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近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
第6-9章作业第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m h V2123322解: 式（6.2.13）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为2.2p mε= 因此d .p p p md ε==将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= （3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫ ⎝⎛ 证明：对于一维自由粒子，有n L hn L p ==ηπ2dnL hdp =∴ 由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→p d h Ld 2n =再由 εεm m p 2p 22==得所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n L hp n L h p ==,y y x x dn L h dp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为yx y x dp dp dn dn 22h L ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp h L pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用m p 22=ε则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επmd h L 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 解:式（6.2.16）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p h π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系cp ε=代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=习题6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
第六章 近独立粒子的最概然分布6．1试证明，在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322证明：由式子（6-2-13），在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 上式可以理解为将相空间（μ空间）体积元4πVP 2dP （体积V ，动量球壳4πP 2dP ）除以相格大小h 3而得到的状态数。
自由粒子的能量动量关系为mP 22=ε因此 εm P 2=， εmd PdP =将上式代入（2）式，即得到在体积V 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =()εεπd m hV2123322------------（3）6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =εεd m h L 2122⎪⎭⎫⎝⎛证明：对于一维自由粒子，有n Lhn L p ==π2 dn Lhdp =∴由于p 的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在范围内的量子态数p d p p +→ p d hLd 2n = 再由 εεm mp 2p 22==得 所以 ()εεεεεd m h L m d h L dn 212222 d D ⎪⎭⎫⎝⎛===， 证毕6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222证明：对于二维自由粒子，有y y x x n Lh p n L h p ==, y y x x dn Lhdp dn L h dp ==∴,所以，在面积L 2内，在y y y x x x dp p p dp p p +→+→,内的量子态数为y x y x dp dp dn dn 22hL ＝换为极坐标，则动量大小在dp p p +→内的量子态数为ϕϕd dp hL pdpd h L dn 222222==对φ从0至2π积分，并利用mp 22=ε则可得在ε到ε+d ε的能量范围内，量子态数为D(ε) d ε =επm d hL 222，证毕6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，试求在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4 证明：在体积V=L 3内，在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为Z Y X dP dP dP h V3-----------------（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V 内，动量大小在P 到P+dP 范围内，三维自由粒子可能的量子态数为dP P hV 234π-------------（2） 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为ε=CP ，代入，可得在体积V 内，ε到ε+d ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =εεπd ch V 23)(4-------------------（3） 6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布{}{}'l l a a 和必须满足：∑=llN a， ∑=llN a''，∑∑=+llllll E aa ''εε，其中E 为系统总能量。
第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)本章题型一、基本概念：1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。
2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微观态出现的概率相等。
最概然分布作为平衡态下的分布近似。
3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。
ΛΛ,,,,21l τττ∆∆∆ΛΛ,,,,21l εεε}{l aΛΛ,,,,21l ωωω ΛΛ,,,,21l a a a与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：N a ll =∑E =∑ll l a ε系统总的微观状态数()()lm man a l a a lΩΩ=Ω∑~总 系统某时刻的微观状态只是其中的一个。
在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a lΩΩ∑~----各态历经假说。
且各微观态出现的概率相等()()lmman a l a a lΩ≈Ω=∑11ρ()le a a l lm l βεαωδ--=⇒=Ω0ln ---玻耳慈曼分布。
此分布（宏观态）的概率为()()()()()()1=ΩΩ≈ΩΩ=Ω=∑lmman lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p lρ 即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。
4、热力学第一定律的统计解释：Q d W d dU +=l ll l ll l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε比较可知：l ll d a W d ε∑=l ll da Q d ∑=ε即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。
二、相关公式 1、分布与微观状态数①、 ()l a l lll l B M a a ω∏=Ω∏!N!.. ②、 ()∏--+=Ωl ll l l E B a a a )!1(!)!1(..ωω ③、 ()∏-=Ωll ll l D F a a a )!(!!..ωω④、 ()l a r l l ll l cl h a N a ) ( ! !ω∆∏∏=Ω 2、最概然分布玻耳兹曼分布le a l l βεαω--=玻色-爱因斯坦分布1-=+l e a ll βεαω费米-狄拉克分布1+=+l e a ll βεαω本章题型※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系()0,=p q f 。
※、第二类是求粒子能态密度()εD ；已知粒子的哈密顿量H 与广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系()p q H H ,=，求粒子能态密度()εD 。
不同方法有不同步骤，方法有：方法一：量子力学方法。
第一步，解薛定谔方程()()p q ,p q,H ψ=ψε)，求能量本证值i ε 第二步，求出粒子能量小于ε的量子态数()εω第三步，求出粒子能量在ε到εεd +范围的量子态数()εεd D 。
方法二：半经典近似法。
该方法的依据是：对自由度为r 的一个粒子，对每一个可能的状态对于μ空间中大小为r h 的一个相体积元，因此，粒子能量小于ε的量子态数为()()⎰⎰<=εεωp q H r hdqdp,Λ由此求得粒子能量在到范围的量子态数()()εεεωεεd d d d D =。
计算步骤：第一步、写出粒子自由度r 和粒子哈密顿()p q H H ,=。
第二步、由()()⎰⎰<=εεωp q H r hdqdp,Λ求出粒子能量小于的状态数。
第三步、求出粒子态密度()()εεωεd d D =。
[例1]、对于二维自由粒子，在长度L 2内，求粒子在ε到εεd +的能量范围内量子态数()εεd D 。
方法一：解，量子力学方法:边长为L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为()εϕϕϕ=+=22ˆ21H Y X P P m))设：()()()y Y x X y x =,ϕ 则22222222222112ηηεεm dy Y d Y dx X d X XY XY y x m -=+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂- 2222222222;1;1ηεm k k k dy Y d Y k dx X d X y x y x =+-=-=其中 解得：()()()()()y p x p iy k x k i y x y x e e y Y x X y x ++===ηA1A 1,ϕ 利用周期性边界条件：⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2L ,2L ,;,2L ,2L x x y y ϕϕϕϕ得：Ληη2,1,0;,2;2±±===y x y y x x n n n Lp n L p ππ 由上式可知，量子数y x n n ，完全决定了粒子的量子状态。
以y x n n ，为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数()y x n n ，对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。
由()()2222222221y x y x n n mLp p m +=+=ηπε可知，在数空间中能量ε的等能线为半径()2122221222R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=ηπεmL nn yx 的圆，它所包围的面积为2222R ηπεπmL =，而单位面积对应1个量子态，所以粒子能量小于ε的量子态数为()222ηπεεωmL =，所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数()()επεεεωεεmd hL d d d d D 222== 其中：()m hL D 222πε=为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。
方法二： 解，半经典方法:由()2221yx p p m+=ε可知，在二维动量空间中，等能线满足εm p p y x 222=+，等能线为半径等于εm 2的圆，由此求得粒子能量小于ε的量子态数：()επεωεm hL h dp dxdydp Am p p yx y x 2222222==⎰⎰≤+Λ所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数()()επεεεωεεmd hL d d d d D 222== ※、第三类确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率或求最概然分布。
[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、ω、ω2、ω3、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量ω3相联系的是什么样的分布？并根据公式∏∏=Ωla l ll la ω!N!M.B 计算每种分布的微观态数D Ω,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。
（2）、在题（1）中，如0和ω两能级是非简并的，而ω2和ω3两个能级分别是6度和10度简并。
试重复上面的计算。
解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能 级 Λ,,,4321εεεε， 能量值 Λωωω,32,,0 简并度 ,11,1,1Λ， 分布数 Λ,421,,a a a分布{}l a 要满足的条件是：6==∑N a ll ， ωε3E ==∑ll l a满足上述限制条件的分布可以有： {}{}ΛΛ0,1,0,0,5a :D l 1={}{}ΛΛ0,0,1,1,4a :D l 2={}{}ΛΛ0,0,0,3,3a :D l 3=则各分布所对应的微观态数为：615!6!1D =⨯=Ω 3014!6!2D =⨯=Ω 2013!3!6!3D =⨯=Ω 所以此种情况下体系的总的微观状态数为56321=Ω+Ω+Ω=Ω总 各分布的几率为：107.056611D D ==ΩΩ=总P 536.0563022D D ==ΩΩ=总P 357.0562033D D ==ΩΩ=总P （2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：能 级 Λ,,,4321εεεε， 能量值 Λωωω,32,,0 简并度 ,106,1,1Λ， 分布数 Λ,421,,a a a分布{}l a 要满足的条件是：6==∑N a ll ， ωε3E ==∑ll l a满足上述限制条件的分布可以有： {}{}ΛΛ0,1,0,0,5a :D l 1={}{}ΛΛ0,0,1,1,4a :D l 2={}{}ΛΛ0,0,0,3,3a :D l 3=则各分布所对应的微观态数为：60015!6!1D =⨯=Ω 08164!6!2D =⨯=Ω 2013!3!6!3D =⨯=Ω 所以此种情况下体系的总的微观状态数为260321=Ω+Ω+Ω=Ω总 各分布的几率为：230.02606011D D ==ΩΩ=总P 692.026018022D D ==ΩΩ=总P 077.02602033D D ==ΩΩ=总P [例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。
假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。
试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：l e a l l βεαω--=和'--'='le a l l βεαω其中l ε和'l ε是两种粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。
证： 粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度'l ω 体系两种粒子分布要满足的条件为： N a ll =∑，N a ll '='∑ E =''+∑∑ll l ll l a a εε分布{}l a ，对应的微观状态数为∏∏=Ωla l ll la ω!N!1分布{}l a '，对应的微观状态数为∏∏''''=Ωla lll l a ω!!N 2 则系统的微观态数为21Ω⋅Ω=Ω上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }时系统的微观态数。
在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件N a ll =∑，N a ll '='∑E =''+∑∑lll lll a a εε下使21ln ln Ω⋅Ω=Ω为极大的分布。
利用斯特林公式可得：l ll l ll l ll l ll a a a N a a a N ωω''+''-''++-=Ω⋅Ω=Ω∑∑∑∑ln ln ln N ln ln ln N ln ln 21由0ln 21=Ω⋅Ωδ，得 0ln ln ln 21='⎪⎪⎭⎫⎝⎛''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Ω⋅Ω∑∑l l l l l l lla a a a δωδωδ 而由限制条件可得：0=∑llaδ，0='∑ll a δ0=''+∑∑lllllla a δεδε引入拉氏不定乘子βαα，，'，得0ln ln ln 21='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫⎝⎛''+-''--Ω⋅Ω∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a δεβαωδβεαωδεδεβδαδαδ根据拉格朗日未定乘子法原理，每个l a δ及l a 'δ的系数都等于零，所以得：[][]⎩⎨⎧'-'-'='--=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫='+'+''=++l l ll l l l l l l lla a a a εβαωβεαωεβαωβεαωexp exp 0ln 0ln 讨论：（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的α，α'不同，但有共同的β，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。
