不等式小结(一)

一元一次不等式知识点小结在求解一元一次不等式时，可以利用以下几个知识点：1.加减法原则：一元一次不等式可以通过加减法原则进行变形。

当不等式的两边同时加或减一个相同的数时，不等号方向仍保持不变。

2.乘除法原则：一元一次不等式可以通过乘除法原则进行变形。

当不等式的两边同时乘以或除以一个正数时，不等号方向不变；当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变。

3.移项：当一元一次不等式中含有多个项时，可以通过移项将含有变量的项移到一边，将不含变量的项移到另一边。

4.正负号：当一元一次不等式中乘以或除以一个负数时，需要注意不等号方向的改变。

如果乘以或除以一个负数后，不等式的两边都是正数，那么不等号方向不变；如果乘以或除以一个负数后，不等式的两边同时变成负数，那么不等号方向改变。

5.绝对值：当一元一次不等式中含有绝对值时，需要考虑绝对值的正负情况进行讨论。

当绝对值大于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值小于0时，绝对值为正数。

6.比较大小：在求解一元一次不等式时，有时需要进行大小比较。

可以通过移项、加减法原则等方法进行比较。

7.判断解集：在求解一元一次不等式后，需要判断解集的范围。

可以通过画数轴、取样本点等方法进行判断。

需要注意的事项：1.乘法原则的使用时要谨慎，需要进行正负号的判断。

2.当不等号两边存在分数时，要特别注意分母的正负情况，可以通过乘以分母的方式去分母。

3.结果的表达要准确，是大于、小于还是大于等于、小于等于都要根据实际情况进行判断。

4.在求解一元一次不等式时，可以图像法、数值法等辅助工具进行验证。

通过掌握以上知识点，我们可以较为轻松地求解一元一次不等式，并得出正确的解集。

同时，在实际生活中，我们也可以应用这些知识点解决一些实际问题，例如在购买商品时，判断价格是否合适等。

第七章不等式小结与思考(二) (学案)学习过程：一、例题讨论：例1．已知关于x的不等式组21xxx a<⎧⎪>-⎨⎪<⎩无解，则a的取值范围是（）A．a≤－1 B．－1＜a＜2 C．a≥2 D．a≤2例2、已知方程组331x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解是一对正数。

⑴求a的取值范围；⑵化简|2a＋1|＋|a－2|。

例3．七(2)班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料中下表：需甲种材料需乙种材料1件A型陶艺品0.9kg 0.3kg1件B型陶艺品0.4kg 1kg⑴设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围。

⑵请你根据学校现有材料，分别写出七(2)班制作A型和B型陶艺品的件数。

二、课堂小结当堂检测1．关于x的不等式组1532223xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a的取值范围是（）A．－5≤a≤143-B．－5≤a＜143-C．－5＜a≤143-D．－5＜a＜143-2．若y＝3x－2。

⑴求方程3x－2＝0的解。

⑵求不等式3x－2≥0的解集。

⑶当y≤1时，求x的取值范围。

⑷当－1≤y≤1时，求x的取值范围。

⑸求图像与坐标轴围成的三角形的面积。

3．若干个苹果分给几个孩子，如果每人分3个，则余8个，每人分5个，则最后一人分得的数不足5个，问共有多少个孩子？多少个苹果？4．某煤矿现有100t煤炭要运往甲、乙两厂，通过了解获得甲、乙两厂的信息如下：厂别运费（元/t·km）路程（km）所需吨数（t）甲厂 1 150 不超过60乙厂 1.2 100 不超过80 要将100t煤炭全部运出，试写出总费用y（元）与运往甲厂x（t）煤炭之间的函数关系式。

如果你是该矿的矿主，请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低的总运费。

5．某学校去春游，若乘大客车，除一车坐8人外，其余每车均坐20人，若乘小客车，则除一车坐4人外，其余每车均坐12人，如果学生人数超过150人，且不超过250人，那么学生人数应是多少？。

不等式小结与复习主讲：黄冈中学高级教师陈红明一周强化一、一周知识概述不等式是中学数学的基础和重要部分，它可以渗透到数学的其它内容中，在实际生活中有广泛的应用，是高考的重要内容。

在复习不等式时应注意等价转化思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想以及化归思想在不等式中的应用，掌握通性通法。

提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力，在实际应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。

(一)知识网络结构(二)不等式的性质1、实数的运算性质和大小顺序之间的关系；a－b>0a>b；a－b=0a=b；a－b<0a<b.2、不等式的基本性质（1）对称性：a>b b<a；（2）传递性：a>b，b>c a>c；（3）可加性：a>b，c∈R a＋c>b＋c；（4）可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.3、不等式的运算性质（1）加法：a>b，c>d a＋c>b＋d；（2）减法：a>b，c<d a－c>b－d；（3）乘法：a>b>0，c>d>0ac>bd；（4）除法：a>b>0，0<c<d；（5）乘方：a>b>0（n∈N*且n>1）（6）开方：a>b>0（n∈N*且n>1）（7）倒数：a>b，ab>0.（三）不等式的证明方法与主要依据1、证明不等式的方法：证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法．此外，在证明不等式中，有时还要运用综合分析法、放缩法、换元法、反证法．2、证明不等式的主要依据（1）a－b>0a>b；a－b<0a<b.（2）不等式的性质.（3）重要不等式及定理：①a2≥0（a∈R）；②a2＋b2≥2ab（a∈R，b∈R）；③（a∈R＋，b∈R＋）；④a3＋b3＋c3≥3abc（a，b，c∈R＋）；⑤（a，b，c∈R＋）；⑥|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；⑦|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|；（注：搞清楚以上定理取“=”号的条件）⑧|x|<a（a>0）x2<a2－a<x<a；⑨|x|>a（a>0）x2>a2x<－a或x>a. （四）不等式的解法1、绝对值不等式、高次不等式的解法2、无理不等式通过以上表解，进一步熟悉不等式的性质、证明、解法.二、重难点知识选讲1、不等式的性质、重要不等式、绝对值不等式是整章的基本内容，是证明不等式和解不等式的知识基础，应熟练掌握和运用．例1、设，则在①a2>b2；②a＋b>2；③ab<b2；④a2＋b2>|a|＋|b|这四个不等式中，恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3例2、已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值．2、不等式的证明不等式证明方法较多，具体问题具体分析是证明不等式的精髓，灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧．巧妙地变形是证明不等式的关键，联系和联想是证明不等式的重要观点，提高思维能力是证明不等式的落脚点．例3、已知0<a<1，求证：≥9.3、不等式解法不等式的解法是化归与转化思想的充分运用，将超越不等式转化为代数不等式、无理不等式转化为有理不等式、高次或分式不等式转化为一元一次、二次不等式等，应注意转化过程的等价性．例4、解不等式：例5、解关于x的不等式（a∈R）.4、不等式的应用问题例6、（全国高考试题）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为______元.例7、（全国高考试题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？。

教案：初中不等式小结教学目标：1. 理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。

2. 能够解一元一次不等式，并应用不等式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 不等式的概念和基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的方程，提出问题：方程的解有什么限制吗？2. 引出不等式的概念，指出不等式表示两个表达式之间的大小关系。

二、不等式的基本性质（15分钟）1. 引导学生观察不等式的形式，总结不等式的基本性质。

2. 讲解不等式的基本性质，如对称性、传递性等。

3. 通过例题演示不等式的基本性质，让学生熟练掌握。

三、一元一次不等式的解法（20分钟）1. 引导学生回顾一元一次方程的解法，提出问题：不等式能否也用类似的方法解呢？2. 讲解一元一次不等式的解法，如升降温法、移项法等。

3. 通过例题演示一元一次不等式的解法，让学生熟练掌握。

四、不等式在实际问题中的应用（15分钟）1. 引导学生思考实际问题中是否存在不等式，提出问题：如何用不等式表示实际问题？2. 讲解不等式在实际问题中的应用，如分配问题、限制条件等。

3. 通过例题演示不等式在实际问题中的应用，让学生熟练掌握。

五、总结与拓展（10分钟）1. 引导学生总结不等式的概念、基本性质和解法。

2. 提出拓展问题，引导学生思考不等式在实际问题中的更深入应用。

教学评价：1. 课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能够理解不等式的概念和基本性质。

2. 学生是否能够熟练解一元一次不等式，并应用不等式解决实际问题。

3. 学生是否能够在实际问题中灵活运用不等式，解决问题。

教学反思：本节课通过回顾方程的知识，引导学生学习不等式的概念和基本性质。

在讲解不等式的解法时，结合实际例子，让学生更好地理解和应用不等式。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考和探索，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

数学高考复习名师精品教案第53课时：第六章 不等式——不等式的小结课题：不等式的小结一．复习目标：1．进一步巩固不等式的解法、证明不等式的一般方法、利用不等式求最值的方法；2．能熟练运用不等式的思想方法解决有关应用问题．二．课前预习：1．已知c d <，0a b >>，下列不等式中必成立的一个是 （ ）()A a c b d +>+ ()B a c b d ->- ()C ad bc < ()D a b c d> 2．设,x y 满足220x y +=的正数，则lg lg x y +的最大值是 （ ）()A 50 ()B 2 ()C 1lg5+ ()D 13．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =-+，则m 的取值范围是 （ ）()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4 ()D 3[,1)44．设12x >，则函数821y x x =+-的最小值是 ，此时x = ． 5．关于x 的不等式260x ax a --<的解集不是空集，且区间长度不超过5，则实数a 的取值范围是 ．6．使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是 ．7．锐角三角形ABC 中，已知边1,2a b ==，则边c 的取值范围是 ．三．例题分析：例1．（1）已知0x y >>，且1xy =，求22x y x y+-的最小值及相应的,x y 的值； （2）已知0x y >>且3412x y +=，求lg lg x y +的最大值及相应的,x y 的值．例2．设绝对值小于1的全体实数的集合为S ，在S 中定义一种运算*，使得*1a b a b ab+=+， 求证：如果a 与b 属于S ，那么*a b 也属于S ．例3．证明：1)1<++< *()n N ∈．例4．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件．若定价上涨x 成（注：x 成即10x ，010x <≤），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍． （1）若y a x =，其中a 是满足113a ≤<的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 值；（2）若23y x =，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．四．课后作业：1．已知0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 （ ）()A 1x a <-或1x b > ()B 1x b <-或1x a> ()C 10x a -<<或10x b << ()D 10x b -<<或10x a << 2．一批货物随17列火车从A 市以 /v km h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长为400km ，为了安全，两列货车的距离不得小于2() 20v km （货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市，最快需要 （ ）()A 6h ()B 8h ()C 10h ()D 12h3．若,a b 是实数，且a b >，则在下面三个不等式：①11a a b b ->-；②22()(1)a b b +>+；③22 (1)(1)a b ->-，其中不成立的有 个．4．设,a b 都是大于0的常数，则当0x >时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值是 ．5．已知()21f x ax a =++，当[1,1]x ∈-时，()f x 的值有正有负，则a 的取值范围为 ．6．已知,x y R ∈，且22222x xy y -+=，则||x y +的最大值是 ．7．设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．8．已知,,a b c 都是正数，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++．9．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台*()x N ∈，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用运输和保管费用总计43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．。

四平市第一高级中学 2013级高一年级数学学科学案学案类型： 新课 材料序号： 16编稿教师： 刘强 审稿教师： 刘 强 课题：不等式小结一、学习目标：1、掌握不等式的概念及性质，并能熟练运用性质解一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式及简单的高次不等式；2、了解线性规划问题，解决一些实际应用问题，并能运用基本不等式求一些函数的最值；通过不等式知识的学习，培养学生函数与方程的数学思想，养成勤于思考，善于动脑的习惯。

二、学习重、难点：教学重点: 不等式的性质、线性规划问题及基本不等式；教学难点：综合运用不等式知识解决一些较为复杂的求最值问题。

三、知识网络：利用基本不等式求最值应注意:①x,y 一定要都是正数;②求积xy 最大值时,应看和x+y 是否为定值;求和x+y 最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要．．．检验等号是否能取到．．．．．．．．．,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法.四、常见、常用结论：1、（1）max min ()()()()k f x k f x k f x k f x ≥⇔≥⎧⎨≤⇔≤⎩恒成立恒成立 （2）min max()()()()x k f x k f x x k f x k f x ≥⇔≥⎧⎨≤⇔≤⎩存在使成立存在使成立 2、（1）a b 、同号⇔0ab >或0a b >； （2）a b 、异号⇔0ab <或0a b<。

借助二次函数的图象 三个二次的关系 可行域 目标函数 一次函数：z ＝ax ＋by z ＝y －b x －a ：构造斜率 z ＝(x －a )2＋(y －b )2：构造距离 应用题 不等式 不等式的性质 一元二次不等式简单的线性规划 基本不等式：ab ≤a ＋b 2 几何意义： z 是直线ax ＋by －z ＝0在x 轴截距的a 倍，y 轴上截距的b 倍. 最值问题 变形 和定值，积最大；积定值，和最小 应用时注意：一正二定三相等 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22五、典型例题： 1、已知215,2log ,ln -===e z y x π，则z y x ,,按照从小到大的顺序是_________。

课题:一元一次不等式小结与思考（1）一．教学目标、重点难点：教学目标：理解不等式的性质,并能利用性质解一元一次不等式(组)教学重点：解一元一次不等式(组)教学难点：解一元一次不等式组突破难点的关键：利用数轴形象地帮助学生去找解集的公共部分,从而得出口诀,加深学生 对不等式的解集的理解二．内容分析与学生分析：引导学生利用数轴研究不等式，从而树立数形结合的思想。

针对学生的实际情况，瞄准学生的薄弱环节，通过讲例题，做习题，讲练结合，系统归纳，以达到查漏补缺的目的三．教学过程：1．复习内容问题1：回忆不等式的有关概念及性质已知a ＜b , 则下列式子中一定成立的是（ ）A ac ＜bcB c a ＜cb C 4—a ＜4—b D ac 2≤bc 2 问题2：解一元一次不等式（组）的步骤是什么？1．解不等式63431+--x x ＞1 并把它的解集在数轴上表示出来 设计意图：可让学生板书，师生共同纠错，从而指出易错点如下：① 去分母时漏乘② 缺乏整体思想，忘加括号③ 去括号时分配不到位，漏分配数或漏分配符号④ 两边同乘、除同一个负数时，忘改变不等号方向X-1＞22．解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来，且找出它的X-3≤2 + x 21 整数解 设计意图： 通过数轴得出：同大取大，同小取小，大小小大取之间，大大小小则无 解，使学生进一步体会到数形结合方法的优势问题3： 掌握由不等式（组）带来的一些变式应用X ＜31．已知不等式组 无解，求a 的取值范围X ＞a设计意图： X ≤3 X ≤3可将不等式组改为 或 进行对比理解，通过一题多X ＞a X ≥a变的形式，让学生弄清楚什么时候要取等于号。

2x + y = 3m + 1 2．已知方程组 若x ＞y ，求m 的取值范围X – y = 2m – 1设计意图：参数问题是本章的一个难点，与方程式相结合有助于加深对方程式和不等式的认识。

3．已知3x-a ＞2的解集如图所示 求a 的值设计意图：体会由不等式向方程的转化过程。