高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4
- 格式：doc
- 大小：85.00 KB
- 文档页数：4
1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？
()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是
tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且
()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+
∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π
+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππ
k x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，
⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan
即 例2：求下列函数的周期：
（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 答：3T π=。
说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω=
．
例3：求函数
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
解：1、由233π
ππ+≠-
k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且
2、值域为R ，周期3π=
T ，
3、在区间()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），
练习1：求函数
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32tan ππx y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
略解：定义域：⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在)4,43(ππππ+-
k k 上是增函数
练习2：教材P45面2、3、4、5、6题
解：画出y ＝tanx 在(－2π，2π
)上的图象，在此区间上满足tanx ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2π
结合周期性，可知在x∈ R ，且x≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2π
)(k∈Z) 思考2：你能用图象求函数tan 3y x =-的定义域吗？ 解：由tan 30x -≥ 得 tan 3x ≥，利用图象知，所求定义域为
(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，
亦可利用单位圆求解。
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是}
,2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ，所以它的图象被
,......23,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。
