专题64 将军饮马模型与最值问题
【模型引入】
什么是将军饮马？
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】
如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【模型抽象】
如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？
这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【模型解析】
作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB
当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）
A
B 将军军营河。
最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 ．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝ 由三角形面积公式得：12×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，∵C (12，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，即P A＋PC．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为 ．解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，则四边形MNE ′F ′为平行四边形，当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关于直线y ＝kx 的对称点．作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，∴OE ＝12OA ′＝2，A ′E ．∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是 ．3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为 ．4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为 ．5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为 ．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．B8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D故BE ＋ED4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝AH ＝∴cos ∠HAB ＝AH ABHAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝即PK＋QK的最小值为7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，∵CQ ＝12×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．10.解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQCQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MAMD⨯＝23，∴AF＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴ACⅡ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
解法探究２０２４年１月下半月㊀㊀㊀巧用 将军饮马 模型求解最值问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李传煜㊀㊀摘要:最值问题是初中数学常见的问题类型,其题型灵活多变,很多地区的中考试卷中有关动点最值的问题都涉及到 将军饮马 ,因此结合中考试题对最值问题加以探究,解读 将军饮马 基本模型,探究典型的考题类型．关键词:将军饮马;最值;线段和㊀㊀最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结合特定的数学模型进行解决．本文中以全国各地中考题为例,对如何构建 将军饮马 模型求解最值问题进行了探讨．１将军饮马 模型基本模型:两定点＋一动点．图１已知两定点A ,B 在直线l 同一侧,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 最小．解法:如图１,作点B 关于直线l 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ与定直线l 的交点P 即为所求的点,且P A ＋P B 的最小值就等于A B ᶄ的长,其基本原理是 两点之间线段最短 ．２模型应用２．１求线段和的最值图２例１㊀(２０２２年山东德州)如图２,正方形A B C D 的边长为６,点E 在B C 上,C E ＝２,M 是对角线B D 上的一个动点,求E M ＋C M 的最小值．分析:由题可知C ,E 是定点,B D 为定直线,M 是B D 上一动点,且定点C ,E 在BD 的同侧．根据以上分析,可以联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．此类问题常通过平移㊁翻折㊁旋转等方法转化为 两点之间线段最短 来求出最小值．本题定点C 比定点E 更容易找到其对称点,进而将同侧两定点转化为异侧两定点,求出E M ＋C M 的最小值．图３解析:如图３,由正方形的性质,可知点A ,C 关于直线B D 对称．连接AM ,根据对称性可知AM ＝C M ．所以(E M ＋C M )m i n ＝(AM ＋E M )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ,M ,E 三点共线时,AM ＋E M 取最小值,即为线段A E 的长．因为B E ＝４,A B ＝６,所以A E ＝A B ２＋B E ２＝６２＋４２＝２１３．所以E M ＋C M 的最小值为２１３．２．２求几何图形周长的最值图４例２㊀(２０２３年四川宜宾)如图４,在平面直角坐标系x O y 中,等腰直角三角形A B C 的直角顶点C (３,０),顶点A ,B (６,m )恰好落在反比例函数y ＝kx第一象限的图象上．(１)分别求反比例函数的表达式和直线A B 所对应的一次函数的表达式．(２)在x 轴上是否存在一点P ,使әA B P 的周长最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由．分析:此处只分析第(２)问,要求әA B P 周长的最小值,即求线段A P ＋B P ＋A B 的最小值．由于A ,B 为定点,P 为x 轴上一动点,且定点A ,B 在x 轴的同侧,因此可联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．由题意可知A B 的长为定值,因此只需要求A P ＋B P 的最小值即可．４７２０２４年１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀解析:(２)由(１)可知,反比例函数的解析式为y ＝６x．图５如图５,过点A 和点B 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点D ,E ．因为A C ＝B C ,øA D C ＝øC E B ,øD A C ＝øE C B ,ìîíïïïï所以әA D C ɸәC E B ．所以C E ＝A D ．又O E ＝６,O C ＝３,所以C E ＝A D ＝３．所以y A ＝６x A ＝３,即x A ＝２,则A (２,３)．因为y B ＝６６＝１,所以B (６,１)．所以A B ＝(６－２)２＋(１－３)２＝２５．作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄP ．所以(A P ＋B P )m i n ＝(A ᶄP ＋B P )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ᶄ,P ,B 三点共线时,A ᶄP ＋B P 取最小值,即为线段A ᶄB 的长．由题意得A ᶄ(２,－３),所以A ᶄB ＝(６－２)２＋(１＋３)２＝４２．所以әA B P 周长的最小值为４２＋２５．２．３求抛物线背景下的线段最值及点的坐标图６例３㊀(２０２２年天津)如图６,已知抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c(a ,b ,c 是常数,a ＞０)的顶点为P ,与x 轴相交于点A (－１,０)和点B ．(１)若b ＝－２,c ＝－３,①求点P 的坐标;②直线x ＝m (m 是常数,１＜m ＜３)与抛物线相交于点M ,与B P 相交于点G ,当M G 取得最大值时,求点M ,G 的坐标．(２)若３b ＝２c ,直线x ＝２与抛物线相交于点N ,E 是x 轴的正半轴上的动点,F 是y 轴的负半轴上的动点,当P F ＋F E ＋E N 的最小值为５时,求点E ,F的坐标．分析:此处只分析第(２)小问,由于P ,N 为抛物线上的定点,E 为x 轴上的动点,F 是y 轴上的动点,E F 为定长,根据以上分析可联想到 两定点＋两动点 的 将军饮马 模型．由题意可知E F 为定值,因此只需要求P F ＋E N 的最小值,再通过题意求出直线E F 的方程,进而求出点E ,F 的坐标．解析:(２)由抛物线与x 轴交于A (－１,０),可知a －b ＋c ＝０,又３b ＝２c ,则b ＝－２a ,c ＝－３a ,所以抛物线的解析式为y ＝a x ２－２a x －３a (a ＞０)．所以由抛物线y ＝a (x －１)２－４a ,得P (１,－４a )．图７如图７,作点P 关于y 轴的对称点P ᶄ,连接P ᶄF ．根据对称性,可知P ᶄF ＝P F ．作点N 关于x 轴的对称点N ᶄ,连接N ᶄE ．根据对称性,得N ᶄE ＝N E ．所以(P F ＋F E ＋E N )m i n ＝(P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE )m i n ．根据两点之间线段最短,当P ᶄ,F ,E ,N ᶄ四点共线时,P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE 取最小值,即为线段P ᶄN ᶄ的长．将x ＝２代入抛物线解析式,可得y N ＝－３a ,则点N 坐标为(２,－３a ),所以N ᶄ(２,３a )．又点P ᶄ坐标为(－１,－４a ),所以P ᶄN ᶄ＝(２＋１)２＋(７a )２＝５．解得所以a ２＝１６４９,即a ＝４７,或a ＝－４７(舍)．所以P ᶄ(－１,－１６７),N ᶄ(２,１２７)．设直线P ᶄN ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ．将点P ᶄ,N ᶄ的坐标代入,可得－１６７＝－k ＋b ,１２７＝２k ＋b ．ìîíïïïï解得k ＝４３,b ＝－２０２１．所以直线P ᶄN ᶄ:y ＝４３x －２０２１．分别令x ,y ＝０,可得E (５７,０),F (０,－２０２１)．解决 将军饮马 问题,究其本质就是利用 两点之间线段最短 或 垂线段最短 的基本原理,用几何变换将若干原本彼此分离的线段组合到一起,即 化折为直 [１],进而解决问题．参考文献:[１]丁力．初中数学几何最值问题探究 以 将军饮马 问题模型的解题策略为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):７９Ｇ８０．Z５７。
