中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题2001

水头 管 。
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其角平 的两组结构面 ,且 在相互之间夹角为 2α 如图所示 ,一岩石试样 ,存 〓俏° ,岩石的强度参 ,结构面的强度参数 c=1KPa,田 分线与竖轴夹角为 汐
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中国科学院研究生 院 一 ⒛13年 招收攻读博 士学位研究生入学统 考试试卷 科 目名称 :岩土工程
考 生须知 ∶
钟。 ,全部考试时间总计 180分 本试卷满分为 100分 一 。 基 本概念 (每 ) 做 小题 5,选 2,共10分 l。 孔压系数 : 3.次 构面 : 生结 2.砂: 沸 4.岩: 爆
5.在 岩石力学实验 中 ,同样底面积和高度的圆柱体和六棱柱的抗压强度哪个更 大些 ? 为什 么 ? 6 . 为 么 在岩体脆 性显 著 的矿 山开采 中有 些矿柱 已经破坏但仍保持完整 的形 什 状? 一 7.在 设计地下厂房 时 ,一般应将厂房的纵向尽量平行f哪 个主应力轴 ?为什 么?
一 ⒈ 〓
钔 二。 简 述题 (每 做 小题 10选 4,共 分 )
1.以 下基本指标中 :密度 、含水量 、比重、孔隙比、空隙率 、饱和度 、干密度 什 和饱和密度 ,独立的指标有几个 ?,为 么 ? 钰 释 2.在 程中压实粗粒土时,一般情况下如何才能使其达到最大的干密度 ?解 工? 一 在道路设计中,为减小软基公路的不均匀沉降,常用 层 比较坚硬的路面覆 盖在软土层上,试从应力的角度来分析其道理 。
一 如图所示为变水头实验法测定渗透系数 的试验装置示意图,水流从 根直立 玻璃管充水至 的带有刻度的玻璃管和 U型管 白下而上流经土样。试验时,将 ,再 记录终 过时间 t后 需要的高度后 ,开动秒表并记录起始水头差△hl,经 璃管断面积为 a,求 ,试 样长度为 L,玻 了水头差△hz,设 样断面积为 A,试 )。 (30分 渗透系数 k。

2001年中国科学院地质与地球物理研究所博士学位研究生入学考题计算数学（考生按百分制选题，进行解答）一、已知)3()2()1()()(321-+-+-+=n x a n x a n x a n x n y和)}5(),4(),3(),2(),1(),0(),5(),4(),3({x x x x x x y y y 的值，试导出),,{321a a a 的最小二乘解。

（20分）二、试用切比雪夫多项式)arccos cos(x n T n =求4x 在)1,1(-∈x 之间的三次多项式逼近。

（20分）三、已知三次多项式)(3x f 在三个等间隔点),,(321x x x 上的值，求dx x f x x )(321⎰（三点Simpson 公式）。

（20分）四、设)(t h 为频带有限函数，Nyquist 频率为∆=21c f ，试证明取样定理())()(2sin )()(∆-∆-∆∆=∑∞-∞=n f n t f n h t h c n ππ 。

（20分）五、欲用4阶龙格库塔格式),(1n n y x hf k =)2,2(12k y h x hf k n n ++=)2,2(23k y h x hf k n n ++=),(34k y h x hf k n n ++=633643211k k k k y y n n ++++=+求解),(y x f dxdy =，试证其误差为)(5h O （20分）六、试给出消元法进行LU 分解的步骤。

（20分）七、试阐述波动方程求解的方法（包括解析方法、半解析方法、数值方法），介绍其原理、现状及发展趋势。

（20分）。

中国科学院南京土壤研究所自然地理学一、1大气雾霾形成条件及机制（15,14）；答：雾霾是雾和霾的统称。

雾是当气温达到露点温度时（或接近露点），空气里的水蒸气凝结生成的，是一种常见的天气现象。

霾，是指原因不明的因大量烟、尘等微粒悬浮而形成的浑浊现象。

霾的核心物质是空气中悬浮的灰尘颗粒，气象学上称为气溶胶颗粒。

由于雾和霾外在表象比较相似，而且常常同时存在，中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警，所以统称“雾霾天气”。

所以形成雾霾现象无非两点：足够的颗粒污染物物、使空气污染物不易扩散的气象条件。

不同地域颗粒物的来源有所不同。

京津冀地区燃煤、机动车和扬尘是主要污染因素。

其它地区秸秆焚烧可能是某个时间段悬浮颗粒物增加的主要因素。

天气条件是一方面是水平方向的静风，另一方面是垂直方向的逆温现象。

水平方向和垂直方向空气流动性差导致污染物因无法扩散，污染物积聚形成雾霾。

雾霾的危害a雾霾影响人体健康雾霾首先危害到的是人体的健康。

可吸入颗粒物直接进入人体呼吸道和肺泡中，容易引起急性鼻炎和急性支气管炎等病症。

雾霾天气会使支气管炎、哮喘、肺气肿等慢性呼吸系统疾病患者病情急性发作或加重。

b雾霾天气另一个比较明显的负面效果是影响交通出行。

低能见度会导致飞机航班延误、高速公路封闭、交通堵塞。

c雾霾还会影响农业生产。

一方面植物会吸附空气污染物，当空气污染物过多，植物的呼吸作用就会受到影响；另一方面，雾霾天气时，空气流动性差，同时遮住了阳光，影响了植物的光合作用，不利于植物生长。

d雾霾等大气污染还会对我国周边地区造成负面影响，影响与周边国家的友好关系；糟糕的空气也会影响其它国家的对华投资和中国的国际形象。

二、喀斯特地貌形成条件及机制（14年）1. 喀斯特地貌，是具有溶蚀力的水对可溶性岩石（大多为石灰岩）进行溶蚀等作用所形成的地表和地下形态的总称，又称溶岩地貌。

除溶蚀作用以外，还包括流水的冲蚀、潜蚀，以及坍陷等机械侵蚀过程。

中国科学院地球环境研究所2001年春季博士研究生入学试题《普通地质学》一、简述化学风化作用及其类型。

（10分）二、什么是冰期间冰期？简述冰川的形成及其类型。

（15分）三、什么是黄土？其成因、分布及成分如何？（20分）四、简述湖泊的地质作用。

（10分）五、简述地磁场的基本特征、及古地磁的研究方法及其研究意义。

（15分）六、简述地质年代的类型及它们的基本原理。

（10分）七、谈谈你对全球变化研究的认识。

（20分）中国科学院地球环境研究所2001年春季博士研究生入学试题《第四纪地质学》一、简述第四纪地质历史的基本特点。

（10分）二、简述第四纪与人类的关系。

（10分）三、什么是河流阶地？简述阶地的成因、分类及其研究意义。

（15分）四、什么是石钟乳？简述岩溶地貌的发育条件？（15分）五、谈谈第四纪地质的研究方法。

（15分）六、简述第四纪年代学的方法种类。

（15分）七、简述第四纪气候变化的证据。

（20分）2002年秋季博士研究生入学试题《普通地质学》一、名词解释（32分，每题4分）1．大气圈2．火山灰3．风化作用4．纹泥5．新构造运动6．断层7．新生代8．大陆漂移二、简答题（32分，每题8分）1. 简述板块演化对大气和海洋的影响。

2. 简述沉积岩形成过程中的搬运和沉积作用3. 简述岩石地层单位以及群、组、段的含义。

4．比较风力搬运和河水搬运的异同。

三、论述题（36分）1. 解释什么是环境和环境地质？探讨环境地质学的主要研究内容有那些？（16分）2.试述湖泊与沼泽的地质作用。

（20分）2002年秋季博士研究生入学试题《第四纪地质学》一、名词解释（32分，每题4分）1. 全新世适宜期2. 14C测年3. 树木年轮4. 冰期5. 直立人6. 东亚季风和印度季风7. 古地磁8. 古气候模拟二、简答题（32分，每题8分）1. 简述米兰科维奇理论。

2. 简述第四纪气候不稳定的可能原因。

3.简述微体化石在第四纪古环境重建中的作用和意义。

中国地质大学（北京）2001-2002学年度第一学期期末考试土力学试卷及标准答案（适用于1999级土木工程专业学生）一、名词解释(每题3分共18分)1.塑限答:粘性土从可塑状态转变为半固体状态的界限含水率，也就是可塑状态的下限含水率。

2.不均匀系数答：定义为Cu=d60/d10,d10,d60分别为粒径分布曲线上小于某粒径土的土颗粒含量分别为10％和60％。

3.有效应力原理答：由外荷在研究平面上引起的法向总应力为σ，那么它必由该面上的孔隙力u和颗粒间的接触面共同分担，即该面上的总法向力等于孔隙力和颗粒间所承担的力之和，即σ=σ＇＋u。

4.被动土压力答：当挡土墙向沿着填土方向转动或移动时，随着位移的增加墙后受到挤压而引起土压力增加，当墙后填土达到极限平衡状态时增加到最大值，作用在墙上的土压力称为被动土压力。

5.代替法答：代替法就是在土坡稳定分析重用浸润线以下，坡外水位以上所包围的同体积的水重对滑动圆心的力矩来代替渗流力对圆心的滑动力矩。

6.容许承载力答：地基所能承受的最大的基底压力称为极限承载力，记为f u．将f除以安全系数f s后得到的值称为地基容许承载力值f a,即f a＝f u／f s二、问答题（共35分）1.何谓正常固结粘土和超固结粘土，两者的压缩特性和强度特性有何区别？(１2分)答：把土在历史上曾经受到的最大有效应力称为前期固结应力，以p c表示；而把前期固结应力与现有应力p o＇之比称为超固结比OCR，对天然土，OCR>1时，该土是超固结；（3分）当OCR＝1时，则为正常固结土。

（3分）压缩特性区别：当压力增量相同时，正常固结土压缩量比超固结土大。

（3分）强度特性区别：超固结土较正常固结土强度高。

（3分）2.简述影响土压实性的因素？（8分）答：土压实性的影响因素主要有含水率、击实功能、土的种类和级配以及粗粒含量等。

（1分）对粘性土，含水率的影响主要表现为当含水率较低时，相同击实功能下所获得的干密度较低，随着含水率的增大，所得到的干密度会逐渐提高；当达到某含水率时，对应击实功能下会得到最大干密度，对应含水率称为最优含水率；随着含水率的提高，最大干密度反而会减小。

注：所有答案写在答题本上2001年博士学位研究生入学考试试题(A)考试科目：高等渗流力学适用专业：油气田开发工程共 1 页第 1 页一、写出双重介质单相流的基本渗流微分方程式（考虑成“双孔单渗”模型），并说明方程中各项的物理意义。

（10分）二、写出一维理想扩散渗流微分方程式，并说明方程中各项的物理意义。

（10分）三、应用积分法推导水平均质地层单相不可压液体渗流微分方程。

（15分）四、利用保角变换方法推导圆形供给边界地层一口偏心井产量的计算公式。

（15分）五、水平均质等厚无限大地层中有一口水动力学完善井，井半径Rw，在t=0时刻开始以定产量Q生产，设原始地层压力为P，地层渗透率和孔隙度为K和Φ，液体和岩石压缩i系数为Cl和Cr，液体粘度为μ：（1）写出综合压缩系数和导压系数的计算公式；（2）建立描述这一问题的数学模型；（3）推导地层压力分布的计算公式。

（25分）六、一维非活塞式水驱油，当考虑重力和毛管力时：（1）建立渗流微分方程；（2）推导任一过水断面含水率的计算公式；（3）画出油水两相区含水饱和度分布的示意图。

(25分）注：所有答案写在答题本上2001年博士学位研究生入学考试试题(B) 考试科目：高等渗流力学适用专业：油气田开发工程共 1 页第 1 页一、写出双重介质（考虑成“双孔双渗”模型）单相流的基本渗流微分方程式，并说明方程中各项的物理意义。

（10分）二、一维理想扩散渗流微分方程式为：∂∂∂∂∂∂C tDCxVCx =--'22写出方程中各项的物理意义。

（10分）三、写出利用毛管压力曲线计算油水相渗曲线的计算公式及步骤。

（20分）四、利用保角变换方法推导圆形供给边界地层偏心井产量计算公式。

（20分）五、一维无限大排油坑道（水平、均质、等厚地层），以定压Pw生产，设原始地层压力为Pi，导压系数为χ，排油坑道渗流面积为A：（1）建立渗流微分方程；（2）推导地层压力分布公式；（3）画出地层压力分布变化曲线。

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K A L αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111k kA kk=11111001(1)2,3,41010101k k k k k kk --⨯-----行分别加到行311101002,3,4001001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2. 2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a →=⋅--()'()lim lim x a x af x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()x f u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=， 所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中2310000010********E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140001010000101000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TAαα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0TAαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00TA X y αα⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-， 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-， 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dze x z dx-=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=-- 将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222lim lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y ye e dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0=于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==- 根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q p q p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =， 即 ()xxef x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]kη∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F ef ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndx dx n x x n x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =， 故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn x S x n ∞==∑则1na n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰， 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n ∞==--∈-∑ 当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n ∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x nn fx e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)Tξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)Tξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎥======-⎢⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥-⎣⎦⎦⎦其中，123ξξξ=====令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i j iijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑ []12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()TT A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA A E A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数.可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <， 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他1O32123。

图形为
【】 【答】应选（D）
【详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】 应选(A) 【详解】 因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2

6.利用常ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分方程的Euler方法（步长h=0.5）计算下列积分在x=0.5和x=1处的值
7.对方程组
(1)建立收敛的Gauss-Seidel迭代格式，并证明收敛性
(2)取初值 ，计算 、 。
8.证明左矩形求积公式
的误差为
2000年中科院岩土力学研究所博士入学考试数值分析真题
1.用三角分解法求解下列方程
2.在 上给出 的等距节点函数表，若采用线性插值求 的近似值，要求误差不超过10-6，则使用的函数表步长不超过多少？
3.求a、b使得下式为最小
4.用Newton迭代法求解 的近似值（要求有四位有效数字）
5.确定参数 、 、 使下列求积公式具有尽可能高的代数精度

2001年博士研究生入学考试试题考试科目：含油气盆地分析原理和方法适用专业：矿产普查与勘探（必须在答卷纸上答题）一、翻译给出的英文地质名词，并解释其含意（每题6分，共36分，必要时可画图辅助说明）1、Continental Embankment2、Retroarc Foreland Basin3、Piggy Basin4、Transtensional Basin5、Tectonic Subsidence6、Intracratonic Basin二、论述题（选作4题，每题14分，共64分，论述中，必要时可画图辅助说明）1、简述拗拉槽的形成演化过程（提示：说明形成过程中的板块构造运动、拗拉槽与其它构造单元的大地构造位置关系）。

2、试论全球海平面变化的主要原因。

3、试论引起盆地沉降的主要机制。

4、简述周缘前陆盆地沉积层序（包括前陆盆地基底层序）的基本特点及其垂向、横向变化特征。

5、述拉分盆地形成的地质背景和构造演化过程。

6、述被动大陆边缘演化早期指示沉积物饥俄的特征沉积相，并分析导致饥饿相产生的原因。

7、简述影响区域盖层有效性的主要因素。

8、简述与B型俯冲有关的盆地类型《含油气盆地分析原理和方法》参考答案适用专业：矿产普查与勘探（必须在答卷纸上答题）一、区分和解释名词概念（参照给出的英文名词。

每题7分，共35分，必要时可画图辅助说明）1、大陆隆与大陆堤(Continental Rise and Continental Embankment)：被动大陆边缘上的两种盆地构造单元，前者是板内的大陆与大洋之间发育成熟的裂陷大陆边缘，后者是裂陷大陆边缘进积的沉积楔状体2、弧后前陆盆地与弧后盆地(Retroarc Foreland Basin and BackarcBasin)：前者是陆缘弧后（位于大陆一侧）的前陆盆地，成因上与俯冲派生的挤压和（或）碰撞作用有关，后者是岛弧后的洋盆（包括活动弧和残留弧之间的弧间盆地）和陆缘弧后没有发育前陆褶皱逆冲带的陆盆。

2000年中科院岩土力学研究所博士入学考试弹性力学真题
1. 已知筒形容器，外径为b ，内径为a ，筒的材料密度为1γ，在筒内承装液体，液体比重为γ，试写出筒的内、外底面，内、外侧面上的面力分量。

2. 图示坝体侧面受到水压力作用，设水的密度为ρ，试写出此水坝CA 、CB 边的应力边界条件。

3. 已知应力分量为,,x y xy yx ax by cx dy dx ay x σσττγ=+=+==---，而0z yz zx σττ===，试问此种应力分布在什么情况下满足平衡微分方程。

其中a ，b ，c ，d 为常数，γ为容重。

4. 试用应力函数22Axy Bxy Cy ϕ=++求解，在长边界受均匀分布力q 作用，一端固定的细长杆应力分量，体力不计。

5. 图示圆环，试证应力函数
2M ϕθπ
= 能满足相容条件，并给出对应的应力分量。

已知圆环的内半径为a ，外半径为b ，具备上述应力场，试求出边界上的面力，并求出其主矢和主矩。

6. 图示宽度为a 而高度为b 的矩形薄板，在左边界及下边界有连杆支撑，在右边界及上边界分别受有均布压力q 1和q 2，不计体力。

试用位移变分法求薄板的位移分量和应力分量。

7.设坝体内有半径为a 的圆形孔道，而孔道附近的变温可以近似地表示为
0a T T r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
其中T 0为孔边的温度，而r 为距孔中心线的距离，试求温度应力。

8.已知长半轴为a ，短半轴为b 的椭圆截面杆，在杆的端部作用有扭矩M t ，试求应力分量。

为A =
，矩阵范数 A 与向量范数 x 相容指的是
。
v
v
v
5、 设有方程 f (x) = 0 ，则求该方程单根的牛顿法的迭代格式为
，若 x 是此方程的重根，
且已知重数为 m ，则求 x 的具有二阶收敛性的牛顿法迭代格式为
。
二、（16 分）简答题
b
n
1、设有积分 I = a (x) f (x)dx ，其中 (x) 是权函数， In = Ak f (xk ) 是求积分 I 的插值型求积公式。
科目名称：数值分析
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2、 对于下面给定的数据 (xi , yi ), i =1, 2,3, 4,5 和给定的权 i , i = 1, 2,3, 4,5 ，利用最小二乘法求形如
p(x) = a + bx2 的拟合多项式。（10 分）
xi
-2
-1
0
1
2
yi
0
1
2
1
0
i
0.1
0.2
0.4
f
(4) ( 4!
)
(x
−
x0
)2
(x
−
x1)2
，其中
( x0 ,
x1)
且与
x
有关。
（6 分）
b
2、 设有积分 I = a f (x)dx ， 被积函数 f (x) 在[a,b] 上连续， Sn 是将区间[a,b] 作 n 等分之后所得的复化
辛普森求积公式。请推导
S
n
的表达式，并证明
lim
n→
Sn
0.2
0.1
3、 设有方程组
4xx11
+ +

一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )xy e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =±从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+=于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gr adr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度d ivA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222xx y z=++222x x y z =++xr=2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2rr xx r∂-∂=2x r x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -=类似可得r y y r ∂=∂，22r y ∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -=根据定义有()div gradr 222222r r r x y z ∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++222233r x y z r ---=2233r r r-=232r r =2r =2222x y z =++于是(1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy-=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E +【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E-+=Oxyx+y=1x=21即()()12,2A E A E E -⋅+=故()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=.因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1}，可排除(B)；曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x x y z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为{}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为001()()lim (1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅--0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0limx x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =,在0x =处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim lim h h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim (sin )lim h h h h f h h h h→→--=30sin lim h h h h h →-=⋅其中，30sin limh h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h hh → 等16=根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C).又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()11111000(4)000000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q ,使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.因此，A B 与也合同.即A B 与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ==即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故()DY D n X DX=-=由方差的定义：22()DX EX EX =-,所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：c ov(,)0X c =(c 为常数)；c ov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以c ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX=-=-=-=-由相关系数的定义，得c ov(,)(,)1X Y DX X Y DX DYDX DXρ-===-三【详解】2a rctan x x e dx e⎰2a rctan x x e e dx -=⎰()21arctan 22x xe e d x -=--⎰()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de ee -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰22211arctan 21x x x x x x e e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又(1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将a rctan x 展开.因为()a rctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰22100(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰，()1,1x ∈-于是21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x x n n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x xn n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑，()1,1,0x x ∈-≠又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立.进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛，2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctanx x xx x --→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =，2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x xx x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而221(1)2()114n n n f x x n ∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑因此21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n ∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式，I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dSαβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰[]18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰按第一型曲面积分的算法，将S 投影到x oy ，记为σ.d S 与它在x oy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在x oy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰由111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及{}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++知11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1S z z y z z x x y dxdyx y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy=-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+=把2x y z ++=代入I 中，1L 为L 在x oy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y ∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在y oz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤,可得到y z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤,可得到x z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)D I x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故12324.I I I I =++=-方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--,则,dy dx dz dx =-=-，x 从1到0.以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+---22[(1)1(2)(1)]x x dx=--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz-+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3=当0,0x y ≤≥,2:1,12L y x z x =+=-,则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1-于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx=+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰ 当0,0x y ≤≤,3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅2(2226)x x dx=+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤,4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx=-+所以412222220()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰ 所以123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1)因为()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<于是有[]'()()(0)xf x x f x f θ=-，即[]()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f x θ→-[]0'()'(0)lim ()()x f x x f x x x θθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的[]()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以[]21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+约去x ，有[]1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于[]0'()'(0)lim "(0)()x f x x f f x xθθ→-=，00lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在x oy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h tr h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()D x y dxdy h t +=+⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r r d h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π=由题意知0.9(),dVS t dt =-将上述()V t 和()S t 代入，得32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=-积分解得13()10h t t C =-+由()0130h =,得130C =.所以13()130.10h t t =-+令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ 线性无关.设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++= 由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- )由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,sst t +-≠，即12(),sst t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0A x =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -=，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(2)由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似.由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p .在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有{}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n en λλ-==故{}{}{},|(1)!m mn mn neP X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n n i n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+且1111nin i i i E Xnu E X E X u n nn ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此()()()221211()2nn i n i i n i i i E Y E X X XE X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X XX X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n ni i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑所以()2211(1)ni i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理()2221(1)nn i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而()()()()12121122n n i n i i n ii i E X X X X E X X XX ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,E X EY 都存在，则E XY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX E X u ==211n i n i E X X E X EX u ++==，21212E X X E X E X u ==故有()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()22221ni u u u u ==--+=∑即()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。

01级土力学期末试卷及标准答案，2003.121. 频率曲线: 粒组频率曲线：以个颗粒组的平均粒径为横坐标对数比例尺，以各颗粒组的土颗粒含量为纵坐标绘得。

2. 塑性指数：液限和塑限之差的百分数（去掉百分数）称为塑限指数，用Ip表示，取整数，即：Ip=wL－Wp。

塑性指数是表示处在可塑状态的土的含水率变化的幅度。

3. 流土:流土是指在渗流作用下局部土体表面隆起，或土粒同时启动而流失的现象。

4. 超固结比：把土在历史上曾经受到的最大有效应力称为前期固结应力，以pc表示；而把前期固结应力与现有应力po＇之比称为超固结比OCR，对天然土，OCR>1时，该土是超固结土，当OCR＝1时，则为正常固结土。

5. 容许承载力：地基所能承受的最大的基底压力称为极限承载力，记为fu．将F除以安全系数fs后得到的值称在地基容许承载力值fa,即fa＝fu／fs6. 砂土液化：是指砂性土在循环荷载作用或者在动力荷载作用下，孔隙水应力增加有效应力为零，从而导致其抗剪强度丧失的过程。

二、简答题(共36 分)1. 其它条件相同情况下，超固结粘土的沉降一定小于正常固结粘土的沉降吗？为什么？(10分)是的(2分)。

因为和正常固结粘土相比，超固结粘土孔隙比比正常固结土小，如果现有有效应力相同，则在某荷载增量作用下，超固结土是沿再压缩曲线压缩，而正常固结土沿压缩曲线压缩。

由于同一土质，再压缩曲线肯定比压缩曲线缓，即再压缩指数比压缩指数小，因此，超固结粘土沉降比正常固结土小。

(8分)2. 什么是有效应力原理？图中，地基土湿重度、饱和重度和浮重度分别为、和，水重度，M点的测压管水柱高如图所示。

写出M点总应力、孔隙水应力、有效应力、自重应力的计算式。

(8分)答：由外荷在研究平面上引起的法向总应力为б，那么它必由该面上的孔隙力u和颗粒间的接触面共同分担，即该面上的总法向力等于孔隙力和颗粒间所承担的力之和，即б=б＇＋u。

（2分）M点总应力：（1分）M点孔隙水应力：（1分）M点有效应力：（2分）M点自重应力：（2分）3. 土坡发生滑动的滑动面有哪几种形式？分别发生在何种情况？没有渗流的情况下的粘性土坡的稳定安全系数可以有哪几种方法计算？（10分）土坡发生滑动的滑动面有：圆弧、平面、复合滑动面(3分)。

中科院生态所2000土壤学试题一、名称解释（每小题4分，共40分）1. 土壤质地与机械组成2．土壤矿化作用与腐殖化作用3. 土壤永久电荷和可变电荷4．土壤有效水、土壤凋萎系数5．土壤的导热性和导热率6．土壤塑性与塑性指数7．潜育化作用和潴育化作用8．土壤缓冲作用9．硝化作用和反硝化作用10．土壤肥力二、问答题（每小题15分，共60分）1、何谓成土因素？主要成土因素有哪些？请举例说明成土因素对土壤发育、土壤类型分布以及土壤特征的影响。

2、简述南方（华南地区和长江领域）的主要地带性土壤类型及其主要特点3、简述水稻土中氮素损失的主要途径及提高施入土壤中化学氮肥利用率的措施。

4、简述土壤有机质和氮素循环及其在土壤肥力中的作用。

2005年土壤学真题名词解释1土壤质地2原生矿物3可变电荷4稀释水专5土壤热容量简述题：1阐述土壤发生层（不含R层）及各层的特征2 简述黑土成土过程3简述土壤污染防治措施4简述土壤氮素形态的转化、5简述土壤形成的因素6简述如若有机质矿质化与腐殖化过程。

中国科学院2004年硕士研究生入学考试土壤学试题填空题（每空2分，共30分）1、自然界土壤由___、___、___ 三相物质组成。

2、由完整的土壤发生层次组成的垂直土层序列称为___。

3、粘土矿物是在___中形成的次生矿物。

4、____是最早出现于土壤母质中的有机体，但自然土壤有机质的主要来源是___。

5、外来有机物不断输入土壤，经微生物_____形成腐殖质；土壤原有有机质不断____而离开土壤。

6、单位容积固体土粒（不包括空隙）的质量称为____，而自然垒结状态下单位容积土体（包括空隙）的质量称为____。

7、以单个形式存在的矿质土粒称为___，而许多矿质土粒及有机质聚集在一起形成的土粒称为__8、由土壤结构体的种类、数量及结构体内外的孔隙状况等产生的综合性质称为____。

9、____是由土壤孔隙总量和大小孔隙的分配所决定的。

二、名词解释（每题5分，共30分）1、腐殖化系数2、土壤结构单位3、毛管孔隙与非毛管孔隙4、达西定律5、土壤母质6、土壤熟化过程三、问答题（每题10分，共50分）1、简述土壤圈的概念及其与地球表层其它组成部分的关系。