07 第七编 不等式(共32页)

第七编 不等式§7.1 不等关系与不等式1.已知-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是 . 答案 -a ＞a 2＞-a 32.若m ＜0,n ＞0且m +n ＜0，则-n ，-m ，m ，n 的大小关系是 . 答案 m ＜-n ＜n ＜-m3.已知a ＜0,-1＜b ＜0,那么a ,ab ,ab 2的大小关系是 . 答案 ab ＞ab 2＞a4.设a =2-5,b =5-2,c =5-25,则a ,b ,c 的大小关系为 . 答案 a ＜b ＜c5.设甲：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙：m 、n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么甲是乙的 条件.答案 必要不充分例1 （1）设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小；（2）已知a ,b ,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n 与a n +b n 的大小. 解 （1）方法一 （x 2+y 2）(x -y )-(x 2-y 2)(x +y ) =(x -y )［x 2+y 2-(x +y )2］=-2xy (x -y ), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x -y ＜0, ∴-2xy (x -y )＞0,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x -y ＜0,x 2＞y 2,x +y ＜0. ∴(x 2+y 2)(x -y )＜0,(x 2-y 2)(x +y )＜0, ∴0＜))(())((2222y x y xy x y x +--+=xyy xyx22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ). (2)∵a ,b ,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0, 而nnncb a+=nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛.∵a 2+b 2=c 2,则2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b =1,∴0＜ca ＜1,0＜cb ＜1.∵n ∈N ,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b ,∴nnncb a+=nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜222cb a+=1,∴a n+b n＜c n.例2 已知a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ,则下列不等式恒成立的是 . ①(a +c )4＞(b +c )4 ②ac 2＞bc 2③lg|b +c |＜lg|a +c | ④(a +c )31＞(b +c ) 31答案 ④例3 （14分）已知-1＜a +b ＜3且2＜a -b ＜4,求2a +3b 的取值范围. 解 设2a +3b =m (a +b )+n (a -b ), ∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 4分∴m =25,n =-21. 6分∴2a +3b =25(a +b )-21(a -b ). 7分∵-1＜a +b ＜3,2＜a -b ＜4, ∴-25＜25(a +b )＜215,-2＜-21(a -b )＜-1, 10分 ∴-29＜25(a +b )-21(a -b )＜213, 12分即-29＜2a +3b ＜213. 14分1.（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小.解 （1）（x 6+1）-（x 4+x 2） =x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1) =(x 2-1)2(x 2+1).当x =±1时，x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2. （2）a -a1=aa12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1； 当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a1；当a =±1时,a =a1.2.适当增加不等式条件使下列命题成立： （1）若a ＞b ,则ac ≤bc ; (2)若ac 2＞bc 2,则a 2＞b 2;(3)若a ＞b ,则lg(a +1)＞lg(b +1); (4)若a ＞b ,c ＞d ,则da ＞cb ;(5)若a ＞b ,则a1＜b1.解 （1）原命题改为：若a ＞b 且c ≤0，则ac ≤bc ,即增加条件“c ≤0”. (2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b ,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件“b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a +1＞b +1,但作为真数，应有b +1＞0,故应加条件“b ＞-1”. （4）da ＞cb 成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件“b ＞0,d ＞0”.还可增加条件为“a＜0,c ＞0,d ＜0”. (5)a1＜b1成立的条件是a ＞b ,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为“ab ＞0”.3.设f (x )=ax 2+bx ,1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (-2)的取值范围. 解 方法一 设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m ,n 为待定系数), 则4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b , 于是得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10. 方法二 由⎩⎨⎧+=-=-ba fb a f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a ,∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10. 方法三 由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f (-2)=4a -2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5,当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f (-2)≤10.一、填空题1.已知a ,b ,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列不等式中恒成立的是 （填序号）. ①ab ＞ac ②ca b -＞0 ③cb2＞ca2④acc a -＜0答案 ①②④2.（2009·姜堰中学高三第四次综合练习）已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ,则实数b 的取值范围为 . 答案 （-∞，-1）3.(2009·苏、锡、常、镇三检)已知三个不等式：ab ＞0，bc -ad ＞0,ac -bd ＞0(其中a ,b ,c ,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为 个. 答案 34.已知函数f (x )=log 2(x +1),设a ＞b ＞c ＞0,则aa f )(,bb f )(,cc f )(的大小关系为 .答案aa f )(＜bb f )(＜cc f )(5.若x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,则①a x ＜a y ;②log a x ＞log a y ;③x -a ＞y -a ;④log x a ＜log y a . 其中不成立的有 个. 答案 36.已知a +b ＞0，则2ba +2ab 与a1+b1的大小关系是 .答案 2ba +2ab ≥a1+b17.给出下列四个命题： ①若a ＞b ＞0,则a1＞b1;②若a ＞b ＞0,则a -a1＞b -b1; ③若a ＞b ＞0,则ba b a 22++＞ba ;④设a ,b 是互不相等的正数，则|a -b |+ba -1≥2.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案 ② 二、解答题8.比较a a b b 与a b b a （a ,b 为不相等的正数）的大小. 解ab b aba b a =a a -b bb -a=ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a＞1,a -b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a＜1,a -b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛＞1.综上所述，总有a ab b＞a bb a.9.已知奇函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试说明f (α)+f (β)+f (γ)的值与0的关系. 解 由α+β＞0,得α＞-β.∵f (x )在R 上是单调减函数,∴f (α)＜f (-β).又∵f (x )为奇函数,∴f (α)＜-f (β),∴f (α)+f (β)＜0, 同理f (β)+f (γ)＜0,f (γ)+f (α)＜0, ∴f (α)+f (β)+f (γ)＜0.10.某个电脑用户计划使用不超过1 000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解 设买软件x 片、磁盘y 盒,则x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x x x y x 4300019080.11.已知a ＞0,a 2-2ab +c 2=0,bc ＞a 2.试比较a ,b ,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b ,c 同号. 又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b =ac a222+＞0,∴c ＞0,由(a -c )2=2ab -2ac =2a (b -c )≥0,∴b -c ≥0. 当b -c ＞0,即b ＞c 时, 由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222abc ac ab 得a c a 222+·c ＞a 2 即(a -c )(2a 2+ac +c 2)＜0.∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac +c 2＞0, ∴a -c ＜0,即a ＜c ,则a ＜c ＜b ； 当b -c =0,即b =c 时, ∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a .又∵a 2-2ab +c 2=(a -b )2=0⇒a =b 与a ≠b 矛盾, ∴b -c ≠0.综上可知:a ＜c ＜b .N + N +§7.2 一元二次不等式及其解法1.下列结论正确的是 . ①不等式x 2≥4的解集为{x |x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x |x ＜3}③不等式(x -1)2＜2的解集为{x |1-2＜x ＜1+2}④设x 1,x 2为ax 2+bx +c =0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2} 答案 ③2.（2007·湖南理）不等式12+-x x ≤0的解集是 .答案 （-1，2］3.（2008·天津理）已知函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 则不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是 .答案 {x |x ≤2-1}4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).若不等式(x -a )⊗(x +a )＜1对任意实数x 成立,则a 的取值范围是 . 答案 -21＜a ＜235.(2008·江苏，4)A ={x |(x -1)2＜3x -7}，则A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式23⎪⎭⎫ ⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x .解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x ,即2x 2-3x -7≤0.解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±.所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-4654346543x x . 例2 已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx +a ＜0的解集. 解 方法一 由已知不等式的解集为(α，β)可得a ＜0, ∵α，β为方程ax 2+bx +c =0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=00)(αββαac ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 则cx 2+bx +a ＜0可化为x 2+xc b +ca ＞0,①÷②得cb =αββα)(+-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+βα11＜0, 由②得ca =αβ1=α1·β1＞0,∴α1、β1为方程x 2+cb x +ca =0的两根.∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 方法二 由已知不等式解集为(α,β),得a ＜0, 且α，β是ax 2+bx +c =0的两根，①②∴α+β=-ab ,αβ=ac ,∴cx 2+bx +a ＜0⇔ac x 2+ab x +1＞0⇔(αβ)x 2-(α+β)x +1＞0⇔(αx -1)(βx -1)＞0⇔⎪⎭⎫ ⎝⎛-α1x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-β1x ＞0. ∵0＜α＜β,∴α1＞β1,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11x x x 或. 例3 已知不等式11+-x ax ＞0 (a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式;(2)若x =-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1; ②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x +1)＞0, 解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 1(x +1)＜0; 若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a 1=-1,即a =-1,则不等式解集为空集;若a1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1.综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11;a =-1时,原不等式无解; -1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11x a x;a =0时,解集为{x |x ＜-1}; a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><-<a x x x 11或.(2)∵x =-a 时不等式成立, ∴112+---a a＞0,即-a +1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.例4 （14分）已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围. 解 方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2,此二次函数图象的对称轴为x =a ,2分①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x )在［-1，+∞）上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 4分要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1;6分②当a ∈［-1，+∞）时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 8分由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1,又a ≥-1, ∴-1≤a ≤ 1.12分 综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.14分方法二 由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立， 4分即Δ=4a 2-4（2-a ）≤0或⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a ,10分 解得-3≤a ≤ 1.14分1.解下列不等式： （1）-x 2+2x -32＞0;(2)9x 2-6x +1≥0.解 （1）-x 2+2x -32＞0⇔x 2-2x +32＜0⇔3x 2-6x +2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x +2=0的两根为x 1=1-33,x 2=1+33,∴原不等式解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-331331x x . (2)9x 2-6x +1≥0⇔(3x -1)2≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.已知关于x 的不等式（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的解集.解 ∵（a +b ）x +(2a -3b )＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-+.0,0)32(31)(b a b a b a 于是a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}. 3.解关于x 的不等式2ax a x --＜0 （a ∈R ）.解 2ax a x --＜0⇔(x -a )(x -a 2)＜0,①当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a .综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为Φ. 4.函数f （x ）=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--0324220)3(42a a aa a ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥37462a a a a 或解之得a ∈Φ.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点,但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--0324220)3(42a a a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥7462a a a a 或 ⇔-7≤a ≤-6综合①②③得a ∈［-7，2］.一、填空题1.函数y =)1(log 221-x 的定义域是 .答案 ［-2,-1）∪（1，2］ 2.不等式412--x x ＞0的解集是 .答案 (-2,1)∪(2,+∞)3.若(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 答案 m ＜-11134.若关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解区间长不超过5个单位，则a 的取值范围是 . 答案 -25≤a ＜-24或0＜a ≤15.(2009·启东质检)已知函数f (x ）的定义域为（-∞，+∞）， f ′(x )为f (x )的导函数，函数y =f ′(x )的图象如右图所示， 且f (-2)=1,f (3)=1,则不等式f (x 2-6)＞1的解集为 . 答案 (2,3)∪(-3,-2)6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为 .答案 {x |0＜x ＜1}7.若不等式2x ＞x 2+a 对于任意的x ∈［-2，3］恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案 (-∞,-8)8.已知{x |ax 2-ax +1＜0}=Φ,则实数a 的取值范围为 . 答案 0≤a ≤4 二、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2＜0. 解 原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+7a x ⎪⎭⎫⎝⎛-8a x ＜0.①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a ＜x ＜8a ;②当-7a =8a ,即a =0时,原不等式解集为φ;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时,8a ＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87a x a x ;当a =0时,原不等式的解集为Φ; 当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78a x a x.10.已知x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，求不等式qx 2+px +1＞0的解集. 解 ∵x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,∴-21,31是方程x 2+px +q =0的两实数根，由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p )21(312131,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==6161q p ,∴不等式qx 2+px +1＞0可化为-0161612>++x x ,即x 2-x -6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}.11.若不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 解 方法一 原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f解得271+-＜x ＜231+.方法二 求已知不等式视为关于m 的不等式，（1）若x 2-1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞21,∴x =1,此时原不等式恒成立.（2）当x 2-1＞0时，使1122--xx ＞m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--xx ＞2,∴1＜x ＜231+.(3)当x 2-1＜0时，使1122--xx ＜m 对一切|m |≤2恒成立的充要条件是1122--xx ＜-2.∴271+-＜x ＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217x x. 12.已知函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负. （1）求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式； （2）设F （x ）=-4k f (x )+4(k +1)x +2(6k -1),问k 取何值时，函数F （x ）的值恒为负值？解 (1)由题意可知-2和6是方程f (x )=0的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=-=+-=-126224623a a b a ,∴⎩⎨⎧-=-=84b a ,∴f (x )=-4x 2+16x +48. (2)F (x )=-4k (-4x 2+16x +48)+4(k +1)x +2(6k -1)=kx 2+4x -2.当k =0时，F (x )=4x -2不恒为负值； 当k ≠0时，若F (x )的值恒为负值， 则有⎩⎨⎧<+<08160k k ,解得k ＜-2.§7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是 .答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x y x2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-,12,1,0y x y x y x 则目标函数z =5x +y 的最大值为 .答案 53.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是 . 答案 -5＜m ＜104.（2008·北京理）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y 的最小值是 .答案 15.（2008·福建理）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧>≤+-001x y x ，则xy 的取值范围是 .答案 （1，+∞）例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及 右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及 右上方的点的集合,x ≤3表示直线x =3上及左方 的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x表示的平面区域如图所示. 结合图中可行域得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,25 ,y ∈［-3,8］.(2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-x x x y x 且,325当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点; 当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥,092,0,1y x y x x 则x +y 的最大值是 .答案 6例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元， 1分则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+15153001032005430049y x y x y x y x ， 4分目标函数为z =7x +12y , 8分 作出可行域如图， 10分作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A (20，24)时， 利润最大. 12分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）.答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 14分Z1.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于 . 答案 12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+,30,03,0x y x y x 则z =2x -y 的最大值为 .答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？ 解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p =15x +20y .其中x ,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧*∈≥*∈≥≤+≤+y y x x y x y x ,0,030012000884.即点（x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000(即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）.对于某一个确定的p =p 0满足p 0=15x +20y ,且点（x ,y )属于阴影部分的解x ,y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案.对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900），当x =200,y =900时，p 取最大值， 即p max =15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.N N一、填空题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,22,x y x x y 则z =x -3y 的最小值为 . 答案 -82.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 0＜a ≤1或a ≥343.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m = . 答案 14.（2008·山东理）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ,使函数y =a x（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 . 答案 ［2,9］5.如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x ,目标函数z =kx +y 的最大值为12，答案 26.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0, y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为 . 答案 17.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,2,0,0x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为 . 答案478.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠φ. (1)b 的取值范围是 ；（2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是 . 答案 （1）［2,+∞)（2）29二、解答题9.已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值.解 由于z =11++x y =)1()1(----x y ，所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点M （-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y =2； z min =k MC =21，此时x =1，y =0.10.已知变量x ,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x .若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围. 解 依据约束条件，画出可行域. ∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=-21,目标函数z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符 合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a ,得a ＞21.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y约束条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+ZZ y y x x y x y x y x ,0,0273182152作出可行域如图所示：令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A ⎪⎭⎫⎝⎛539,518可使 z 取最小，由于539,518都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫⎝⎛539,518不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫⎝⎛539,518点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种： 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张； 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张； 两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )= 31x 3+21ax 2+2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域 的面积以及12--a b 的取值范围.解 函数f (x )的导数为f ′(x )=x 2+ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2+ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x )=x 2+ax +2b 的图象与方程x 2+ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>020120b a b a b ,在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为△ABD (不包括边界),如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABD 的面积为 S △ABD =21|BD |×h =21(h 为点A 到a 轴的距离).点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为12--a b,显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b ∈⎪⎭⎫⎝⎛1,41.§7.4 基本不等式:ab≤2b a +1.已知a ＞0,b ＞0，a1+b3=1，则a +2b 的最小值为 .答案 7+262.（2009·常州武进区四校高三期中联考）若x ,y ∈R +，且x +4y =1,则x ·y 的最大值是 . 答案1613.已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 .答案 44.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为 . 答案 75.（2008·江苏，11）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy2的最小值是 .答案 3例1 已知x ＞0,y ＞0,z ＞0. 求证：⎪⎭⎫⎝⎛+x z xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0, ∴xy +xz ≥x yz2＞0,yx +yz ≥yxz 2＞0.z x +zy ≥zxy 2＞0,∴⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x≥xyzxyxz yz ∙∙8=8.（当且仅当x =y =z 时等号成立）例2 （1）已知x ＞0,y ＞0，且x1+y9=1,求x +y 的最小值；（2）已知x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（3）若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值. 解（1）∵x ＞0,y ＞0,x1+y9=1,∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x91=xy +yx 9+10≥6+10=16.当且仅当xy =yx 9时，上式等号成立，又x1+y9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16.（2）∵x ＜45,∴5-4x ＞0,∴y =4x -2+541-x =-⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴y2+x8=1,∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x28=10+xy 8+yx 2=10+2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x xy 4≥10+2×2×yx xy ∙4=18,当且仅当xy 4=yx ,即x =2y 时取等号，又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6, ∴当x =12,y =6时，x +y 取最小值18.例3 （14分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形 且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 （1）设污水处理池的宽为x 米，则长为x162米. 1分则总造价f (x )=400×⎪⎭⎫⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162=1 296x +x1002961⨯+12 960=1 296⎪⎭⎫⎝⎛+x x 100+12 960 4分≥1 296×2xx 100∙+12 960=38 880（元），当且仅当x =x100(x ＞0), 即x =10时取等号.6分∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 8分 （2）由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16.10分 设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x .g （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(此时x162=16),g (x )有最小值，12分即f (x )有最小值. 1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元). ∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元. 14分1.已知,a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1. 求证：a 1+b 1+c 1≥9.证明 a1+b1+c1= acb a +++bcb a +++ccb a ++=3+⎪⎭⎫⎝⎛+b a ab +⎪⎭⎫⎝⎛+c a ac +⎪⎭⎫⎝⎛+c b bc≥3+2+2+2=9. 当且仅当a =b =c =31时取等号.2.若-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x=21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x=-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1 当且仅当-(x -1)=11--x ，即x =2（舍）或x =0时取等号.即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时）的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v (千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 （1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为vs ，全程运输成本为y =(a +bv 2)vs =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈（0,c ］.（2）依题意，有s ,b ,a ,v 都是正数. 因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①若b a ≤c ,则当且仅当v =bva ⇒v =ba 时,y 取到最小值.②若ba ≥c ,则y 在（0，c ］上单调递减，所以当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当ba ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ；当ba ≥c 时，行驶速度应该为v =c .一、填空题1.若不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是 . 答案 a ≥-52.（2008·江苏）x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy2的最小值为 .答案 33.已知0＜x ＜1，则x (3-3x )取得最大值时x 的值为 . 答案214.（2008·栟茶中学模拟）若直线2ax +by -2=0 （a ,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，则a2+b1的最小值是 .答案 3+225.函数y =log 2x +log x (2x )的值域是 . 答案 （-∞，-1］∪［3，+∞）6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨. 答案 207.（2008·徐州调研）若实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),则(a +1)(b +2)的最小值为 . 答案 278.若a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，则xa2+yb2≥()yx b a ++2,当且仅当xa =yb 时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f (x )=x2+x 219-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为 ，取最小值时x 的值为 .答案 25 51二、解答题 9.（1）已知0＜x ＜34，求x (4-3x )的最大值；（2）点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x +4y 的最小值. 解 （1）已知0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4.∴x (4-3x )=31(3x )(4-3x )≤3122343⎪⎭⎫⎝⎛-+x x =34当且仅当3x =4-3x ,即x =32时“=”成立.∴当x =32时，x (4-3x ）的最大值为34.（2）已知点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，所以x +2y =3. ∴2x +4y ≥2y x 42=2y x 22+=232=42.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x y x ，即x =23,y =43时“=”成立.∴当x =23,y =43时，2x +4y的最小值为42.10.已知a 、b ∈（0，+∞），且a +b =1,求证： (1)a 2+b 2≥21; (2)21a+21b≥8;(3)21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225;(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫⎝⎛+b b 1≥425.证明 由⎪⎩⎪⎨⎧=+≥+,b a ,ab ba 12 a 、b ∈（0，+∞），得ab ≤21⇒ab ≤41⇒ab1≥4.（当且仅当a =b =21时取等号）(1)∵a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ≥1-2×41=21，∴a 2+b 2≥21.(2)∵21a+21b≥ab2≥8,∴21a+21b≥8.(3)由(1)、(2)的结论，知21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b =a 2+b 2+4+21a+21b≥21+4+8=225,∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a + 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b ≥225.(4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 1⎪⎭⎫⎝⎛+b b 1=ab +ba +ab +ab1=a b+b a+21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ab ab+2≥2+2212⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2=425. 11.设a ＞0,b ＞0,a +b =1. （1）证明：ab +ab1≥441;(2)探索猜想，并将结果填在以下括号内： a 2b 2+221ba ≥（ ）；a 3b 3+331ba ≥（ ）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明. （1）证明 方法一 ab +ab1≥441⇔4a 2b 2-17ab +4≥0⇔(4ab -1)(ab -4)≥0. ∵ab =(ab )2≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =41,∴4ab ≤1，而又知ab ≤41＜4,因此（4ab -1）(ab -4)≥0成立，故ab +ab1≥441.方法二 ab +ab1=ab +ab⋅241+ab⋅2415，∵ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41，∴ab1≥4，∴ab⋅2415≥415.当且仅当a =b =21时取等号.又ab +ab ∙241≥2abab ∙∙241=21，当且仅当ab =ab⋅241，即ab1=4,a =b =21时取等号.故ab +ab1≥42+415=441（当且仅当a =b =21时，等号成立）.（2）解 猜想：当a =b =21时，不等式a 2b 2+221ba ≥( )与a 3b 3+331ba ≥( )取等号，故在括号内分别填16161与64641.（3）解 由此得到更一般性的结论： a n b n +nnba 1≥4n +n41.证明如下：∵ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a =41,∴ab1≥4.∴a n b n +nnba 1=a nb n +nn nb a ⋅241+nnnnba ⋅-22414≥2nn nnnba b a ⋅⋅241+nn22414-×4n=n42+nn4142-=4n +n41，当且仅当ab =41,即a =b =21时取等号.12.某工厂统计资料显示，产品次品率p 与日产量x (单位：件，x ∈N *，1≤x ≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a (a 为正常数)元，每生产一件次品就损失3a 元.（注：次品率p =产品总数次品个数×100%，正品率=1-p )（1）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x 的函数； （2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 解 （1）依题意可知：p =x-1003(1≤x ≤96,x ∈N *),日产量x 件中次品有xp 件，正品有x -px 件， 日盈利额T =a (x -px )-3a px =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--x xx 1004.(2)∵T =a ⎪⎭⎫⎝⎛--x xx 1004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--x x x 1004001004 =a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x 1004004=a ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----x x 100400100104≤a (104-2400)=64a ，所以当100-x =20，即x =80时，T 最大. 因此日产量为80件时，日盈利额T 取最大值.单元检测七一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合M ={x |x 2＜4},N ={x |x 2-2x -3＜0},则集合M ∩N = . 答案 {x |-1＜x ＜2}2.已知a ＞0,b ＞0,a ,b 的等差中项是21，且m =a +a1,n =b +b1，则m +n 的最小值是 .答案 5 当且仅当a =b =21时取等号.3.已知x ＞45，则函数y =4x +541-x 的最小值为 .4.若x ,y 是正数，则221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+yx +221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y 的最小值是 . 答案 45.（2009·东海高级中学高三调研）函数y =a 1-x(a ＞0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0 (mn ＞0)上，则m1+n1的最小值为 . 答案 46.设函数f (x )=()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<23222x x xx x，若f (x 0)＞1,则x 0的取值范围是 .答案 (0,2)∪(3,+∞)7.若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥≥+-2005x a y y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .答案 5≤a ＜78.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达400 km 外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于220⎪⎭⎫⎝⎛v km,则这批物资全部运送到灾区最少需 h.答案 10 9.函数f (x )=()()⎩⎨⎧≤->111x x x ，则不等式xf (x )-x ≤2的解集为 . 答案 ［-1，2］10.（2008·江西文）已知函数f (x )=2x 2+(4-m )x +4-m ,g (x )=mx ，若对于任一实数x ,f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 . 答案 （-∞，4）11.若方程x 2-2ax +4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡252,12.（2008·苏中三市质检）若不等式x 2-2ax +a ＞0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t +1＜a 322-+t t 的解集为 . 答案 (-2,2)13.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+052053052y x y x y x ，则(x +1)2+(y +1)2的最小值和最大值分别是 .答案 13,4114.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m -3恒成立，则x 的取值范围是 . 答案 x ＜-1或x ＞3 解析 ∵x 2-4x +3+m (x -1)＞0,即(x -1)(x -3+m )＞0对0≤m ≤4恒成立， ∴()⎩⎨⎧-=-<<13,1min m x x 或()⎩⎨⎧=->>.33,1max m x x∴x ＜-1或x ＞3.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（2008·石家庄模拟）（14分）已知a =(1,x ),b =(x 2+x ,-x ),m 为常数且m ≤-2,求使不等式a ·b +2＞m ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅12b a 成立 的x 的范围.解 ∵a =（1，x ），b =（x 2+x ，-x ）， ∴a ·b =x 2+x -x 2=x . 由a ·b +2＞m ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅12b a ⇔x +2＞m ⎪⎭⎫⎝⎛+12x ⇔(x +2)-mxx 2+＞0⇔x (x +2)(x -m )＞0(m ≤-2).①当m =-2时，原不等式⇔x (x +2)2＞0⇔x ＞0; ②当m ＜-2时，原不等式⇔m ＜x ＜-2或x ＞0. 综上，得m =-2时，x 的取值范围是（0，+∞）； m ＜-2时，x 的取值范围是（m ，-2）∪（0，+∞）.16.(2008·苏南四市模拟)（14分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x ),g (x )以及。