江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷(含答案)

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是．6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C 上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z＝2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵A＝{2，4}，B＝{a2，2}，且A＝B；∴a2＝4；又a＜0；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为4．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线方程为：x＝2，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为：2+2＝4．故答案为：4．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为20.8．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为＝×（78+82+84+84+92）＝84，方差为s2＝×[（78﹣84）2+（82﹣84）2+（84﹣84）2+（84﹣84）2+（92﹣84）2]＝20.8．故答案为：20.8．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]．【解答】解：当x∈[0，1）时，S＝1，当x∈[1，2]时，S＝2x﹣x2∈[0，1]，综上可得：若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．【解答】解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期为T＝＝2，x＝2时f（x）＝sin（2π+φ）＝sinφ取得最大值，由0＜φ＜2π，得φ＝．故答案为：．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝2．【解答】解：∵，∴10a1+d＝4×（5a1+d），化为：2a1＝d≠0．则＝2．故答案为：2．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．【解答】解：如图：∵P﹣ABC为正四面体，且棱长为2，∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O，也是重心，则BM＝，BO＝，∴，又N为BC的中点，PD＝2DN，D到面P AB的距离为，而，∴．故答案为：．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝4．【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．【解答】解：如图，设M（x，y），由MA2+MO2≤10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2≤10，∴（x﹣1）2+y2≤4，联立，解得或．∴点M的纵坐标的取值范围是[]．故答案为：[]．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为[﹣1，1]．【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，如图：设∠POA＝θ，则P的坐标为（cosθ，sinθ），0°≤θ≤90°，A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y＝1，设Q（m，n），由（cosθ+m）+（sinθ+n）＝1，＝1，解得m＝1﹣sinθ，n＝1﹣cosθ，即Q（1﹣sinθ，1﹣cosθ），＝cosθ（1﹣sinθ）+sinθ（1﹣cosθ）＝sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ，令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+45°），由θ+45°∈[45°，135°]，sin（θ+45°）∈[，1]，t＝sin（θ+45°）∈[1，]，又2sinθcosθ＝t2﹣1，＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+在t∈[1，]递减，可得t＝1，取得最大值1，t＝时，取得最小值﹣1，则的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是2e2﹣12．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）＝（c﹣6）lnc，则g′（c）＝lnc+1﹣，显然g′（c）在（，e2]上单调递增，∵g′（e）＝2﹣＜0，g′（e2）＝3﹣＞0，∴g′（c）在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）＝（﹣6）＜0，g（e2）＝2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）＝2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．【解答】解：已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则：（a+b）2＝4（ab）3+4ab，所以：＝＝＝≥＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，△ABC中，有，则有，变形可得，所以．因为sin B≠0，所以cos B≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（2）由向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），则有•＝．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【解答】解：（1）设AP＝21t，CP＝4t，（t＞0），记∠APB＝α，∠CPD＝β，则，由tan（α+β）＝tan45°＝＝＝1，化简得7t2﹣125t﹣300＝0，解得t＝20或t＝﹣（舍去），所以AC＝AP+PC＝25×20＝500．答：两索塔之间的距离AC＝500米．（2）设AP＝x，点P处的承重强度之和为L（x）．则L（x）＝60[+]，x∈（0，500），即L（x）＝60ab[+]，x∈（0，500），记t（x）＝+，t′（x）＝﹣+，令t′（x）＝0，解得x＝250，当x∈（0，250），t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（250，500），t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＝250时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值．答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．【解答】（1）解：由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1．可得：＝，﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1＝b．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），∵，得2y0＝﹣1，∴y0＝﹣，代入椭圆方程得：+＝1，解得x0＝．∴D，∴l的方程为：y＝±x+1．（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y＝﹣x+1，联立椭圆方程得：，解得x3＝，y3＝．由B（，0），得直线BD的方程：y＝（x﹣），①直线AC方程为：y＝x+1，②联立①②得：x2＝，从而x1x2＝2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）①∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵a2+b＝0，∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，令f′（x）＝0，解得x＝，或x＝﹣a．由a＞0知，x∈（﹣∞，﹣a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（﹣a，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极大值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极小值为f（）＝1﹣．②当a＝0时，b＝0，此时f（x）＝x3+1不存在三个相异零点；当a＜0时，与①同理可得f（x）的极小值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极大值为f（）＝1﹣．要使f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a3）（1﹣）＜0，即a3＜﹣1或a3＜．不妨设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，f（x1）＝，①，②，③②﹣①得（x2﹣x1）（）+a（x2﹣x1）（x2+x1）﹣a2（x2﹣x1）＝0，∵x2﹣x1＞0，∴+＝0，④同理＝0，⑤⑤﹣④得x2（x3﹣x1）+（x3﹣x1）（x3+x1）+a（x3﹣x1）＝0，∵x3﹣x1＞0，∴x2+x3+x1+a＝0，又x1+x3＝2x2，∴．∴f（﹣）＝0，即，即＜﹣1，∴存在这样实数a＝﹣满足条件．（2）设A（m，f（m）），B（n，f（n）），则，，又＝＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得3m2+2am+b＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，化简得n＝﹣a﹣2m，∴k2＝3（﹣a﹣2m）2+2a（﹣a﹣2m）+b＝12m2+8am+a2+b，∴12m2+8am+b+a2＝4（3m2+2am+b），∴a2＝3b．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．【解答】解：（1）设数列{S n}的公差为d′，由6S n＝9b n﹣a n﹣2，……①6S n﹣1＝9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2，（n≥2）……②①﹣②得6（S n﹣S n﹣1）＝9（b n﹣b n﹣1）﹣（a n﹣a n﹣1）……③∵等差数列{a n}的首项为1，公差为d，∴6d′＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d．所以：b n﹣b n﹣1＝为常数，所以{b n}为等差数列．（2）由③得6b n＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d，即3b n＝9b n﹣1+d，所以：＝3+是与n无关的常数，所以﹣1或为常数．①当﹣1＝0时，d＝3，符合题意；②当为为常数时，在6S n＝9b n﹣a n﹣2中令n＝1，则6a1＝9b1﹣a1﹣2又a1＝1，解得b1＝1．所以＝此时3+＝1，解得d＝﹣6；综上，d＝3或d＝﹣6．（3）当d＝3时，a n＝3n﹣2，由（2）得数列为等比数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以即当n≥2时，c n＝b n﹣b n﹣1＝3n﹣1当n＝1时，也满足上式，所以c n＝3n﹣1．设a n＝c i﹣c j，则3n﹣2＝3i﹣1+3j﹣1，即3n＝3i﹣1+3j﹣1＝2如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i﹣1+3j﹣1为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以i＝1，则3n＝3+3j﹣1，即n＝1+3j﹣2．（j＝2，3，4……）故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．【解答】证明：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED．因为OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA．又因为AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，所以∠OAE＝∠EAD，所以∠EAD＝∠OEA，所以OE∥AC，故AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．【解答】解：由题意可知：|λE﹣M|＝0，即＝0，得（λ﹣2）（λ﹣x）﹣4＝0的一个解为3，代入得x＝﹣1，∴M＝，则|M|＝﹣6，∴M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．【解答】解：圆C的参数方程为为参数）．圆C消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝4，由，得ρcosθ+ρsinθ﹣a＝0，所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a＝0．依题意，圆心C到直线l的距离等于，即＝，解得a＝﹣1或a＝3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【解答】证明：因为a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，所以a+2b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2．由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，5（1﹣c2）≥（1﹣c）2，整理得，3c2﹣c﹣2≤0，解得﹣≤c≤1．所以﹣≤c≤1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意，得，又m＞n，解得m＝，n＝．（2）由题意，a＝++＝，b＝1﹣﹣＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．【解答】解（1）当n＝2时，f（x）＝（x+5）5＝x5+x4+x3（）2+x2（）3+x（）4+（）5，所以f（2）+f（﹣2）＝（2+）5+（﹣2+）5＝2[（）124+（）322+（）520]＝2（5×16+10×4×5+25）＝610，所以A＝610．（2）因为f（x）＝（x+）2n+1＝x2n+1+x2n+x2n﹣1（）2+…+（）2n+1，所以f（2）＝22n+1+22n+22n﹣1（）2+…+（）2n+1，，由题意f（2）＝（+2）2n+1＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），首先证明对于固定的n∈N*，满足条件的m，α是唯一的．假设f（2）＝（2+）2n+1＝m1+α1＝m2+α2（m1，m2∈N*，0＜α1，α2＜1，m1≠m2，α1≠α2），则m1﹣m2＝α2﹣α1≠0，而m1﹣m2∈Z，α2﹣α1∈（﹣1，0）∪（0，1），矛盾．所以满足条件的m，α是唯一的．下面我们求m及α的值：因为f（2）﹣f（﹣2）＝（2+）2n+1﹣（﹣2+）2n+1＝（2+）2n+1+（2﹣）2n+1＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，，显然f（2）﹣f（﹣2）∈N*．又因为﹣2∈（0，1），故（﹣2）2n+1∈（0，1），即f（﹣2）＝（﹣2+）2n+1＝（﹣2）2n+1∈（0，1）．所以令m＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，α＝（﹣2+）2n+1，则m＝f（2）﹣f（﹣2），α＝f（﹣2），又m+α＝f（2），所以α（m+α）＝f（﹣2）•f（2）＝（2+）2n+12n+1＝（5﹣4）2n+1＝1．。

▲．
3．根据如图所示的算法流程图，输出的结果 T 为
▲
．
开始 I←２
T←１
T≤30 N
输 I
I←I＋ 2 T← T×I Y
结束
（第 3 题图）
0.024
频率 组距
0.012
0.008
0.004 0.002
O
20 40 60 80 100 分数 / 分 ( 第 4 题图）
4．上图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定 60 分以上 ( 含 60) 为考试合 格，则这次考试的合格率
3x－1，x≤ 0， 8．定义在 R上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ＝ f ( x－1) －f ( x－2) ，x＞0，则 f (2018)
＝▲． 9．定义在 R上的奇函数 f ( x) ，当 x∈( －∞， 0) 时， f ( x) ＝x2＋2x－1，则不等 式 f ( x) ＜－ 1 的解集是 ▲ ． 10. 已知锐角 A, B 满足 tan( A B) 2tan A ，则 tan B 的最大值是 ▲ ． 11．已知 f ( x) x2 2x 3 ， g( x) kx 1，则“| k| ≤ 2”是“f ( x) ≥g( x) 在 R上恒成立”
江苏高考数学模拟试题（二）
一、填空题：本大题共 ．．．．． 卡相应位置 上．
．． 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题
1．已知集合 M＝{ x｜y＝lg x} ，N＝{ x ｜y＝ 1－x} ，则 M∩N＝ ▲ ．
2．已知复数 z 满足 ( z－ 2)i ＝ 1＋ i （ i 是虚数单位） ，则复数 z 的实部为
为▲． 5．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4 的四个小球，这些小球除标注

合用标准文案2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕数学Ⅰ试题本卷须知：1．本试卷共4 页，包括填空题〔第 1 题～第 14 题〕、解答题〔第 15 题～第 20 题〕两局部．本试卷总分值 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址．3．答题时，必定用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址，在其他地址作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚．5.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．会集A x 1 x 3 ， B x x 2 ，那么 A B▲．2． i 为虚数单位，复数z1 3 yi ( y R )，z2 2 i ，且z1 1 i ，那么y▲．z23．下表是一个容量为10 的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数 x ，那么 x 的值为▲．数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2134x2y24．直线 2 x 3 y0 为双曲线a2b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线，那么该双曲线的离心率的值为▲．优秀文档合用标准文案5．据，在公元前 3 世，阿基米德已得出了前n 个自然数开始平方和的一般公式．右是一个求前n 个自然数平方和的算法入 x 流程，假设入 x 的1，出S的▲．S06 ． 1 是会集( x, y) x2y2 ,1所表示的地域， 2 是会集S S2x x 1 x( x, y) y, x所表示的地域，向地域 1 内随机的投一个点，S5否是点落在地域 2 内的概率▲．出 S 7．等比数列a n的前 n 和 S n，公比 q3，S3S453 ，结束3a3▲．8．直四棱柱底面是 2 的菱形，面角的 2 3 ，直四棱柱的面▲．9．是第二象限角，且sin 3， tan() 2 ， tan▲．1010．直 l ： mx y2m 1 0 ， C ： x2y22x 4 y0 ，当直 l 被 C 所截得的弦最短，数m▲．11．在△ ABC 中，角 A, B, C 分是 a, b, c ，假设足 2b cos A =2 c3a ，角B的大小▲．12．在△ ABC 中， AB AC，AB 1， AC t ，P是△ ABC 所在平面内一点，假设tAP 4 AB AC▲．|AB|，△ PBC 面的最小|AC|4x2, x⋯0,13．函数 f (x)x3x0,假设函数g( x) f (x)3x b 有三个零点，数 b 的,x取范▲．14． a ,b 均正数，且ab a2b0， a22b21的最小▲．4a b优秀文档合用标准文案二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14 分〕向量 m( 3cos x, 1) , n(sin x,cos2 x) ．（1〕当 x π时，求m n的值；3〔 2〕假设x0, π，且m n31，求 cos2x 的值．43216．〔本小题总分值 14分〕B 如图，在周围体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ，E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ，EACD 90 ．〔 1〕求证： AB⊥平面 EDC ；A GC〔 2〕假设 P 为 FG 上任一点，证明EP∥平面 BCD ．PFD17．〔本小题总分值14 分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料花销x〔单位：百元〕满足以下关系：3，且投入的肥料花销不高出 5 百元．其他，还需w 4x 1要投入其他本钱〔如施肥的人工费等〕2x 百元．这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克〔即 16 百元 /百千克〕，且市场需求向来供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L (x) 〔单位：百元〕．（1〕求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域；（2〕当投入的肥料花销为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？优秀文档合用标准文案18．〔本小分16 分〕函数 f (x) a ln x bx 3，a，b 数， b 0 ， e 自然数的底数， e 2.71828 ⋯．〔 1〕当 a 0 ， b 1 ，函数 f (x) 的最小g ( a) ，求 g (a) 的最大；〔 2〕假设关于x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不相同数解，求 a 的取范．b19．〔本小分16 分〕x2y2F ( 1,0)x2C :a2b21(a b0) 的左焦点，左准方程．〔 1〕求C的准方程；y〔 2〕直 l 交C于A，B两点．①假设直 l C的左焦点 F ，P A交 y 于点 P ，且足PA AF ，PBBF ．求：定；F O x②假设 A， B 两点足 OA OB 〔OB坐原点〕，求△ AOB 面的取范．20．〔本小分16 分〕数列 a na2 a 4*足 a1 1,a n n n,其中 n N ,,非零常数．1a n2〔 1〕假设3,8 ，求：a n 1 等比数列，并求数列a n的通公式；（2〕假设数列 a n是公差不等于零的等差数列．①求数 , 的；②数列a n的前n和S n构成数列S n，从S n中取不相同的四按从小到大排列成四子数列．：可否存在首S1的四子数列，使得子数列中的全部之和恰好2021？假设存在，求出全部足条件的四子数列；假设不存在，明原由．优秀文档合用标准文案21．【选做题】此题包括A ，B， C ，D四小题，每题10 分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题地域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A．〔选修 4－ 1：几何证明选讲〕如图，直线 DE 切圆O于点 D ，直线EO交圆O于A,B两点，DC OB于点C，且 DE 2BE ，求证：2OC3BC ．DAO C B E B．〔选修 4— 2：矩阵与变换〕1a1 及对应的特色向量e 1矩阵 M的一个特色值1．3b1求矩阵 M 的逆矩阵．C．〔选修 4— 4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为x32cos，为参数 )，曲y32sin(0,2 π,线 C2的极坐标方程为sin(πaR 〕．假设曲线C1与曲线 C2有且仅有一个公) a 〔a 的值．3共点，求实数D. 〔选修 4— 5：不等式选讲〕a ,b,c 为正实数，求证：b2c2a2⋯abc ．a b c【必做题】第22，23 题，每题10 分，共 20 分 . 请把答案写在答题卡的指定地域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕优秀文档袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得 n 分〔n N*〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔 1〕求在一局游戏中得 3 分的概率；〔 2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学希望 E ( X )．23．〔本小题总分值10 分〕f n (x) C n0 x n C1n (x 1)n( 1)k C n k ( x k)n( 1)n C n n ( x n) n，其中 x R，n N *，k N, k, n．（1〕试求 f1 ( x) ， f 2 ( x) ， f 3 ( x) 的值；（2〕试猜想 f n (x) 关于 n 的表达式，并证明你的结论．2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕优秀文档数学参照答案一、填空．1． x1x22． 13．4．21 35． 146．37． 38．16 2 49．110．- 111．π12．3 76213． (,6)(1,0]14． 7 46 小，共90 分．二、解答：本大共π31) ，n(314 分15．解：〔 1〕当 x， m(,,) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3224所以 m n311 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分442〔 2〕m n = 3 cos xsin x cos2 x3sin 2 x 11sin(2 xπ18 分2cos2 x2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262假设 m n31，s in(2 xπ131，即sin(2 xπ3，32)232)366因 x[0,π，所以ππ ππ610 分]6剟2 x6，所以 cos(2x)，⋯⋯⋯⋯⋯4363cos2 x cos[(2 xππcos(2xπ3π 1⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6)])2sin(2 x)2666633132314 分32326．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16．〔 1〕因平面 ABC⊥平面 ACD ，ACD90，即 CD ⊥ AC，平面 ABC平面 ACD =AC， CD平面 ACD ，所以 CD ⊥平面 ABC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又 AB平面 ABC，所以 CD ⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 AC BC ，EAB 的中点，所以CE⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 CE CD C ，CD平面 EDC， CE平面 EDC ，所以 AB ⊥平面 EDC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分〔 2〕 EF， EG，因 E， F 分 AB， AD 的中点，所以 EF ∥ BD，又BD平面 BCD ， EF平面 BCD，优秀文档合用标准文案所以 EF ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分同理可 EG ∥平面 BCD ，且 EF EG=E ， EF 平面 BCD ， EG平面 BCD ，所以平面 EFG ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 P FG 上任一点，所以EP平面 EFG ，所以 EP ∥平面 BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：〔 1〕 L ( x)16 43x 2x 6448 3x 〔 0剟x 5 〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1x 1〔 2〕法一 ： L ( x)64483 x 6748x 1x1x31, 67248 3 x 143 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x 1当且 当48 3 x 1 ，即 x3 取等号．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x 1故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分法二： Lx483 ，由 L x0 得， x3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 21故当 x 0,3 ， Lx 0 ， L x 在 0,3 上 增；当 x3,10 ， L x0 ， L x在 3,5 上 减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分18．解：〔 1〕当 b1 ，函数 f (x)a ln x x 3 ，f ( x)a 3x 2 a 3x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分xx令 f ( x)0 ，得 xaa 0 ，3，因 a 0 ，333x(0,3aaa,))33(333 f (x)+f (x)极小所以 g ( a) f (3aa ln3a a aa a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分)33ln()，3 3 33令 t (x) x ln xx ，t ( x) ln x ，令 t ( x) 0 ，得 x 1 ，且当 x1 ， t (x) 有最大1，所以 g ( a) 的最大 1〔表格略〕， (分段写 性即可 )，此 a3 ．⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕由 意得，方程a ln x bx 3 0 在区 (1， e] 上有两个不相同 数解，优秀文档合用标准文案所以ax 3 在区 (1， e] 上有两个不相同的 数解，b ln x即函数y 1a像与函数 m(x)x 3 像有两个不相同的交点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分bln x因x 2 (3ln x 1)3m ( x)(ln x)2，令 m (x)0 ，得 xe ，x(1, 3 e)3e( 3 e,em ( x) 0+m( x)3e所以当 x3(3e, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(1， e) ， m(x) 当 x 〔 3 e ，e] ， m( x) (3e,e 3 ] ，所以 a ,b 足的关系式a3，即a 33e, eb 的取 范 〔3e ， e ] ．⋯⋯⋯⋯ 16 分b19．解：〔 1〕由 知 e2， a 22c 2b 2c 2 ，即 a 22b 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22代入C 获得1 11 ，b 21 ， a 22 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(1,) 2b 2 2b 22∴ C : x 2y 2 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2〔 2〕①由 知直 l 的斜率存在， 直l 的方程 y k(x 1) ， P(0,k ) ．A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，直 l 代入 得 x 2 2k 2 ( x 1)22 ，整理得，(1 2k ) x4k x2k20 ，∴ x 1x 24k 2 2 ,x 1x 2222． ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22k2221 2k1 2k由 PAAF ，PBBF 知，1 x 1 , 1 x2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 22 x 1x 2 4k 2 4k 2 44∴1 2k2 1 2k 24〔定 〕．⋯⋯⋯ 9 分1 x x x x4k 2 2k 2 2121211221 2 k1 2k②当直 OA, OB 分 与坐 重合 ，易知△AOB 的面 S2 10 分，⋯⋯⋯⋯⋯2当直 OA, OB 的斜率均存在且不 零 ，OA : ykx, OB : y1x ，kA( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，将 y kx 代入 C 获得 x 2 2k 2 x 2 2 ，合用标准文案2222k 2，同理 x222k 222，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴ x12k 2, y12122 , y222 12k k kk22△ AOB 的面S OA OB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22k21k 2221令t211,，S t，k2t 1 t1112t t 2令 u 1(0,1) ， S1122．⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分t u2u2129,2u324上所述， S2,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分323a 28a4(3a2)(an 2)20．解：〔 1〕当3,8 ， a n1n n n3a n2，a n2a n 2∴ a n 113(a n1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 a n10 ，不然 a110，与 a1 1 2矛盾，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ a n12 首， 3 公比的等比数列，∴ a n1n 1n 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 3，∴ a n 2 3〔 2〕① a n a1(n1)d dn d 1 ，由 a na n2a n4a( a2)2a 4 ，1得1aa n2n n n n∴ ( dn d3)(dn1)(dn d2( dn d1) 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1)∴ d 2n2(4 d d 2 )n d3 d 2 n2(2(1 d )) dn(1 d ) 2(1 d )4任意 n N 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2 d 2，，1∴4d d2(2(1 d ))d，即u d，∴1,u4, d2．⋯⋯⋯⋯ 9 分2d 3(1 d)2(1 d )4，，d 2上，14,a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，②由①知S n n(12n1)n2．22021 奇数，四也许三个奇数一个偶存在足条件的四元子列，察到数、也许一个奇数三个偶数．1 假设三个奇数一个偶数，S1 , S2x1 , S2 y 1 , S2 z是足条件的四，1(2 x1)2(2 y1)24z22021 ，∴ 2( x2x y2y z2 )1007 ，与1007 奇数矛盾，不合意舍去．⋯⋯11 分合用标准文案2 假设一个奇数三个偶数，S 1 , S 2x , S 2 y , S 2 z 是 足条件的四 ，124 x 24 y 2 4z 22021 ，∴ x 2y 2 z 2504 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 504 偶数知， x, y, z 中一个偶数两个奇数也许三个偶数．1〕假设 x, y, z 中一个偶数两个奇数，不如x 2 x 1，y 2 y 1 1,z 2 z 1 1,2(x 12y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 ) 251 ， 与 251奇数矛盾． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2〕假设 x, y, z 均 偶数，不如x 2x 1, y 2 y 1, z2 z 1 ，x 12y 1 2z 12 126 ， 奇偶解析知x 1 , y 1 , z 1 中两奇数一个偶数，不如 x 12x 2 ， y 1 2 y 21 ， z 12 z 2 1 ， x 2 2y 2 2y 2 z 2 2 z 2 31． ⋯14 分因 y 2 ( y 2 1), z 2 ( z 21) 均 偶数，所以 x 2 奇数，不如0剟 y 2z 2 ，当 x 2 1 ， y 2 2y 2 z 2 2z 2 30 ， y 22y 2 ,14 ， 得 y 2 0 ， z 25 ， x 2 1 ， 当 x 2 3 ， y 2 2 y 2z 22z 2 22 ， y 2 2 y 2 , 10 ， 得 y 2 1 ， z 24 ， x 2 3 ， 当 x 25 ， y 22y 2 z 22z 26 ， y 22y 2 , 2 ， 得 y 2 0 ， z 22 ， x 25 ，即 S 1, S 4 , S 8 , S 44 也许 S 1, S 12 , S 24 ,S 36 也许 S 1, S 4 , S 20 , S 40 足条件，上所述，S 1, S 4 , S 8 , S 44 ， S 1, S 12 , S 24 , S 36 ， S 1 , S 4 , S 20 , S 40 全部 足条件的四元子列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分〔第二卷 理科附加卷〕21．【 做 】本 包括 A ， B ， C ， D 四小 ，每小10 分.A ．〔 修 4－ 1 几何 明 〕 .合用标准文案解： OD ，的半径R， BE x ， OD R， DE2BE 2x ．⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt△ ODE 中，∵ DC OB，∴ OD2OC OE ，即 R2OC ( R x) ，①又∵直 DE 切 O 于点 D， DE 2BE OE ，即 4x2x ( R x) ，②⋯⋯⋯ 6 分∴ x 2R，代入①， R2OC (R2R) ， OC3R ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分335∴ BC OB OC R 3R2R ，55∴ 2OC3BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．〔修 4— 2：矩与〕解：由知，1a11a1111a ，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3b13b113b ，1∴ a2,b 2 ， M 12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32det(M )121 2 23 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3211∴ M122．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 14 4C．〔修 4— 4：坐系与参数方程〕解： ( x22224 ，3)( y 3)4cos4sin∴曲 C 的一般方程 (x224 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1)( y 3)sin(1sin3cos a ，3) a22∴曲 D 的直角坐方程3x y2a0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分曲 C 心到直D的距离 d 33 3 12a8 分(3) 2122 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ a3 2 ，∴a1或 a 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔少一解，扣一分〕D．〔修 4— 5：不等式〕解法一：根本不等式∵ a b2⋯2b ， bc2⋯2c ， ca2⋯2a ，a b c合用标准文案b 2c 2ca 22b 2c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ abb⋯2a ac∴ b2c 2 a 2 ⋯a b c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a bcc)(b 2c 2 a 2解法二：柯西不等式( a b) ⋯(bc a)2 ，∴ b 2c 2 a 2ab c⋯a bc ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ab c【必做 】第22， 23 ，每小 10 分， 20 分.22．解：〔 1〕 在一局游 中得3 分 事件 A ，C 1C 1C 1 2P( A) 2 2 1．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分C 535答：在一局游 中得3 分的概率2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5〔 2〕 X 的全部可能取 1,2,3, 4 ．C 1C 2C 2C 13 在一局游 中得2 分的概率2 2 21，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分C 5310P( X1) C 22C 211；C 535P( X2)4 3 65 10；25P( X3) 4 (1 3 )2 28 ；5 10 5 125 P( X4) 4 (1 3 )3 425 5．10125所以X 12 34162842P525125125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴ E(X)1126 3 28 4 42337．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525 12512512523．解： (1) f 1 (x)C 10 x C 11( x 1) xx 11 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分0 21 22f 2 ( x) C 2 xC(2x 1 ) 2C ( x 2 )22( x 224 x4)2 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x2x 1) (xf 3 ( x) C 30 x 3 C 31 (x 1)3 C 32 (x 2)3C 33 ( x 3)33333合用标准文案〔 2〕猜： f n ( x)n! ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分而 kC n k k n !n!， nC n k11n(n 1)!n!，k!( n k )!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!所以 kC n k nC n k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分用数学法明建立．①当 n 1 ， f1 (x) 1 ，所以建立．②假当 n k ，建立，即f k ( x)C k0 x k C k1 (x当 n k0k 11k 11，f k 1 ( x) C k 1 x C k 1 (x 1)1)k( 1)k C k k ( x k) k k! ．k 1k 1k 1( 1)C k 1 (x k 1)C k01x k 1C k11 ( x 1)k ( x 1)( 1)k C k k1 (x k) k ( x k) ( 1)k 1 C k k11 (x k 1)k 1 x[C k01 x k C k1 1 ( x 1)k( 1)k C k k 1 ( x k )k ]1k2k(k 1k k]k 1k 1k 1[ C k 1 ( x1)2C k 1 ( x2)1)kC k 1 (x k)( 1) C k 1 (x k 1)x[C k0 x k(C k1C k0 )( x 1)k(1)k (C k k C k k1 )( x k )k ]( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k )k ] ( 1)k 1C k k11 (x k 1)k (x k 1) x[C k0 x k C k1 (x 1)k(1)k C k k ( x k)k ]x[C k0 (x1)k( 1)k1 C k k 1 ( x k)k ] ( k 1)[( x 1)k C k1 ( x2) k( 1)k1 C k k1 (x k)k ]x( 1)k 1 C k k ( x k 1)k( k 1)( 1)k 1( x k 1)k0k1k(k kk)kx[C k x C k (x 1)1) C k ( x]x[C k0 ( x1)k( 1)k-1 C k k1 (x k)k(1)k C k k ( x k 1)k ]〔 * 〕( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k)k( 1)k ( x k 1)k ]由假知〔 * 〕式等于 x k! x k!( k1)k!(k 1)!．所以当 n k 1 ，也建立．合①②， f n ( x) n! 建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。