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保险精算学-趸缴纯保费(2)

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保险精算学-趸缴纯保费(2)

保险精算学-趸缴纯保费(2)
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式

保险精算学趸缴纯保费培训

保险精算学趸缴纯保费培训

保险精算学在趸缴纯保费计算 中的具体应用
• 保险精算学在趸缴纯保费计算中的具体应用 • 生命表的应用：生命表是保险精算学的重要工具，用于计算寿 险产品的趸缴纯保费 • 利率假设的应用：利率假设是保险精算学的重要参数，用于计 算趸缴纯保费和保险公司的盈利水平 • 风险费率的确定：风险费率是保险精算学的重要指标，用于衡 量保险产品的风险程度和保险公司的承受能力
保险精算学面临的挑 战
Байду номын сангаас
• 保险精算学面临的挑战 • 数据质量：随着数据量的增加，数据质量的问题日益突出，如 何提高数据质量和处理能力是保险精算学面临的重要挑战 • 技术更新：保险精算学需要不断更新技术，如人工智能、机器 学习等，以适应保险行业的发展和变化 • 人才短缺：保险精算学需要大量的专业人才，如保险精算师、 数据分析师等，如何培养和提高人才素质是保险精算学面临的 重要挑战
趸缴纯保费的计算方法与公式
趸缴纯保费的计算方法
• 均衡保费法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期 间的风险均衡分配到每个缴费期，计算趸缴纯保费 • 现值法：根据保险精算学原理，将保险合同生效期间的 未来收益现值与未来损失现值相等，计算趸缴纯保费
趸缴纯保费的计算公式
• 均衡保费法：趸缴纯保费 = (保险金额 × 风险费率) / 保 险期限 • 现值法：趸缴纯保费 = 保险合同生效期间的未来收益现 值 / (1 + 利率) ^ 保险期限
保险精算学在趸缴纯保费计算中的局限性
• 数据依赖：保险精算学计算趸缴纯保费需要大量数据支持，数据的质量和完整性影响计算 结果 • 假设影响：保险精算学计算趸缴纯保费需要依赖一定的假设，如利率假设、死亡率假设等， 假设的准确性影响计算结果 • 计算复杂：保险精算学计算趸缴纯保费涉及多种因素和公式，计算较为复杂，需要专业的 保险精算师进行操作

中国精算师《寿险精算》过关必做习题集(含历年真题) 第2章 人寿保险的趸缴纯保费【圣才出品】

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第 2 章 人寿保险的趸缴纯保费
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．（2008 年真题）30 岁的人购买保额为 1000 元的特殊的 35 年期两全保险，已知条 件如下：
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Z
bk 1v k 1
1b10，
b1，k
k
1 2
Pr K 30 1 q30 0.1，
Pr K 30 2 p30q31 1 0.10.6 0.54，
所以E Z b1 0.1 10 b1 0.54，E Z 2 b12 0.1 10 b1 2 0.54，
1 / 137
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保险（5 年内两个孩子都小于 11 岁），故
此保单的趸缴保险费为：
1000( A30:35
A1 30:8
A1 30:5
)
1000
35
exp
0
t
exp
30tt
30t dt E 35 30
则 IA36 =（ ）。
A．3.81
B．3.88
C．3.94
D．4.01
E．4.12
【答案】A
【解析】由已知，有： A35:1
A1 35:1
A1 35:1
v p35 vq35
v 0.9439 。
由
IA 35
A35
1 E35
IA 36

v
p35
IA 36
，
得：
IA
36
IA35

保险精算第二讲.

保险精算第二讲.
1
1
n 1
k 0
例3.5
在例3.2中，假设50岁的张某购买的是一份 30年 的两全保险，死亡年年 末给付， 保额为100000 元，求该保单的趸缴净 保费。
例3.5答案
1 100000 A50:30 100000 A50 100000 :30
A
1
50:30
20468 .70 100000 (1.08 ) 30 30 p50 20468 .70 100000 (1.08 ) 24985 .85 (元) 由例3.2,3.3和3.5可以看出： Ax:n Ax
k px qx k v k 1
k 0
4
d xk lx
四、延期m年终身寿险
对（x）的1单位元 m年延期终身寿险， 是从x m岁起到被保险人终身止 的1单位元保险，其现值随 机变量为： 0, Z k 1 v ,

k 0,1,2,...., m 1 k m, m 1, m 2,.....
1 65 t 保单精算现值为： 20000 A40＝20000 v t 1 t p x q x t
t 0
由生存函数可以看出：
t
p40 0 t 65
64
1 t 1 65 t 1 因此20000 A40＝20000 ( ) t 0 1.1 65 65 20000 64 1 t 1 ( ) t 0 1.1 65 65 1 1 20000 1.1 3070 .65(元） 1 65 1.1 1 1.1
x
例3.2答案
解：该生命表的最大年 龄时105 岁，所以t的取值范围是 0 到55岁。所求的赔付现值为 100000 A

保险精算学-趸缴纯保费

保险精算学-趸缴纯保费

保险精算学-趸缴纯保费一、介绍保险精算学是一门研究如何根据统计学和数学原理来评估和管理保险风险的学科。

其中，趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念。

本文将介绍趸缴纯保费的含义、计算方法以及在保险业中的应用。

二、趸缴纯保费的含义趸缴纯保费是指被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。

这意味着保险公司承当了保险风险，并且不提供任何现金价值或投资回报。

趸缴纯保费通常应用于寿险和意外险等风险较高的保险产品。

三、趸缴纯保费的计算方法趸缴纯保费的计算方法主要基于统计模型和风险评估。

以下是常用的计算方法：1. 人寿保险中的趸缴纯保费计算方法在人寿保险中，趸缴纯保费的计算通常基于年龄、性别、保额和保险期限等因素。

常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 预期死亡率 × 保额 × 保险期限其中，预期死亡率是根据历史数据和统计模型计算得出的，它表示了某一年龄段人群的平均死亡概率。

2. 意外险中的趸缴纯保费计算方法在意外险中，趸缴纯保费的计算通常基于被保险人的职业、年龄、性别和保险金额等因素。

常见的计算公式如下：趸缴纯保费 = 根底保费 × 职业系数 × 年龄系数其中，根底保费是根据保险公司的费率表确定的，职业系数和年龄系数是根据不同职业和年龄段的保险风险进行评估得出的。

四、趸缴纯保费的应用趸缴纯保费在保险业中有着广泛的应用。

以下是一些应用场景：1. 个人寿险在个人寿险中，趸缴纯保费常用于购置寿险保单。

被保险人一次性支付趸缴纯保费后，保险公司承当了与被保险人生命风险相关的保险责任。

2. 团体意外险在团体意外险中，趸缴纯保费通常用于覆盖公司员工的意外风险。

员工支付趸缴纯保费后，保险公司将提供相应的意外保障。

3. 旅行险在旅行险中，趸缴纯保费可用于购置旅行期间的保险保障。

旅客支付趸缴纯保费后，保险公司将承当与旅行相关的风险，例如医疗费用、航班延误等。

五、结论趸缴纯保费是保险精算学中的一个重要概念，它是被保险人一次性支付的保险费用，用于购置纯风险保险的保单。

第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)

fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm

保险学 第二章 第四节 寿险趸缴纯保费

保险学 第二章 第四节 寿险趸缴纯保费

保险金给付的精算现值为：
E (Z )


m
v f x ( t ) dt

t
v
m

t t
p x x t dt
趸缴纯保费
m
Ax

m
v f x ( t ) dt
t


v
t t
m
p x x t dt
上式还可以表示为：
。
m
Ax

v
t t
0
p x x t dt
0 x 100
i 0 .1
f x (t )

s ( x t ) s( x)

1 100 x
当： x 30
A 30 :10 ＝
1 10
f x (t )
e
t
1 70

10 0
0
f x ( t ) dt
1 70

10
e
t
dt
0

1 70
e
t
0 . 063803
求： 解：
Ax
60 f x (t ) 0 t 60
Ax


60
e
t
0
60
f x ( t ) dt

60
e
t
1 60
dt
0

1 e
60
（三）、延期寿险的趸缴纯保费
1、延期m年的终身寿险趸缴纯保费 T m t m 0 0 Z bt v T 1 T m t m
4、延期的定期生存年金趸缴纯保费

保险精算 第3章 趸缴纯保费

保险精算 第3章 趸缴纯保费

A
1 30:10
v fT (t )dt e
t 0
10
10
t
0
1 10 t fT (t )dt 0 (1.1) dt 70
1 1 ( (1.1) t 70 ln1.1
10 0
) 0.092099
14
应用实例
解
2 1 A30:10
Var ( Z )
2 t
m
s p e m x s px m x m s ds 0

A
1 x:m
Axm
1 1 1 A A A x:m m x:n x m:n
m 1 A v p A A m x x:m Ax m:n m x:n xm:n
26
Actuarial Science
1 2 Var ( Z ) E(Z 2 ) ( E(Z ))2 2 A1 ( Ax:n ) x:n
2
2 ( k 1) e k px qx k A1 x:n k 0
n 1
30
应用实例
例 一个55岁的男性，投保5年期的定期保险， 保险金额为1000元，保险金在死亡的保单年度末给付 ，按中国人寿保险业经验生命表（1990~1993）（男 ）和利率6%计算趸缴纯保费。
e
0
10
fT (t )dt
10 0
1 1 2 2 Ax ( A ) :n x:n
1 1 2 t e 70 2
0.063803 (0.092099) 2
0.055321
1 1 [(1.1)20 1] 70 2 ln(1.1)
0.063803
0 m

保险精算学3_li

保险精算学3_li

x:n
lx
lx
lx
n1
vt1
d xt
t 0
lx
n1
vt1t
t 0
qx
n1
v xt1
t0
d xt v xlx
1 Dx
n1
Cxt
t0
2、1、2 终身寿险的现值
终身寿险没有期限限制，不论被保险人于一生中何时死亡，保 险公司都要给付保险金。人总有一死，因此，对保险公司来说，其 承保的是一份终身有效的寿险保单，最终都要承担给付义务。
lx
1000
1
x 105
i=10%，求这一保单的精算现值。
解：因为：
Ax
1 lx
vt1d xt
t 0
其中：x=40，最大的x+t应该是ω-1=105-1=104，所以：40+t=104， 即最大的t为：t=104-40=64。 因此，所求现值为：
20000
A40
20000
1 l40
64
定期死亡保险简称为定期寿险，设n为定期寿险的保险期限，
某人x岁投保 n 年定期寿险，保险金为1单位元，在死亡年末给
付，其现值用
A1x表: n示。即：为了得到在他死亡(在x—x+n之
间的任何时刻）时1单位元的保险金给付，他现在应缴纳趸缴净
保费为
。A1以下我们讨论 x:n
的A计1 算公式。 x:n
假设在x岁时有 lx 个人参加定期寿险，保险金在死亡年末给
vndxn1
这样，平均给付每一个被保险人的1单位元保险金的现值为：
A1 v dx v2 dx1 L vn dxn1
x:n
lx
lx
lx

《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费

《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费

《保险精算学》笔记：纯保费和毛保费第一节保费简介一、保费的构成二、保费的分类1、按保费缴纳的方式分：一次性缴纳：趸缴（纯/毛）保费以年金的方式缴纳：期缴（纯/毛）保费2、按保险的种类分：只覆盖死亡的保险：纯寿险保费只覆盖生存的保险：生存险保费既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费在前两章中，我们已经学过各险种场合趸缴纯保费的确定：（1）纯寿险趸缴纯保费（死亡受益死亡即刻支付）终身寿险趸缴纯保费：年延期终身寿险趸缴纯保费：年定期寿险趸缴纯保费：年延期年定期寿险趸缴纯保费：（2）生存险趸缴纯保费的确定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存险趸缴纯保费：终身生存年金趸缴纯保费：年延期终身生存年金趸缴纯保费：年定期生存年金趸缴纯保费：年延期年定期生存年金趸缴纯保费：（3）两全险趸缴纯保费的确定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保险期没支付）年定期两全险趸缴纯保费：第二节净均衡保费一、净均衡保费与趸缴纯保费的关系1、纯保费厘定原则——平衡原则：保险人的潜在亏损均值为零。

L=给付金现值-纯保费现值E（L）=0E（给付金现值）=E（纯保费现值）2、净均衡保费与趸缴纯保费的关系E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）二、各险种净均衡保费的厘定1、完全连续净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起按年连续交付保费（给付连续，缴费也连续）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全连续净均衡年保费总结完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险2、完全离散净均衡年保费的厘定（1）终身寿险完全离散净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡年末给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付离散，缴费也离散）Ø厘定过程：Ø（2）常见险种完全离散净均衡年保费的厘定年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险3、半连续纯年保费的厘定（1）终身寿险半连续净均衡年保费的厘定Ø假定条件：死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年年初交付保费（给付连续，缴费离散，这是实际中最常见的给付、缴费方式）Ø厘定过程：完全连续净均衡年保费年定期寿险年两全保险年缴费终身人寿保险年缴费年两全保险年生存保险年递延终身生存保险4、每年缴纳数次保费的纯保费的厘定Ø 终身寿险年缴 次保险假定条件： 死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单生效起每年缴费 次，每期期初缴费（给付连续，缴费离散）Ø 厘定过程：二、毛保费的确定1、毛保费的定义：保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之和，即毛保费，简记为：G2、毛保费厘定原则基本原则：精算等价原则毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用的精算现值=各种给付精算现值+各种费用支出精算现值三、单位保单费用1、保单费用：在保险费用中，有一部分附加费用只与保单数目有关，与保险金额或保险费无关，这部分费用称为保单费用，如准备新保单、建立会计记录、邮寄保费通知的费用等。

第九讲 趸缴纯保费

第九讲 趸缴纯保费

×k q x = h A
1 x:n
h
A1 =
x:n
n + h −1 k =h
∑v
k +1
×k q x ×t +h qx
令t = k − h∑ v
t =0 n −1 h t +1
n −1
t + h +1
= ∑ v × v × h px ×t qx+h
t =0 h
= v × h px × ∑ v ×t qx+h
k =0 n −1
M x − M x + n + Dx + n = Dx
例题
设年龄25岁的人购买离散型的保额为5000元 的30年两全保险,试求该保单的趸缴纯保费.
2.1.3 延期保险
保额为1,h年延期的n年定期保险 n + h −1
h
A1 =
x:n
∑v
k =h
k +1
×k q x
M x+h − M x+h+n = Dx
1 = ( M x + M x+1 + M x+2 + ... + M x+n−1 − nM x +n ) Dx 1 ( Rx − Rx+n − nM x +n ) = Dx
( IA) 1
x: n
1 = ( Rx − Rx + n − nM x + n ) Dx
2 递增的终身寿险
( IA) x = ∑ (k + 1)v k +1 k qx
基本符号
(x)
—— 投保年龄。 ——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 ——贴现函数。

四章生存年金趸缴纯保费MicrosoftPppt课件

四章生存年金趸缴纯保费MicrosoftPppt课件
获得保险金额为1元的生存给付，则： 期初付生存年金现值：
Y a k 1
生存年金精算现值为：


,E(Y )
a k 1
k
qx

a k
1
(k
px

k
1
px
)
ka0 1
(0 px

px
k
)
0

a
2
(
px
2px )

a 3
(
2
px
3
px
)



vk
k 1
lxk lx

1 Dx

v xk lxk
k 1

1 Dx

Dxk
k 1
N x1 Dx
2、n年定期生存年金
。 a x:n
n
vk k px
k 1

n k 1
vxklxk vxlx
1
Dx
n
Dxk
k 1
N x1 N xn1 Dx
第一节 连续型生存年金的纯保费
一、趸缴纯保费的计算 二、寿险与年金的关系 三、y的方差 四、生存年金的精算积累值
一、趸缴纯保费的计算
1、终身生存年金 设(x)投保年金额为1元的终身生存年金，年
金在被保险人生存时，按连续方式支付。如 果用符号Y表示生存年金给付现值，则：
Y a T 1 vT
k 0
Sx Dx
n1
(Ia) x:n
(k 1)v k k px
。
k 0
。
1 n1

Dx

保险精算第二版习题及答案

保险精算第二版习题及答案

保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。

保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档

保险精算人寿保险趸缴纯保费-PPT精品文档

常见概念中英文单词对照(2)

定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 延期保险 变额受益保险




Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance
人寿保险的分类

受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险

保障标的的不同


保单签约日和保障期 期始日是否同时进行

人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险 定期寿险 终身寿险

保障期是否有限

即期保险 延期保险
人寿保险的特点

保障的长期性

这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素。 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。 这意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险。
主要险种的趸缴纯保费的厘定



终身寿险 n年期定期寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
1、终身寿险


定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定： ( x ) 岁的人，投保保额bt=1元终身寿险 基本函数关系
力 和 fT(x)( t) 、 fX( t) 的关系是怎样的 x

第七章 人寿保险的趸缴纯保费

第七章 人寿保险的趸缴纯保费

3．生存保险
• 定期生存保险这一概念在生存年金现值计 A1:n 表示x岁者投保保 算中已经讲过。假定 x 险为1元的n年定期生存保险的趸缴纯保费。
A
1 x:n
lx n n Dx n v lx Dx
4．生死两全保险
• 生死两全保险：它是指被保险人于保险期 内死亡，或生存到期终时，都支付给付金 的一种保险形式。这是定期寿险与生存保 险的结合。 • 设 Ax:n 表示，x 岁签单，保险金为1元的 n 年两全保险的现值，则：
Ax:n
M x M x n Dx n Dx Dx
例2
• 设20年生死两全保险的保额为1000元、试 求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。
• 解：所求趸缴纯保费为
1000 A20:20
M 20 M 20 20 D20 20 D20 D20
M 20 M 40 D40 561.18(元). D20
• 虽然保险商品的定价与其他商品有所不同， 但是一股定价的基本原则仍是适用的。
保费的构成
保险费
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
组合形式
• 其中纯保费主要由预期损失成本确定。 • 而附加保费包括经营费用和合理的利润等。
纯保费 毛保费 （总保费） 附加保费
第七章
人寿保险趸缴纯保费
基本问题与概念
• 本章主要探讨的问题是：寿险保费或者说 是寿险保单的价格是如何确定的。 • 人寿保险中的纯保费是以待定的生命表和 利率表作为计算基数的，不包括其他费用。 • 所谓趸缴纯保费是保单签约时一次性支付 的保费，其金额与死亡给付金额在签单时 现值的数学期望值相等。
保费的分类

保险精算人寿保险趸缴纯保费

保险精算人寿保险趸缴纯保费

e 60 2 t
0
1 dt 60
( Ax )2
1 e120 (1 e60 )2
120
60
第19页/共81页
例3.1答案(2)
(3) Pr(Z 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln 0.9 )
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
寿险趸缴纯保费＝未来保险金给付的精算现值 • 解释：
保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是 在统计意义上的收支平衡，是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时 值。
第9页/共81页
趸缴纯保费厘定的假定条件
• 趸缴纯保费的假定条件: • 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。 • 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。 • 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
第6页/共81页
人寿保险的保费
• 寿险保费是寿险产品的价格，是投保人转移风险所付出的代价，也是保险人进 行经营活动的物质基础。 投保人：通过缴纳保费投保，获得死亡、生存或养老等方面的保险保障 保险人：通过获得保费，建立保险基金，一部分作为保险金的给付，另一 部分作为保险人在经营管理上的必要开支
• 寿险保费的构成－－总保费（营业保费）包括： 纯保费：用于保险给付 附加保费：用于保险公司经营费用
第14页/共81页
1、终身寿险
• 定义
• 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责
任范(x围) 内的死亡均给付保险金的险种。
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m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
例4.3.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险， 保额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S(x) e0.04x , x 0
求： (1) 10 Ax (2)Var(zt )
假定：(x)岁的人，保额1元终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
0.422
(2)
Var(zt )2
v20
10
p30
1
A30:10
2
0.0185
Var(zt )3
Var ( zt
)1
Var ( zt
)2
2A1 30:10
1
A30:10
0.0431
6、延期m年n年定期两全保险
定义
被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第 m+1年开始为期n年的定期两全保险
一年递增m次
现值随机变量
zt
[mt 1] vt m
趸缴保费厘定
(I (m) A)x
E(zt )
0
[mt 1] vt m
t
px
xtdt
mk s
k 1
m s 1
mk m
s
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递增无穷次（连续递增）
如被保险人在时刻T时死亡，则在死亡时立 即给付保险金T元
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) 2Cov(z1, z2 )
Var(z1) Var(z2 ) 2E(z1 z2 ) 2E(z1) E(z2 )
因为
z1 z2 0
所以
Var ( z3 )
Var
(
z1
)
Var
(
z2
)
2A1 x:n
1
Ax:n
例4.3.4（例4.3.1续）
设
S(x) 1 x 100
zt btvt 0 , t m
死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax
厘定：
m Ax E(zt ) m zt fT (t)dt
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
zt
btvt
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2
n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2 ) Ax:n Ax:n Ax:n
现值随机变量方差
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
1
m Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 ) 2m
A1 x:n
现值随机变量
zt tvt
趸缴保费厘定
(IA)x E(zt ) tvt t px xtdt
0
8、递减定期寿险
定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种 特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递 减函数
特别： 一年递减一次 一年递减m次
一年递减无穷次（连续递减）
一年递减一次
现值随机变量 趸缴保费厘定
计算
1
fT
(t)
60
, 0 t 60
0 , 其它
（1）Ax (2)Var(zt )
(3) Pr(z 0.9 ) 0.9的0.9.
例4.3.2答案
(1) Ax
0
e t
fT
(t)dt
e 60 t
1
1 e60 dt
0
60
60
（2）Var(zt ) 2 Ax ( Ax )2
e 60 2 t
E(zt )
n 0
n
mt m
vt
t
px
xt
dt
mk s
n k 1
m s 1
n
s 1 m
m
vt
mk s1
t
px
xt dt
m
一年递减无穷次（连续递减）
现值随机变量
(n t)vt , t n zt 0 , t n
假定：(x)岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
px xt dt
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号：m Ax:n
厘定
1
A m x:n
n et
0
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
en 2t
0
fT
(t )dt
E ( zt
)2
记
2 A1 x:n
e n 2t
0
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
V
ar(
zt
)2A1 x:n
i 0.1
计算
（1）A 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例4.3.4答案
由例3.1已知：
A1 0.092 30:10
Var(zt )1 0.055
(1)
1
A30:10
v10 10 p30
1.110 60 0.33 70
A 30:10
A1 30:10
1
A30:10
例4.3.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
基本符号
(x) —— 投保年龄x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
1、n年定期寿险
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 死亡保险。
亡，则在死亡时立即给付保险金1/m元， 如被保险人在第一保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金2/m元， 。。。。。 如被保险人在第二保单年度的第一个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+1/m元， 如被保险人在第二保单年度的第二个1/m年内死
亡，则在死亡时立即给付保险金1+2/m元， 。。。。。。
x
即剩余寿 命的分布
f (x) x s(x) x exp{ sds}
0
函数tqx 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
s(x) s(x t)
G(t) 1 t px
s(x)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s(x)
t)
s(x t)xt
s(x)
t px xt
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t m
1 , t m bt 0 , t m
0
70 70 ln 1.1
0.092
（2）V
ar(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0