2020年成人高考专升本高等数学二知识点复习第一章：极限与连续1-1、极限的运算1、极限的概念(1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于f(x)=A一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。
limf(x)=Ax→x0−f(x)=Alimx→x0+2、无穷小量与无穷大量无穷小量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为0，则f(x)=0称在该变化过程中， f(x)为无穷小量，记作limx→x0无穷大量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限值越来越f(x)=∞大，则称在该变化过程中， f(x)为无穷大量，记作limx→x03、无穷小量与无穷大量的关系为无穷小量；在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大量；在同一变化过程中，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1f(x)4、无穷小量的性质性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量5、无穷小量的比较与替换定义：设α，β是同一变化过程中的无穷小量，即limα=0，limβ=0=0，则称β是α比较高阶的无穷小量（1）如果limβα（2）如果limβα=∞，则称β是α比较低阶的无穷小量（3）如果lim βα=c ≠0，则称β是与α同阶的无穷小量（4）如果lim βα=1，则称β与α是等价的无穷小量★常见的等价无穷小量：当x →0时，x ~sin x ~tan x ~ arc sin x ~ arc tan x ~ e x −1 ~ ln (1+x) 1−cos x ~12x 2★★6、两个重要极限 （1）limx→0sin x x=1（2）lim x→∞(1+1x )x=e 或lim x→0(1+x)1x=e★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）1-2、函数的连续性1、函数在某一点上的连续性定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆x 趋近于0时，相应的函数改变量∆y 也趋近于0，即lim ∆x→0[f (x 0+∆x )−f (x 0)]=0，则称函数y =f(x)在x 0处连续。
定义2：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果当 x →x 0时，函数f(x)的极限存在，且等于x 0处的函数值f(x 0)， lim x→x 0f (x )=f(x 0)，则称函数y =f(x)在x 0处连续。
第二章、一元函数微分学2-1、导数与微分 1、导数概念定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量x 在点x 0处的改变量∆x ，相应的函数改变量∆y =f (x 0+∆x )−f (x 0)。
如果极限lim ∆x→0f (x 0+∆x )−f (x 0)∆x存在，则称此极限为函数y =f(x)在x 0处的导数。
表示形式如下：lim∆x→0f (x 0+∆x )−f (x 0)∆x、limx→x 0f (x )−f (x 0)x−x 0、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f (x 0)h★★2、常见的求导公式（1）、(c )′=0 （2）、(x a )′=ax a−1 （3）、(log a x )′=1xlna （4）、(lnx )′=1x （5）、(a x )′=a x lna （6）、(e x )′=e x （7）、(sin x )′=cos x （8）、(cos x )′=−sin x★★3、导数的运算法则 （1）(u ±v )′=u ′+v′ （2）(u ∙v )′=u ′v +uv′ （3）(cu )′=cu ′ （4）(uv )′=u ′v+uv ′v 2★4、复合函数求导如果函数u =φ(x)在点x 处可导，函数y =f(u)在对应点u 处也可导，则复合函数y =f[φ(x )]在点x 处可导，且有dy dx=dy du ∙du dx。
5、隐函数求导隐函数：x 与y 之间的函数关系是由一个方程F (x,y )=0来确定这种称之为隐函数。
如：xy −e y +x 2=0隐函数的求导方法：直接在方程F (x,y )=0的两端同时对x 求导，而把y 视为中间变量，利用复合函数求导即可。
6、高阶求导如果函数y=f(x)的导数函数y′=f′(x)仍是函数x的可导函数，那么就称函数f′(x)的导数为函数f(x)的二阶导数，二阶导数记为函数y′′,f′′(x)7、微分公式dy=y′dx（1）d(c)=0（2）d(x a)=ax a−1dx（3）d(a x)=a x lnadx（4）d(e x)=e x dx（5）d(log a x)=1xlna dx（6）d(lnx)=1xdx（7）d(sin x)=cos x dx（8）d(cos x)=−sin x dx★★2-2、洛必达法则1、概念如果当x→a（或∞）时，函数f(x)与g(x)都趋于0或都趋于∞，则称limx→a f(x)g(x)为未定型极限，并分别简记为00或∞∞。
limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)2、求法（1）先判定是否符合00或∞∞型（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是00或∞∞型那么再对分子分母求导（3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。
★★2-3、导数的应用1、函数的单调性、单调区间设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果在区间(a,b)内f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调递增的（2）如果在区间(a,b)内f′(x)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调递减的2、函数的极值设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义（1）如果x≠x0时，恒有f(x)<f(x0)则称x0为极大值点，f(x0)为极大值。
（2）如果x≠x0时，恒有f(x)>f(x0)则称x0为极小值点，f(x0)为极小值。
极值求法：（1）求f(x)的导数f′(x)（2）令f′(x)=0，求出x i即为驻点（3）分别求出x i左右的导数f′(x)的符号，左正右负，此时f(x)取得极大值；左负右正，此时f(x)取得极小值。
3、曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性：设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶导数和二阶导数，那么：（1）如果在区间(a,b)内f′′(x)>0，则函数y=f(x)在区间[a,b]的图形是凹的（2）如果在区间(a,b)内f′′(x)<0，则函数y=f(x)在区间[a,b]的图形是凸的曲线的拐点：在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。
第三章、一元函数积分学3-1、不定积分1、原函数：设函数f(x)在某一区间上有定义，若存在函数F(x)，使F′(x)=f(x)成立，则称F(x)为函数f(x)的原函数。
2、不定积分函数f(x)在区间I上的所有原函数的全体F(x)+C叫做f(x)在区间I上的不定积分，记作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C★3、不定积分的性质（1）∫kf(x)dx=k∫f(x)dx（2）∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx（3）(∫f(x)dx)′=f(x)（4）∫f′(x)dx=f(x)+C★★4、基本积分公式（1）∫k dx=kx+C（2）∫x a dx=1a+1x a+1+C（3）∫a x dx=1lna a x+C（4）∫e x dx=e x+Cdx=ln |x|+C（5）∫1x（6）∫sinx dx=−cosx+C（7）∫cosx dx=sinx+C★★5、第一换元积分法（凑微分法）设f(u)具有原函数F(u)，u=φ(x)可导，则有换元公式∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C6、分部积分法设函数具有连续的导函数，则有∫uv′dx =uv −∫vu′dx 即∫u dv =uv −∫v d u3-2、定积分 ★1、定积分的性质（1）∫k f(x)dx =bak ∫f(x)dx ba （2）∫[f(x)±g(x)]dx =ba ∫f(x)dx ba ±∫g(x)dx ba （3）∫f(x)dx =a a0 （4）∫f(x)dx =ba ∫f(x)dx ca +∫f(x)dx bc★2、变上限的定积分定理若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分φ(x )=∫f(t)dt xa 是被积函数f(x)的一个原函数，即φ′(x )=f(x)★★3、牛顿---莱布尼茨公式∫f(x)dx =ba F (x )|ab =F (b )−F(a)4、反常积分（广义积分）∫f(x)dx =lim b→+∞∫f(x)dx ba+∞a∫f(x)dx =lim a→−∞∫f(x)dx bab −∞★5、定积分的求法 （1）定积分的换元积分法∫f(x)dx =b a∫f[φ(t )]φ′(t )dt βα（2）定积分的分部积分法∫uv′dx =ba uv|ab −∫v u′dx ba 或∫u dv =ba uv|a b−∫vdu ba ★（3）奇偶函数在对称区间上的积分若f(x)在[-a,a]上为连续奇函数，则∫f(x)dx =a−a0 若f(x)在[-a,a]上为连续偶函数，则∫f(x)dx =a−a 2∫f(x)dx a★3-3、定积分的应用 1、求平面图形的面积（1）由曲线y =f(x)，直线x =a ，x =b(a <b )及x 轴所围成的面积为：S=∫|f (x )|dx ba （2）由两曲线y =f 1(x )，y =f 2(x )，f 2(x )>f 1(x )及两直线x =a ，x =b 所围成的面积为S=∫[f 2(x )−f 1(x )]dx ba（3）由曲线x =φ(y)，直线y =c ，y =d(c <d )及y 轴所围成的面积为：S=∫|φ(y )|dy dc （4）由两曲线x =φ1(y)，x =φ2(y)，φ2(y)>φ1(y)及两直线y =c ，y =d 所围成的面积为S=∫[φ2(y)−φ1(y)]dy dc（5）由两曲线y =f 1(x )，y =f 2(x )，f 2(x )>f 1(x )所围成的封闭图形的面积为S=∫[f 2(x )−f 1(x )]dx ba其中a 是交点中x 的最小值，b 是交点中x 的最大值2、旋转体的体积（1）由曲线段y =f(x)， x ∈[a,b ]绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为：V=π∫f 2(x )dx b a （2）由曲线段x =φ(y)， y ∈[c,d ]绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为：V=π∫φ2(y )dy b a （3）由两曲线y =f 1(x )，y =f 2(x )，且f 1(x )，f 2(x )在x 轴同侧，|f 2(x )|>|f 1(x )|及两直线x =a ，x =b 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： V =π∫[f 22(x )−f 12(x )]dx ba（4）由两曲线x =φ1(y)，x =φ2(y)，且φ1(y ),φ2(y)在y 轴同侧，|φ2(y )|>|φ1(y )|及两直线y =c ，y =d 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为： V =π∫[φ22(y )−φ12(y )]dy dc第四章、多元函数微分学★★4-1、多元函数偏导数与全微分1、含有两个及以上自变量的函数，如z=f(x,y)2、偏导数的求法对x求偏导，将函数中的y视为常数；对y求偏导，将函数中的x视为常数；3、二阶偏导数ð2Z ðx2、ð2Zðxðy、ð2Zðy24、全微分dz=ðzðx dx+ðzðydy★4-2、二元函数的极值1、无条件极值二元函数的无条件极值的求法（1）求f x(x,y)，f y(x,y)，并解方程组f x(x,y)=0，f y(x,y)=0，求得一切驻点(x i,y i)。
