【好题】高三数学上期末一模试题(带答案)

【必考题】高三数学上期末一模试题(含答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2 D14．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．05．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭8．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．859．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．210．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-11．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3212．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．28二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．16．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．17．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．18．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．设 的内角 的对边分别为 已知．（1）求角 ；（2）若，，求的面积．22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ； ()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()5A C -=，求线段DC 的长．24．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 25．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T 26．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B【解析】【分析】【详解】先作可行域，而46yx++表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以46yx++的取值范围是[,][3,1]AD ACk k=-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．B解析：B【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．4．C解析：C【解析】【分析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.6．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D的直线经过()3,0B a时，直线的斜率k最小，此时011314ka+==+，得314a+=，得1a=.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．C解析：C【解析】试题分析：直线()4x m y=-恒过定点(0,4)，当0m>时，约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m=时，直线()4x m y=-与y轴重合，平面区域()4{04yx yx m y≤-≤≥-为图中y轴右侧的阴影区域，则()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M≤，当0m<时，由约束条件()4{04yx yx m y≤-≤≥-表示的可行域如图，点P与点B重合时，()OP OA Rλλ-∈u u u r u u u r的最小值为MOB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.8．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．9．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．12．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质二、填空题13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7解析：-7 【解析】 设公比为，则，所以．．14．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为 解析：75︒【解析】)3acosC ccosA b -=)3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()332A C -=， ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒，又因为180B 120A C +=︒-=︒， 所以2150,A 75A =︒=︒， 故答案为75︒．15．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.16．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-． 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值17．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549, 916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于2(4)410a x x-+-+<，其中40a∆=>且有40a->，故有04a<<，不等式的解集为1122xa a<<+-，所以111422a<<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374aa≥≤，解得2549916a≤≤.考点：含参数的一元二次方程的解法.18．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定解析：4【解析】【分析】由题知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC的最大值.【详解】因为120BAD∠=︒，60BCD∠=︒，所以故AC的最大值为四边形外接圆的直径.当AC为四边形外接圆的直径时，得到：90ADC ABC∠=∠=︒，又因为2AB AD==，60BCD∠=︒，所以30ACD ACB∠=∠=︒.在ABCV中，由正弦定理得：sin90sin30AC AB=︒︒，解得：4AC=.故答案为：4本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.19．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题20．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.三、解答题21．（1）（2）【解析】 【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果． 【详解】（1）∵b=a （cosC ﹣sinC ），∴由正弦定理得sinB=sinAcosC ﹣sinAsinC ，可得sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ﹣sinAsinC ， ∴cosAsinC=﹣sinAsinC ， 由sinC≠0，得sinA+cosA=0， ∴tanA=﹣1， 由A 为三角形内角， 可得．（2）因为，所以由正弦定理可得b=c ，因为a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，，可得c=，所以b=2，所以．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 22．()()124C π=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到2222a b c ab +=，再由余弦定理得到()2222cos 024a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，；（2）由第一问得到原式等价于33sin cos 44A A ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，化简后为2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到三角函数的范围即可． 解析：()2221sin sin sin 2sin 2a A b B c C a B a b c ab +=∴+=Q即2222a b c ab +-=由余弦定理()2222cos 0224a b c C C C ab ππ+-==∈∴=，（23sin cos 4A B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 3313sin cos 3sin cos 2cos 442A A A A A A ππ⎫⎛⎫--+=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()110,,6612A A ππππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭Q ，， 12sin 26A π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为223．（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）455AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()cos sin A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠．故512xx =⇒=．所以5AD DC ==． 24．（1）a n ＝3n ﹣1，b n ＝2n ﹣1（2）T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1【解析】 【分析】(1)利用基本量法求解n a ,再代入()1,n n P b b +到直线20x y -+=可得{}n b 为等差数列,再进行通项公式求解即可. (2)利用错位相减求和即可. 【详解】（1）递增等比数列{a n }的公比设为q ,前n 项和为S n ,且a 2＝3,S 3＝13, 可得a 1q ＝3,a 1+a 1q +a 1q 2＝13,解得q ＝3或q 13=, 由等比数列递增,可得q ＝3,a 1＝1,则13-=n n a ； P （b n ,b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上,可得b n +1﹣b n ＝2, 且b 1＝a 1＝1,则b n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n nn b a ==（2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 前n 项和T n ＝1•1+3•13+5•19++L （2n ﹣1）•（13）n ﹣1, 13T n ＝1•13+3•19+5•127++L （2n ﹣1）•（13）n , 相减可得23T n ＝1+2（1139+++L （13）n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•（13）n＝1+2•111133113n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（2n ﹣1）•（13）n , 化简可得T n ＝3﹣（n +1）•（13）n ﹣1.【点睛】本题主要考查了等比等差数列的通项公式求解以及错位相减的求和方法,属于中档题. 25．（1）a n ＝2n －1；（2）T n ＝(n －1)2n ＋1. 【解析】 【分析】（1）由点（1,2）在()xf x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ．（2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定． 【详解】(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x得a ＝2， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ， 所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ， 所以T n ＝(n －1)2n＋1. 【点睛】（1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 26．（1）6π=ϕ,076x π=（2）1a = 【解析】试题分析：（1）根据图象可得()01f =，从而求得ϕ得值，再根据()02f x =，可得022,62x k k Z πππ+=+∈，结合图象可得0x 的值；（2）根据（1）的结论及()2f C =-，可得C 的值，将sin B = 2sin A 根据正弦定理角化边得2b a =，再根据余弦定理即可解得a 的值.试题解析：（1）由图象可以知道：()01f =. ∴1sin 2ϕ= 又∵2πϕ<∴6πϕ=∵()02f x =∴0sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，022,62x k k Z πππ+=+∈, 从而0,6x k k Z ππ=+∈. 由图象可以知道1k =, 所以076x π=（2）由()2f C =-,得sin 216C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,且()0,C π∈. ∴23C π=∵sin 2sin B A = ∴由正弦定理得2b a =又∵由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos ,3a a a a π=+-⨯ ∴解得1a =。

【必考题】高三数学上期末一模试题(附答案)一、选择题1．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．42．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．43．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．318．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-9．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1510．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．11．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．112．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD 二、填空题13．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______ 15．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a，b ，c ，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．17．在钝角ABC V 中，已知1AB AC ==，若ABC V 的面积为2BC 的长为______．18．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．19．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.20．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()A C -=，求线段DC 的长．24．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =+=，求ABC ∆中边上的高h .25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23nn n a b n n=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．26．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2()，－1)，.(1)求角B 的大小； (2)若a ＝，b ＝1，求c 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---， ∴32q =，∴93962611271123S q S q --===--． 故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据均值不等式，可有2222++≥x y x y ，则222+≥x y ，()2212+-≥x y ，()2212-+≥x y ，()()22112-+-≥x y ，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。

2021届高三数学上学期期末考试〔一模〕试题文〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔此题一共12个小题〕1．假设集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔2，3〕C．〔﹣1，3〕D．〔﹣1，1〕U〔2，3〕2．假设复数z满足z〔1+2i〕＝4+3i，那么＝〔〕A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是〔〕A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤04．抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，假设|PT|＝2|PF|，那么∠PTF＝〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°5．如下图函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象〔〕A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．变量x，y满足不等式组，那么2x﹣y的最小值为〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．47．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．48+12B．60+12C．72+12D．848．cos〔﹣α〕＝，α∈〔，π〕，那么sinα﹣cosα＝〔〕A．B．﹣C．D．﹣9．某设备使用年限x〔年〕与所支出的维修费用y〔万元〕的统计数据〔x，y〕分别为〔2，1.5〕，〔3，4.5〕，〔4，5.5〕，〔5，6.5〕，由最小二乘法得到回归直线方程为x+，假设方案维修费用超过15万元将该设备报废，那么该设备的使用年限为〔〕A．8年B．9年C．10年D．11年10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，那么a的值是〔〕A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣212．设F1，F2分别为双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，假设|PF2|＝2|PF1|，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，那么a1＝．14．半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，那么所得弦长介于R与R 之间的概率为．15．如下图梯子构造的点数依次构成数列{a n}，那么a100＝．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，假设AB＝2，那么BC＝．三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin〔A+B〕＝4．〔Ⅰ〕求cos C；〔Ⅱ〕假设b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．18．HY开放40年，我国经济获得飞速开展，城汽车保有量在不断增加，人们的交通平安意识也需要不断加强．为理解某城不同性别驾驶员的交通平安意识，某小组利用假期进展一次全驾驶员交通平安意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进展问卷测评，所得分数的频率分布直方图如下图．规定得分在80分以上为交通平安意识强．〔Ⅰ〕求a的值，并估计该城驾驶员交通平安意识强的概率；〔Ⅱ〕交通平安意识强的样本中男女比例为4：1，完成以下2×2列联表，并判断有多大把握认为交通平安意识与性别有关；〔Ⅲ〕用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对将来一年内的交通违章情况进展跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．平安意识强平安意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P〔K2≥k〕k19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕证明：BD⊥EG；〔Ⅱ〕假设三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．20．抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：〔a＞b＞0〕的左焦点F，且点F到直线l：x＝〔c 为椭圆焦距的一半〕的间隔为4．〔Ⅰ〕求椭圆C的HY方程；〔Ⅱ〕过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．假设|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．21．设函数f〔x〕＝e x﹣ax﹣1〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．四、解答题〔一共2小题，满分是10分〕22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．〔Ⅰ〕设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；〔Ⅱ〕假设点P〔x，y〕为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．23．函数f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|〔a∈R〕．〔Ⅰ〕当a＝1时，求不等式f〔x〕≥1的解集；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，务实数a的取值范围．参考答案一、选择题〔此题一共12个小题〕1．假设集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{x||x﹣1|＜2}，那么A∩B＝〔〕A．〔﹣1，1〕B．〔2，3〕C．〔﹣1，3〕D．〔﹣1，1〕U〔2，3〕【分析】可以求出集合A，B，然后进展交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜1或者x＞2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝〔﹣1，1〕∪〔2，3〕．应选：D．2．假设复数z满足z〔1+2i〕＝4+3i，那么＝〔〕A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】等号两边同时除以1+2i，再进展化简，整理．解：＝2﹣i．应选：B．3．命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是〔〕A．∀x＞0，x2﹣x≤0 B．∀x≤0，x2﹣x≤0C．∃x＞0，x2﹣x≤0 D．∃x≤0，x2﹣x≤0【分析】直接利用特称命题的否认是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否认是全称命题，所以，命题“∃x≤0，x2﹣x＞0〞的否认是：∀x≤0，x2﹣x ≤0．应选：B．4．抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，假设|PT|＝2|PF|，那么∠PTF＝〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有那么∠PTF＝即可．解：设P在准线l上的射影为M，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，∵假设|PT|＝2|PF|，那么sin∠PTM＝．，可得∠PTM＝，即有那么∠PTF＝．应选：C．5．如下图函数图象经过何种变换可以得到y＝sin2x的图象〔〕A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】此题关键是画出函数y＝sin2x的图象，然后与题干中图象进展比拟，即可得到结果．解：由题意，函数y＝sin2x的图象如下：根据图，由y＝sin2x的图象向左平移﹣＝个单位即可得到题中图象，那么反过来，题中图象向右平移﹣＝个单位即可得到y＝sin2x的图象．应选：D．6．变量x，y满足不等式组，那么2x﹣y的最小值为〔〕A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解：变量x，y满足不等式组，目的函数z＝2x﹣y，画出图形：点A〔1，1〕，B〔0，2〕，z在点B处有最小值：z＝2×0﹣2＝﹣2，应选：B．7．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．48+12B．60+12C．72+12D．84【分析】首先把三视图准换为几何体，进一步利用几何体的外表积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以，该几何体的外表积为：S＝2××〔4+2〕×2+2×6+2×6+4×6+2×6＝60+12．应选：B．8．cos〔﹣α〕＝，α∈〔，π〕，那么sinα﹣cosα＝〔〕A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α∈〔，π〕，所以〔〕，又因为cos〔﹣α〕＝＞0，所以角〔〕是第四象限角，所以sin〔〕＝﹣，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．解：∵α∈〔，π〕，∴〔〕，又∵cos〔﹣α〕＝＞0，∴角〔〕是第四象限角，∴sin〔〕＝﹣，∴sinα＝sin[﹣〔﹣α〕]＝sin cos〔〕﹣cos sin〔〕＝，cosα＝cos[﹣〔﹣α〕]＝cos cos〔〕+sin sin〔〕＝﹣，∴sinα﹣cosα＝，应选：C．9．某设备使用年限x〔年〕与所支出的维修费用y〔万元〕的统计数据〔x，y〕分别为〔2，1.5〕，〔3，4.5〕，〔4，5.5〕，〔5，6.5〕，由最小二乘法得到回归直线方程为x+，假设方案维修费用超过15万元将该设备报废，那么该设备的使用年限为〔〕A．8年B．9年C．10年D．11年【分析】由表格中的数据，我们易计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，求出后，代入y＝15可得答案．解：由表中数据可得：＝＝3.5，＝＝4.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故＝﹣﹣×3.5＝﹣1.1；故x﹣1.1；当y＝15时，x该设备的使用年限为10年．应选：C．10．公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解m、n的方程，利用根本不等式求解表达式的最小值即可．解：公比为2的等比数列{a n}中存在两项a m，a n，满足a m a n＝32a12，可得：a1•2m﹣1•a1•2n﹣1＝32a12，可得m+n﹣2＝5，所以m+n＝7，那么＝〔〕×〔m+n〕＝≥＝，当且仅当n＝2m，并且m+n＝7时，取等号，但是m，n∈N，所以m＝2，n＝4时，表达式的值是：＝，m＝3，n＝4时，表达式的值是：，m＝2，n＝5时，表达式的值是：．表达式的最小值：．应选：D．11．函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，那么a的值是〔〕A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】先对函数求导，然后结合导数的符号判断函数的单调性，结合零点断定定理即可求解．解：∵函数f〔x〕＝2x3﹣ax2+1〔a∈R〕在〔0，+∞〕内有且只有一个零点，∴f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕，x∈〔0，+∞〕，①当a≤0时，f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕＞0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，f〔0〕＝1，f〔x〕在〔0，+∞〕上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′〔x〕＝2x〔3x﹣a〕＞0的解为x＞，∴f〔x〕在〔0，〕上递减，在〔，+∞〕递增，又f〔x〕只有一个零点，∴f〔〕＝﹣+1＝0，解得a＝3．应选：A．12．设F1，F2分别为双曲线〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，过点F1作圆x2+y2＝b2的切线与双曲线的左支交于点P，假设|PF2|＝2|PF1|，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，那么|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，那么|OM|＝b，|OF1|＝c，又|MF1|＝a，|PF2|＝2b，即有4a＝2b，即可．解：P为双曲线左支上的一点，那么由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，那么|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，设切点为M，那么|OM|＝b，|OF1|＝c，∴|MF1|＝a，∴OM为△PF1F2的中位线，那么|PF2|＝2b即有4a＝2b即有e＝．应选：C．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a5＝﹣2，S3＝a2+3a1，那么a1＝﹣．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由S3＝a2+3a1变形可得1+q+q2＝q+3，即q2＝2，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，假设S3＝a2+3a1，那么a1+a2+a3＝a2+3a1，即a1+a2+a3＝a2+3a1，变形可得：1+q+q2＝q+3，即q2＝2，又由a5＝﹣2，那么a1＝＝＝﹣；故答案为：﹣．14．半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，那么所得弦长介于R与R 之间的概率为．【分析】先找出满足条件弦的长度介于R与R之间的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．解：此题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：〞弦长介于R与R之间〞，其构成的区域是2〔﹣〕圆的周长，那么弦长介于R与R之间的概率P＝．故答案为：．15．如下图梯子构造的点数依次构成数列{a n}，那么a100＝5252 ．【分析】由题意知第n个图形，通过等差数列前n项和公式求其通项，代入100可求结果．解：由题意知a n＝2+3+4+…+n+〔n+1〕+〔n+2〕＝，那么＝5252．故答案为：5252．16．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为∠BAC的角平分线，且＝+，假设AB＝2，那么BC＝2．【分析】因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，那么，2＝＝+，＝，结合条件得x＝6，利用余弦定理就可解出BC．解：因为AD为∠BAC的角平分线，所以，设AC＝x，那么，＝，＝，所以2＝，2＝+﹣，2＝++〔〕，2＝++〔〕〔﹣〕，2＝+，＝，所以，解得x＝6，即AC＝6，在△ABC中，cos∠BAC＝，cos60°＝，解得BC＝2．故答案为：2三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin〔A+B〕＝4．〔Ⅰ〕求cos C；〔Ⅱ〕假设b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为6，求sin∠ADB．【分析】〔I〕由结合二倍角及诱导公式进展化简可求cos C，〔II〕结合三角形的面积可求CD，然后由余弦定理可求AD，再由正弦定理及诱导公式求解解：〔I〕∵sin〔A+B〕＝4，∴＝4×，即+2cos C＝2，∴7cos2C﹣8cos C+1＝0，∵C∈〔0，π〕，∴cos C＝1〔舍〕或者cos C＝，〔II〕b＝7，△ACD的面积为6，舍CD＝m，结合〔1〕可得sin C＝，∴＝6，∴m＝CD＝3，由余弦定理可得，AD2＝9＝52，∴AD＝2，由正弦定理可得，，∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝18．HY开放40年，我国经济获得飞速开展，城汽车保有量在不断增加，人们的交通平安意识也需要不断加强．为理解某城不同性别驾驶员的交通平安意识，某小组利用假期进展一次全驾驶员交通平安意识调查．随机抽取男女驾驶员各50人，进展问卷测评，所得分数的频率分布直方图如下图．规定得分在80分以上为交通平安意识强．〔Ⅰ〕求a的值，并估计该城驾驶员交通平安意识强的概率；〔Ⅱ〕交通平安意识强的样本中男女比例为4：1，完成以下2×2列联表，并判断有多大把握认为交通平安意识与性别有关；〔Ⅲ〕用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，对将来一年内的交通违章情况进展跟踪调查，求至少有1人得分低于40分的概率．平安意识强平安意识不强合计男性女性合计附：，其中n＝a+b+c+d．P〔K2≥k〕k【分析】〔Ⅰ〕根据频率和为1列方程求得a的值，计算得分在80分以上的频率即可；〔Ⅱ〕根据题意填写上列联表，计算K2，对照临界值得出结论；〔Ⅲ〕用分层抽样法求得抽取各分数段人数，用列举法求出根本领件数，计算所求的概率值．解：〔Ⅰ〕根据频率和为1，得〔0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004〕×10＝1，解得a＝0.016；计算得分在80分以上的频率为〔0.016+0.004〕×10＝0.20，所以估计该城驾驶员交通平安意识强的概率为0.20；〔Ⅱ〕根据题意知，平安意识强的人数有100×0.2＝20，其中男性为20×＝16〔人〕，女性为4人，填写上列联表如下；平安意识强平安意识不强合计男性16 34 50女性 4 46 50合计20 80 100 计算K2＝＝9＞7.879，所以有超过99.5%的把握认为“交通平安意识与性别有关〞；〔Ⅲ〕用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人，其中[30，40〕内有2人，记为A、B，[40，50〕内有4人，分别记为c、d、e、f；从这6人中随机选取2人，根本领件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef一共15种不同取法；那么至少有1人得分低于40分的根本领件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf一共9种不同取法；故所求的概率为P＝＝．19．在以ABCDEF为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕证明：BD⊥EG；〔Ⅱ〕假设三棱锥V E﹣FBC＝，求菱形ABCD的边长．【分析】〔Ⅰ〕取AD中点O，连结EO、GO、AC，推导出OG⊥BD，EO⊥AD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥BD，BD⊥平面EOG，由此能证明BD⊥EG．〔Ⅱ〕设菱形ABCD的边长为a，那么AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出菱形ABCD的边长．解：〔Ⅰ〕证明：取AD中点O，连结EO、GO、AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EF∥AB，点G为CD中点，平面EAD⊥平面ABCD．∴OG⊥BD，EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，∵OE∩OG＝O，∴BD⊥平面EOG，∵EG⊂平面EOG，∴BD⊥EG．〔Ⅱ〕解：设菱形ABCD的边长为a，那么AB＝AE＝ED＝2EF＝a，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，那么E〔0，0，〕，F〔，，〕，B〔0，，0〕，C〔﹣2a，，0〕，＝〔，，0〕，＝〔0，，﹣〕，＝〔﹣2a，，﹣〕，设平面EFB的法向量＝〔x，y，z〕，那么，取x＝，得＝〔〕，∴C到平面EFB的间隔d＝＝，cos＜＞＝＝＝，∴sin＜＞＝＝，S△BEF＝＝＝．∵三棱锥V E﹣FBC＝，∴V E﹣FBC＝＝×a＝，解得a＝．∴菱形ABCD的边长为．20．抛物线y2＝4x的准线过椭圆C：〔a＞b＞0〕的左焦点F，且点F到直线l：x＝〔c 为椭圆焦距的一半〕的间隔为4．〔Ⅰ〕求椭圆C的HY方程；〔Ⅱ〕过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q．假设|PQ|＝2|AB|，求直线AB的方程．【分析】〔Ⅰ〕由题意知椭圆的c，点F到直线l：x＝〔c为椭圆焦距的一半〕的间隔为4知，a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；〔Ⅱ〕神州行AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB及中点坐标，再由椭圆求出Q的坐标，进而求出PQ的长，再由题意求出参数m的值，即求出直线AB的方程．解：〔Ⅰ〕由题意得c＝1，+c＝4，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝3，b2＝2，所以椭圆C的HY方程：+＝1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得F〔﹣1，0〕，x＝＝3，显然直线AB的斜率不为零，设直线AB的方程：x＝my ﹣1，A〔x，y〕，B〔x'，y'〕，联立与椭圆的方程：〔3+2m2〕y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝，yy'＝，x+x'＝m〔y+y'〕﹣2＝，所以中点P的坐标〔，〕，所以AB的中垂线方程：y﹣＝﹣m〔x+〕即：y＝﹣mx﹣，与直线x＝3联立得：所以Q的坐标〔3，﹣〕，∴|PQ|2＝〔3+〕2+〔〕2＝36•，|AB|2＝〔〕2•|y﹣y'|2＝〔1+m2〕•[〔〕2+]＝48•〔〕2由题意|PQ|＝2|AB|，∴36＝4•48•〔〕2，整理得：3m4﹣4m2﹣4＝0，解得：m2＝2，所以m＝，所以直线AB方程：x＝y﹣1．21．设函数f〔x〕＝e x﹣ax﹣1〔a∈R〕．〔Ⅰ〕讨论函数f〔x〕的单调性；〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，求a的取值范围．【分析】〔1〕对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断，〔2〕结合〔1〕的讨论及零点断定定理即可求解．解：〔I〕∵f〔x〕＝e x﹣ax﹣1，∴f′〔x〕＝e x﹣a，①当a≤0时，f′〔x〕＞0恒成立，f〔x〕在R上单调递增，②a＞0时，假设x∈〔lna，+∞〕，f′〔x〕＞0，f〔x〕单调递增，假设x∈〔﹣∞，lna〕，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减，综上可得，当a≤0时，f〔x〕在R上单调递增；a＞0时，f〔x〕在〔lna，+∞〕上单调递增，〔﹣∞，lna〕上单调递减，〔Ⅱ〕假设关于x的方程ln〔ax+a+1〕﹣x＝1有唯一的实数解，即e x+1＝ax﹣a+1＝a〔x+1〕+1有唯一的实数根，令t＝x+1，那么e t＝at+1即e t﹣at﹣1＝0有唯一的实数根，结合〔1〕的讨论可知，①当a≤0时，f′〔t〕＞0恒成立，f〔t〕在R上单调递增，f〔0〕＝0，结合零点断定定理可知，只有一个零点0，②a＞0时，假设，t∈〔lna，+∞〕，f′〔x〕＞0，f〔t〕单调递增，假设t∈〔﹣∞，lna〕，f′〔t〕＜0，f〔t〕单调递减，假设只有1个零点，那么f〔lna〕＝a﹣alna﹣1＝0，令g〔x〕＝x﹣xlnx﹣1，那么g′〔x〕＝﹣lnx，那么g〔x〕在〔0，1〕上单调递增，在〔1，+∞〕上单调递减，x＝1时，g〔x〕获得最大值g〔1〕＝0，∴a＝1综上可得，a的范围为{a|a≤0或者a＝1}四、解答题〔一共2小题，满分是10分〕22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数〕，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ．〔Ⅰ〕设直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|；〔Ⅱ〕假设点P〔x，y〕为曲线C上任意一点，求|x+y﹣10|的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，利用勾股定理的应用求出弦长．〔Ⅱ〕利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：〔Ⅰ〕直线l的参数方程为为参数〕，转换为直角坐标方程为：4x+3y＝0，曲线C的极坐标方程为ρ＝10cosθ，转换为直角坐标方程为〔x﹣5〕2+y2＝25．所以圆心〔5，0〕到直线4x﹣3y＝0的d＝，所以：|MN|＝2．〔Ⅱ〕圆的直角坐标方程转换为参数方程为〔θ为参数〕，所以y＝|x+＝|＝，当时，y max＝15，当时，y min＝0，所以|x+y﹣10|的取值范围为[0，15]．23．函数f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|〔a∈R〕．〔Ⅰ〕当a＝1时，求不等式f〔x〕≥1的解集；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，务实数a的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕当a＝1时，f〔x〕＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得解集；〔Ⅱ〕由题意可得f〔x〕min＜4，由绝对值的性质和绝对值的意义，求得最小值，解不等式可得a的范围．解：〔Ⅰ〕当a＝1时，f〔x〕＝|2x﹣1|+|x﹣1|，当x≥1时，f〔x〕≥1即2x﹣1+x﹣1≥1，解得x≥1；当x≤时，f〔x〕≥1即1﹣2x+1﹣x≥1，解得x≤；当＜x＜1时，f〔x〕≥1即2x﹣1+1﹣x≥1，解得x∈∅，那么原不等式的解集为〔﹣∞，]∪[1，+∞〕；〔Ⅱ〕假设存在x∈R满足不等式f〔x〕＜4，即为f〔x〕min＜4，由f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣|+〔|x﹣|+|x﹣1|〕≥0+|〔x﹣〕﹣〔x﹣1〕|＝|1﹣|，即x＝时f〔x〕获得最小值|1﹣|，所以|1﹣|＜4，解得﹣6＜a＜10．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2020-2021高三数学上期末一模试卷及答案(2)一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D<a b <2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-4．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．116．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199C ．200D ．2017．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．149．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞10．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1B．1C ．23＋2D ．23－211．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．32二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；16．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．17．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 18．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．设(32()lg 1f x x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．32D ．14．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-6．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．07．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4018．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31 B ． 31 C ．3＋2D ．3210．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( )A ．140B ．280C ．168D ．5611．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S 12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD．10二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．17．在平面直角坐标系中，设点()0,0O，(A ，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．19．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.20．设(3()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

2020-2021高三数学上期末一模试卷附答案(3)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD．24．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20585．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74D ．788．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+9．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A．2+B1 C．2 D110．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD11．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 16．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .17．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.18．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．19．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．20．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________. 三、解答题21．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.22．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c向量()2m a =u r ，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小； （2）求()3y sinA B π=-的最大值.23．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 24．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos )()cos a B C c b A -=-．（1）求A ； （2）若b =D 在BC 边上，2CD =，3ADC π∠=，求ABC △的面积．25．已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明: 数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 26．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝，当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q212a a q ===，故选D. 4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．5．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅.6．D解析：D 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．9．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．10．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得sin 8A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.11．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅解析：4 【解析】44224141114244a b a b ab ab ab ab ab ab +++≥=+≥⋅= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,24a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，2a b ab +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式15．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题解析：2 【解析】 【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴4 4121512S-==-，111S a==，3428a==，14411528S Sa++==．故答案为：2．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．16．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示当目标函数过点A(11)时z取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】.试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示.当目标函数过点A(1，1)时，z取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.17．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】由题若对于任意的*n N∈都有1n na a+>，可得5610012a a a a-＜，＞，＜＜．解出即可得出．【详解】∵511,62,6nna n naa n-⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N∈都有1n na a+>，∴5610012a a a a-＜，＞，＜＜．．∴110()510122a a a a--⨯+＜，＞，＜＜，解得17212a＜＜．故答案为17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.19．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于解析：-8 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 22．（1）6π（2）2 【解析】 【分析】（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos C =，即可得解； （2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）Q //m n u r r，∴()2cos cos a C B ，由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B ，∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A ，又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =， 由()0,C π∈可得6C π=.（2）由（1）可得56A B π+=，∴56B A π=-，∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=2sin 3sinA A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，Q 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴()3y sinA B π=-的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.23．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L 12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题. 24．（1）23A π=； （2）ABC S V . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围()0,A π∈，可得7,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可求A 的值． （2）在△ADC 中，由正弦定理可得sin 1CAD ∠=，可得2CAD ＝π∠，利用三角形内角和定理可求C B ∠∠，，即可求得AB AC ==解． 【详解】 （1）∵)()cos cos aB C c b A -=-，sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A --＝，sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C ++＝，可得：)sin cos sinB A A B+=，∵sin0B>，cos2sin16A A Aπ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，可得：1sin62Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∵()0,Aπ∈，∴7,666Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴566Aππ+=，可得：23Aπ=．（2）∵b=D在BC边上，23CD ADCπ∠＝，＝，∴在ADCV中，由正弦定理sin sinAC CDADC CAD=∠∠2sin2CAD=∠，可得：sin1CAD＝∠，∴2CAD＝π∠，可得：6C CAD ADCππ∠=-∠-∠=，∴6B A C＝＝ππ∠-∠-∠，∴AB AC==∴11sin22ABCS AB AC A⋅⋅==V＝．【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．25．（1）证明见解析；（2）24222n nn n nS+++=-.【解析】试题分析：（1）对121nnnaaa+=+两边取倒数得111111222nn n naa a a++==+⋅，化简得1111112n na a+⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.，求得1112nna=+，利用错位相减法和分组求和法求得前n项和24222n nn n nS+++=-.试题解析：（1）111211111111,?,1112222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++⎛⎫+=∴==+∴-=- ⎪+⎝⎭Q ，又 11211,132a a =∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知，1111111?222n n n a -+-==，即1112n n a =+，设23123...2222n n nT =++++， ① 则2311121...22222n n n n nT +-=++++， ② 由①-②得 21111111111122 (112222222212)nn n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222nn n n T -∴=--.又()1123 (2)n n n +++++=.∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()2124222222n n n n n n n n n S +++++=-+=-.考点：配凑法求通项，错位相减法.26．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础.。

【必考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为3，则a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．15．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．646．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．237．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．338- B ．334- C ．338+ D 33+8．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π9．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞10．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．3211．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4512．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.14．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．15．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______17．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 18．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列．设13521T n n a a a a L -=++++，则lim n n T →∞=__________．(*n ∈N ) 19．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ．20．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.三、解答题21．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.22．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==，面积3S accosB =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.23．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<．24．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2()，－1)，.(1)求角B 的大小； (2)若a ＝，b ＝1，求c 的值．25．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 26．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数；④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数. 答案：C.4．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．5．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.6．C解析：C 【解析】 试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10sin A = 由正弦定理sin sin a c A C=得sin 10sin 210a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=+，2302b +-=，32b =（32b =舍去），∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．8．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．9．A【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.10．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．11．A【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题13．；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：解析：[]0,9； 【解析】 【分析】 利用()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围.【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09，故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.14．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 解析：4nn 1+【解析】 【分析】运用等差数列的求和公式可得()n 11na n n 1n 122=⋅+=+，可得()n n n11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：()n 12n 11na n n 1n 1n 1n 1n 122=++⋯+=⋅+=++++， 则()n n n 11411b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， 可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭14n 41n 1n 1⎛⎫=-=⎪++⎝⎭． 故答案为4nn 1+． 【点睛】本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．15．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达解析：8 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移，当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262224R +⨯⨯+=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．10【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得结合等差数列的性质即可求得k 的值【详解】因为且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式等差数解析：10 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得70a =，结合等差数列的性质即可求得k 的值． 【详解】因为91239S a a a a =+++⋅⋅⋅ 41234S a a a a =+++，且94S S =所以567890a a a a a ++++=由等差数列性质可知70a = 因为40k a a += 所以4770k a a a a +=+=则根据等差数列性质可知477k +=+ 可得10k = 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．18．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目解析：9lim 8n n T →∞= 【解析】 【分析】构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。

【好题】高三数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题x y 2 01． 设 x, y 知足拘束条件2x y 3 0 ，则y4的取值范围是x y0 x 6A ．[ 3,3]B ． [ 3,1]C ． [4,1]7D ． ( , 3] [1,)2． 数列 a n 知足 a n an 11na nn ，则数列 的前 20 项的和为 ( )ABCD． 100． -100． -110． 1103． 在ABC 中， AC 2 , BC 2 2 ,ACB 135o ，过 C 作 CDAB 交AB 于D ，则 CD ( )A ．2 5B ． 2C ． 3D ． 554． “干支纪年法”是中国历法上自古以来就向来使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支次序相当正好六十为一周，循环往复，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元 1984 年阴历为甲子年，公元 1985年阴历为乙丑年，公元 1986 年阴历为丙寅年，则公元 2047 年阴历为A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年5． 已知会合 A {t | t 24 0} ，对于知足会合 A 的全部实数 t ，使不等式x 2txt 2x 1恒建立的 x 的取值范围为 ()A ． ,1 3,B ． , 1 3,C ．,1D ．3,6． 已知等差数列 a n , 前 n 项和为 S n , a 5 a 628, 则 S 10 ( )A B CD． 140． 280． 168 ． 562x y 47． 设实数 x, y 知足 x 2 y 2 ，则 y1的最大值是（ ）x 1 0xA ． -11C ． 13B ．D ．228． 在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 ABC 为锐角三角形，且知足sin B(1 2cos C) 2sin AcosC cos Asin C ，则以下等式建立的是（）A ． a 2bB ． b 2aC ．A 2BD ．B 2A9．在等差数列 {a }中， a ＞ 0， a ·a ＜ 0，若此数列的前 10 项和 S ＝ 36，前 18 项的和 Sn1101110 18＝12，则数列 {|a n|} 的前 18 项和 T18的值是（）A．24B． 48C．60D．8410．已知正项等比数列a n的公比为 3 ，若a m a n9a22，则21的最小值等于（）m2nA．1B．1C．3D．3 24211．已知等比数列{ a n}的各项均为正数，前n 项和为 S n，若 a22, S6S46a4，则a5A．4B．10C． 16D．3212．等差数列a n中， a3a4a512 ，那么a n的前 7项和 S7（）A． 22B． 24C． 26D． 28二、填空题13．设x0 y＞0x 2y4(x 4)( y 2)的最小值为.＞，，＋＝，则xy_________x3y 4 014．已知变数x, y知足拘束条件{ x 2 y 1 0 , 目标函数z x ay (a0) 仅在点 (2, 2)3x y8 0处获得最大值，则 a 的取值范围为_____________．15．在ABC 中，角A, B, C所对的边为a,b, c，若c23ab sin C ，则当b a取最大值a b时， cosC = __________ ；16．对于x的不等式a323x+4≤b的解集为[a，b]，则b a________．4x ﹣－＝17．在ABC 中，内角A，B， C 所对应的边长分别为 a ，b，c，且cosC22 ，3b cos A a cosB 2 ，则ABC 的外接圆面积为__________．18．已知数列a n的首项 a12，且知足 a n a n 12n n N*，则 a20=________．19．在等差数列a n中，a12， a3a510 ，则 a7．20．设f ( x) x3lg x x2 1 ，则对随意实数a, b，“”是a b0“f (a) f (b)0 ”的_________条件．（填“充足不用要”.“必需不充足” .“充要” .“既不充足又不用要”之一）三、解答题21．等差数列a n中， a74, a192a9.(1)求a n的通项公式；(2)设bn1，求数列 b n 的前 n 项和 S n .na n22． 已知等差数列a n 的公差为 d d 0 ，等差数列b n的公差为 2d ，设 A n ， B n 分别是数列 a n ， b n 的前 n 项和，且 b 1 3， A 2 3， A 5B 3 .（1）求数列 a n， b n 的通项公式；（2）设 c nb n1 n 项和为 S2，数列 c 的前( n 1) .a n ?a n 123． 在 V ABC 中内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a 2, b7 ，面积S3accosB .2（ 1）求 sin A 的值；（ 2 ）若点 D 在 BC 上（不含端点），求BD的最小值 .sin BAD24． 已知函数 f x2x1 .（1）若不等式 fx1 2m 1(m 0) 的解集为 , 22, ，务实数 m 的值；2（ 2）若不等式 fx2ya2x 3 对随意的实数x, yR 恒建立，求正实数a 的最2 y小值 .25． 已知各项均为正数的等比数列a n 的首项为1，且21a 3 2a 1 3a 2 。

2020-2021高三数学上期末一模试卷(带答案)(5)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D ．若a b <，则a b <3．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．644．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．567．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．38．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．329．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．1310．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．611．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+B ．31+C ．232-D ．31-12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 15．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .16．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 17．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 6BC 的长为______．18．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+形的外接圆半径是______19．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小； （2）求()3y sinA B π=-的最大值.24．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值． 25．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n N ∈，不等式12111(1)(1)(1)n b b b ≤+++L m 的最大值． 26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为b ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．D解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D 中，因为0a ≤<b ，由不等式的平方法则，()()22a b <，即a b <．选D.3．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.4．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a ba+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．6．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 7．B解析：B 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.8．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PAk +==最大．故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．9．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.10．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

2020-2021高三数学上期末一模试题附答案(9)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-3．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．44．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．136．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2437．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20198．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 10．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，11．在△ABC 中，若1tan 15013A C BC ︒===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ．338- B ．334- C ．338+ D ．334+ 12．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.14．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当42b =，2a c =，ABC ∆的面积为______.15．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.16．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．17．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．18．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____． 19．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=．(1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值． 22．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 23．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .24．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.25．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .26．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足*2,21,()2,2,n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t qf t q tt t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时q=2f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.3．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.4．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.7．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.10．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.11．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理求出c ， 【详解】A 是三角形内角，1tan 3A =，∴10sin A =由正弦定理sin sin a c A C=得sin 10sin 210a C c A ===， 又2222cos c a b ab C =+-，即22512cos150132b b b b =+-︒=+， 23302b b +-=，33b -+=（33b --= ∴113333sin 122ABC S ab C ∆--==⨯︒=． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系．解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安排，不致于凌乱．12．C解析：C【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。