台球桌面上的角[下学期]--北师大版-

2.1 台球桌面上的角一、教学目标：（一）、知识与技能目标①在具体的活动中，了解互余角、互补角、对顶角的概念，掌握它们的性质。

②能用所学的知识进行简单的推理。

③通过概念性质的形成，培养学生的实验、观察、分析、概括能力。

（二）、过程与方法目标①从丰富的生活情景中经历概念、性质产生的过程，体会数学与现实生活的密切联系。

②通过观察、实验、操作等数学活动过程，使学生掌握从事科学研究的方法。

（三）、情感与态度目标①通过性质的发现与运用，向学生渗透知识来源与实践并运用于实践的辨证唯物主义观点。

②通过分工合作实验，培养学生的团队合作意识，品尝与同伴合作交流的乐趣。

二、重点、难点：重点：理解对顶角的概念、性质。

让学生亲身经历概念、性质获得的过程。

难点：运用所学知识解决实际问题。

三、教学方法：情境探索四、教学手段：电脑多媒体五、教学过程：（一）、引入课题引言：你认识屏幕上的少年吗？他的名字叫丁俊辉，14岁的他用自己的手臂紧握球杆，在那个属于他的平面世界里，书写着角的轨迹。

他用自己的执著，凭着一股奋发向上自强不息的精神，在2002年度世界台球锦标赛上勇夺季军。

（大屏幕放他的图片）你喜欢台球运动吗？今天，老师和你一道研究台球活动中的数学。

（板书：台球活动与角）（二）合作探究：I、认识互余的角，互补的角1、想一想：打台球时白球击打红球或蓝球，反弹后红球或蓝球将按怎样的方向前进？演示（动画）2、做一做：（小组分工合作，找出测量者、记录者、汇报者，看看哪个小组做的最好）你手中的纸片，记录了台球活动中被击打的小球的运动的轨迹，用量角器亲自测量∠1，∠2，你发现了什么规律？６组同学答的真好！ 得到结论：∠1=∠2 3、试一试：当白球击打红球时，画出红球行走的路线，红球能入袋吗？（不考虑用力因素）21号同学，说说你做的过程。

（少图）4、想一想找出下列各组图中∠1，∠2的关系，121212第1组第2组121212120°60°大家发现的非常好，的确（同时大屏幕出示结论） 在第一组中，∠1+∠2=90º 在第二组中，∠1+∠2=180º在图1中，∠1，∠2叫互余的角；在第二组图中∠1，∠2叫互补的角。

2.1 台球桌面上的角一、填空题:（每题3分，共21分）1.∠α＝50°24′，那么∠α的余角等于____________。

2.已知∠α、∠β互为补角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。

3.若∠1和∠2互余，∠2 和∠3 互补，∠1＝63°，则∠3 ＝________.4.如图1，直线AB 和CD 相交于点O ，∠DOE 是直角，若∠1＝30°，则∠2＝________,∠3＝________。

∠4＝__________。

4321ODCB Acba 5432121F EDCBA(1) (2) (3) （4）5.①若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A______∠C ，理由是_________________; ②若∠1＋∠3＝180°,∠2＋∠4＝180°,且∠1＝∠2，则∠4_____ ∠3，理由是_______________________。

6.∠1与∠2互余，∠1＝50°＋2°，∠2＝4x °－2°，则∠1＝______,∠2=______.7.如图2，直线a 、b 、c 两两相交，∠1＝60°，∠2=23∠4，则∠3=_____,∠5=_______。

二、选择题:（每题4分，共36分） 8.下列说法中正确的是（ ）A.任何一个角都有余角B.一个角的余角一定是锐角C.一个角的余角可能是锐角，也可能是钝角D. 以上答案都不对 9.下列说法中正确的是( )A.有公共顶点的角是对顶角B.相等的角是对顶角C.对顶角必相等D.不是对顶角的角不相等 10.三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有( ) A.3对 B.3 对 C.3对 D.3对11. 若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 12.如图3，∠1＞∠2，那么∠2与12（∠1－∠2）之间的关系是（ ）A.互余B.互补C.和为45°D.22.5°13.一个角的余角和这个角的补角互补，则这个角是（ ） A.45° B.90° C.135° D.不能确定14.下列说法正确的是( )A.一个角的补角一定大于这个角;B.任何一个角都有补角C.若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余D.一个角如有余角，则这个角的补角与它的余角的差为90°15.若互补的两个角有一条公共边，则这两个角的平分线所形成的角( ) A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.是直角或者是锐角 16.如图4，ACB 是直线，AB ⊥CD ，EC ⊥FC ，图中共有（ ）对角互余 A.2 B.3 C.4 D.以上都不对三、解答题：（共43分）17.如图，直线AB 、CD 相交于O ，已知∠AOC ＝75°，OE 把∠B OD 分成两部分，且∠BOE ：∠EOD ＝2∶3，求∠AOE 。

2.1台球桌面上的角教案以下是查字典数学网为您推荐的 2.1台球桌面上的角教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。

2.1台球桌面上的角教学目标：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力;2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.教学重点：1、余角、补角、对顶角的概念;2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.教学难点：理解等角的余角相等、等角的补角相等.判断是否是对顶角.教学过程：内容一：展示桌球运动中球入袋的情景，观察图中各角与1之间的关系：ADF+1=180ADC+1=180BDC+1=180EDB+1=1801教学中要鼓励学生自己去寻找，但是不要求学生说出图中所有的角与1的关系.在对图中角的关系的充分讨论的基础上，概括出互为余角和互为补角的概念.教师提醒学生：互为余角、互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，并没有对其位置关系作出限制.(为下面的对顶角的学习作铺垫) 想一想：在右图中，(1)哪些互为余角?哪些互为补角?(2)ADC与BDC有什么关系?为什么?(3)ADF与BDE有什么关系?为什么?让学生探索出同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等的结论.鼓励学生用自己的语言表达，并说明理由.内容二：议一议：(1)用剪刀剪东西的时候，哪对角同时变大或变小?(2)如果将剪刀简单的表示为右图，那么1和2有什么位置关系?它们的大小有什么关系?能试着说明理由吗?由此引出对顶角的概念和对顶角相等的结论.学生观察课件的演示过程，获得直观的体会，在观察中总结出对顶角的特征，并用自己的语言表达出来.思考：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角的度数是多少度吗?你的根据是什么?小结：(1)余角、补角的概念.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

台球桌面上的角（公开课）教学目标：1、经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和条理表达的能力。

2、在具体情景中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等，等角的补角相等，并能解决一些实际问题。

教学媒体： 电脑课件教学过程：一、互为余角展示电脑课件，如图所示并让OC 绕着O 点在 ∠AOB 中转动，让学生观察后回答OC 在动的过程中那些对象在不断变化哪些始终保持不变。

锐角∠AOC 、∠BOC 大小在不断变化，但∠AOC ＋∠BOC ＝90o 始终不变。

引入余角的概念：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

通过电脑将∠AOC 移走提问：这是这两个角的和是否还是直角，这说明了什么？（和是直角，说明了互为余角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关）。

二、互为补角展示电脑课件，如图所示并让OC 绕着O 点在∠AOB 中转动，让学生观察后回答OC 在动的过程中那些对象在不断变化哪些始终保持不变。

∠AOC 、∠BOC 大小在不断变化， 但∠AOC ＋∠BOC ＝180o 始终不变。

引入余补角的概念：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

通过电脑将∠AOC 移走提问：这是这两个角的和是否还是平角，这说明了什么？（和是平角，说明了互为补角仅仅表明了两个角之间的度量关系，与角的位置无关）。

三、对顶角通过电脑展示如图所示，并使CD 绕着点O 旋转让学生观察后回答CD在转动的过程中那些对象在不断变化哪些始终保持不变。

∠AOC 或∠AOD 大小在不断变化，∠AOC=∠BOD ，∠AOD ＝∠BOC 始终不变。

总结对顶角的概念：直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOC 与∠BOD 有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

对顶角性质：对顶角相等。

议一议P52作业P52 1、2、31 O B A C A O B CA B C O D。

台球桌面上的角教学设计教学设计思想：本节内容需一课时讲授；教师通过“台球桌而上的角”为现实背景，自然地呈现补角、余角、对顶角，以及''等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等”的几何事实及其简单应用，并使学生在对现实图形及其与角有关的简单图形进行观察、分析、测量和猜测、验证等过程中，发展合情推理的意识和有条理思考的习惯。

在教学时，让学生在比较自然、现实的状态下认识各种基本的角，通过具体的操作活动发现“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”是十分必要的。

一、教学目标（一）知识与技能1.叙述余角、补角及对顶角的住义.2.熟记并会应用余角、补角及对顶角的性质.（二）过程与方法1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.（三）情感、态度与价值观通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提髙他们理论联系实际的观念.二、教学重难点（-）教学重点1.互为余角、互为补角的定义及其性质.2.对顶角的定义及性质.（二）教学难点互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.三、教学方法讲练结合法教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.四、教学安排1课时.五、教具准备一些与本节内容有关的图片：电脑、投影片.六、教学过程I・创设现实情景，引入新课［师］在上册第四章“平而图形及其位置关系”中，我们学习了 "平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？［生］在同一平而内，不相交的两条直线叫做平行线.［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.下而大家来看几幅图片：你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？（同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线）［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.相信大家，一建会学得很好.台球，是我们大家喜欢的体育活动，好多同学也玩过，谁能说一说你打球入袋的技巧？［生甲］如果白球与所要打的球及袋口成一直线时，那么就可以直接打进去.如果不在一直线上时，可以利用白球击打所要打的球，使它碰桌沿后，反弹即可入袋.［生乙］利用白球击打所要打的球时，必须要选择一个方向，即确世一个角度，否则是不可能打球入袋的.［师］噢，由此看来，打台球的一些技巧还与角有一定的关系.那我们今天就来研究一下：“台球桌面上的角”.II.讲授新课［师］我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示（电脑显示P “的上图）.此时：Z1 = Z2.让我们来看看模拟实例（电脑演示：台球桌而上的角一一台球）下而我们来看红球滑过的痕迹（电脑演示；让学生了解：数学源于实际）.我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图：D图2-1其中：G?与〃•垂直，各个角与Z1有什么关系？大家来分组讨论一下.［生甲］因为〃与疔垂直，所以ZEDC= ZCDF=90° ,因此，Zl-J-ZJZ?C=90° , Z2 +ZBDC=gQ° .又因为Z1 = Z2,所以Zl + Z^C=90° .［生乙］因为球桌边框是直的，所以Z砂=180° .因此，Z1+ZJP尸=180° , Z24-Z^?5=180a.又因为Z1 = Z2,所以Z1 + Z磁' = 180° .［师］很好，同学们经过讨论分析，得到了与Z1有关系的角.看：zi+zj/r=90a ,我们就可以称Z1与ZE%是互为余角.再看：Z1 + Z理疋=90°,我们也可以称Z1与Z別C是互为余角.由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角（complementary angle）,也就是说其中一个角是另一个角的余角.（参看视频：余角）只要有ZBDC+Z1=9Q° ,就可知道Z1与乙宓互为余角，反过来知道Z'与ZBDC 是互为余角，就一泄知道么1与/磁的和为直角.再之：Z1与Z助C是互为余角就是说：么1是/宓的余角，Z磁也是Z1的余角.大家看老师手里拿两个三角板（一边演示，一边叙述）：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°,那么我们说这两个角是互为余角.同学们应注意：（强调）（1）互为余角是对两个角而言的.（2）互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.［生］老师，我们知适了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：Z1 + Z川莎=180° , Z宓+Z1 = 18O° .那么这样的两个角又叫什么呢？［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的期一个槪念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).(参看课件：补角的概念)互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？［生甲］只要满足Z1 + Z迹=180°,就可知道Z1与Z.ADF是互为补角.反之知道Z1与Z出沪是互为补角，就一定可知道Z1与/砂的和是平角.［生乙］Z1与Z砂是互为补角，就是说：/1是/砂的补角，Z砂也是Z1的补角.［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.［生丁］Z妙与Z1也是互为补角.［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.好，下面大家来想一想.在下图中，G?与疔垂直，Z1=Z2.(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？(2)AADC与Z別C有什么关系？为什么？(3)AADF与/磁有什么关系？为什么？图2-2(同学们分组讨论，得结论)［生甲］在图中：Z1与乙ADC、Z2与ZADC、ZBDC与Z\、ZBDC与乙2都是互为余角.Z1与ZADF、ZEDB与Z\、ZADF与Z2、Z宓与Z2都是互为补角.［生乙］Z磁与/磁相等，因为：ZJZ?t7+Zl = 90° , Z磁+Z1=9O°所以：ZADC=9Q° -乙\ = ZBDC.［生丙］Z磁与/磁相等的理由还可以这样说：因为Z肋C+Zl=90° , ZBDC+ Z2=90°,所以Z磁=90° -Zl, ZBDC=9Q° -Z2,又因为Z1 = Z2,所以ZADC=Z BDC.［生丁］老师，是不是这样：Z/WC是Z1的余角，Z磁也是Z1的余角，所以ZADC 与乙磁就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.Z磁是Z1的余角，Z別C是Z2的余角，而Z1与Z2相等.所以乙磁与乙磁相等.因此可以说：相等的角的余角相等.［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？［生齐声］丁同学总结得对.［师］很好，这就得岀互为余角的性质：同角或等角的余角相等.（参看课件补角的性质）接下来看第三个问题：（同学们踊跃发言，得出结论）［生］AADF与乙BDE相等.因为Z1+Z川肿=180° , Z1+Z万朋=180°,所以，Z肋尸=180°-乙\ = ZBDE.还可以这样说：因为Z1 + Z川莎=180° , Z2+Z妙=180° ,所以ZADF= 180^ -Z1,乙BDE=180° -Z2,又因为Z1 = Z2,所以ZADF=ZEDB.因此得出结论：同角或等角的补角相等.［师］同学们表现得很好，通过讨论，得岀互为余角、互为补角的性质：同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.接下来，我们议一议.（可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问•）（出示投影片台球桌而上的角（1）用剪刀剪东四时，哪对角同时变大或变小？（2）如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：Z1与Z2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？图2-3［生甲］（1）用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.［生乙］图中的Z1与Z2有公共的顶点0,且角的两边互为反向延长线.Z1与Z2相等，因为么1是/磁的补角，Z2也是么磁的补角.由同角的补角相等, 可得Z1与Z2相等.［师］很好，像这样，直线曲与直线切相交于点0，Z1与Z2有公共顶点，它们的 两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.如图中的么£0）与/磁也是对顶角.由对顶角的概念可知，对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为 反向延长线.所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：（1） 看是不是两条直线相交所得的角：（2） 看是不是有公共顶点而没有公共边（或不相邻）的两个角.另外，从对顶角的泄义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角：一个角 的对顶角只有一个.接下来大家想一想：对顶角有什么性质？［生齐声］对顶角相等.［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.下而大家来议一议如图（Pn 的上图）所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以疑岀这个扇形 零件的圆心角的度数，你能说岀所量角是多少度吗？你的根据是什么？［生甲］根据对顶角相等，可以得岀所量角的度数是40° .［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180° -140° =40° .［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.下而我们来做一练习，以巩固所学内容.m.课堂练习1. 下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.0 b图2-4答案：图（1）、（2）、（3）中没有对顶角，因为这三个图形中的Zl 、Z2不是两条直线相 交所形成的.图（4）中有对顶角，分别是Z1与Z3： Z2与Z4.⑷2.判断对错（1）顶点相对的角是对顶角.（）（2）有公共顶点，并且相等的角是对顶角.（）（3）两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.（）（4）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.（）答案：XXXV（举反例说明）IV. 课时小结这节课我们学习了三个泄义、三个性质，现在来总结一下：定义：互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.对顶角：像这样直线月万与直线Q相交于0，Z1与Z2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.注意：（1）互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.'两条直线相交•有公共顶点（2）对顶角的判断条件：〔无公共边性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.对顶角相等.V. 课后作业（一）课本巳：习题2. 1 1、2、3（二）1.预习内容：2.预习提纲（1）直线平行的条件是什么？（2）同位角的概念.(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.VI. 活动与探究两条宜线相交于一点，有 ______ 对对顶角，三条直线相交于一点，有_________ 对对顶角.……条直线相交于一点，共可组成___________ 对对顶角.［过程］让学生在讨论的过程中，学会归纳.两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出.那以条直线呢？设条直线为a：,比，…，a B以玄为边所得到的对顶角数为2(n-l).以比为边所得到的新对顶角数为2(n-2).• • •以为边得到的新对顶角数为2X2.以为边得到的新对顶角数为2X1.加起来得n(/?-l)对对顶角.［结果］两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角, n 条直线相交于一点，共有n(bl)对对顶角.七.板书设计台球桌面上的角一、台球桌面上红球滑过的痕迹图2-5Zl + Z〃C=90°Z1 + Z 助*90°Z1 + Z砂=180°Z1 + Z 磁=180°二、互为余角、互为补角的疋义三、互为补角、互为余角的性质同角或等角的余角相等.同角或等角的补角相等.四、对顶角的定义'由两条直线相交得到两个角，两个角有公共顶点两个角的两边互为反向延长线五、对顶角的性质：对顶角相等.六、练习七、小结八、作业。