导数2

二阶导数判断极大值还是极小值的公式示例文章篇一：《二阶导数判断极大值还是极小值的公式》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊一个超有趣的数学话题——二阶导数判断极大值还是极小值的公式。

我知道一提到数学公式，可能有些小伙伴就开始头疼啦，但是别担心，我会用特别好玩的方式来讲这个事儿的。

咱们先来说说啥是导数。

导数就像是一个超级侦探，能告诉我们函数的变化情况。

比如说，有一个函数就像一辆小汽车在马路上跑，那导数就是这个小汽车的速度。

如果导数是正的，就好像小汽车在往前开；要是导数是负的呢，就好比小汽车在往后倒啦。

那一阶导数告诉我们函数是上升还是下降，二阶导数呢？它呀，就像是在看这个速度是怎么变化的。

就像你在玩赛车游戏，一阶导数是你的车当前的速度，二阶导数就是这个速度是在加快还是减慢呢。

好啦，现在到重点啦，二阶导数判断极大值还是极小值的公式到底是啥样的呢？如果一个函数的二阶导数在某一点大于零，那就像这个小汽车的速度正在加快往前冲，这时候这个点就是一个极小值点。

为啥呢？想象一下，一个小山坡，你在山坡上往下走，走到最低的地方，然后开始往上走了，在最低的地方，就像是一个碗底，这个时候速度是从减慢到加快的，对应的二阶导数就是大于零的。

我来给大家举个例子哈。

比如说有个函数y = x²，咱们先求一阶导数，y' = 2x。

再求二阶导数，y'' = 2。

这个二阶导数2是大于零的，那这个函数在x = 0的地方就是一个极小值点。

你看，当x = 0的时候，y = 0，就像这个碗底在原点这里。

反过来，如果二阶导数在某一点小于零，这就好比小汽车的速度正在减慢，这个点就是一个极大值点。

就像你往山上爬，爬到最高的地方，然后要开始往下走了，在最高的地方，就是一个山峰的顶部，速度是从加快到减慢的，二阶导数就小于零。

我再举个例子哈。

比如函数y = -x²，一阶导数y' = - 2x，二阶导数y''=-2。

二阶导数存在定理公式(一)二阶导数存在定理公式1. 二阶导数存在定理•定理：设函数f(x)在点x=a处二阶可导，则其二阶导数存在，即f’’(a)存在。

2. 二阶可导函数的公式•对于二阶可导函数f(x)，可以利用以下公式计算其二阶导数：–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x)))3. 二阶导数存在定理的证明•证明思路：根据一阶导数存在定理，如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其一阶导数f’(a)存在。

然后，我们再次对一阶导数f’(x)进行求导，即计算一阶导数的导数f’’(x)，称之为函数f(x)的二阶导数。

因此，基于一阶导数存在定理，我们可以得出二阶导数存在定理。

•证明过程：由于f(x)在点x=a处一阶可导，那么我们可以使用一阶导数的定义进行计算：–f’(a) = lim(h→0)[f(a+h) - f(a)] / h接下来，我们再次对一阶导数进行求导：–f’’(a) = d2/dx2(f(x)) = d/dx[(f’(x))] =lim(h→0)[f’(a+h) - f’(a)] / h这样，我们就得到了二阶导数在点x=a处的定义。

因此，根据一阶导数存在定理，我们可以得出结论：如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其二阶导数f’’(a)存在。

4. 举例说明•示例1：设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 1，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为:–f’(x) = d/dx(f(x)) = 3x^2 + 4x–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(3x^2 + 4x) = 6x + 4在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。

根据二阶导数存在定理，我们可以得出结论：这个函数在任意点x处的二阶导数均存在。

•示例2：设函数f(x) = sin(x)，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为：–f’(x) = d/dx(f(x)) = cos(x)–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(cos(x)) = -sin(x)在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。

极值点二阶导数
极值点的二阶导数可以用来确定极值点的类型，即极大值点还是极小值点。

根据极值点的二阶导数的符号可以进行如下判断：
1. 当二阶导数大于0时，极值点为极小值点。

2. 当二阶导数小于0时，极值点为极大值点。

3. 当二阶导数等于0时，需要进一步分析。

可以通过计算二阶导数的高次项的系数来确定。

例如，对于函数f(x)，如果f''(x)>0，则函数在x处具有极小值点；如果f''(x)<0，则函数在x处具有极大值点；如果f''(x)=0，则需要进一步求f'''(x)（即三阶导数）的值来判定。

需要注意的是，二阶导数只能判断极值点的类型，不能确定极值点的具体位置和取值。

要确定极值点的位置和取值，需要进行一阶导数为零的求解。

二阶导数推导步骤
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲二阶导数推导步骤这个有意思的事儿。

咱先想想啊，导数就像是一个函数的变化速度，那二阶导数呢，就是这个变化速度的变化速度呀！就好像跑步，一阶导数是你跑的快慢，二阶导数就是你加速或者减速的情况啦。

比如说有个函数 f(x)，那它的一阶导数 f'(x)就是它的斜率嘛。

然后要找二阶导数，不就是对一阶导数 f'(x)再求导嘛。

这就好像你先知道了跑步的速度，然后再去研究这个速度是怎么变化的。

来，咱具体说说步骤哈。

先把函数摆出来，然后按照求导公式和法则，一步一步地算出一阶导数。

这可得细心点儿，不能出错哦，就像走路不能崴了脚一样。

算出一阶导数后，嘿，别停呀，接着对它下手，再求一次导，这就得到二阶导数啦！是不是挺简单的，但可别小瞧了它，这里面学问大着呢。

你想想看，如果二阶导数大于零，那说明函数是凹向上的，就像一个碗口朝上放着；要是二阶导数小于零，那就是凹向下，像个倒扣的碗。

这多形象呀！
咱再举个例子呗，比如说一个简单的函数f(x)=x²。

那它的一阶导数
f'(x)=2x，然后再求导，二阶导数 f''(x)=2。

看，这不就出来啦！
在实际应用中，二阶导数用处可大啦。

比如在研究曲线的弯曲程度、判断极值点的性质等等方面，都少不了它呢。

所以呀，大家可别小看了这二阶导数推导步骤，它就像一把钥匙，能帮我们打开好多知识的大门呢。

好好掌握它，让我们在数学的世界里畅游得更畅快吧！这二阶导数推导步骤，真的是很值得我们去好好琢磨琢磨呀！。

Chap2 导数产生:①光滑曲线()y f x =在点(,)P x y 处的切线.根据正切角α,从通过P 点的所有直线中选择一条,知道该点的邻域性质即可; ②非匀速速度。

应用：几何,力学,光学中的最优化问题；极大和极小值问题.割线的极限位置.曲线上的两点间连线的极限,和其它直线的不同：这个方向是唯一的。

什么方向呢?与x ∆引起的y ∆有关,而其余的方向与y ∆无关.隅点和尖点没有唯一的方向:该点是不同曲线的交点,所以在不同方向有不同的y ∆. 一导数概念的三个理解1切线是割线的导数----因变量增量与自变量增量的关系1α是割线PP 1同正x 轴构成的夹角，α是切线同正x 轴构成的夹角，则11lim p pαα→=。

Y=f(x)图2-1 导数的定义 可得：11111()()tan y y f x f x x x x xα--==--，则极限过程的表达式 11111()()limlim tan tan x xx x f x f x x xαα→→-==- def2.1.1(函数的差商)表达式1111()()f x f x y y yx x x x x--∆==--∆，称为函数()y f x =的差商，其中y ∆和x ∆分别表示函数()y f x =和自变量x 之差分。

α的正切，即曲线的“斜率”，等于函数()y f x =的差商当1x x →时所趋向的极限。

Def2.1 （函数在某一点的导数）将这个差商的极限称为函数()y f x =在点x 处的导数，''()y f x =是导数的拉格朗日（Lagrange ）表示法，(),,()dy df x d f x dx dx dx ⎛⎫⎪⎝⎭是莱布尼茨表示法。

说明：''()y f x =称为导函数，表示导数本身是x 的函数，因为所考虑的区间上的每一个x 值都对应一个'()f x 的值。

用导函数，导曲线强调这个事实，并不表示导数是一种特殊类型的函数，在初等函数之外的新型函数，而是表示与()y f x =的关系是导数与函数的关系。

二阶连续导数
二阶连续导数即为二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍然是x 的函数，则y′′=f′′（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。

在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

运用：
1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

2、函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

性质：
1、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

2、判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。

当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。

当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．12[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．探究点一几个常用函数的导数思考1怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．思考2利用定义求下列常用函数的导数：①y＝c，②y＝x，③y＝x2，④y＝1x，⑤y＝x.答①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx－1xΔx＝limΔx→0－1x(x＋Δx)＝－1x2(其它类同)，⑤y′＝12x.思考3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？答(1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．思考4在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率．(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．思考5画出函数y＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1，1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x 2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x 减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1，1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1，1)的切线方程为y ＝－x ＋2.思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3； (2)y ＝5x ； (3)y ＝1x 3； (4)y ＝43x ； (5)y ＝log 3x .反思与感悟对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现)3(sin′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导． 跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y ＝x 8； (2)y ＝(12)x ； (3)y ＝x x ； (4)y ＝log 31x .例2 判断下列计算是否正确．求y＝cos x在x＝π3处的导数，过程如下：y′|x＝π3＝)3(cos′＝－sinπ3＝－32.反思与感悟函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数．探究点三导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题：(1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．(2)知切线斜率可求切点坐标．例3已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3； ④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x . 3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12； ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．)2,21(B ．)2,21(或)2,21(--C ．)2,21(--D ．)2,21(-3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－54．曲线y ＝1x在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____.5．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．86．曲线y ＝9x 在点M (3，3)处的切线方程是________． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝53x ； (2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e9．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 10．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 7； (3)y ＝－1x 5； (4)y ＝ln 3； (5)y ＝x x 3(x >0)．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n N，试求f2 016(x)．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)明目标、知重点1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x ) (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ) (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．探究点一 导数的运算法则思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？ 答 利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及'])()([x g x f ＝)()(''x g x f 的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”； (5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0.例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝x5＋x7＋x9x；(2)f(x)＝2－2sin2x2.例2求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x；(2)f(x)＝x－1x＋1. 跟踪训练2求f(x)＝sin x1＋sin x的导数．探究点二导数的应用例2(1)曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′|t＝t0.跟踪训练2(1)曲线y＝sin xsin x＋cos x－12在点M)0,4(π处的切线的斜率为()A．－12B．12C．－22D．22(2)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)2．函数y＝cos x1－x的导数是()．A．－sin x＋x sin x(1－x)2B．x sin x－sin x－cos x(1－x)2C．cos x－sin x＋x sin x(1－x)2D．cos x－sin x＋x sin x1－x3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A．193B．163C．133D．1034．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．[呈重点、现规律]求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．－12 D ．－24．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1，1)C ．(2，8)D ．(－12，－18)5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 29．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____.10．求曲线y ＝cos x 在点A )23,6( 处的切线方程为____．11．求过点(2，0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．三、探究与拓展13．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝ln x；(2)y＝e sin x；(3)y＝cos (3x＋1)．探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝11－2x；(3)y＝sin(－2x＋π3)；(4)y＝102x＋3.反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)3；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)．探究点三导数的应用例3求曲线y＝e2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3曲线y ＝e sin x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.[呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C．y＝1ln x D．y＝(2x＋3)42．函数y＝1(3x－1)2的导数是()A．6(3x－1)3B．6(3x－1)2C．－6(3x－1)3D．－6(3x－1)23．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________. 4．函数y＝x2cos 2x的导数为()A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x5．函数y＝(2 015－8x)3的导数y′＝________.6．曲线y＝cos(2x＋π6)在x＝π6处切线的斜率为______．7．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．二、能力提升8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1 B．2C．－1 D．－29．曲线y＝12e x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A．92e2B．4e2C．2e2D．e210．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝s(t)＝5－25－9t2.求函数在t＝715s时的导数，并解释它的实际意义．三、探究与拓展13．曲线y＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．。