). (2)由(1)知，曲线C 1是经过点P (4，5)的直线，曲线C 2是以O ′(3，5)为圆心，5为半径的圆. ∵|PO ′|＝1＜5，∴点P (4，5)在曲线C 2内，∴曲线C 1和曲线C 2相交.。

高三数学：极坐标和参数方程的关系引言在高中数学中，极坐标和参数方程都是描述二维平面上几何图形的一种常见方式。

它们在几何图形的表示、求解与分析中都具有重要的作用。

本文将探讨极坐标和参数方程之间的关系，以及它们各自的特点和应用。

极坐标极坐标是一种与直角坐标系不同的坐标系统，它使用极径和极角来确定平面上的点的位置。

在极坐标系中，每个点都由一个正数和一个角度对唯一确定。

极坐标的形式可表示为：P(r,θ)其中，r表示点到原点的距离，称为极径；θ表示点与极轴的夹角，称为极角。

极坐标系中的点可以用极坐标转换为直角坐标形式：P(x,y) = (r*cosθ, r*sinθ)极坐标几何图形的方程通常由极径和极角之间的关系来表示。

例如，圆的方程可以表示为：r = a其中a是圆的半径。

通过极坐标系，我们可以更方便地描述圆的特征。

参数方程参数方程是一种用参数变量表示坐标的方法，通过变化参数的取值来描述二维平面上的点的运动轨迹。

参数方程由一个或多个参数变量和一个或多个关系式组成。

以平面曲线为例，通常可以使用以下形式的参数方程表示：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是平面上的点的坐标，t是参数变量。

参数方程可以用来表示各种复杂的图形，如椭圆、双曲线和抛物线等。

通过变换参数的取值范围，我们可以产生不同形状的曲线。

参数方程的优势在于可以简洁地表达复杂的几何图形。

极坐标与参数方程的关系极坐标和参数方程之间存在一定的关系。

事实上，我们可以将极坐标转换为参数方程的形式，以便更好地描述曲线的特性。

对于极坐标P(r,θ)，我们可以将其转换为参数方程x = f(t)和y = g(t)的形式，其中参数变量t的取值范围是[θ1,θ2]。

通过极坐标转换为参数方程的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ上述公式说明，任意一个极坐标点可以表示为一个参数方程，参数方程描述了该点在平面上的运动轨迹。

应用和例子极坐标和参数方程在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

专题14 坐标系与参数方程选考内容（一）坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算2．从考查内容来看，主要考查：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程，判断直线和圆的位置关系.考向一参数方程与普通方程的互化样题1（2017新课标全国Ⅰ文科）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为4,1,x a tty t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l a.考向二极坐标方程与直角坐标方程的互化样题2 已知极坐标方程(1)求的直角坐标方程,并分别判断的形状;(2)求交点间的距离.考向三 极坐标方程与参数方程的综合应用样题3 已知直线l的参数方程为1x t y =+=⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求OA OB ⋅．【解析】（1）直线l的普通方程是)1y x =-，即y =.曲线C的直角坐标方程是22440x y x +--+=，即()(2223x y -+=.（2）直线lC 的极坐标方程得：2540ρρ-+=， 所以4A B OA OB ρρ⋅==．样题4 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,过点的直线的参数方程为为参数),直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求的值.。

极坐标方程与参数方程区别在数学中，极坐标和参数方程是描述平面上曲线的两种不同方式。

虽然它们都可以用于表示曲线，但它们的形式和描述方式有所不同。

极坐标方程极坐标方程使用极坐标来描述平面上的点和曲线。

在极坐标系中，一个点的位置由其距离原点的极径和与正极轴的逆时针夹角确定。

极坐标方程将这两个参数表示为函数的形式。

极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)，其中r代表点到原点的距离，θ代表点与正极轴的夹角，f是一个关于θ的函数。

通过给定不同的θ值，我们可以得到曲线上的各个点的极坐标表示。

在极坐标方程中，可以表示各种形状的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。

通过调整参数f(θ)的形式，可以得到不同形状的曲线。

例如，r=a表示以原点为中心的半径为a的圆。

参数方程参数方程使用参数来描述平面上的点和曲线。

在参数方程中，一个点的位置由一对参数x和y的函数确定，这两个参数代表点的横坐标和纵坐标。

参数方程的一般形式为：x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数。

通过取不同的t值，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。

参数方程能够表示各种复杂的曲线，例如螺线、渐开线、心形线等。

相比于极坐标方程，参数方程更加灵活，可以描述曲线上每个点的具体位置，并且可以轻松改变曲线的方向和形状。

区别和应用极坐标方程和参数方程在描述曲线时有一些明显的区别。

首先，极坐标方程描述的是点的位置距离和角度的函数关系，而参数方程描述的是点的坐标的函数关系。

其次，在极坐标方程中，一个点由两个参数确定，而在参数方程中，一个点由一个参数确定。

在实际应用中，极坐标方程常用于描述圆形或对称的曲线，例如圆锥曲线和极坐标方程表示的弧线。

而参数方程常用于描述复杂的曲线，可以用于绘制动画、计算路径和描述运动物体的轨迹等。

综上所述，极坐标方程和参数方程是描述平面上曲线的两种不同方式。

极坐标方程通过距离和角度来描述点的位置，而参数方程通过参数的函数关系来描述点的坐标。

它们在不同的应用场景下具有不同的优势，并能够描述各种形状的曲线。

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《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a=__________．2。

【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,32⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A,B 两点，则ABC △的面积为 。

二、解答题1。

【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。

(1）求2C 的直角坐标方程；(2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。

2。

【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3。

【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． (1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21二、解答题1。

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程 解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案 解答题xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =l O |1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t αP (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α44απ3π<<)则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．。

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

《2018年高考文科数学分类汇编》第十三篇：极坐标与参数方程解答题1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案解答题1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．3.解：（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是．（2）的参数方程为为参数，．设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，．4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。

一、自我诊断 知己知彼1．点P 的直角坐标为)2,2(-，那么它的极坐标可表示为________． 【答案】 )43,2(π【解析】直接利用极坐标与直角坐标的互化公式，⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==432sin cos πθρθρθρy x 。

2．在极坐标系中，若过点)0,1(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于B A 、两点，则=AB ________.【答案】32【解析】注意到在极坐标系中，过点)0,1(且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是1=x ，曲线θρcos 4=的直角坐标方程是x y x 422=+，即4)2(22=+-y x ，圆心)0,2(到直线1=x 的距离等于1，因此32=AB 。

3．若直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221(t 为实数)与直线14=+ky x 垂直，则常数=k ________.【答案】6-【解析】参数方程⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221，所表示的直线方程为723=+y x ，由此直线与直线14=+ky x 垂直可得1)4()23(-=-⨯-k，解得6-=k 。

4．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB(其中O 为极点)的面积． 【答案】3【解析】由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA·OB·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x ，(θ是参数)的左焦点的坐标是________．【答案】)0,4(-【解析】题中曲线的直角坐标系的方程为192522=+y x ，其中4,3,5===c b a ，及左焦点为)0,4(-。

二、温故知新 夯实基础1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ>0)，y ′＝μ·y (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或()⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0tan 222x x y y x θρ. 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()⎩⎨⎧==t g y t f x 就是曲线的参数方程．5．常见曲线的参数方程和普通方程三、典例剖析 思维拓展考点一 极坐标与直角坐标的互化例 1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段()101≤≤-=x x y 的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为θθρcos sin2=和1sin =θρ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标． 【答案】(1)θθρsin cos 1+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πθ. (2)(1,1)【解析】(1)⎩⎨⎧==θρθρsin cos y xx y -=∴1化成极坐标方程为1sin cos =+θρθρ即θθρsin cos 1+=.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴20πθ≤≤(2)因为θρθρsin ,cos ==y x ，由θθρcos sin 2=，得θρθρcos sin 22=，所以曲线C1的直角坐标方程为y 2＝x .由1sin =θρ，得曲线C2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎨⎧==12y xy 得⎩⎨⎧==11y x ，故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)． 【易错点】容易忽略参数范围【方法点拨】 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式θρθρsin ,cos ==y x 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如θρcos ，θρsin ，2ρ的形式，进行整体代换．考点二 伸缩变换及求曲线的极坐标方程例1 将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：022=-+y x 与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【答案】(1)曲线C 的方程为1422=+y x .(2)θθρcos 2sin 43-=.【解析】 (1)设()11,y x 为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点()y x ,，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ， 由12121=+y x 得1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即曲线C 的方程为1422=+y x . (2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0221422y x y x 解得⎩⎨⎧==01y x 或⎩⎨⎧==20y x 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,21，所求直线斜率为21=k ， 于是所求直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-21211x y ， 化为极坐标方程，并整理得3sin 4cos 2-=-θρθρ，即θθρcos 2sin 43-=.【易错点】伸缩变换易变错【方法点拨】 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设()θρ，P 是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．考点三 参数方程与普通方程的互化例1已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 241(参数R t ∈)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 22cos 2y x (参数]2,0[πθ∈)，求直线l 被圆C 所截得的弦长． 【答案】558 【解析】由⎩⎨⎧-=+=t y t x 241，消参数后得普通方程为062=-+y x ，由⎩⎨⎧=+=θθs in 22cos 2y x ，消参数后得普通方程为4)2(22=+-y x ，显然圆心坐标为)0,2(，半径为2.由于圆心到直线062=-+y x 的距离为552=d ，根据勾股定理，所求弦长为558。