(初级篇1)基本不等式及其应用

基本不等式及应用

一、基本不等式及应用

1、（2018苏锡常一模9题）已知0a >，0b >，且

23a b +=，则ab 的最小值是．

解析：∵ 0a >，0b > ∴ 23a b

+=≥ab > 2、已知实数x ，y 满足122=-+xy y x ，则y x +的最大值为________．

解析：因为122=-+xy y x ，所以xy y x +=+122. 所以22)2

(3131)(y x xy y x ++≤+=+， 即4)(2≤+y x ，解得22≤+≤-y x . 当且仅当1==y x 时等号成立．所以y x +的最大值为2.

3、已知0>x ，0>y ，且082=-+xy y x ，求：

(1)xy 的最小值；(2)y x +的最小值．

解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得xy y x y x xy 882282=⋅≥+=，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.

（2）由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝))(28(y x y

x ++＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋21882=x

y y x .当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18. 4、设1->x ，则函数1

)2)(5(+++=x x x y 的最小值为____________． 解析：因为1->x ，所以01>+x ，设01>=+z x ，则1-=z x ，所以

95425445)1)(4(2=+⋅≥++=++=++=z

z z z z z z z z z y ，当且仅当2=z ，即x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，函数y 有最小值9.

5、设a ，b ，c 均为正数，满足032=+-c b a ，则ac

b 2的最小值是________． 解析：∵a －2b ＋3

c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴ac

b 2＝a 2＋9

c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3， 当且仅当a ＝3c 时取“＝”．

6、 已知0>x ，0>y ，若

m m y

x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为0>x ，0>y ，所以816282=≥+y x x y .要使原不等式恒成立，只需822<+m m ，解得24<<-m .所以实数m 的取值范围是)2,4(-.

7、已知对满足42x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有01222≥+--++ay ax y xy x ，则实数a 的取值范围为. 解析：y x y x a ay ax y xy x ++

+≤⇒≥+--++1)(01222， 而)(4)(2242负舍≥+⇒+≤=++y x y x xy y x ，因此),417[1+∞∈+++y x y x ， 即实数a 的取值范围为17(,

]4-∞. 二、“1”的灵活应用

1、已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则b

a 11+的最小值为________． 解析：∵0>a ，0>

b ，1=+b a ，∴4222))(11(11=⋅+≥++=++=+b

a a

b b a a b b a b a b a 当且仅当21==b a 时等号成立，即b

a 11+的最小值为4. 2、已知0>a ，0>

b ，32=+b a ，则b

a 12+的最小值为________． 解析：由32=+

b a 得121=+b a ， ∴3

834323434334)3231)(12(12=+≥++=++=+a b b a a b b a b a b a b a . 当且仅当2

32==b a 时取等号． 3、若正数a ，b 满足2=+b a ，则1

411+++b a 的最小值是________． 解析：)1

)1(4115(41411)1411(1411++++++=+++⋅+++=+++b a a b b a b a b a 49)1)1(41125(41=++⋅+++≥b a a b ，当且仅当1

)1(411++=++b a a b ，即31=a ，35=b 时取等号． 所以1411+++b a 的最小值是4

9. 4、已知0>a ，0>b ，411=+，则b a +的最小值为________． 解析：由411=+b a ，得14141=+b

a . ∴))(4141(

b a b a b a ++=+1442214421=⋅+≥++=b a a b b a a b ，当且仅当21==b a 时取等号．

5、若正数a ，b 满足111=+b a ，则1

1614-+-b a 的最小值为________． 解析：因为0>a ，0>b ，111=+b

a ，所以a

b b a =+， 则20164)1(16)1(4164-+=-+-=+a b a b . 又)11)(4(4164b a a b a b ++=+＝20＋364420)4(4=⋅+≥+b

a a

b x b a a b ，当且仅当b a a b 4=且111=+b a ，即23=a ，3=b 时取等号，所以1620361

1614=-≥-+-b a ． 6、设x 、y 均为正实数，且

133=+，则xy 的最小值为________． 解析：由11

323=+++y x ，可得y x xy ++=8.∵ x 、y 均为正实数， ∴ xy y x xy 288+≥++=(当且仅当y x =时等号成立)，即082≥--xy xy ， 解得4≥xy ，即16≥xy ，故xy 的最小值为16.

7. 若实数a 、b 满足)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值为________． 解析：∵ 014=+--b a ab ，∴ 1

14--=a a b .∴22)2)(1(+++=++b a ab b a 151

6)1(611]3)1(4[61211462+-+-=+-+-+=+⋅--+=a a a a a a a a ，∵ 1>a ∴ 01>-a ，原式=2715121516)1(621516)1(6=+=+-⋅-≥+-+-a a a a 当且仅当1)1(2=-a ，即2=a 时等号成立．∴ 最小值为27.

三、拆拼凑

1、若0>x ，0>y ，且2321=+++y

x y x ，则y x 56+的最小值为． 解析：设y n m x n m y x n y x m y x )()2()()2(56+++=+++=+，∴ ⎩

⎨⎧=+=+562n m n m . 解得⎩⎨⎧==4

1n m ，所以)321)]((4)2[(2156y x y x y x y x y x ++++++=+ 322

13))()2(32)(4213(21)12)()2(32)(41(21+=++⋅+++≥+++++++=y x y x y x y x y x y x y x y x ，当且仅当463+=

a ，2132+=

b 时等号成立，∴ y x 56+最小值为322

13+.