正切函数图象

正切函数1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x xcos sin --=tanx(其中x ≠k π+2π,k ∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=x xcos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0,从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π(k∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx余切函数y=cotx注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π(k∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上是连续的；(3)在每一个区间(k π-2π,k π+2π)(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像.解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π］-tanx,x ∈(k π-2π,k π)(k ∈Z)所以其图像如图所示，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π,kπ］(k ∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx ｜的最小正周期为π.一般地，y=A ｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为ωπ.例2 求函数y=lg(tanx-3)+3cos 2+x 的定义域. 解：欲使函数有意义，必须tanx ＞3, 2cosx+3≥0,x ≠k π+2π(k ∈Z)由此不等式组作图∴函数的定义域为(k π+3π,k π+2π).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3 求函数y=tan(2x-3π)的单调区间.解：y=tanx,x ∈(-2π+k π, 2π+k π)(k ∈Z)是增函数.∴-2π+k π＜2x-3π＜2π+k π,k ∈Z.即-12π+2πk ＜x ＜125π+2πk ，k ∈Z函数y=tan(2x-3π)的单调递增区间是(-12π+2πk ,125π+ 2πk ).(k ∈Z)例4 求函数f(x)=tan(2x+3π)的周期.解：因为tan(2x+3π+π)=tan(2x+3π)即tan ［2(x+2π)+3π］=tan(2x+3π)∴tan(2x+3π)的周期是2π.例5 求函数y=3tan(2x+3π)的对称中心的坐标.分析：y=tanx 是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(2πk ,0)(k ∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx 经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x 轴交点.解：由2x+3π= 2πk ,(k ∈Z)得 x=4πk -6π(k ∈Z)∴对称中心坐标为(4πk -6π,0)(k ∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例 判断函数f(x)=tan(x-4π)+tan(x+4π)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x 有f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x ｜x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+4π)+tan(-x-4π)=-tan(x-4π)-tan(x+4π)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-4)+tan(x+4)=tan ［(x-4π)+(x+4π)］［1-tan(x-4π)tan(x+4π)］=tan2x ［1+cot(x+4π)tan(x+4π)］=2tan2x∵sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sina∴tan(2π-a)=cotacot(2π-a)=tana故tan ［2π-(x+4π)］=cot(x+4π)即-tan(x-4π)=cot(x+4π)周期为2π当k π-2π＜2x ＜k π+2π 2πk -4x ＜x ＜2πk +4π(k ∈Z)即x ∈(2πk -4π,2πk + 4π)时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A ≠0)的周期为T=ωπ.例2 已知)]6cos(9211lg[π+-x ≤1,求函数y=cot 2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx 的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由已知条件，可得0≤lg ［211-9cos(x+6π)］≤1.得-21≤cos(x+6π)≤21∴k π+3π≤x+6π≤k π+32π,k ∈Z.∴k π+6≤x ≤k π+2,k ∈Z.∴0≤cotx ≤3 y=cot 2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=k π+4π,k ∈Z 时，y 取最小值4.当x=k π+2π,k ∈Z 时，y 取最大值5.从而函数y=cot 2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【典型热点考题】例1 满足tan α≥cot α的角的一个取值区间是( )A.(0，4π)B.［0，4π］C.［4π，2π］D.(4π，2π)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑α∈(0，2π)的性况.∵tan α≥tan(2π-α),且α, 2π-α∈(0, 2π)∴α≥2π-α,∴4π≤α＜2π.故选C.例2 函数y=x x2tan 12tan 122+-的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC.πD.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B 正确. ∴应选B.解法2：y=x x2tan 12tan 122+-=cos4x∴T=42π=2π∴应选B.例3 函数y=x21log 2++x tan 的定义域是 .解：x 应满足2+log 21x ≥0 ①x ＞0 ② tanx ≥0 ③x ≠k π+2π,k ∈Z ④由①②得0＜x ≤4 ⑤由③④并注意到⑤得 0＜x ≤40≤x ＜2π或π≤x ＜23π∴0＜x ＜2π或π≤x ≤4.∴应填(0，2π)∪[π，4]例4 如果α、β∈(2π,π),且tan α＜cot β,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜23πD.α+β＞23π解：∵tan α＜cot β＜0，∴tan αtan β＞1.有tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+＞0有α+β∈(π，23π)∴α+β＜23π.∴应选C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=32π,可排除A 、B 、D.【同步达纲练习】 一、选择题1.下列不等关系中，正确的是( )A.cot3＞cot4＞cot5B.cot4＞cot3＞cot5 B.cot4＞cot5＞cot3 D.cot5＞cot4＞cot32.下列不等式中，正确的是( )A.tan 74π＞tan 73πB.tan(-413π)＞tan(-512π)C.cot4＜cot3D.cot281°＜cot665°3.观察正切曲线，满足条件｜tanx ｜≤1的x 的取值范围是(其中k ∈Z) ( )A.(2k π-4π,2k π+4π)B.(k π,k π+4π)C.(k π-4π,k π+4π)D.(k π+4π,k π+43π)4.函数y=tanx-cotx 的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.非奇非偶函数5.如果4π＜θ＜2π，则sin θ,cos θ,tan θ的大小关系是( )A.sin θ＜cos θ＜tan θB.cos θ＜sin θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜tan θ＜sin θ6.y=tanx+cotx 的最小正周期是( ) A.πB. 2πC. 4πD.以上均不正确7.将函数y=tan2x 的图像向右平移4π个单位后得到的图像的解析式为( )A.y=tan(2x+4π)B.y=tan(2x-4π)C.y=cot2xD.y=-cot2x8.若tan(2x-3π)≤1,则x 的取值范围是( )A. 2πk -12π≤x ≤2πk +247π(k ∈Z)B. 2πk -12π＜x ≤2πk +247π(k ∈Z)C.k π-12π≤x ＜k π+247π(k ∈Z)D.k π-12π＜x ＜k π+247π(k ∈Z)9.函数f(x)=xx cot cot 1+的定义域为( ) A.(k π,k π+2π),k ∈Z B.(k π-2π,k π),k ∈ZC.(k π,k π+π),k ∈ZD.以上均不正确10.下列命题中正确的是( ) A.y=tanx 在第一象限单调递增. B.在y=cotx 中，x 越大，y 反而越小 C.当x ＞0时，tanx ＞0. D.以上均不正确.11.函数y=tan(21x-3π)在一个周期内的图像是( )12.函数f(x)=x x xx 2sin 2cos 2sin 2cos -+的最小正周期是( )A.4πB.2πC.πD. 2π二、填空题1.使函数y=tanx 和y=cosx 同时为单调递增函数的区间是 .2.满足tan α＜cot α的角α的范围是 .3.函数y=3tan(21x-4π)的定义域是 ，值域是 .4.函数y=sinx+cotx 的图像关于 对称.三、解答题：1.求下列函数的定义域：(1)y=x x sin 21)1lg(tan -- (2)y=)3tan(1cos 2π--x x(3)y=2cot3x -2.求函数y=θθθθtan sec tan sec 22-+的值域.3.求函数y=-2tan(3x+3π)的定义域、值域，并指出它的周期性，奇偶性和单调性.4.已知f(x)=tan(2x-b π)的图像的一个对称中心为(3π，0)，若｜b ｜＜31，求b 的值.【素质优化训练】1.解不等式3tan 2(2x-4π)-(3-3)tan(2x-4π)-3≤0.2.已知函数f(x)=tan(ωx+φ),且对于定义域内任何实数x ，都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),比较tan(ωa+φ+3ω)与tan(ωa+φ-3ω)的大小.3.已知有两个函数f 1(x)=asin(kx+3π),f 2(x)=bsin(kx-3π)(k ＞0)它们的最小正周期之和为2π，且f 1(2π)=f 2(2π),f 1(4π)=-3f 2(4π)+1,求a 、b 、k 之值.4.已知关于x 的一元二次方程4x 2+5x+k=0的两根分别为sin θ、cos θ,(1)求k.(2)求以tan θ、cot θ为两根的一元二次方程.5.求证：函数y=Atan(ωx+φ)(A ω≠0)为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z).答案：【同步达纲练习】一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.D二、1.［2k π-π,2k π-2π)和(2k π-2π,2k π](k ∈Z)2.(k π,k π+4π)∪(k π+2π,k π+43π)(k ∈Z)3.{x ｜x ≠2k π+23π,k ∈Z}4.(k π,0)(k ∈Z)三、1.(1)(2k π-43π,2k π-2π)(k ∈Z)(2){x ｜2k π-3π≤x ＜2k π+3π,且x ≠2k π-6π,k ∈Z }(3){x ｜2k π+3π≤x ＜2k π+2π,k ∈Z }2. 31≤y ≤33.定义域{x ｜x ≠3πk +18π,k ∈Z}值域R ，周期3π，非奇非偶函数在区间(3πk -185π,3πk +18π)(k ∈Z)上是单调减函数.4.b=-31【素质优化训练】1.{k ｜2πk +24π≤x ≤2πk +4π,k ∈Z}2.相等3.a=-3-1,b=3+1,k=24.(1)k=89 (2)x 2-932x+1=05.略。