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《探索与表达规律》典型例题例1 观察以下数表：1 2 3 4 ……第一行2 3 4 5 ……第二行3 4 5 6 ……第三行4 5 6 7 ……第四行第第第第一二三四列列列列根据数表所反映的规律，猜测第六行第六列的交叉点上的数是多少？第n行第n列交叉点上的数是多少？例2 用含n〔n为自然数〕的等式表示你对以下等式隐含的规律性的估计：13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝100… … … …例3 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．例4 〔江西省中考题〕如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成假设干个图案：〔1〕第4个图案中有白色地面砖__________块；〔2〕第n个图案中有白色地面砖__________块．例5 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如na)(+〔其b中n为正整数〕展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出4)a+展开(b式中所缺的系数．b a b a +=+)(2222)(b ab a b a ++=+3223333)(b ab b a a b a +++=+那么432234446____)(b ab b a b a a b a ++++=+例6 〔广西中考试题〕阅读以下一段话，并解决后面的问题．观察下面一列数：1，2，4，8，……我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．〔1〕等比数列5，－15，45，……的第4项是________；〔2〕如果一列数4321,,,a a a a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有q a a q a a q a a ===342312,,，…… 所以 q a a 12=，21123)(q a q q a q a a ===，312134)(q a q q a q a a ===，…….______=n a 〔用1a 与q 的代数式表示〕〔3〕一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．参考答案例1 分析：从左上角到右下角数的排列是1，3，5，7…，所以，第六行第六列的交叉点上的数是11，第n 行第n 列交叉点上的数是12-n ．解：第六行第六列的交叉点上的数是11，第n 行第n 列交叉点上的数是12-n ． 说明：一个偶数可以写成2n 形式，一个奇数可以写成12-n 形式，其中n 是整数． 例2 分析：等号右边分别是12，32，62，102，…，由1＋2＝3，1＋2＋3＝6猜测左边各底数之和，恰为右边写为幂的形式后的底数，而第四个等式恰与此猜测相符。
《探索与表达规律》同步练习1.下列数字的排列：2，12，36，80，那么下一个数是（）A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∵ 不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∵ 不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∵ 不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∵第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∵ 第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∵每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∵2012÷5=402..2∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∵这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∵相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∵5!、…、10!的末尾数都是0，∵1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∵x=1+2=3，∵y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∵a=9，∵b=a+1，∵b=a+1=9+1=10，∵x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解16.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064 解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n -1）=n 2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n 个三角形数是1+2+3+…+n ，由此代入分别求得答案 21.32-1=8×1，52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵ 左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∵ n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ∵，22-12 ∵，32-22 ∵，42-32 ∵，…（1）按此规律猜想写出第∵和第∵个算式；答案：观察所给的4个算式，可知∵、∵个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知∵、∵个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。
3.5 探索与表达规律1．如图下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n （2≥n ）个棋子，按下图的排列规律推断，第八个图案的棋子数是多少，第n 个图案的棋子数表示出来．2．观察下列各式：4333,3222,2111222⨯=+⨯=+⨯=+…，用n （自然数）把这个规律表示出来．3．下面一组式子211211-=⨯；31213121-=⨯；41314131-=⨯；51415141-=⨯… （1）写出这一组式子所表达的一般规律． （2）利用这一规律，计算.1009919291191901⨯++⨯+⨯ 4．探索规律225152=可写成25)11(1100++⨯⨯625252=可写成25)12(2100++⨯⨯1225352=可写成25)13(3100++⨯⨯2025452=可写成25)14(4100++⨯⨯…（1）把这个规律用含有n 的式子写出来；（2）计算952．5．观察：41)7131(731⨯-=⨯ 41)151111(1511141)11171(1171⨯-=⨯⨯-=⨯… 计算：59551151111171731⨯+⨯+⨯+⨯． 6．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n 表示自然数，请用含有n 的等式表示出来。
参考答案1．).1(4-n 〔提示：4＝4×（2－1） 8＝4×（3－1）…12＝4×（4－1）．16＝4×（5－1）…4（n －1）〕2．).1(2+=+n n n n3．（1）111111+-=+⨯n n n n （2）90011001901=- 4．（1）25)1(100)510(2++⨯⨯=+n n n （提示：设十位数字是n ，则任何一个个位是5的两位数都可以写成510+n （2）90255．由上列等式可以得如下规律：.1771441)411()4(1=⨯+-=+n n n n 6． )1(4)2(22+=-+n n n。
第三章 整式及其加减 3．5 探索与表达规律 同步测试题1．已知一组数1，4，9，16……，则第5个数是________，第n 个数是________． 2．已知一组数2，5，10，17……，则第5个数是________，第n 个数是________． 3．已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是________．4．观察下列按顺序排列的等式：a 1＝1－13，a 2＝12－14，a 3＝13－15，a 4＝14－16，……，试猜想第n 个等式(n 为正整数)a n ＝________.5．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( )A ．M ＝mnB ．M ＝n(m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m(n ＋1) 6．为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第(n)个图，需用火柴棒的根数为________．7．如图是将正整数从小到大按1，2，3，4，…，n ，…的顺序组成的鱼状图案，则数“n ”出现的个数为( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋28．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第n 个图形中需要黑色瓷砖多少块(用含n的代数式表示)( )A．4n B．3n＋1 C．4n＋3 D．3n＋29．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需________根火柴( )A．156 B．157 C．158 D．15910．下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是________．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …11.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：加数的个数n 连续偶数的和S1 2＝1×22 2＋4＝6＝2×33 2＋4＋6＝12＝3×44 2＋4＋6＋8＝20＝4×55 2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6根据表中的规律猜想：用n 的代数式表示S 的公式为： S ＝2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝________.12．如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2016个格子中的整数是________. －4 a bc6b－2…13. 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…，按此规律第5个图中共有点的个数是( )A ．31B ．46C ．51D ．6614．按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2次得到的结果为12，…，请你探索第2013次得到的结果为________．15．一组按规律排列的式子：a 2，a 43，a 65，a 87，….则第n 个式子是________．16．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式． ①· ↔4×0＋1＝4×1－3； ② ↔4×1＋1＝4×2－3； ③↔4×2＋1＝4×3－3；④↔______________；⑤↔______________；(2)通过猜想，写出与第个图形相对应的等式．17．如图，下列图形都由同样大小的十字星图案按一定的规律组成，其中第一个图形有1个十字星图案，第二个图形有2个十字星图案，第三个图形有5个十字星图案，第四个图形有10个十字星图案，…，则第101个图形有________个十字星图案．18. 观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5；①52－4×22＝9；②72－4×32＝13；③……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×( )2＝( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)．19. 观察下面数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……(1)依此规律：第6行最后一个数字是________；第n 行最后一个数字是________． (2)其中某一行最后一个数字可能是2014吗？若不可能，请说明理由；若可能，请求出是第几行？答案： 1. 25 n 2 2. 26 n 2＋1 3. 2n 4. 1n －1n ＋2 5. D 6. 6n ＋2) 7. A 8. B 9. B 10. 21 11. n(n ＋1) 12. n(n ＋1) 13. B 14. 6 15. a 2n2n －116. (1) 4×3＋1＝4×4－34×4＋1＝4×5－3(2) 4(n－1)＋1＝4n－317. 1000118. (1) 4 17(2) (2n＋1)2－4n2＝4n＋119. (1) 63n－2(2) 可能，3n－2＝2014，解得n＝672，是第672行。
七年级数学上册《第三章探索与表达规律》练习题-带答案(北师大版)一、选择题1.如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )A.671B.672C.673D.6742.下图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2 016次输出的结果为( )A.125B.25C.1D.53.观察下列各式： - 2x，4x2， - 8x3，16x4， - 32x5，…则第n个式子是( )A.- 2n - 1x nB.( - 2)n - 1x nC.- 2n x nD.( - 2)n x n4.观察如图所示图形，则第n个图形中三角形的个数是( )A.2n＋2B.4n＋4C.4nD.4n-45.下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形…依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.286.下列是由一些火柴搭成的图案，图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第n○个图案用多少根火柴( )A.4n＋3B.5n－1C.4n＋1D.5n－47.小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.2010B.2012C.2014D.20168.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A.21B.24C.27D.30二、填空题9.观察一组数2，5，10，17，26，37…则第n个数是.10.《庄子•天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图.由图易得：＝ .11.当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 .(用含n的代数式表示，n是正整数)12.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行 1第2行 2 3 4第3行9 8 7 6 5第4行10 11 12 13 14 15 16第5行25 24 23 22 21 20 19 18 17 …则2023在第行.13.观察等式：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52……猜想：(1)1＋3＋5＋7…＋99 ＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n﹣1)＝ _______.14.观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝.三、解答题15.探究题.用棋子摆成的“T”字形图如图所示：(1)填写下表：图形序号①②③④…⑩每个图案中棋子个数 5 8 …)；(3)第20个“T”字形图案共有棋子多少个？(4)计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数.(提示：请你先思考下列问题：第1个图案与第20个图案中共有多少个棋子？第2个图案与第19个图案中共有多少个棋子？第3个图案与第18个图案呢？)16.我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：①1×12＝1﹣12：②2×23＝2﹣23；③3×34＝3﹣34；…(1)请直接写出第4个等式是；(2)试用n(n为自然数，n≥1)来表示第n个等式所反映的规律是；(3)请说明(2)中猜想的结论是正确的．17.察下列各式：第1个：1×3＝3＝22﹣1第2个：2×4＝8＝32﹣1第3个：3×5＝15＝42﹣1第4个：4×6＝24＝52﹣1第5个：5×7＝35＝62﹣1…这些等式反映出自然数间的某种运算规律.(1)请你根据规律写出下一个等式：；(2)设n(n≥1)表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并通过你所学过的整式运算知识来验证这个等式成立.18.阅读解题：1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211...200520041⨯+ ＝+-+-+-413131212111 (2005)120041-+＝120051-＝20052004 理解以上方法的真正含义，计算：(1)111 (10111112100101)+++⨯⨯⨯ (2)19.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案.(1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个； (2)第n(n 为正整数)个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2018个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？(4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由. (2027)20251531311⨯++⨯+⨯20.阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023的值.解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22022＋22023，将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22023＋22024将下式减去上式得2S﹣S＝22024﹣1即S＝22024﹣1即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22023＝22024﹣1请你仿照此法计算：(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n为正整数).参考答案1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】n2＋1.10.【答案】1﹣.11.【答案】n2＋4n.12.【答案】45.13.【答案】502；n2.14.【答案】55215.解：(1)11 14 32 (2)3n＋2 (3)3n＋2＝3×20＋2＝62(个)(4)(5＋62)×202＝670(个).16.【答案】解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差； (1)第4个等式：4×＝4﹣ (2)第n 个等式：n ×＝n ﹣ (3)证明：n ×＝，n ﹣＝∴n ×＝n ﹣∴(2)中猜想的结论是正确的．17.【答案】解：(1)第6个：6×8＝48＝72﹣1；故【答案】6×8＝48＝72﹣1； (2)第n 个等式为n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1.n(n ＋2)＝n 2＋2n (n ＋1)2﹣1＝n 2＋2n ＋1﹣1＝n 2＋2n 所以n(n ＋2)＝(n ＋1)2﹣1. 18.【答案】解：①根据题意得：1111111111011111210010110111112100101+++=-+-++-⨯⨯⨯ ＝1191101011010-= ②根据题意得：＝21(1﹣20271)＝20272013 19.【答案】解：(1)10 4;(2)观察发现，第1个图案中有4个三角形与1个六边形 以后每个图案都比它前一个图案增加2个三角形与1个六边形则第n 个图案中三角形的个数为4＋2(n-1)=(2n ＋2)个，六边形的个数为n. (3)第2018个图案中，三角形的个数为2×2018＋2=4038(个)，六边形的个数为2018个.)(4)不存在.理由如下：假设存在这样的一个图案，其中有30个六边形，则这个图案是第30个图案 而第30个图案中三角形的个数为2×30＋2=62≠100… 202720251531311⨯++⨯+⨯所以这样的图案不存在.20.【答案】解：(1)设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210将等式两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211 将下式减去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1；(2)设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n①两边同时乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1②②﹣①得：3S﹣S＝3n＋1﹣1，即S＝12(3n＋1﹣1)则1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n＝12(3n＋1﹣1).。
2024-2025学年北师大版七年级数学上册《3.3探索与表达规律》同步练习题（附答案）一、单选题1．有一组数为：−1，12，−13，14，−15．．．，找规律得到第7个数是（）A．−17B．17C．−7D．7 2．已知31=3,32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38= 6561,…推测32024的个位数字是（）A．1B．3C．7D．9 3．有如下数列：1,2,3,4,5,6,⋅⋅⋅,K2,K1,,⋅⋅⋅，满足K2⋅=2K1，已知1=1，3=4，则2024=（）A．8B．6C．4D．2 4．按一定规律排列的多项式：−2，2−4，3−6，4−8，5−10，…第个多项式是（）A．−B．−B C．−2B D．−2B5．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，…，按此规律排列下去，则第2024个图案中用的正方形的个数是（）A．4045B．4046C．4048D．40506．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（）A．6B．3C．24D．127．如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（）A．2022B．2024C．2025D．20308．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为1，第二个三角形数记为2，…，第n个三角形数记为，计算2−1，3−2，4−3…由此推算，9−8的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题9．某地电影院观众席座位排列为扇形，座位按下列方式设置：排数第1排第2排第3排第4排…座位数50535659…根据表格中规律可知，第排的座位数可表示为．10．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有块白色地砖，第个图形有块白色地砖．11．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第2023个图形中共有个○．12．已知2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524……，若20+= 202×符合前面式子的规律，则+=．13．仔细观察下列等式：第1个：52−12=8×3；第2个：92−52=8×7；第3个：132−92=8×11；第4个：172−132=8×15；…请你写出第8个等式：．14．观察并找出如图图形变化的规律，则第2027个图形中黑色正方形的数量是个．15．如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为vm，则当=2024时，y的值为．16．如图，将一张边长为1的正方形纸片进行分割，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，部分④的面积是部分③面积的一半…，依此类推，受此启发，则12+122+123+124+125+…+12=（为正整数）．三、解答题17．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：7−6=7−6；6−7=7−6=12−13；−=12−13．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①23−47=；=；(2)当>时，|−U=；当<时，|−U=；(3)−1+++⋯⋯+−+18．阅读下面的文字，完成后面的问题：我们知道：那么：11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14那么：(1)14×5=；12023×2024=(2)用含有的式子表示你发现的规律_____(3)求式子11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024的值．19．如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题：(1)第10行的最后一个数是______；(2)第20行共有______个数；(3)数字2023排在第_____行，从右往左数是第_____个数．20．如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，回答下列问题：(1)根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：___________；(2)根据规律，第50个图比第49个图多___________个小正方形；(3)根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算①1+3+5+⋯+197+199；②201+203+205+⋯+297+299．21．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；请猜想1+3+5+7+9+…+19=；(2)试用含有n的式子表示这一规律：1+3+5+7+9+…+=2；（n为正整数）(3)请用上述规律计算：①1+3+5+…+99；②101+103+105+…+2023+2025．参考答案：题号12345678答案A A D C D B D C1．解：∵第7个数，7是奇数，∴应该是负数，即−17．故选：A．2．解：∵31=3,32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38= 6561,…∴个位数字按照3，9，7，1的顺序循环，∵2024÷4=506，∴32024的个位数字是1，故选：A．3．解：1=1，3=4，且1⋅3=22，∴2=2，同理，可得：4=4,5=2,6=1,7=1,8=2,9=4,10=4,11=2,12=1⋯⋯，所以，1，2，4，4，2，1，六个数字循环出现，又2024÷6=337⋯⋯2∴2024=2=2，故选：D4．解：观察多项式可得：含的项的次数是从1开始的连续的自然数，含的项的系数是从2开始的连续偶数，且两项之间用−号连接起来，∴第个多项式是−2B，故选：C．5．解：由所给图形可知，第①个图案中用的正方形个数为：4=1×2+2；第②个图案中用的正方形个数为：6=2×2+2；第③个图案中用的正方形个数为：8=3×2+2；…，所以第个图案中用的正方形个数为(2+2)个，当=2024时，2+2=2×2024+2=4050（个)，即第2024个图案中用的正方形个数为4050个．故选：D．6．解：把x=24代入程序中，得12×24=12，第1次输出的结果为12，把x=12代入程序中，得12×12=6，第2次输出的结果为6，把x=6代入程序中，得12×6=3，第3次输出的结果为3，把x=3代入程序中，得：3+3=6，第4次输出的结果为6，当输入x=6时，得12×6=3，第4次输出的结果为3，…依此类推，以6，3循环，∵2021=2×1010+1，∴第2021次输出的结果为3，故选B．7．解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为−10、−2、+2、+10，∴十字框中五个数的和是−10+−2++2+++10=5．∵为偶数，2022÷5=404...2，2024÷5=404...4，2025÷5=405，2030÷5=406，故选：D．8．解：由题意可得，2−1=3−1=2，3−2=6−3=3，4−3=10−6=4，…则9−8=9，故选：C．9．解：根据表格中数据可知，后一排总比前一排多3，第1排：47+3，第2排：47+2×3，第3排：47+3×3，第4排：47+4×3，⋯⋯，依次类推，第排的座位数可表示为：47+3，故答案为：47+3．10．解：第1个图形有白色地砖6块，第2个图形有白色地砖6+4=10（块)，第3个图形有白色地砖6+4+4=14（块)，第5个图形白色地砖的块数：6+4×(5−1)=22（块)，第个图形白色地砖的块数：6+4×(−1)=(4+2)块，答：第5个图形有22块白色地砖，第个图形有(4+2)块白色地砖．故答案为：22；(4+2)．11．解：由图可得，第1个图象中○的个数为：1+3×1=4，第2个图象中○的个数为：1+3×2=7，第3个图象中○的个数为：1+3×3=10，第4个图象中○的个数为：1+3×4=13，……∴第2023个图形中共有：1+3×2023=1+6069=6070个○，故答案为：6070．12．解：∵2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，∴+1+r1r12−1=+12.r1r12−1，∴20+20202−1=202×20202−1，∴=202−1，=20，∴+=202−1+20=419，故答案为：419．13．解：第1个：52−12=8×3，即4×1+12−4×1−32=8×4×1−1；第2个：92−52=8×7，即4×2+12−4×2−32=8×4×2−1；第3个：132−92=8×11，即4×3+12−4×3−32=8×4×3−1；第4个：172−132=8×15，即4×4+12−4×4−32=8×4×4−1；．．．．．．，依此类推可知第n个等式：4+12−4−32=84−1，∴第8个等式：4×8+12−4×8−32=84×8−1，即332−292=8×31故答案为：332−292=8×31．14．解：由图可得：第1个图形中黑色正方形的数量为2个；第2个图形中黑色正方形的数量为3个；第3个图形中黑色正方形的数量为5个；第4个图形中黑色正方形的数量为6个；第5个图形中黑色正方形的数量为8个；⋯⋯，依此类推，当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为32个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为3r12个，∴当=2027时，黑色正方形的个数为3×2027+12=3041（个）．故答案为：3041．15．解：由题意可得，=8+8−2×−1=6+2,当=2024时，=6×2024+2=12146，故答案为：12146．16．解：∵观察图形发现部分①的面积为：12，部分②的面积为：122，…，部分n的面积12，∴12+122+123+124+125+…+12=1−12．故答案为：1−12．17．（1）解①|23−47|=47−23；②|23−25|=23−25；（2）解：当>时，|−U=−当<时，|−U=−；（31+−+−+⋯⋯++=1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022+12022−12023=1−12023=20222023．18．（1）解：∵14×5=14−15，12023×2024=12023−12024，故答案为：14−15；12023−12024．=1−1r1，（2=1−1r1．（3∴11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024=1−12+12−13+…+12023−12024=1−12024=20232024．19．（1）解：第1行最后一个数为12，第2行最后一个数为22第3行最后一个数为32第4行最后一个数为42，……，以此类推，可知第n行最后一个数为2，∴第10行最后一个数为102=100，故答案为：100；（2）解：由（1）得第20行最后一个数为202=400，第19行最后一个数为192=361，∴第20行共有400−361=39个数，故答案为：39；（3）解：∵442=1936<2023<452=2025，∴数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数，故答案为：45；3．20．（1）解：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，∴图（5）中共有1+3+5+7+9=52个黑白小正方形，故答案为：1+3+5+7+9=52；（2）解：∵图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3=22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5=32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7=42个黑白小正方形，图（5）中共有1+3+5+7+9=52个黑白小正方形，⋯，则图（）中共有1+3+5+7+9+2−1=2个黑白小正方形，∴第50个图比第49个图多502−492=99（个），故答案为：99；（3）由（2）得图（）中共有1+3+5+7+9+2−1=2个黑白小正方形，∴①2−1=199，解得：=100，∴1+3+5+⋯+197+199=1002=10000；②2−1=99，解得：=50，∴201+203+205+⋯+297+299=200×100+1+3+5+7⋯+97+99=20000+502=20000+2500=22500．21．（1）解：观察，发现规律：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…，∴1+3+5+…+(2−1)=2，∴④1+3+5+7+9+…+19=102=100．故答案为：100．（2）由（1）知，1+3+5+…+(2−1)=2，故答案为：2−1；（3）①令2−1=99，解得：=50，∴1+3+5…+99=502．②∵1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2025=10132，1+3+5+7+…+99=502，上式减去下式可得：101+103+105+…+2025=10132−502=1023669．。
