Dirichlet问题正解的存在性

第60卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021300二阶脉冲微分方程D i r i c h le t边值问题解的存在性何 婷(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理,研究二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=ìîíïïïï0解的存在性,其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p <1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.设存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.关键词:非线性微分方程;脉冲;L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理;D i r i c h l e t 边值问题中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0475-06E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r S e c o n d -O r d e r I m pu l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t B o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s H ET i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h e a u t h o r s t u d i e s e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f o r s e c o n d -o r d e r i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s -u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,w h e r e c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ,t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n δ(x )=0w h e n x ʂ0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1,po i n t s 0<x 1<x 2< <x p<1a n d 0<y 1<y 2< <y q <1a r e g i v e n i m p u l s e p o i n t s .T h e r ee x i s t p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1]s u c ht h a t h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.K e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;i m p u l s e ;L e r a y -S c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;D i r i c h l e t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m 收稿日期:2021-08-08.作者简介:何 婷(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :h e t i n g 3522896862@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果考虑二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,(1)其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p<1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u , x ɪ[0,1], u ɪℝ.(2) 问题(1)在物理㊁数学和工程等领域应用广泛[1-5].本文首先在条件(2)下证明问题(1)解的存在性;其次证明问题(1)等价于-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k , k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0,Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k ,k =1,2, ,r ìîíïïïï.(3)关于脉冲微分方程(3)这类方程目前已有很多研究成果[6-11].其中L i u 等[6]研究了-u ᵡ(t )+g (t )u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,T ],u (0)=u (T )=0,Δu ᶄ(t j )=u ᶄ(t +j )-u ᶄ(t -j )=I j (u (t j )), j =1,2, ,ìîíïïïïm (4)在非线性项满足次线性㊁超线性和渐近线性3种情形下解的存在性,其中0=t 0<t 1<t 2< <t m <t m +1=T ,g ɪL ɕ[0,T ],f ɪC ([0,T ]ˑℝ,ℝ),I j ɪC (ℝ,ℝ),j =1,2, ,m .针对次线性情形,文献[6]用临界点理论证明了问题(4)解的存在性,得到如下结果:定理1[6] 假设:1)存在a ,b >0,γɪ[0,1),使得f (t ,u )ɤa +b u γ, (t ,u )ɪ[0,T ]ˑℝ; 2)存在a j ,b j >0,γj ɪ[0,1)(j =1,2, ,m ),使得I j (u )ɤa j +b j uγj, u ɪℝ, j =1,2, ,m ; 3)F (t ,u )=ʏu 0f (t ,s )d s 关于u 是凸函数,F (t ,u )ȡ0,t ɪ[0,T ];4)ʏsI j (t )d t 是凹函数,ʏsI j (t )d t ȡ0,s ɪℝ,j =1,2, ,m .当存在 t ɪ[0,T ]使得g ( t )>0时,问题(3)至少有一个解.本文在f (t ,u )至多线性增长的条件下讨论二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题(1)解的存在性.本文总假设:(H 1)c ɪC [0,1];(H 2)h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得式(2)成立;(H 3)14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+12(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1)<1.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1)~(H 3)成立,则脉冲问题(1)存在一个解u =u (x ),且满足 u C [0,1]ɤR ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-214ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i +12(m i n c +(x )+π2)-1/2 p L 2(0,1éëêêùûúú).674 吉林大学学报(理学版) 第60卷注1 带D i r a c 形脉冲问题的特征可参见文献[12-13],问题(1)这种形式有利于在泛函框架下定义弱解.注2 本文研究结果不仅得到了问题(1)解的存在性,还确定了解的上界.2 弱解的正则性令H ʒ=W 01,2(0,1),问题(1)的弱解u ɪH 满足下列积分等式:ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ10c (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1c iu (x i)v (x i)=ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðq j =1h jv (y j), v ɪH .(5)定义{z 1,z 2, ,z r }ʒ={x 1,x 2, ,x p }ɣ{y 1,y 2, ,y q }, 1ɤr ɤp +q ;0=z 0<z 1<z 2< <z r <z r +1=1;I k =(z k -1,z k ), k =1,2, ,r +1; (0,1)\{z 1,z 2, ,z r }=ɣr +1k =1I k ;c k =c i 0,z k =x i 0,0,其他{;h k =h j 0,z k =h j 0,0,其他{.令D (I )(I ⊂ℝ)表示在I 上带有紧支撑的无穷次可微函数全体,k ɪ{1,2, ,r +1},选择v ɪD (I k ),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\I k ,则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏI ku ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d []τv ᶄ(x )d x =0.(6)因为对任意的v ɪD (I k ),式(6)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ=a , x ɪI k,(7)从而u ɪC 1(I k ).又由式(7)得u ᵡ(x )-c (x )u (x )+h (x ,u (x ))=0, x ɪI k ,(8)从而u ɪC 2(I k ).因此问题(1)在区间ɣr +1k =1I k 逐点成立.令0<η<m i n {z k -z k -1,z k +1-z k },选择v ɪD (z k -η,z k +η),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\(z k -η,z k +η),则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏz k +ηz k -ηu ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k)d τ[+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh j δ(τ-z k)d ]τv ᶄ(x )d x =0.(9)因为对于任意的v ɪD (z k -η,z k +η),式(9)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k )d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh jδ(τ-z k)d τ=a , x ɪ(z k-η,z k+η).(10)由式(10)得Δu ᶄ(z k )ʒ=c k u (z k )-h k .(11)由于HC [0,1],所以u ɪC [0,1].而u ᶄ分段连续,点z 1,z 2, ,z r 为第一类间断点.问题(1)等价于问题774 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k ,k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0{,(12)带脉冲条件Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k , k =1,2, ,r .(13) 满足式(12),(13)的函数u 即为脉冲问题(1)的古典解,通过上述证明可知每个弱解都是古典解.另一方面,每个古典解显然都是弱解.3 引 理对于任意连续函数r (x )ȡ0(x ɪ[0,1])及实数r i ȡ0(i =1,2, ,p ),在空间H 中定义如下内积:(u ,v )=ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ1r (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1r i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH ,则范数 u =(u ,u )1/2.设f (x )(x ɪ[0,1])和f i (i =1,2, ,p )为连续函数,定义算子F :H ңH 为(F (u ),v )=ʏ1f (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1f i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH .(14)定义算子S :H ңH 为(S (u ),v )=ʏ1h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j ), u ,v ɪH .(15)由于HC [0,1],因此F 为线性紧算子,S 为非线性紧算子.引理1 若u ɪH ,则u C [0,1]ɤ12u , u L 2(0,1)ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2u . 证明:对任意u ɪH ,由文献[14]有 u C [0,1]ɤ12 u ᶄ L 2(0,1), u L 2(0,1)ɤ1πu ᶄ L 2(0,1),则 u2C [0,1]ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ14u 2, u 2L 2(0,1)=m i n r (x )+π2m i n r (x )+π2ʏ10(u (x ))2d x ɤ1m i n r (x )+π2ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ1m i n r (x )+π2 u 2.证毕.引理2 对于由式(14)定义的算子F :H ңH ,有F (u ) ɤ14ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()i u .证明:由于u ɪH ,F :H ңH ,所以F (u )ɪH ,F (u ) =s u p v ɤ1(F (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10f (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1f iu (x i)v (x i)ɤs u p v ɤ1u C [0,1] v C [0,1]ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()iɤ14ʏ10f (x )d x +ðp i =1f ()iu .874 吉林大学学报(理学版) 第60卷证毕.引理3 对于由式(15)定义的算子S :H ңH ,有S (u ) ɤ12(m i n r (x )+π2)-1/2 p L 2(0,1) u +(m i n r (x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j . 证明:由于u ɪH ,S :H ңH ,所以S (u )ɪH ,再结合条件(H 2),利用H öl d e r 不等式和M i n k o w s k i 不等式,有S (u ) =s u p v ɤ1(S (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j)ɤs u p v ɤ1ʏ10(h (x ,u (x )))2d ()x 1/2ʏ10(v (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1h jɤs u p v ɤ1v L 2(0,1)ʏ10(q (x )+p (x )u (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1hj ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2ʏ10(q (x ))2d ()x 1/2+ʏ10(p (x )u (x ))2d ()x 1/2+12ðqj =1h j ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j.证毕.引理4(L e r a y-S c a u d e r 不动点定理)[15] 设E 是B a n a c h 空间,算子T :E ңE 全连续,若集合{ x x ɪE ,x =θT x ,0<θ<1}有界,则T 在闭球A ⊂E 中必存在不动点,其中A ={x x ɪE , x ɤR }, R =s u p{ x x =θT x ,0<θ<1}.4 主要结果的证明下面证明定理2.令c +和c -分别表示c (x )的正部和负部,对应c ʃ=m a x {ʃc (x ),0},即c (x )=c +(x )-c -(x ).则问题(1)可以改写为-u ᵡ(x )+c +(x )u (x )+ðc i >0c i δ(x -x i )u (x )=c -(x )u (x )-ðc i<0c i δ(x -x i )u (x )+h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïïïï.(16)取r (x )=c +(x ),r i =c i ,c i >0,0,c i <0{;f (x )=c -(x ),fi =0,c i >0,-c i ,c i <0{.则根据式(14),(15)算子的定义,问题(16)的弱解等价于算子方程u =F c -(u )+S (u )(17)的不动点,其中F c -,S :H ңH 为全连续算子.引入u =θ(F c -(u )+S (u )), θɪ(0,1).(18)设u 为式(18)的解,则根据引理2和引理3,有 u = θ(F c -(u )+S (u )) ɤ F c -(u ) + S (u ) <14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()iu +(m i n c +(x )+π2)-1/2ˑq L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j,从而974 第3期 何 婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性u C [0,1]<(m i n c +(x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L2(0,1éëêùûú).令R ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1éëêùûú),则 u C [0,1]<R .根据引理4,当θ=1时,存在一个u ɪC [0,1]满足式(17),即脉冲问题(1)存在一个解u ɪC [0,1]满足 u C [0,1]ɤR .定理2证毕.参考文献[1] R A C H ㊃UN K O V ÁI ,T V R D Y 'M.E x i s t e n c eR e s u l t s f o r I m p u l s i v e S e c o n d -O r d e r P e r i o d i cP r o b l e m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2004,59(1/2):133-146.[2] S U N Y ,Z HU D M.E x i s t e n c eT h e o r e m s f o r a S e c o n dO r d e rT h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h I m p u l s e s [J ].A p p lM a t hJC h i n e s eU 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奇异半正二阶脉冲Dirichlet边值问题的正解
盖永杰;蒋达清;祖力;翁世有;魏君
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2009(029)005
【摘要】该文利用锥不动点定理讨论了奇异半正二阶脉冲Dirichlet边值问题正解的存在性.
【总页数】11页(P1415-1425)
【作者】盖永杰;蒋达清;祖力;翁世有;魏君
【作者单位】长春大学理学院,长春,130022;东北师范大学数学与统计学院,长春,130024;长春大学理学院,长春,130022;苏州市职业大学基础部,江苏苏
州,215104;吉林大学农业部,长春,130062
【正文语种】中文
【中图分类】O211.4
【相关文献】
1.一类二阶奇异半正Sturm-Liouville边值问题的正解 [J], 王艳兵
2.一类二阶奇异半正Sturm-Liouville边值问题的正解 [J], 王艳兵
3.非线性奇异离散半正Dirichlet边值问题正解的存在性 [J], 胡卫敏
4.半正奇异边值问题二阶脉冲微分方程正解的存在性 [J], 高云风;闫宝强
5.半正奇异Dirichlet边值问题二阶脉冲微分方程正解的存在性 [J], 高云风;闫宝强
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关于二阶Dirichlet边值问题教学中的一些思考作者：徐家发柏仕坤来源：《科技风》2021年第05期摘要：本文使用不动点指数研究二阶Dirichlet边值问题正解的存在性，并给出该问题在教学中的一些思考。

关键词：二阶Dirichlet边值问题;正解;不动点指数Abstract：In this paper we use the fixed point index to study the existence of positive solutions for the second order Dirichlet boundary value problem，and also give some considerations for teaching this problem.Key words：Second Dirichlet boundary value problem;Positive solutions;Fixed point index1 基本知识从而算子A在（BR2＼B__r2）∩P上至少有一个不动点，即问题（1.1）至少有一个正解。

注2.4 在本文主要结论的证明过程中，我们没有用到Green函数G，也就是说不针对积分方程直接做运算，这与以往文献中提到的办法有所不同。

在关于此问题的教学中，尤其是对于初学者，在讲清楚以往常用的方法后，再来讲解此方法，能起到触类旁通、举一反三的作用。

参考文献：[1]吴小荣，王峰.奇異二阶周期边值问题正解的存在性[J].数学的实践与认识，2008，38（23）：227-232.[2]张兴秋，王绍锋.奇异二阶微分方程边值问题的正解及多解[J].山东大学学报，2006，41（4）：4-7.[3]邹玉梅，丁殿坤.奇异二阶m点边值问题的正解[J].徐州师范大学学报，2006，24（2）：33-36.[4]Liu zhaoli，Li Fuyi.Multiple positive solutions of nonlinear two-point boundary value problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，203（3）：610-625.[5]纪宏伟.Positive solution to three-order and three-point nonlinear boundary value problem[J].大学数学，2018，34（6）：1-8.[6]纪宏伟.一端固定一端悬空的弹性梁方程正解的存在性[J].内蒙古师范大学学报，2018，47（5）：384-387.[7]李洋.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性[J].重庆理工大学学报，2017，31（1）：158-164.[8]姚庆六.Positive solution concerned with first eigenvalue of a singular typical Elastic Beam equation[J].应用数学，2013，26（4）：803-809.[9]Xu Jiafa，Yang Zhilin.Positive solutions for a fourth order p-Laplacian boundary value problem[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods & Applications，2011，74（7）：2612-2623.[10]孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京：科学出版社，2007.基金项目：重庆市自然科学基金面上项目（cstc2020jcyj-msxmX0123），重庆市教委科技项目（KJQN202000528）作者简介：徐家发（1985—），安徽六安人，博士，副教授，研究方向：非线性泛函分析和非线性方程。

一类非线性二阶常微分方程Dirichlet问题正解的存在性叶芙梅【摘要】本文研究了一类非线性二阶常微分方程Dirichlet边值问题｛u''-a(t)u+f(t,u)=0,0＜t＜1,u(0)=u(1)=0正解的存在性,其中f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续,a(t):[0,1]→[0,∞)连续,主要结果的证明基于锥拉伸与压缩不动点定理.%In this paper,we study the existence of positive solutions for a class of nonlinear second-order Dirichlet problem ｛u"-a(t)u + f(t,u) =0,0 ＜t ＜ 1,u(0) =u(1) =0,where f:[0,1]× [0,∞) → [0,∞) is continuous,a(t):[0,1]→ [0,∞) is continuous.The proof of the main results is based on the fixed-point theorem of cone expansion-compression.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(054)003【总页数】4页(P463-466)【关键词】Dirichlet问题;锥;正解;存在性【作者】叶芙梅【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8正解的存在性,其中×[0,∞)→[0,∞)连续,a(t):→[0,∞)连续,主要结果的证明基于锥拉伸与压缩不动点定理.(2010 MSC 34B15, 34B18)常微分方程两点边值问题的可解性是学者们的研究热点,并已有许多重要结果[1-15].1994年研究了二阶常微分方程 Dirichlet 问题正解的存在性,基于其 Green 函数和锥拉伸与压缩不动点定理,得到如下结果：定理A 设f:[0,∞)→[0,∞)连续,g:[0,∞)→[0,∞)连续并且g(t)在(0,∞)的任意子区间上不恒为零.若f满足：(1) 超线性情形：,(2) 次线性情形:,则该问题至少存在一个正解.2003年，研究了二阶非线性 Dirichlet 边值问题正解的存在性,基于其Green函数G(t,s)=,并运用锥拉伸与压缩不动点定理，得到如下结果：定理B 设连续,M>0为常数.若f满足：,或，则该问题至少存在一个正解.文献[1，2]在对应问题是M=0或M为常数时研究了其正解的存在性.随后，这类问题又被许多学者研究和推广[3-7].现在，自然要问:当M为一个正函数a(t)时二阶Dirichlet问题正解的存在性如何?事实上,在常系数情形下可以通过计算得出相应的Green函数,并获得其正性和上下界，而构造变系数Dirichlet问题的Green 函数有一定的困难.基于上述工作,本文将构造一般的Green函数，并利用抽象函数的正性和单调性讨论Green函数的正性与上下界，然后运用锥拉伸与压缩不动点定理研究二阶常微分方程Dirichlet问题本文主要结果如下：定理1.1 设连续.连续，若f满足且(超线性情形),或且(次线性情形),则边值问题(1)至少存在一个正解.注1 在问题 (1)中,当a(t)≡0时本文定理直接退化为定理A; 当a(t)≡M,M>0为常数时,本文定理直接退化为定理B，因此定理1.1是定理A和定理B的直接推广. 而本文所取极限更加广泛, 推广了文献[1]的结论.设,其在范数下构成Banach空间.问题(1)有解u=u(t)当且仅当u是算子方程的解,其中G(t,s)表示边值问题的Green函数，即这里的，φ(t)是初值问题的唯一解，ψ(t)是初值问题的唯一解.注2 当a(t)=k2(k为常数)时,其Green函数及性质可参见文献[2];当a(t)=-k2(k为常数)时,其Green函数及性质可参见文献[8].引理设E是Banach空间，K⊂E是E中的一个锥.Ω1,Ω2是E的开子集，⊂Ω2.若全连续算子Ω1)→K满足且，或且,则A在\Ω1)上有一个不动点.引理2.2 φ(t),ψ(t)具有以下性质：(1) 严格单调递增,并且∀(2) 严格单调递增,并且∀.证明仅证明(1),证明(2)类似.以下分三步证明：第一步,存在σ∈(0,1),使得φ在(0,σ)上严格单调递增.在(0,σ)上，u″>0,显然φ在(0,σ)上严格单调递增.第二步,φ在(0,1)上不存在极大值.事实上,由第一步可知φ在(0,σ)上是正的、严格单调递增的.因此由极大值原理可知,φ在(0,1)上不存在极大值,并且φ在(0,1)上是非减的.第三步，φ在(0,1)上是单调递增的.反设不然.则存在,满足t1<t2,但φ(t1)=φ(t2).于是有.上式蕴含了.而由第一步和第二步可知，.因而φ″(t2)=a(t)φ(t2)>0.这与φ″(t2)=0矛盾.证毕.引理2.3 G(t,s)有以下性质：(1) G(t,s)>0,∀t∈(0,1)，(2) G(t,s)≤G(s,s),∀t,s∈(0,1)，(3) G(t,s)≥MG(s,s),∀,其中.定义锥,其中.由于G(t,s)≤G(s,s),∀.并且对u∈K有,所以s.进而由G(t,s)≥MG(s,s),∀,对u∈K,有.所以A(K)⊂K.容易验证A:K→K是全连续算子.则问题(1)的解等价于算子方程Au=u的不动点.超线性情形. 此时且∞.因为,故存在p1>0,使得对0≤u≤p1有f(t,u)≤ηu,其中η>0满足.因此,若,则.记.则.因为,故存在,使得对有f(t,u)≥μu,其中μ>0满足.记,.若,则有.因此.故.所以由引理2.1的(1)知算子A在中有一个不动点，并有.进而G(t,s)>0,对0<t<1有u(t)>0.次线性情形. 此时且.因为,故存在p1>0,使得对0<u≤p1有f(t,u)≥δu,其中δ>0满足.则对有.记.则.因为,故存在,使得对有f(t,u)≤λu,其中λ>0满足.考虑以下两种情况：(i) f有界,即存在N,对∀u∈(0,∞),f(u)≤N.取,使得对u∈K,及有.则.(ii) f无界.取,使得f(t,u)≤f(t,p2), 0<u≤p2.则对,有.综上所述，令,有.所以由引理2.1的(2)知算子A在\Ω1)中有一个不动点，故问题(1)至少存在一个正解.证毕.where ×[0,∞)→[0,∞)is continuous, a(t):→[0,∞)is continuous. The proof of the main results is based on the fixed-point theorem of cone expansion -compression.【相关文献】[1] Wang H Y. On the existence of positive solutions for semilinear elliptic equations in the annulus [J]. J Differ Equations, 1994, 109: 1.[2] Li Y X. Positive solutions of a second-order boundary value problems with sign-changing nonlinear terms [J]. J Math Anal Appl, 2003, 282: 232.[3] Ma R Y, Thompson B. Multiplicity results for second-order two-point boundary value problems with superlinear or sublinear nonlinearities [J]. J Math Anal Appl, 2005, 203: 726.[4] Jiang D Q, Liu H Z. Existence of positive solutions to second order Neumann boundary value problems [J]. J Math Res Exp, 2000, 20: 360.[5] 陆静. 用格林函数法求解二阶微分方程边值问题 [J]. 太原师范学院: 自然科学版, 2011, 10: 32.[6] 吴红萍. 二阶Dirichlet边值问题的正解 [J]. 甘肃科学学报, 2007, 19: 53.[7] Liu Z L, Li F Y, Multiple of positive solutions of nonlinear boundary problems [J]. J Math Anal Appl, 1996, 203: 610.[8] Jiang D Q, Liu H Z, Xu X J. Non-resonant singular fourth-order boundary value problems [J]. Appl Math Lett, 2005, 18: 232.[9] 达举霞, 韩晓玲. 三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性 [J]. 四川大学学报:自然科学版, 2016, 53: 1177.[10] Gao T, Han X L. Positive solutions of three-order ∞-point boundary value problems [J]. J Sichuan Univ: Nat Sci Ed (四川大学学报:自然科学版), 2016, 53: 47.[11] 张海燕, 李耀红. 一类高分数阶微分方程积分边值问题的正解 [J]. 四川大学学报:自然科学版, 2016, 53: 512.[12] 周韶林, 吴红萍, 韩晓玲. 一类四阶三点边值问题正解的存在性 [J]. 四川大学学报:自然科学版, 2014, 51: 11.[13] Ma R Y. Multiplicity of positive solutions for second-order three-point boundary value problems [J]. Comput Math Appl, 2000, 40: 193.[14] 郭大钧. 非线性泛函分析 [M]. 济南:山东科学技术出版社, 1985.[15] 马如云. 非线性常微分方程非局部问题 [M]. 北京: 科学出版社, 2004.。

科技风2021年2月DOI：10.19392/ki.1671-7341.202105016关于二阶Dirictlet边值问题教学中的一些思考徐家发柏仕坤重庆师范大学数学科学学院重庆401331摘要：本文使用不动点指数研究二阶Dirichlet边值问题正解的存在性，并给出该问题在教学中的一些思考"关键词：二阶Dirichlet边值问题；正解；不动点指数Some consiPerations on the teactingof second order Dirictlet boundary value problemsXu Jiafa Bar ShikunSchool of Mattematical Sciences,Chongqing Normal Universite Chongqing401331 Abstract:tn this paper we use the fixed point indee a study the existence of positive solutions for the second order Dirichlet boundary value problem, and alse give some considerations for teaching this problem.Key worls：Second Dirichlet boundary value problem；Positive solutions；Fixed point index1基本知识本文主要讨论如下二阶Dirichlet边值问题正解的存在性：#二代t,u(#),011,1/(0)二/(I)二0,其中/#C([0,1]x2+,2+)(2:=[0,+!)),且满足以下条件：(H1)lic诚血处>#，对[0,1]一致成立;U(H2)lini sup代S，对t #[0,1] 一致成立；/$0+/(H3)lic>#，对£#[0,1]—致成立；(H4)lini sup代S，对t#[0,1] 一致成立。