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第三章 流体动力学基础3－1 已知速度场为k z x j y x i y x u)()()(2-+-++= (m/s)，求(2，3，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z x u y x u y x u -=-=+=z y x )(2，， 解析：(1) (2，3，1)点的速度为m/s 1m/s 1m/s 10)(2z y x =-=-=-==+=z x u y x u y x u ，， s /m 10.101)1(102222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) (2，3，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 1832262602)(2)(20=⨯+⨯=+=+⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zuu y u u x u u u a τ2y zy yy xy y m/s 1133230)1()(1)(20=⨯+=+=+-⨯-+⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y x y x y x zu u yu u xu u u a τ2z z z y z x z z m/s 913222)1()(01)(20=+⨯+=++=-⨯-++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y x z x y x zu u y u u x u u u a τ22222z 2y 2x s /m 93.2291118=++=++=a a a a3－2 已知速度场为k z y j y i x u )34()(2)3(2-+-++=ττ (m/s)，求τ＝2秒时，位于(2，2，1)点的速度和加速度。
已已知知：：z y u y u x u )34()(23z 2y x -=-=+=，，ττ解析：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为m/s 5)34(m/s 4)(2m/s 83z 2y x =-=-=-==+=z y u y u x u ，，ττ s /m 25.105)4(82222z 2y 2x =+-+=++=u u u u (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为2x z x y x x x x m/s 251)223(31)3(3003)3(1=++⨯⨯=++=++⨯++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττx x zuu y u u x u u u a2222y zy yy xy y m/s 342)22(282)(80)4()(202=+-⨯⨯=+-=+-⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=τττy y y y zu u yu u xu u u a2222222z z z y z x z z m/s 91)324()22(18)34()(8)34(4)(200=⨯-⨯+-⨯⨯=-+-=-+⨯-++=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z y y z zy z y zuu y u u x u u u a τττ22222z 2y 2x s /m 15.4393425=++=++=a a a a3－3 已知二维流场的速度分布为j x y i x y uττ)96()64(-+-= (m/s)。
第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。
因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。
即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。
上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= p I （3-2） 式中I 为单位张量。
静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。
二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d）式代入（c）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x yzp f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。
三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。
