2012年沈阳工业大学考博真题2001数值分析

研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。

2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。

3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。

4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。

5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。

二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。

说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。

2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。

三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。

五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。

（2008级）数值分析试题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 计算()432-=f ，取7.13≈，利用下列等式计算，结果最好的是（ ）。

（A ）()4321+（B ）()2347-（C ）35697-（D ）356971+2. 设()132++=x x x f ，则[]=35.0,3.0,2.0,1.0f （ ）。

（A ）0（B ）1（C ）2 （D ）33. 选择常数a ，使ax x x -≤≤310max 达到极小，所用的逼近为（ ），可以选择的逼近多项式为（ ）。

（A ）最佳平方逼近（B ）最佳一致逼近（C ）Legendre 多项式 （D ）Chebyshev 多项式4.如果()0>''x f ，用梯形公式()⎰=b adx x f I 计算所得结果记为，则有（ ）。

（A ）T I >（B ）T I <（C ）T I =（D ）不能确定5. 用复化辛普森公式计算积分⎰=1dx e I x ，若使截断误差不超过51021-⨯，则区间[]2,1至少应分（ ）等分。

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46. 线性方程组的迭代公式f Bx x k k +=+1收敛的充要条件为（ ）。

（A ）11<B（B ）1<∞B（C ）1)(<B ρ（D ）以上都对7. 求方程a x =2正根的迭代公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+k k k x a x x 211，收敛阶为（ ）。

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）非线性收敛8. 对于常微分方程的一阶初值问题，若数值方法的局部截断误差为()31h O T n =+，则（ ）。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 若x 的相对误差为ε，则3x 的相对误差为（）。

2. 若()()()x bg x af x F +=，则[]=Λn x x x F ,,,10（）。

2012.1数值分析试卷1（10）设f(x)具有连续的m 阶导数，x*是f(x)=0的m 重根，其中m ≥2. {}k x 是由newton 迭代法产生的序列且收敛，证明1*1lim 1*k x k x x x x m+→∞-=-- （2）试把newton 迭代公式加以改进提高迭代公式的收敛速度。

2（10）newton 法解方程组222241x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取初值00(,)(1.6,1.2)T x y =求出迭代两步的结果，计算结果保留5位小数。

3（1）试用Doolittle 分解方法求解方程组123126125153615469x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）试用乘幂法求出系数矩阵126251561546⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦按模最大特征值及对应的特征向量，初始向量为（1,0,0）T ，求出迭代两步的结果，计算结果保留4位小数。

4已知线性方程组123223124211212316x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写出Gauss-seidel 迭代法的迭代格式并分析收敛性。

5已知一组实验数据：试用最小二乘法确定拟合公式b y ax =中参数是a ，b 。

6试求出过平面五点（-2,3）（-1,2）(0,5) (1,92) (2,337)的有理多项式7推导求积公式3"()()()()()224b a a b f f x dx b a f b a η+=-+-⎰其中η∈[a,b]并指明代数精度。

8用复化梯形公式适当的选取分段长度h 使得误差在（0.03,0.06）之间并用其计算积分10x e dx ⎰的近似值（计算中保留小数点后4位）9利用显示的Euler 方法计算函数20()x t y x e dt =⎰在点0.5,1,1.5,2x =的近似值，步长h=0.5（计算中保留小数点后4位）。

研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。

2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。

3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。

4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。

5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。

二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。

说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。

2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。

三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。

五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

一．填空题（每小题3分，共27分）：1．计算40的近似值时，要使其相对误差限001.0*<r ε，只需取 位有效数字； 2．设近似数1,2*2*1-==x x 的误差限分别为01.0和02.0，则≈)(*2*1x x ε ；3．设求积公式)()(0k ban k k x f A dx x f ⎰∑=≈是插值型求积公式，则0nk k A ==∑.4．若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳4次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上至少有 个偏差点； 5．在求积公式中，辛甫生公式至少具有 次代数精度；6．将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A 分解为下三角阵L 与上三角阵U 之积, 即LU A =,则L =, U =；7.用牛顿迭代法解方程10x xe -=的迭代公式为8. 将],[b a 区间n 等分，步长n ab h -=，分点),,1,0(n k kh a x k =+=，则],[b a 等分为n 个子区间，即∑-==1],[n k k I b a ，子区间],[1+=k k k x x I .则计算定积分()baI f x dx =⎰的复化辛普森公式为n S =.9. 计算定积分()b aI f x dx =⎰的复化梯形公式的误差表达式为n I T -= 二．单选题（每小题3分，共24分）：1. 根据数值运算误差分析的方法与原则, 无需避免的是 ( );A. 绝对值很大的数除以绝对值很小的数B. 两个非常相近的数相乘C. 绝对值很大的数加上绝对值很小的数D. 两个非常相近的数相减2. 设 )(,),(),(10x l x l x l n 分别为节点 n x x x ,,,10 上的 n 次拉格朗日插值基函数， 则 ∑=≡-ni iix l x 0)()2(（ ）；A ．2-x B.2-i xC.0D. 13. 设 n ()[,],()f x C a b P x ∈是)(x f 的最佳一致逼近多项式, 则其逼近标准是依据( )； A. 2min[()()]kbn aa f x P x dx -⎰C. n minmax ()()ia a x bf x P x ≤≤- D. n maxmin()()ka x ba f x P x ≤≤-4. 设 )(],,[)(x P b a C x f ∈是)(x f 的最佳平方逼近多项式, 则其逼近标准是依据( )； A. 2min[()()]kbn aa f x P x dx -⎰B.C. n minmax ()()ia a x bf x P x ≤≤- D. n maxmin()()ka x ba f x P x ≤≤-5. 若牛顿-柯特斯公式只有一个求积节点, 则柯特斯系数 =)0(0C ( A )；A.1B.0C.2/1D.a b - 6．插值型求积公式 ∑==nk k kn x f AI 0)( 的代数精度最高可达到 ( ) 次；A.nB.1+nC.n 2D.12+n7. 用迭代法解方程 )5.1(01023==--x x x , 则该方程最好改写为 ( ) ； A.2/11x x += B.321x x += C.13-=x x D. 1/1-=x x8. 迭代法)()()1(k k k x Ax b x+-=+解线性方程组b Ax =收敛的充要条件是（ ）；A ．1)(<A ρB. 1)(<-A b ρC. 1)(<-A I ρD. 1)(<+A I ρ三．解答题(共39分)1.(7分) 求 32()21f x x x x =++- 在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式()2P x2. (15分) 己知)(x f 的函数表如下，解答下述问题:(1)填写差商表.i x)(i x f ],[1+i i x x f ],,[21++i i i x x x f ],,[3+i i x x f ],,[4+i i x x f6 1 10 3 46 4 82 6212(2)写出函数)(x f 的牛顿插值多项式. (3)写出插值余项的表达式.3．(7分)求简单迭代法),...2,1,0(,121=+=+k x x x kk k 的收敛阶。