1[1]2导数的计算(1)

导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。

2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。

3. 能熟练运用四则运算的求导法则，4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）()f x C =（C 为常数），'()0f x = （2）()nf x x =（n 为有理数），1'()n f x n x -=⋅（3）()sin f x x =，'()cos f x x = （4）()cos f x x =，'()sin f x x =- （5）()xf x e =，'()xf x e =（6）()xf x a =，'()ln xf x a a =⋅（7）()ln f x x =，1'()f x x = （8）()log a f x x =，1'()log a f x e x =。

要点诠释：1．常数函数的导数为0，即C ＇=0（C 为常数）．其几何意义是曲线()f x C =（C 为常数）在任意点处的切线平行于x 轴．2．有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的（n －1）次幂的乘积，即1()'nn x nx-=（n ∈Q ）．特别地211'x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，=。

3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x ）＇=cos x ．4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x ）＇=－sin x ．5．指数函数的导数：()'ln xxa a a =，()'xxe e =． 6．对数函数的导数：1(log )'log a a x e x =，1(ln )'x x=． 有时也把1(log )'log a a x e x = 记作：1(log )'ln a x x a=以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=± （2）积的导数：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+（3）商的导数：2()'()()()'()[]'()[()]f x f xg x f x g x g x g x ⋅-⋅=（()0g x ≠） 要点诠释：1. 上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：()'''u v u v ±=±， 推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（ⅱ）积的导数：()'''u v u v uv ⋅=+， 特别地：()''cu cu =（c 为常数）．（ⅲ）商的导数：2'''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠⎪⎝⎭， 两函数商的求导法则的特例 2()'()()()'()'(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦， 当()1f x =时，2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 这是一个函数倒数的求导法则．2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比：()'''uv u v uv =+，2'''u u v uv v v -⎛⎫=⎪⎝⎭（v ≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：'''u u v v ⎛⎫≠⎪⎝⎭且2'''u u v uv v v +⎛⎫≠ ⎪⎝⎭（v ≠0）． 3．求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．知识点三：复合函数的求导法则 1．复合函数的概念对于函数[()]y f x ϕ=，令()u x ϕ=，则()y f u =是中间变量u 的函数，()u x ϕ=是自变量x 的函数，则函数[()]y f x ϕ=是自变量x 的复合函数．要点诠释： 常把()u x ϕ=称为“内层”， ()y f u =称为“外层” 。

二阶导数存在定理公式(一)二阶导数存在定理公式1. 二阶导数存在定理•定理：设函数f(x)在点x=a处二阶可导，则其二阶导数存在，即f’’(a)存在。

2. 二阶可导函数的公式•对于二阶可导函数f(x)，可以利用以下公式计算其二阶导数：–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x)))3. 二阶导数存在定理的证明•证明思路：根据一阶导数存在定理，如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其一阶导数f’(a)存在。

然后，我们再次对一阶导数f’(x)进行求导，即计算一阶导数的导数f’’(x)，称之为函数f(x)的二阶导数。

因此，基于一阶导数存在定理，我们可以得出二阶导数存在定理。

•证明过程：由于f(x)在点x=a处一阶可导，那么我们可以使用一阶导数的定义进行计算：–f’(a) = lim(h→0)[f(a+h) - f(a)] / h接下来，我们再次对一阶导数进行求导：–f’’(a) = d2/dx2(f(x)) = d/dx[(f’(x))] =lim(h→0)[f’(a+h) - f’(a)] / h这样，我们就得到了二阶导数在点x=a处的定义。

因此，根据一阶导数存在定理，我们可以得出结论：如果函数f(x)在点x=a处一阶可导，则其二阶导数f’’(a)存在。

4. 举例说明•示例1：设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 1，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为:–f’(x) = d/dx(f(x)) = 3x^2 + 4x–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(3x^2 + 4x) = 6x + 4在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。

根据二阶导数存在定理，我们可以得出结论：这个函数在任意点x处的二阶导数均存在。

•示例2：设函数f(x) = sin(x)，则函数f(x)的一阶导数和二阶导数分别为：–f’(x) = d/dx(f(x)) = cos(x)–f’’(x) = d2/dx2(f(x)) = d/dx(d/dx(f(x))) =d/dx(cos(x)) = -sin(x)在此例中，函数f(x)在任意点x处均存在一阶导数和二阶导数。

第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

自我小测1．若f (x )＝3x ，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．－13C ．3D ．132．函数y ＝1x在点P 处的切线斜率为－4，则P 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫2，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，－12 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝( )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e4．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 015(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x5．函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝( )A ．－12B ．1C ．－12或1D ．12或1 6．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________.7．直线y ＝e 2x ＋b 是曲线y ＝e x 的一条切线，则b ＝__________.8．设曲线y ＝x n ＋1(x ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝__________.9．若质点P 的运动方程是s ＝3t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度．10．已知点P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．参考答案1．解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝13()x '＝13·23x -＝133x 2， ∴f ′(－1)＝13. 答案：D2．解析：∵y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2. 答案：C3．解析：设切点为(x 0，y 0)，则由y ′＝1x ，得1x 0＝k ， 又y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，从而联立解得y 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e. 答案：C4．解析：∵f 0(x )＝sin x ，∴f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，∴f n (x )的值具有周期性，且4为周期．∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x .答案：D5．解析：∵f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x， ∴2x －1x＝1. ∴2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12. 又∵g (x )有意义时，x ＞0，∴所求x ＝1.答案：B6．解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a ＝－1. ∴ln a ＝－1.∴a ＝1e. 答案：1e7．解析：∵y ′≤e x ，设切点为(x 0，y 0)，则0e x＝e 2.∴x 0＝2，∴y 0＝e 2.又y 0＝e 2x 0＋b ，∴b ＝－e 2x 0＋y 0＝－2e 2＋e 2＝－e 2.答案：－e 28．解析：曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝(n ＋1)×1n ＝n ＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1， 所以log 2x 1＋log 2x 2＋log 2x 3＝log 212＋log 223＋log 234＝log 2⎝⎛⎭⎫12×23×34＝log 214＝－2. 答案：－29．解：∵s ′＝(3t 2)′＝23()t '＝1323t -， ∴s ′|t ＝8＝23×138-＝23×2－1＝13. ∴质点P 在t ＝8 s 时的瞬时速度为13m/s. 10．解：y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点M (x 0，y 0)，则0=|x x y '＝2x 0.又PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，切线平行于直线PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12. ∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

3.2.1 导数的计算(第1课时)一、教学目标 1.核心素养:通过学习常用函数的导数，培养学生的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）学会应用定义求函数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式. （2）掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数. 3.学习重点五种常见函数的导数公式及应用. 4.学习难点五种常见函数的导数公式的推导. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P81—P82，思考：推导常见函数的导函数的方法是什么？函数变化的快慢与其导函数有怎样的关系？ 2.预习自测1.下列函数中哪两个导函数是相同的A.2y x =B.23y x =C.234y x =+D.9y = 解：B2.下列哪个函数的变化速率最快A.2y x =B.32y x =-+C.13y x = D.4y x =+解：B（二）课堂设计 1.知识回顾（1）求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆- ②算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆③求极限：00'()limx y f x x∆→∆=∆（2）导数的几何意义：0'()f x 表示函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率. 2.问题探究问题探究一 （1）函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， 所以00limlim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆.0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态. （2）函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆，所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆.1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. （3）函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆.2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . （4）函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x xx x x -∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆.因为1y x=的图象是双曲线，所以图象上点(,)x y 处的切线的斜率随着x 的变化而变化.当0x >时，随着x 的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数1y x=的值减少得越来越慢；随着x 的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数1y x=的值增加得越来越快；当0x <时，与上面情况正好相反.（5）函数()y f x ==因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆==0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆想一想：对于幂函数*()()n y f x x n Q ==∈，其导函数是怎样的？ 若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=. 问题探究二 常见函数的导数的应用 例1 求函数2()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】详解：因为2()f x x =，所以'()2f x x =,因为切点为(1,1)，所以切线斜率'(1)2k f ==，所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. 3.课堂总结 【知识梳理】 常见导数的公式:'0c =,'1x =,2()'2x x =,211()'x x =-,=.【重难点突破】准确应用推导方法推导出公式并掌握其应用. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则其在t 时刻的瞬时速度为（ ） A.22t B.2t C.4t D.t 【知识点：导数的物理意义】 解：C2.2()f x x=在1x =处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.1- D.2- 【知识点：导数的几何意义】 解：D3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列时刻的瞬时变化率： （1）1x =；（2） 1.1x =；（3）2x =-；（4）x t =. 【知识点：导数的几何意义】解：'()2f x x = (1)'(1)2f =；(2)'(1.1) 2.2f =；(3)'(2)4f -=-；(4)'()2f t t =. 4.求函数12()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：'()f x =1'(1)2f ∴=,∴函数在(1,1)处的切线方程为1122y x =+. （三）课后作业 基础型1.下列结论不正确的是( )A.若0=y ，则0='yB.若x y 5=，则5='yC.若1-=x y ，则2--='x y D.若21x y =，则212-='x y【知识点：导数的求法】 解：D2.若函数x x f =)(，则)1(f '等于( )A.0B.12-C.2D.12【知识点：导数的求法】 解：D 3.抛物线241x y =在点(2,1)处的切线方程是( ) A.01=--y x B.03=-+y x C.01=+-y x D.01=-+y x 【知识点：导数的几何意义】 解：A4.已知3)(x x f =，则)2(f '＝( ) A.0 B.23x C.8 D.12 【知识点：导数的求法】 解：D5.质点作直线运动的方程是4t s =，则质点在3=t 时的速度是( ) 【知识点：导数的循物理意义】 A.43341 B.34341 C.34321 D.43431解：A 能力型6.过点P (－2,0)作曲线x y =的切线，求切线方程. 【知识点：导数的求法】解：因为点P 不在曲线x y =上，故设切点为Q (x 0，∵'y =，∴过点Q 的切线0=，∴x 0＝2，∴切线方程为：2)y x -=-，即：x－＋2＝0.7.质点的运动方程为21t s =，求质点在第几秒的速度为264-. 【知识点：导数的物理意义】解析：∵21t s =，∴221)(1t t t s -∆+=∆2222)()(t t t t t t ∆+∆+-=222)()(2t t t t t t ∆+∆+∆-=， ∴322022limt t t t t s t -=⋅-=∆∆→∆.∴64223-=-t，∴4=t .即质点在第4秒的速度为264- 8.求曲线xy 1=与2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积. 【知识点：导数的几何意义】解：两曲线方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧==21x y x y ，解得⎩⎨⎧==11y x .∴21x y -='，∴11-=k ，2|212===x x k ，∴两切线方程为02=-+y x ，012=--y x .∴1131(2).224S =⨯⨯-=探究型9.函数2x y =)0(>x 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中+∈N k ，若1a ＝16，则531a a a ++的值是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：21解析：∵x y 2='，∴过点),(2k k a a 的切线方程为)(22k k k a x a a y -=-，又该切线与x 轴的交点为(1+k a ,0)，所以1+k a ＝12k a ，即数列}{k a 是等比数列，首项1a ＝16，其公比q ＝12，∴3a ＝4，5a ＝1，∴531a a a ++＝21. （四）自助餐1.已知a x x f =)(，若2)1(-=-'f ，则a 的值等于( ) A.2 B.－2 C.3 D.－3 【知识点：导数的求法】 解：A2.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( ) 【知识点：导数的求法】 A.1 B.2 C.3 D.4 解：D3.曲线2x y =在点P 处切线斜率为k ，当2=k 时的P 点坐标为( )A.(－2，－8)B.(－1，－1)C.(1,1)D.11(,)28--【知识点：导数的求法】 解：C4.已知2)1()(x f x f '=，则)0(f '等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【知识点：导数的求法】 解：A5.曲线3x y =上的点P 的切线方程为( ) A.x y -= B.0=x C.0=y D.不存在 【知识点：导数的求法】 解：B6.若x y =表示路程关于时间的函数，则1='y 可以解释为________. 【知识点：导数的物理意义】解：某物体做瞬时速度为1的匀速运动.7.若曲线2x y =的某一切线与直线64+=x y 平行，则切点坐标是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：(2，4) 8.过抛物线251x y =上点4(2,)5A 的切线的斜率为______________.【知识点：导数的几何意义】解：459.已知曲线xy 1=. (1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为13-的曲线的切线方程.【知识点：导数的几何意义】 解：∵1y x =,21'y x∴=-.(1)显然P (1,1)是曲线上的点.所以P 为切点，所求切线斜率为函数xy 1=在P (1,1)点导数.即1)1(-='=f k .所以曲线在P (1,1)处的切线方程为)1(1--=-x y ，即为2+-=x y .(2)显然Q (1,0)不在曲线x y 1=上.则可设过该点的切线的切点为)1,(aa A ，那么该切线斜率为21)(a a f k -='=.则切线方程为)(112a x aa y --=-.① 将Q (1,0)坐标代入方程：)1(1102a aa --=-.解得21=a ，代回方程①整理可得：切线方程为44+-=x y .(3)设切点坐标为)1,(a a A ，则切线斜率为21)(a a f k -='==13-，解得a ＝，那么)33,3(A ，)33,3(--'A .代入点斜式方程得)3(3133--=-x y 或)3(3133+-=+x y .整理得切线方程为33231+-=x y 或33231--=x y .。