空间向量坐标表示

空间向量的表示与运算技巧空间向量在数学和物理学中扮演着重要的角色，它们被广泛地用于描述力、速度、加速度和位移等物理量。

在本文中，我将介绍空间向量的表示方法和一些常用的运算技巧。

一、空间向量的表示方法空间向量可以用多种方式表示，其中最常见的是使用坐标表示。

在笛卡尔坐标系中，一个空间向量可以由其在x、y和z轴上的分量表示。

例如，一个点P的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示P在x、y和z轴上的分量。

这种表示方法简单直观，易于理解和计算。

除了坐标表示外，空间向量还可以使用矢量符号表示。

矢量符号通常在向量上方加一箭头，表示其方向和大小。

例如，一个向量a可以表示为a→。

这种表示方法更加简洁，能够清晰地表达向量的性质，但在计算时需要注意方向和大小的对应关系。

二、空间向量的运算技巧1. 向量相加空间向量的相加运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

假设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁,b₂, b₃)，它们的和向量c可以表示为 c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。

这个运算规则适用于三维空间中的所有向量。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。

假设有一个向量a和一个实数k，向量ka可以表示为 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。

这个运算技巧可以用来改变向量的大小或方向。

3. 向量的点积向量的点积（内积）是两个向量相乘后再求和的结果。

假设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

点积运算的结果是一个标量，可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。

4. 向量的叉积向量的叉积（外积）是两个向量相乘后得到一个新的向量。

假设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)。

空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示[本周重点]：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。

[本周难点]：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。

[知识要点]：一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示在空间直角坐标系O一xyz中,以为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量,存在唯一一组有序实数组x、y、z，使，则在空间直角坐标系中，点A的坐标为(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标；y叫做点A的纵坐标；z叫做点A的竖坐标. 向量的坐标为(x,y,z)。

（1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底（按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。

（2）空间任一点P的坐标确定的办法如下：作P在XOY平面上的射影点，求出在XOY平面内的坐标（x，y，0），求出并确定符号即z，得坐标P（x，y，z）。

二、空间向量的直角坐标运算：设则(1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3) =a1b1+a2b2+a3b3.(4) // 或.(5) a1b1+a2b2+a3b3=0.(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则三、夹角和距离公式：1、向量与的夹角：设则.注意：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是(2)用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意这些角度与θ的关系（相等，互余，互补）。

2、两点距离公式：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。

3、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作.如果,那么向量叫做平面α的法向量四、利用向量的坐标理论完成解题的程序：建立空间直角坐标系O-xyz，对空间图形中的向量进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程.重点例题讲解：例1．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。

空间矢量的坐标表示法一、中点公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点连线段的中点M 的坐标为121212,,222x x y y z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋。

二、距离公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点的距离为PQ三、空间矢量的坐标表示法 1. 对于坐标空间中的任意一个矢量v v ，将始点放在原点，若其终点坐标为（a , b , c ），则 v v ＝（a , b , c ），称为v v 的坐标表示。

其中a 、b 、c 分别称为矢量v v 的x 分量、y 分量、z 分量。

2. 若A 、B 两点的坐标分别为A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2），则： AB uu u v ＝（x 2－x 1 , y 2－y 1 , z 2－z 1）。

四、空间矢量的加、减法与系数乘法 设a v ＝（x 1 , y 1 , z 1），b v ＝（x 2 , y 2 , z 2）为坐标空间中的两矢量，则： 1. a v ＋b v ＝（x 1＋x 2 , y 1＋y 2 , z 1＋z 2）。

2. a v －b v ＝（x 1－x 2 , y 1－y 2 , z 1－z 2）。

3. r a v ＝（rx 1 , ry 1 , rz 1），其中r 为实数。

五、分点公式设A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2）是坐标空间中的相异两点，若P 点在线段AB 上，且PA ：PB ＝m ：n ，则P 点坐标为121212,,nx mx ny my nz mz m nm n m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋＋。

六、线性组合 1. 当O ，A ，B 三点不共线时，则对同平面上的任一点P ，OP uuv 都可写成OA uu v 和OB uuv 的线性 组合，而且表示法是唯一的，即存在唯一一组实数x ，y 使得OP uuv ＝x OA uu v ＋y OB uuv 。

空间向量的坐标表示本次课课堂教学内容要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a+y b+z c．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=x a+y b+z c，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；3.空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a =a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++ ，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)= 。

空间向量的数量积与坐标1. 引言空间向量数量积是线性代数中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角和长度关系。

在空间几何中，向量的坐标表示了向量在各个坐标轴上的投影，通过数量积可以得到向量的模长、夹角以及向量的正交性等重要信息。

2. 空间向量的坐标表示在三维空间中，一个向量可以由它在坐标轴上的投影表示。

假设有一个向量a，它可以表示为a = ai + bj + ck，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量，而a、b、c则分别是a在x、y、z轴上的投影，也就是坐标。

3. 空间向量的数量积定义空间向量的数量积，也被称为点积或内积，定义如下：a ·b = |a||b|cosθ其中，a和b是向量，|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

4. 空间向量的数量积计算空间向量的数量积计算可以利用坐标表示进行。

设向量a的坐标为(a1, a2, a3)，向量b的坐标为(b1, b2, b3)，则向量a与向量b的数量积可以计算为：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b35. 空间向量数量积的性质5.1 对称性：a · b = b · a5.2 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c5.3 数乘结合律：(k · a) · b = k · (a · b)，其中k为实数5.4 零向量性质：a · 0 = 0，其中0表示零向量6. 空间向量数量积与夹角关系假设有向量a和向量b之间的夹角为θ，则根据数量积的定义可得：a ·b = |a||b|cosθ通过上述公式，可以推导出夹角θ的余弦值：cosθ = (a · b) / (|a||b|)由此可见，两个向量的数量积与它们夹角的余弦值有密切关系。

7. 空间向量数量积与正交性若两个向量的数量积为0，则它们称为正交向量或垂直向量。