2-2导数及其应用知识点总结

人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

选修2-1、2-2知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q q p 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。

如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3. 直线与圆锥曲线的位置关系（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法 （主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。

绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学期末复习 选修2—2 第一章 导数及其应用题卷设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名一．知识归纳1．函数的平均变化率x ∆=∆y ()()()()()f x x f x f x x f x x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2．导数定义 函数的瞬时变化率()()()()()00lim limx x f x x f x f x x f x x x xx ∆→∆→+∆-+∆-==+∆-∆ 注1：当x∆∆y存在极限时，极限值叫做瞬时变化率，并把这个变化率叫做导数，即：()()()lim'x f x x f x f x x∆→+∆-=∆或记作'x y注2：函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度。

（导数的物理意义）（1）利用导数定义把具有特殊形式的极限值转化为导数值，求解计算； （2）求以曲线上()()00,x f x 为切点的切线的斜率，即()0'k f x =；（3）求函数的单调区间：()'0f x >⇒()f x 增，()'0f x <⇒()f x 减，间断的导数为零的点不影响函数的单调性；（注意定义域限制条件）（4）求函数的极值：导函数的变号零点为函数的极值点，先增后减极大，先减后增极小，解答的过程需要画表格；求函数的最值：连续函数在闭区间上一定有最大、最小值，最值取在区间端点或极值点处，解答的过程需要画表格；二．考点训练考点一. 导数的概念及其意义1．已知函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，且),(0b a x ∈，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000( )A ．)('0x fB ．)('20x fC ．)('20x f -D ．0 2．设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0x f '等于（ ）A ．1B ．0C ．3D ．31 3．某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ ） A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．134．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ） A ．（3，9） B ．（－3，9） C ．（49,23） D ．（49,23-）5．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ． 20x y +-= C ．450x y +-=D ．450x y --=6．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A ． )32[ππ，B ．]322(ππ，C ． ),32[)2,0[πππ D ． ),65[)2,0[πππ 7．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e8． 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是_________________; 考点二. 导数计算9．下列求导运算正确的是（ ）A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x )'=3x log 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x10．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）A ．x x f π4)(='B ．x x f 24)(π='C ．x x f 28)(π=' D ． x x f π16)(='11．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xxx x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---12．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 13．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( ) A ．0 B ．4- C ．2- D ．214．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32考点三. 导数应用（一）判断函数单调性（求单调区间）15．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）A ．[]0,1-B ．[]8,2C ．[]2,1D ．[]2,0 16．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞ 17．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ） D ．（e ，+∞）18．下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（ ） A ．x y 2sin =B ．xxe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(19．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的是（ ）A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④20．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）21．右图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为__________________．22．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是 ( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ．023．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A.(0)(2)2(1)f f f +<B.(0)(2)2(1)f f f +≤C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>24．函数()f x 是(0,)+∞上的可导函数，且'()2f x x >，则对于0a b >>，必有（ ）A ．22()()f a f b a b ->- B ．22()()f a f b a b -<-C ．22()()f a f b a b -=- D ．()()f a f b -与22a b -关系不能确定25．已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．讨论函数()f x 的单调性．26．已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直．若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围．考点四. 导数应用（二）极值与最值的求解27．0'()f x =0是可导函数()x f y =在点0x x =处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．非充分非必要条件 28．函数()x f 的定义域为区间()b a ,，导函数()x f'在()b a ,内的图如图所示，则函数()x f 在()b a ,内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 29．函数32)1()2()(-+=x x x f 的极大值点是（ ）A ．2=xB ．1=xC ．1-=xD ．2-=x30．已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ ）A ．极大值274，极小值0 B ．极大值0，极小值274 C ．极小值－274，极大值0D ．极大值－274，极小值031．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不确定32．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(-D ．)21,21(- 33．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3)B ． )3,(-∞C ． ),0(+∞D ． )23,0(34．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．21<<-aB ．63<<-aC ．3-<a 或6>aD ．1-<a 或2>a35．函数5123223+--=x x x y 在]3,0[上的最大值和最小值依次是( )A ．15,12-B ．15,5-C ． 4,5-D ．15,4--36．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe三．综合应用37．已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围.38．设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.39．已知函数2()2ln .f x x x a x =++(Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围．40．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。