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课题：指数与指数函数编制人： 审核： 下科行政：【学习目标】1、了解指数函数模型的实际背景；2、理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；3、理解指数函数的概念，指数函数的图象和性质。
【课前预习案】一、基础知识梳理1、根式（1）n 次方根的定义：如果a x n =，那么x 叫做a 的其中*,1N n n ∈>,式子n a 叫做根式，叫做根指数，a 叫做被开方数。
（2）方根的性质：当n 为奇数时，n na =当n 为偶数时，n n a = =n n a )(= （n >1且*N n ∈）2、有理数指数幂（1）正分数指数幂：n m a = （)1*,,0>∈>n N n m a 且（2）负分数指数幂：n ma -= =（)1*,,0>∈>n N n m a 且（3）0的正分数指数幂是 ；0的负分数指数幂没有意义3、有理数指数幂的性质（1）=s r a a ),,0(Q s r a ∈>（2）=s r a )( ),,0(Q s r a ∈>（3）r ab )(= ),,0(Q s r a ∈>4、指数函数图象和性质二、练一练 1、化简)0,0(16448<<y x y x 得（ ）(A) y x 22 (B)xy 2 (C) y x 24 (D) y x 22-2、函数x a a a y )33(2+-=是指数函数，则有（ ）(A) 21==a a 或 (B) 1=a (C) 2=a (D) 10≠>a a 且3、设指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，则下列等式不正确的是（ ）(A) )()()(y f x f y x f ⋅=+ (B))()(])[(y f x f xy f n n n ⋅=(C) )()()(y f x f y x f =- (D) )()(x f nx f x = 4、函数)1()(322>+=-+a m a x f x x 恒过点（1，10），则m =【课内探究】 一、讨论、展示、点评、质疑探究一 指数幂的化简与求值例1、化简下列各式：(1))0,0()(3131421413223>>⋅-b a b a b a ab b a (2) ()012132)32()15(10002.0833-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛----探究二、指数函数的图象与性质的应用例2、（1）函数x y 3=与x y --=3的图象关于（ ）(A) x 轴对称 (B) y 轴对称(C) 直线 y=x 对称 (D) 原点中心对称（2）函数)10(<<=a xxa y x的图象的大致形状是（ ）（3）设)()()(,,13)(b f a f c f a b c x f x >><<-=且，则下列关系式中一定成立的是（ ）(A) a c 33> (B)b c 33> (C) 233>+a c (D)233<+a c拓展1、（1）函数xx x f 214)(+=的图象（ ） (A) 关于原点对称 (B) 关于直线y=x 对称(C) 关于x 轴对称 (D) 关于y 轴对称（2）函数xx xx e e e e y ---+=的图象大致为（ ）探究三、指数函数综合应用例3（1）函数)10()(≠>--=a a a x a x f x 且有两个零点，则实数a 的取值范围是（2）已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4)41(1+⋅-=-x x y 的最大值和最小值二 总结提升1、知识方面2、数学思想方面【课后训练案】1、若函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=],1,0[,4),0,1[,)41()(x x x f x z 则)3(log 4f 等于（ ） (A)31 (B)3 (C) 41 (D)4 2、函数x x x f 243)(-⋅=在),0[+∞∈x 上的最小值是（ ） (A)121- (B)0 (C)2 (D)10 3、函数)1(>=a a y x 的图象是（ ）4、设2.146.08.0)21(,8,4-===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）(A)c b a >> c a b >> (B) (C) b a c >> a b c >> (D) 5、设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线1=x 对称，且当1≥x时，13)(-=xx f ，则有（ ） (A))32()23()31(f f f << (B))31()23()32(f f f << (C))23()31()32(f f f << (D))31()32()23(f f f << 6、已知函数139)(++⋅-=m m x f x x 对),0(+∞∈x 的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（ ） (A)322222+<<-m (B)2<m (C)222+<m (D)222+≥m7、已知215-=a ，函数x a x f =)(，若实数n m ,满足)()(n f m f >，则n m ,的大小关系为 8、已知)10()(≠>+=-a a a a x f x x 且，且3)1(=f ，则)2()1(0(f f f ++）的值是9、设函数21212)(-+=x x x f ，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数)]([x f y =的值域为 10、已知对任意R x ∈，不等式4222)21(21++-+>m mx x x x 恒成立，求实数m 的取值范围 11、已知函数)43lg(112x x xx y +-+-+=的定义域为M (1)求M (2)当M x ∈时，求)4(432)(3-<⨯+⋅=+a a x f x x 的最大值12、已知函数x x x f 212)(-=(1)若2)(=x f ,求x 的值；(2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围。
第四节 指 数 函 数教学目标： 知识与技能：了解指数函数模型的实际意义，理解有理数幂的含义，掌握指数运算 ，理解指数函数概念及函数的性质过程与方法：通过指数函数的概念，会画指数函数的图象，利用图象掌握指数函数的性质 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形的形状及函数的单调性教学重点：指数函数的图象及性质教学难点： 利用指数函数的性质研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.根式(1)根式的概念：①若x n =a,则x 叫做a 的n 次方根,其中n ＞1且n ∈N*.式子根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.②a 的n 次方根的表示：(2)根式的性质：①∈N*).2.有理数指数幂(1)分数指数幂的意义:①正分数指数幂： ②负分数指数幂：③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
(2)有理数指数幂的运算性质： ①a r a s=____(a>0,r,s ∈Q)；②(a r )s =___(a>0,r,s ∈Q)； n x ___(n n N*),x a x _____(n n N*).=∈⎧=⇒⎨=∈⎩当为奇数且时当为偶数且时n a =___,n a,a 0,___n .a,a 0,⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪-⎩⎩为奇数，为偶数＜()m *n a ____a 0,m,n N ,n 1;=∈＞且＞()m *n a ________a 0,m,n N ,n 1-==∈＞且＞；③(ab)r =____(a>0,b>0,r ∈Q).上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.3.指数函数的概念(1)解析式：y= a x (a>0,a ≠1).(2)自变量：x.4.指数函数的图像与性质图像 a>1 0<a<1定义域 R值域 (0,+∞)性质 在R 上是增函数 在R 上是减函数二 例题讲解【典例1】化简：b ＞0).【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数幂化为正分数指数幂，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行计算.【规范解答】(1)原式= (2)原式【变式训练】(1)计算：43342(a b )a b -()1111010.25332473(2)0.008 13()81(3)100.027.88------⨯⋅+-⨯［］［］1213233211233(a b a b )ab a b -31111112126333a b ab .+-++---==()1114114233()313()102------⨯⨯+＝［］［］133310()10-⨯［］11231123101()(1030.1033--=--⨯=--=÷9333222(a a )(a a )-=÷【解析】原式(2)计算： 【解析】原式(3)已知 求【解析】∵ ∴ ∴m+m-1=14,+1=14+1=15.【典例2】已知函数 (1)作出图象.(2)由图象指出其单调区间.(3)由图象指出当x 取什么值时函数有最值.【思路点拨】将函数写成分段函数的形式，作出函数的图象，由图象可求单调区间及最值. 【规范解答】(1)由已知可得,其图象由两部分组成： 一部分是： (x ≥0) 113232(a )(a )a a 1.=÷=÷=()112023170.027()(2)1).79----+--()112322725()7()11 0009-=--+-10549145.33=-+-=-1122m m 4-+=，33221122m m .m m ----1122m m 4,-+=1m m 216,-++=331112222111112222m m (m m )(m m 1)m m m m m m --------++∴==+--x 11y ().3+=x 1x 1x 11(),x 11y ()333,x 1.+++⎧≥-⎪==⎨⎪-⎩，＜x 1y ()3=(x ≥-1)；另一部分是：y=3x(x ＜0)图象如图所示：(2)函数在(-∞，-1］上是增函数，在［-1，+∞)上是减函数. (3)当x=-1时，函数 取最大值1，无最小值. 【小结】指数函数图象的应用 (1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质：对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2)利用图象解指数型方程、不等式：一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 【典例3】已知 (a ＞0且a ≠1).(1)讨论f(x)的奇偶性.(2)求a 的取值范围，使f(x )＞0在定义域上恒成立. 【思路点拨】先求函数的定义域，再判断奇偶性，对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x ＞0的情况.【规范解答】(1)由于ax-1≠0,则ax ≠1,得x ≠0,所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠0,x ∈R}.对于定义域内任意x ，有∴f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况.当x ＞0时，要使f(x)＞0，即即 即 即ax-1＞0，ax ＞1，ax ＞a0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立.【小结】利用指数函数的性质可求解的问题及方法 x 111y ()3+−−−−→=向左平移个单位()x 11y 3x 1.+−−−−→=-向左平移个单位＜|x1|1y ()3+=()3x 11f x ()x a 12=+-()()()x 33x x 11a 1f x ()x ()x a 121a 2--=+-=+---()33x x 1111(1)(x)()x f x .a 12a 12=--+-=+=--3x 11()x 0a 12+-＞，x 110a 12+-＞，x x a 102(a 1)+-＞，(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可. 【变式训练】(1)函数 的单调递减区间为_________，值域为________. 答案：(-∞,-2) ［3-7,+∞)(2)已知函数 (a ＞0且a ≠1)，①求f(x)的定义域；②讨论f(x)的奇偶性；③讨论f(x)的单调性.【解析】①f(x)的定义域是R.②f(x)是奇函数.③当a ＞1时，f(x)为R 上的增函数0＜a ＜1时, f(x )为R 上的减函数.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()2x 4x 31f x ()3--+=()x x a 1f x a 1-=+。
第03讲指数与指数函数（5类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点4.能结合指数函数比较指数式大小【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考1.指数的基本知识（1）根式的基本性质①x 的定义域为0≥x ,3x 的定义域为Rx ∈②⎩⎨⎧<-≥==0,0,2x x x x x x ，定义域为()R x ∈③()x x =2，定义域为()0≥x ④x x =33，定义域为()R x ∈⑤()x x =33，定义域为()R x ∈（2）指数的基本性质①零指数幂:01(0)a a =¹;②负整数指数幂:1(0,);p p a a p N a-*=¹∈③正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且;④负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且（3）指数的基本计算①同底数幂的乘法运算nm nmaa a +=⋅②同底数幂的除法运算nm n ma aa -=③幂的乘方运算()mn nm a a =④积的乘方运算()mm mb a ab =2.指数函数（1）指数函数的定义及一般形式一般地，函数()R x a a a y x∈¹>=,10且，叫做指数函数（2）指数函数的图象和性质x a y =1>a 10<<a 图象定义域R值域()+∞,0过定点()1,0当0>x 时，1>y ；0<x 时,10<<y 当0>x 时，10<<y ；0<x 时,1>y 性质在()+∞∞-,上是增函数在()+∞∞-,上是减函数1．（2023·全国·模拟预测）（ ）A ．13B C D ．3【答案】A.【详解】()22234133-===．故选：A ．2．（2024·广东·模拟预测）若3xy =，则= ．【答案】±【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，==当0,0x y <<时，+==-故答案为：±3．（2022·北京·高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．1．（2024·上海宝山·二模）（其中0a >）化为有理数指数幂的形式为 .【答案】54a 【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可54a ===故答案为：54a 2．（2023·山东·模拟预测）若114a a --=， 则22a a -+的值为（ ）A ．8B ．16C ．2D ．18【答案】D【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【详解】解：因为114a a --=，所以221122()24218a a a a --+=-+=+=.故选：D ．3．（2023·四川宜宾·一模）计算()12410.25lg 10-´=.【答案】-【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.()()121422410.2512-ùö´-ú÷øúû1242=-´-()12410.25lg 10-´=-故答案为：-.1．（2024·四川成都·模拟预测）函数3x y =与13xy =-的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y x =对称【答案】C【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数()f x 与()g x ，如果它们的图象关于原点对称，即()()g x f x -=-在定义域内恒成立，则称()f x 与()g x 为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.【详解】令函数()()13,3xxy f x y g x ====-，所以()()133x x g x f x --=-=-=-即()()g x f x -=-，所以函数()f x 与()g x 的的图象关于原点对称，即函数3x y =与13xy =-的图象的的图象关于原点对称，故选：C.2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知0a >，则函数()2x f x a a =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()()12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数()()e 11xf x x x =---的所有零点之和为（ ）A ．0B ．-1CD ．2【答案】A【分析】令()0f x =，即()e 110xx x ---=，构造函数e x y =与函数11x y x +=-，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为12,x x ，得()()110f x f x =-=，进而得到21x x =-，即120x x +=【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程()0f x =的实数根，令()0f x =，则()e110xx x ---=，显然1x ¹，所以1e 1x x x +=-，构造函数e x y =与函数11x y x +=-，则方程1e 1xx x +=-的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数()()e 11xf x x x =---有两个零点，设为12,x x ，所以1111e 1x x x +=-，2221e 1x x x +=-，即()()()()12111222e 110,e 110x xf x x x f x x x =---==---=，另外发现，将1x -代入，可得()()()()()11111111111111e 1110eee x x x x x x xf x x x x --+-++-=-----=+-=+=，所以1x -也是函数()f x 的零点，说明21x x =-，即120x x +=.故选:A.1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数212x y -=的图象，只需将指数函数4x y =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【答案】D【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.【详解】因为242x x y ==，1221222x x æö-ç÷-èø=，所以，为了得到函数212x y -=的图象，只需将指数函数4x y =的图象向右平移12个单位，故选：D.2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数21y x ax a =++-与x y a =的图象可能是（ ）A ．B．C ．D ．【答案】AC【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．【详解】当1a >时，对应的图象可能为选项A ；当01a <<时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.3．（2024·黑龙江·二模）已知函数||12x y a b æö=+ç÷èø的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（ ）A ．1-B ．2-C ．4-D ．9-【答案】C【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()()2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C1．（2023·全国·高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法不正确的是（ ）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ；根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++，函数22y t=-，121x t -=+，则1t >，又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t =-在()1,+∞上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B 正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确.故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2233x xf x --=-，则满足()()830f x f x +->的x 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】B【分析】设()33x xg x -=-，即可判断()g x 为奇函数，又()()2f x g x =-，可得()f x 图象的对称中心为()2,0，则()()40f x f x +-=，再判断()f x 的单调性，不等式()()830f x f x +->，即()()834f x f x ->-，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】设()33x x g x -=-，x ∈R ，则()()33x xg x g x --=-=-，所以()g x 为奇函数．又()()()222233332x x x x f x g x -----=-=-=-，则()f x 的图象是由()g x 的图象向右平移2个单位长度得到的，所以()f x 图象的对称中心为()2,0，所以()()40f x f x +-=．因为3x y =在R 上单调递增，3x y -=在R 上单调递减，所以()g x 在R 上单调递增，则()f x 在R 上单调递增，因为()()()()8304f x f x f x f x +->=+-，所以()()834f x f x ->-，所以834x x ->-，解得2x <， 故满足()()830f x f x +->的x 的取值范围为(),2∞-．故选：B4．（2024·全国·模拟预测）已知0,1a a >¹，函数()()251,11,1xx a x x f x a x ⎧+-+£=⎨->⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】B【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.【详解】因为函数1(0,1)x y a a a =->¹是减函数，所以1a >．又因为函数2(y x a =+-5）1x +图像的对称轴是直线52ax -=，所以函数()251y x a x =+-+在5,2a -æö-∞ç÷èø上单调递减，在5,2a -æö+∞ç÷èø上单调递增．又函数()f x 是R 上的减函数，所以151231a a a a>⎧ï-ï≥⎨ï-≥-ï⎩，解得23a ££，所以a 的取值范围是[]2,3．故选:B ．1．（2024·江西·模拟预测）函数()223x xf x -=的一个单调递减区间为（ ）A ．(),0∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】C【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.【详解】令22t x x =-，则3t y =，由复合函数的单调性可知：()f x 的单调递减区间为函数22t x x =-的单调递减区间，又函数2()()2()t x x x t x -=---=，即函数()t x 为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数22t x x =-的单调递减区间为(),1∞--和()0,1，即()f x 的单调递减区间为(),1∞--和()0,1．故选：C ．2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．(],4∞-C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞【答案】D【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数3x y =在R 上单调递增，而函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，所以2y x a =-在区间()1,2单调递减，所以22a≥，解得4a ≥．故选：D ．3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 单调递增B ．函数()f x 值域为()0,2C ．函数()f x 的图象关于()0,1对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1对称【答案】ABD【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++，函数22y t=-，121x t -=+，则1t >，又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t =-在()1,∞+上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B 正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确.故选：ABD4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()11,021,02x x f x x x +⎧<ïï=⎨ï≥ï+⎩，则不等式()()213f a f ->的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),22,∞∞--È+【答案】A【分析】判断函数()f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】()11,021,02x x f x x x +⎧<ïï=⎨ï≥ï+⎩，易知112x y +=在(),0∞-单调递减，12y x =+在()0,∞+单调递减，且()f x 在0x =处连续，故()f x 在R 上单调递减，由()()213f a f ->，则213a -<，解得22a -<<,故不等式()()213f a f ->的解集为()2,2-.故选：A1．（23-24高三·阶段练习）已知函数()112æ=ç÷èøf x ，则()f x 的单调递增区间为，值域为 ．【答案】 (,0]-∞ (0,2]【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令220x x ≥－，解得2x ≥或0x £，∴()f x 的定义域为(][),02,∞+∞U -，令1t -，则其在(,0]-∞上递减，在[2,)+∞上递增，又12ty æö=ç÷èø为减函数，故()f x 的增区间为(,0]-∞．∵11t =≥-，∴(]10,22tæö∈ç÷èø，故()f x 的值域为(0,2]．故答案为：(,0]-∞，(0,2].2．（2024·上海松江·二模）已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++£=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是 .【答案】1{|02a a <£或1}a =【分析】令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，分类讨论a 的取值范围，判断()g x ，()h x 的单调性，结合()f x 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令()(2)41g x a x a =-++，(],2x ∞∈-，1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，当01a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递减，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，因为()f x 存在最小值，故需()2(2)2410g a a =-´++£，解得12a £，结合01a <<，此时102a <£；当12a <<时，()g x 在(],2-∞上单调递减，()h x 在(2,)+∞上单调递增，则()h x 在(2,)+∞上的值域为(2,)a +∞，因为()f x 存在最小值，故需()22g a £，即(2)2412a a a -´++£，解得34a £，这与12a <<矛盾；当1a =时，()5g x x =-+在(],2-∞上单调递减，且在(],2-∞上的值域为[)3,+∞，()2h x =，此时存在最小值2；则实数a 的取值范围为1{|02a a <£或1}a =．故答案为：1{|02a a <£或1}a =．3．（2024·四川成都·二模）已知函数()212ax x f x -+=的值域为M ．若()1,M ∞+Í，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,4æù-∞çúèûB ．10,4éùêúëûC ．11,,44æùéö-∞-È+∞ç÷úêèûëøD ．1,4éö+∞÷êëø【答案】B 【分析】对实数a 分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.【详解】当0a =时，()()120,x f x ∞-+=∈+，符合题意；当0a ¹时，因为函数()212axx f x -+=的值域为M 满足()1,M ∞+Í，由指数函数的单调性可知，即二次函数21y ax x =-+的最小值小于或等于零；若0a >时，依题意有21y ax x =-+的最小值4104a a-£，即104a <£，若0a <时，不符合题意；综上：104a ££，故选：B.1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数223()2x x f x -++=，则()f x 的最大值是 .【答案】16【分析】求出223t x x =-++的范围，根据复合函数的单调性求解.【详解】由()2232xx f x -++=，而2223(1)44t x x x =-++=--+£，因为2t y =单调递增，所以422t y =£，则()f x 的最大值是16.故答案为：162．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数1()1lg ([,100])10f x x x =+∈，则函数22[)()](()2f x f x F x -=的值域为（ ）A ．1[,16]2B ．[]1,8C ．[]2,16D ．[]1,16【答案】D【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出()f x 的值域，再借助二次函数求出22[()]()f x f x -的值域，最后利用指数函数单调性求解即得.【详解】函数()1lg f x x =+在1[,100]10上单调递增，()[0,3]f x ∈，令22222[()]()[()]12lg [()]2()1[()1][0,4]t f x f x f x x f x f x f x =-=--=-+=-∈，而函数2t y =在[0,4]上单调递增，则1216t ££，所以函数22[)()](()2f x f x F x -=的值域为[]1,16.故选：D3．（2024·河北保定·三模）已知()11,14()1,1x a x f x a x x x ⎧--£ïï=⎨ï+->ï⎩()1a >的值域为D ，1[,)2D Í+∞，则a 的取值范围是（ ）A ．3[,2]2B ．55[,)43C ．3[,2)2D ．7[,2]4【答案】D【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数a 的取值范围.【详解】①若12a <<，当1x £时，()()114xf x a =--在(,1]-∞上单调递减，此时5()[,)4f x a ∈-+∞，当1x >时，()11af x x x=+-≥，当且仅当1x =>时，等号成立，又函数()f x 的值域D 满足1[,)2D Í+∞，则1,211,212,a ⎧ïïï≥⎨ï<<ïï⎩解得724a £<；②若2a >，当1x £时，()()114xf x a =--在(,1]-∞上单调递增，此时15()(,44f x a ∈--，当1x >时，()11af x x x=+-≥，当且仅当1x =>时，等号成立，又函数()f x 的值域D 满足1[,)2D Í+∞，不合题意；③当2a =时，3,1,4()21,1,x f x x x x ⎧£ïï=⎨ï+->ï⎩，若1x >，有21112x x +->≥（当且仅当x =时取等号）符合题意，综上所述：724a ££.故选：D.1．（2024·云南·二模）若12132,6,2a b c p --===，则（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【分析】根据中间数2比较a 与c ，根据中间数1比较b 与c .【详解】因为21222a p -=>=，1322c =<，所以a c >，因为11616b -==<，103221c =>=，所以c b >，所以a c b >>.故选：D.2．（2024·天津·一模）已知实数a ，b ，c 满足5312a æö=ç÷èø，12e b =，1123cæö=ç÷èø，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【分析】根据条件，得到1e 1()2b =，利用函数1(2x y =的单调性，即可得到1a b <<，而1c >，即可求出结果.【详解】因为12eb =，得到1e 1()2b =，又5312a æö=ç÷èø，函数1()2x y =是减函数，所以51311()122a b æö=<=<ç÷èøe ，又1123cæö=ç÷èø，得到1221log log 313c ==>，所以a b c <<，故选：A.3．（2024·宁夏银川·三模）设0.29a =，0.313b =，ln1.33c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c<<【答案】A【分析】构造函数()1ln f x x x =--，应用导数得其单调性，可判断0.3ln1.3>，再结合指数函数3x y =的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数()1ln f x x x =--，则()1x f x x¢-=，当1x ≥时，()0f x ¢≥，所以()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，因此可得()()1.310f f >=，即()1.3 1.31ln1.30.3ln1.30f =--=->，所以0.3ln1.3>，又指数函数3x y =为单调递增，可得0.310.3ln1.3333>>，即b c >，因为0.20.40.31933a b ==>=，所以c b a <<.故选：A.1．（2024·四川·模拟预测）设0.40.5a =， 1.10.4b =，0.51.1c =，则（ ）A ．a c b <<B ．c<a<b C ．a b c <<D ．b a c<<【答案】D【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.【详解】因为指数函数0.5x y =是单调减函数，所以 1.10.400.50.50.51<<=，又由幂函数 1.1y x =在()0,∞+上单调增函数，所以 1.1 1.1 1.1110.50.4=>>，又因为指数函数 1.1x y =是单调增函数，所以0.501.1 1.11>=，综上可得：b a c <<，故选：D.2．（2023·天津·高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D3．（2024·辽宁·一模）设123322e 1e 3a b c -==-=-，，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b<<【答案】B【分析】利用导数证明不等式e 1x x ≥+，可得,b a c a <<；根据不等式的性质可证得21331e e -+>，则c b <，即可求解.【详解】对于函数()e 1x f x x =--，()e 1x f x ¢=-，令()00,()00f x x f x x ¢¢<Þ<>Þ>，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==，则()0f x ≥，即e 1x x ≥+.所以13122e 2(1)33b =-£-+=，23221e 1(1)33c -=-£--+=.由2e 8<，得2133e 82<=，所以13132e e<，则21332133121e 1e ee-+=+>>，所以21331e 2e --<-，即c b <.所以c b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.一、单选题1．（2024·陕西渭南·二模）设集合{}11M x x =-££，{}e ,0xN y y x ==£，则M N È=（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．[]0,1【答案】C【分析】求出函数值域化简集合N ，再利用并集的定义求解即得.【详解】当0x £时，0e 1x <£，则(0,1]N =，而[1,1]M =-，所以[1,1]M N =-U .故选：C2．（2024·河南·模拟预测）若,a b ∈R ，则“a b >”是“3322a b b a ->-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】构造函数()32x xf x =+，根据函数单调性得到3232a a b b +>+，故a b >.【详解】构造函数()32x xf x =+，则()f x 在R 上单调递增，所以()()33223232a b b a a a b bf a f b a b ->-Û+>+Û>Û>．3．（2024·湖南邵阳·三模）“01a <<”是“函数()xf x a a =-（0a >且1a ¹）在R 上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论()f x 的单调性，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若1a >，则()f x 的图象为：可知()f x 在R 上单调递增；若01a <<，则()f x 的图象为：可知()f x 在R 上单调递减；综上所述：“01a <<”是“函数()xf x a a =-（0a >且1a ¹）在R 上单调递减”的充要条件.故选：C ．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2x af x a +=∈R 为偶函数，则函数()y f x =的增区间为（ ）A ．()1,-+∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．(),0∞-【答案】B【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.【详解】因为函数()()2x af x a +=∈R 为偶函数，所以22x ax a-++=，解得0a =，所以函数()2,022,0x xx x f x x -⎧£==⎨>⎩，其增区间为()0,∞+.5．（2024·辽宁·一模）若函数()223xaxf x -+=在区间()1,4内单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4∞-B ．[]4,16C ．()16,+∞D ．[)16,+∞【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【详解】设()3u f u =，22u x ax =-+，则()3uf u =在(),-∞+∞上单调递增.因为()223xaxf x -+=在区间(1,4)内单调递减，所以函数22u x ax =-+在区间()1,4内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：14a£，解得a £4.故选：A6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数()()1,02,0xx f x g x x ⎧æö<ïç÷=⎨èøï>⎩是奇函数，则0x >时，()g x 的解析式为（ ）A ．12xæö-ç÷èøB ．12xæöç÷èøC ．2x -D ．2x【答案】C【分析】设0x >，利用0x <时，()12xf x æö=ç÷èø和()()f x f x -=-可求得()g x 的解析式.【详解】设0x >，则0x -<，所以()122xx f x -æö-==ç÷èø，又函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即()2xf x -=Þ()2x f x =-，0x >.即()2xg x =-.故选：C7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数()21f x +为偶函数，若函数()()11225--=++-x x g x f x 的零点个数为奇数个，则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】D【分析】由函数()g x 的图象关于1x =对称得零点关于1x =对称，但()g x 的零点个数为奇数个可得答案.【详解】因为函数()21f x +为偶函数，所以()()2+1=2+1f x f x -，所以()y f x =的图象关于1x =对称，令()11225--=+-xx h x ，则()()112225---=+-=x x h x h x ，可得函数()11225--=+-xx h x 的图象关于1x =对称，所以函数()()11225--=++-x x g x f x 的图象关于1x =对称，则函数()g x 的零点关于1x =对称，但()g x 的零点个数为奇数个，则()10f =.故选：D.二、填空题8．（2024·山东济宁·三模）已知函数410()2log 0xx f x x x ⎧æö£ïç÷=⎨èøï>⎩，，，则12f f æöæö=ç÷ç÷èøèø.【分析】利用已知的分段函数，可先求11()22f =-，再求1122f f f æöæöæö=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.【详解】因为410()2log 0xx f x x x ⎧æö£ïç÷=⎨èøï>⎩，，，，所以44111log =log 2222f æö=-=-ç÷èø.所以11221112222f f f -æöæöæöæö=-===ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式()f x = ．①()()()1212f x x f x f x +=；②()f x 的值域为(0,)+∞．【答案】2x （答案不唯一）【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.【详解】对于任意指数函数函数()(0xf x a a =>且1)a ¹,条件①，对于任意12,x x ∈R ，都有()()()12121212x x x xf x f x a a a f x x +=⋅==+，条件②，()f x 是指数函数，所以()f x 的值域为(0,)+∞，例如：函数()2xf x =为指数函数，满足条件①②.故答案为：2x （答案不唯一）.10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“R x $∈，20x a -=”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．【答案】{|0}a a £【分析】根据已知条件，推得R x "∈，20x a -¹为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．【详解】命题“R x $∈，20x a -=”为假命题，则R x "∈，20x a -¹为真命题，又 20x >则0a £，故实数a 的取值范围为{|0}a a £．故答案为：{|0}a a £．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()1e xf x a=+的图象关于点()()1,1f 对称，则=a （ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 【答案】C【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得e a =.【详解】由对称中心性质可知函数()f x 满足()()()221f x f x f +-=，即2112e e e x x a a a-+=+++，整理可得3122e e 2e e 2e e x x x x a a a -+-+=+++，即()()22e e e e e e e 22x x x xa --++--=，解得e a =.故选：C2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数e ()e x xaf x a -=+是奇函数，若(2023)(2024)f f >，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．0【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.【详解】因为函数e ()e x xaf x a-=+是奇函数，所以e 1e ()()e 1e e e e e x xx x x x x x a a a a a a f x f x a a --+--=---===-=-+++，解得1a =±，又e e 22()1e e e x x x x xa a a af x a a a-+-===-+++，所以当0a >时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数，因为(2023)(2024)f f >，所以a<0，故1a =-.故选：B3．（2024·北京西城·三模）已知函数()2x f x =，若12,R x x "∈，且12x x <，则下面结论错误的是（ ）A ．12()()f x f x <B ．1212()()22x x f x f x f ++æö<ç÷èøC ．1212()()()f x x f x f x =+D ．1212()()()f x x f x f x +=【答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断A ，根据基本不等式判断B ，根据指数的运算判断C D .【详解】由指数函数的单调性可知()f x 在R 上单调递增，又12x x <，所以12()()f x f x <，故A 正确；因为120x >，220x >，所以121212122222()()222x x x x f x f x x x f +++æö=≥=ç÷è+=ø，又12x x <，所以上式取不到等号，所以1212()()22f x f x x x f ++æö>ç÷èø，故B 正确；1212()2x x f x x =，1212()()22x x f x f x +=+，12,R x x "∈，12x x <，1212()()()f x x f x f x ¹+，故C 错误；1212()2x x f x x ++=，12121212()()222()xx x x f x f x f x x +=⋅==+，故D 正确.故选：C.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ()e ,0,ln ,0,x x f x x x ⎧£=⎨>⎩()3,g x x =-方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根，分别是12,,x x 则 12x x +=（ ）A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】B【分析】方程()()()3f g x g x =--有两个不同的根等价于函数()()y f g x =与y x =-的图象有两个交点，作出函数()()f g x 与y x =-的图象，根据数形结合计算即可得出结果.【详解】由题意得：()3g x x =-为R 上的增函数，且()30,g =当3x £时，()0g x £，()()3e xfg x -=，当3x >时，()0g x >，()()()ln 3f g x x =-，方程()()()3f g x g x x =--=-有两个不同的根等价于函数()()y f g x =与y x =-的图象有两个交点，作出函数()()f g x 与y x =-的图象如下图所示：由图可知3e x y -=与()ln 3y x =-图象关于3y x =-对称，则,A B 两点关于3y x =-对称，中点C 在3y x =-图象上，由3y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得：33,22C æö-ç÷èø.所以123232x x =´+=.故选：B5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若1235111e ,e ,563a b c ===，则（ ）A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】B【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.【详解】由题意知1235212e ,2e 53a b ==，令()e (01)xf x x x =<<，则()()2e 10x xf x x ¢-=<，所以()f x 在()0,1上单调递减，又120135<<<，所以1235f f æöæö>ç÷ç÷èøèø，即1235e e 1235>，所以123521e e 53>，即22a b >，所以a b >，又1355e 3a c ===，又53=>>55c a >，所以c a >，所以c a b >>．故选：B ．【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.6．（2022·全国·模拟预测）已知124e a =，139e b =，6c =，则a ，b ，c （ ）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.【详解】令2e (),01xf x x x =<<，求导得3(2)e ()x x f x x -¢=，当01x <<时，()0f x ¢<，则()f x 在(0,1)上单调递减，则11()3(2f f >，即11324e 9e <，而9e 4>，于是112294e 4()64>´=，所以c a b <<.故选：D二、多选题7．（2024·山东临沂·一模）已知函数()()221xf x a a =+∈-R ，则（ ）A ．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U B ．()f x 的值域为RC ．当1a =时，()f x 为奇函数D ．当2a =时，()()2f x f x -+=【答案】ACD【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A ，再分210x ->、1210x -<-<分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B ，根据奇偶性判断C ，根据指数幂的运算判断D.【详解】对于函数()()221xf x a a =+∈-R ，令210x -¹，解得0x ¹，所以()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，故A 正确；因为20x >，当210x ->时2021>-x ，所以221x a a +>-，当1210x -<-<时2221x<--，所以2221x a a +<-+-，综上可得()f x 的值域为()(),2,a a -∞-++∞U ，故B 错误；当1a =时()22112121x x x f x +=+=--，则()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，所以()2121x f x =+-为奇函数，故C 正确；当2a =时()221212121x x x f x +=+=+--，则()()21211122121x x xx f x f x ---+=++-+++=-，故D 正确.故选：ACD三、填空题8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意[]1,3x ∈，22x x a -£+”为假命题，则实数a 的取值范围是 .【答案】52a >【分析】根据题意，问题转化为存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，即()min 22x xa ->+，求出22x xy -=+的最小值得解.【详解】若命题任意“[]1,3x ∈，22x x a -£+”为假命题，则命题存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，因为13x ££时，228x ££，令2x t =，则28t ££，则1y t t =+在[]28,上单调递增，所以56528y ££，所以52a >.故答案为：52a >.9．（2024·上海·三模）若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥ï=⎨<ï⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为 ．【答案】12-/0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122x xx f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m £-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.10．（2024·广东广州·三模）函数()2,21331,2x a x f x ax x x ⎧£=⎨-+>⎩，其中0a >且1a ¹，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据题意，()f x 在R 上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.【详解】因为0a >且1a ¹，若函数是单调函数，结合二次函数可知：()f x 在R 上单调递增，21132245a a a a >⎧ïï£⎨ï£+ï⎩，解得1354a ££.故答案为：4（答案不唯一）.1．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥ï´-⎨ï-£+⎩，解得10a -££，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.2．（2024·天津·高考真题）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B3．（2023·全国·高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112æ-=ççè，而22491670-=+=>，41102æ-=>ççè11>由二次函数性质知g g <，4112æ-=ççè，而22481682)0-=+-=-=-<，11<，所以g g >，综上，g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.4．（2023·全国·高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---éù--ëû--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <£，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞U ，而ln x R ∈且ln 0x ¹，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．6．（上海·高考真题）方程1139x -=的解为 .【答案】1-【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到121339x --==，得出方程，即可求解.【详解】由121339x --==，可得12x -=-，解得=1x -.故答案为: 1-.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.7．（福建·高考真题）函数()x b f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1,0a b ><B ．1,0a b >>C ．01,0a b <<>D ．01,0a b <<<【答案】D。
§2.6指数与指数函数主备人：钱美平 审核人：陈军题型一：指数幂的运算【知识构建】1．指数幂的概念（1）根式:如果一个实数x 满足(1,N )n x a n n *=>∈，那么称x 为a 的 ，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.① 当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个 数，负数的n 次实数方根是一个 数，此时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x= .② 当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有 个，它们互为 ，此时，正数 a 的正的n 次实数方根用符号 表示，负的n 次实数方根用符号 表示.正负两个n 次实数方根可以合写为 (a >0)的形式.负数没有偶次实数方根. 零的任何次实数方根都是 .（2）根式的性质：①n = ；②当n 为奇数时，n = ；当n 为偶数时, n =a = .2．有理指数幂（1）分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂mn a = ；② 正数的负分数指数幂mn a -= ；③ 0的正分数指数幂是 ，0的负分数指数幂无意义.（2）有理指数幂的运算性质①s ta a = (0,,a s t Q >∈)； ②()s t a = (0,,a s t Q >∈)； ③()t ab = (0,0,a b t Q >>∈).例1化简：（1） a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)；（2）21103227()(0.002)2)8----+-+【方法提炼】题型二：指数函数的图象、性质【知识构建】指数函数概念、图象和性质（1）定义：（2）图象与性质例2 （1）函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列对a，b的范围判断正确的是________.(填序号)①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.（2）若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________..【方法提炼】题型三：指数函数的应用例3 （1）k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？（2）已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x | . ① 若f (x )＝32，求x 的值； ② 若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.【方法提炼】题型四：综合与创新例4 已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标 是________．【方法提炼】【变式训练】变式1：（1）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+= （2）1132113321(4)()4(0.1)()ab a b ----=变式2.1：已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式： ① 0<b <a ；② a <b <0；③ 0<a <b ；④ b <a <0；⑤ a ＝b .其中不可能成立的关系式有________.(填序号)变式2.2：若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝______.变式3：设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数.(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值.变式4：已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．。
第四节 指数与指数函数突破点一 指数幂的运算[基本知识]1．根式 (1)根式的概念若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a当n 为偶数且n >1时2．有理数指数幂一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4－a4＝－a .( )(2)(－a )＝(－a )＝－a .( ) (3)(na )n＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．计算：π0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝________.答案：1182．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a51×32＝a 2·a ＝a ＝a .答案：a 3．若a －2＝3－2a3，则实数a 的取值范围为________．解析：a －2＝|2a －1|，3－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例] (1)a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．aD ．a(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2 14－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a ＝a .故选D.(2)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.[答案] (1)D (2)1615[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p(ab ≠0)； (2)a ＝()a 1mm，a ＝(a )n (式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝aa 等；(4) 乘法公式的常见变形，如(a ＋b )(a －b )＝a －b ，(a ±b )2＝a ±2ab ＋b ，(a ±b )(a ∓ab ＋b )＝a ±b .[针对训练]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a 1-3b 12a-12b13a 16b56＝a ·b ＝1a.2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4， 则2＝147＝2，∴2＝2×4＝23， ∴1a －1b ＋1c＝3.答案：33．若x >0，则(2x ＋3)(2x －3)－4x (x －x )＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x )2－(3)2－4x ·x ＋4x ·x ＝4x －3－4x ＋4x ＝4x －33－4x ＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二 指数函数的图象及应用[基本知识]1．指数函数的图象画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝2x －1是指数函数．( )(2)y ＝ax ＋1的图象恒过定点(－1,1)．( )(3)要得到y ＝3x ＋2的图象只需将y ＝3x的图象向左平移2个单位即可．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数y ＝2x ＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a＝4.答案：4[全析考法]考法一 与指数函数有关的图象辨析 [例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y ＝e－|x －1|的大致图象是( )[解析] 因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.[答案] B考法二 指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2] (2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1， 所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立， 结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1， 解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.2.[考法二]函数y ＝a x－b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C 因为函数y ＝a x－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x－b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b∈(0,1)，故选C.3.[考法二]若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三 指数函数的性质及应用[基本知识]指数函数的性质(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意分a >1与0<a <1两种情况来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当x >0时，y >1.( )(2)若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a 为 2.( ) (3)若a m>a n(a >0，且a ≠1)，则m >n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x <0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x>1，又因为0.5x <0.2x，所以b <a <c .答案：b <a <c 3．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞[全析考法]考法一 比较指数式大小或解不等式[例1] (1)已知f (x )＝2x －2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] (1)易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97>⎝ ⎛⎭⎪⎫97＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] (1)B (2)C[方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二 与指数函数有关的函数最值问题[例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－ 2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[解析] 由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.[答案] D [方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．考法三 与指数函数有关的函数单调性问题 [例3] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)若函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1C ．(1， 3 ]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t ＝a x (t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12. 若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选B.[答案] (1)B (2)B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[集训冲关]1.[考法一]已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选D a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b .2.[考法二]函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 函数y ＝16－2x 中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因为2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝16－2x∈[0,4)．故选C.3.[考法三]函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选D.4.[考法一、三]已知函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是______________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)。
2.4 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n ＝⎩⎨⎧n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧，a ≥0， ，a <0n 为偶数；②(na )n＝______(n ＞1且n ∈N *)(注意a 必须使na 有意义)．2．实数指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂的意义是m na ＝______(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．②正数的负分数指数幂的意义是m na-＝______＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a r a s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s＝____(a ＞0，r ，s ∈Q )；③(ab )r＝____(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． (3)无理指数幂一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个____的实数，有理指数幂的运算法则________________于无理指数幂．在x轴________逐渐增大时，图象逐渐下降逐渐增大时，图象逐渐上升当x＞0时，__________1．化简416x8y4(x＜0，y＜0)得( )．A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y2．函数y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有( )．A．a＝1或a＝2 B．a＝1C．a＝2 D．a＞0且a≠13．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y＝2x的图象，则( )．A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x)＝2x＋2－2C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－24．函数y＝xa x|x|(0＜a＜1)图象的大致形状是( )．5．函数f(x)＝223x xa+-＋m(a＞1)恒过点(1,10)，则m＝__________.一、指数式与根式的计算【例1】计算下列各式的值．(1)23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12(0.002)-－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；111143342()a b a b-(a＞0，b＞0)．方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例2－1】在同一坐标系中，函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象之间的关系是( )．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【例2－2】已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【例2－3】k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？ 方法提炼1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2. 如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1＞d 1＞1＞a 1＞b 1，∴c ＞d ＞1＞a ＞b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤： (1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)．4．函数y ＝a f (x )的值域的求解，先确定f (x )的值域，再根据指数函数的单调性确定y ＝a f (x )的值域．请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用 【例3】已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a ＞0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 方法提炼1．利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．2．解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现． 请做演练巩固提升5忽略0＜a ＜1或弄错x 的范围而致误【典例】(12分)已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．分析：先确定t ＝x 2＋2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0上的值域，再分a ＞1，0＜a ＜1两种情况讨论，构建关于a ，b 的方程组求解．规范解答：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0， ∴t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，值域为[－1,0]，即t ∈[－1,0]．(2分)(1)若a ＞1，函数y ＝a t在[－1,0]上为增函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1，则b ＋22x x a+∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1a，b ＋1， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(7分)(2)若0＜a ＜1，函数y ＝a t在[－1,0]上为减函数，∴a t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a ，则b ＋22x xa +∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋1，b ＋1a ，(9分)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.(12分)答题指导：1．在解答本题时，有两大误区：(1)误将x 的范围当成x 2＋2x 的范围，从而造成失误．(2)误认为a ＞1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0＜a ＜1的情况，从而造成失误． 2．利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误； (3)利用幂的运算性质化简指数式时失误； (4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误．1．(2012天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a2．在同一个坐标系中画出函数y ＝a x，y ＝sin ax 的部分图象，其中a ＞0且a ≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )．3．类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a ＞0且a ≠1，下面正确的运算公式是( )． ①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x －y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x ＋y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①②③④4．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷12100-＝__________. 5．若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)x n＝a 正数 负数 两个 相反数 (2)①a a －a ②a2．(1)①na m②1m na③0 (2)①ar ＋s②a rs③a r b r(3)确定 同样适用 3．上方 (0,1) R (0，＋∞) 递减递增 y ＝1 y ＞1 0＜y ＜1 0＜y ＜1 y ＞1 基础自测1．D 解析：416x 8y 4＝1844(16)x y ＝14844[2()()x y ⋅-⋅-＝1442⨯·184()x ⨯-·144()y ⨯-＝2(－x )2(－y )＝－2x 2y .2．C 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a >0且a ≠1.∴a ＝2.3．C 解析：因为将函数y ＝2x 的图象向上平移2个单位长度得到函数y ＝2x＋2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y ＝2x －2＋2的图象，所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝2x －2＋2.4．D 解析：当x ＞0时，y ＝a x ；当x ＜0时，y ＝－a x.故选D.5．9 解析：f (x )＝223x x a +-＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1,1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)原式＝23278-⎛⎫-⎪⎝⎭＋121500-⎛⎫⎪⎝⎭－105－2＋1 ＝23827⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12500－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1. (3)原式＝1213233211233()a b a b ab a b-＝3111111226333ab +-++--＝ab －1.【例2－1】A 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x，∴它与函数y ＝2x的图象关于y 轴对称．【例2－2】 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝24313x x --+⎛⎫ ⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )在R 上单调递减．所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )． 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.【例2－3】 解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＜0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0＜k ＜1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解． 【例3】 解：(1)函数定义域为R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)当a ＞1时，a 2－1＞0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，a 2－1＜0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x为减函数，∴f (x )为增函数．故当a ＞0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴f (x )在区间[－1,1]上为增函数． ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)．∴f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a ) ＝aa 2－1·1－a2a＝－1. ∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]． 演练巩固提升1．A 解析：a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，∵21.2＞20.8＞1，∴a ＞b ＞1，c ＝2log 52＝log 54＜1. ∴c ＜b ＜a .2．D 解析：若a ＞1，则y ＝ax 是增函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＜2π；若0＜a ＜1，则y ＝ax 是减函数，且y ＝sin ax 的周期T ＝2πa＞2π.3．A 解析：∵S (x ＋y )＝a x ＋y －a －(x ＋y )2，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝a x －a －x 2·a y ＋a －y2＋a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＝a x ＋y ＋a x －y －a y －x －a －(x ＋y )4＋a x ＋y －a x －y ＋a y －x －a －(x ＋y )4＝2a x ＋y －2a －(x ＋y )4＝a x ＋y －a －(x ＋y )2＝S (x ＋y )，故①正确；同理可知③也正确．故选A. 4．－20 解析：(lg 14－lg 25)÷12100-＝lg(14×125)÷121100＝lg 1100÷1100＝lg 10－2×100＝－2×10＝－20.5．解：∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1， ∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义， 可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x ＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝2121x -－1121x - ＝122122(21)(21)x x x x ---. ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x.∴12x －22x ＜0,12x －1＞0,22x－1＞0.∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上单调递增．同样可以得出y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上单调递增．。
2.4指数与指数函数1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a ； 当n 为偶数时na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 『试一试』1．化简『(－2)6』12－(－1)0的结果为________．『答案』72．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 『解析』由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 『答案』(－2，－1)∪(1，2)1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a 2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论． 『练一练』 1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域为________．『答案』『0，＋∞)2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是『0,2』，则实数a ＝________. 『解析』当a >1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a >1，∴a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x －1在『0,2』上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立．综上可知，a ＝ 3.『答案』3求值与化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12；(3)a23·b－1－12·a－12·b136a·b5『解析』(1)原式＝1＋14×1249⎛⎫⎪⎝⎭－121100⎛⎫⎪⎝⎭＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a16－b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a16－b－3÷(a13b32－)＝－54a－12－·b23－.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.(3)原式＝111133221566·a b a ba b--＝a－111326---·b115236-＋.『备课札记』『类题通法』指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.『典例』 (1)(2013·苏锡常镇一调)已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图像交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过点A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图像于点C ，当BC ∥x 轴时，点A 的横坐标是________． (2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________个『解析』 (1)设A (x 0,3x 0)，由AC 平行于y 轴，则C (x 0,9x 0)．又因为BC 平行于x 轴，则B (2x 0,9x 0)．因为O ，A ，B 三点共线，所以x 0·9x 0＝2x 0·3x 0，得3x 0＝2，所以x 0＝log 32. (2)函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图像如图所示．由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 『答案』 (1)log 32 (2)2『备课札记』 『类题通法』指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．『针对训练』1．(2013·徐州摸底)已知直线y＝a与函数f(x)＝2x及g(x)＝3·2x的图像分别相交于A，B两点，则A，B两点之间的距离为________．『解析』由题意知A，B两点之间的距离与a无关，即为定值．不妨设a＝3，则由3·2x＝3知x B＝0.由2x＝3知x A＝log23，故AB＝x A－x B＝log23.『答案』log232．方程2x＝2－x的解的个数是________．『解析』方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．『答案』1『典例』已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0，且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．『解析』(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝a x为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝a x－a－x为增函数．所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝a x为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝a x－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．故当a>0且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．『解析』由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间『－1,1』上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)． 所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a－1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1. 所以要使f (x )≥b 在『－1,1』上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1』．『备课札记』 『类题通法』利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 『针对训练』已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 『解析』(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g (x )的值域为(0，＋∞)． 应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )． 故a 的值为0.『课堂练通考点』1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 『解析』由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.『答案』72．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域是________． 『解析』由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x －2在『2,4』上是增函数，f min (x )＝f (2)＝1，f max (x )＝f (4)＝9. 『答案』『1,9』3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 『解析』∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴23－x ≤23＝8，∴8－23－x ≥0，∴函数y ＝8－23－x 的值域为『0，＋∞)． 『答案』『0，＋∞)4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．『解析』∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 『答案』m >n5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间『1,2』上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．『解析』当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈『1,2』上， f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈『1,2』上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.『答案』12或32。
高考数学（理科）一轮复习指数与指数函数学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com 学案7 指数与指数函数导学目标：1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理．指数幂的概念根式如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a 叫做____________．根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________．③n＝____.④当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，nan＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是＝________．②正数的负分数指数幂是＝____________＝______________．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．有理指数幂的运算性质①aras＝________．②s＝________．③r＝________．3．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域________值域________性质过定点________当x>0时，______；当x<0时，______ 当x>0时，________；当x<0时，______ 在上是______在上是______自我检测．下列结论正确的个数是①当a<0时，＝a3；②nan＝|a|；③函数y＝－0的定义域是；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.A．0B．1c．2D．32．函数y＝ax是指数函数，则有A．a＝1或a＝2B．a＝1c．a＝2D．a>0且a≠13．如图所示的曲线c1，c2，c3，c4分别是函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是A．a<b<1<c<dB．a<b<1<d<cc．b<a<1<c<dD．b<a<1<d<c4．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝22，则ab－a－b 的值等于A.6B．2或－2c．－2D．25．函数f＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是A．a>1，b<0B．a>1，b>0c．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a<b，求：a－1＋b－1ab－1；÷3a－8•3a15.变式迁移1 化简的结果是A.baB．abc.abD．a2b探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y＝|x＋1|.作出函数的图象；由图象指出其单调区间；由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y＝a2x＋2ax－1在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．变式迁移3 已知函数f＝x3.求f的定义域；证明：f＝f；证明：f>0.分类讨论思想的应用例已知f＝aa2－1．判断f的奇偶性；讨论f的单调性；当x∈[－1,1]时f≥b恒成立，求b的取值范围．【答题模板】解函数定义域为R，关于原点对称．又因为f＝aa2－1＝－f，所以f为奇函数．[3分]当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x 为增函数，所以f为增函数．[5分]当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x 为减函数，所以f为增函数．故当a>0，且a≠1时，f在定义域内单调递增．[7分]由知f在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f≤f≤f，∴fmin＝f＝aa2－1＝aa2－1•1－a2a＝－1.[10分]∴要使f≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是问是难点，讨论f的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在中，函数的单调性既与ax－a－x有关，还与aa2－1的符号有关，若没考虑aa2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a的题设条件中的范围也是错误的．．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．一、选择题．函数y＝的值域是A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)c．D．[2，＋∞)2．函数y＝xax|x|的图象的大致形状是3．函数f＝4x＋12x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称c．关于x轴对称D．关于y轴对称4．定义运算a b＝aa≤b，ba>b，则函数f＝12x的图象是5．若关于x的方程|ax－1|＝2a有两个不等实根，则a 的取值范围是A．∪B．c．D．题号2345答案二、填空题6．函数f＝－x＋3a，x<0，ax，x≥0是R上的减函数，则a的取值范围是________．7．设函数f＝x，x∈R是偶函数，则实数a＝________.8．若函数f＝ax－1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值为________．三、解答题9．已知定义域为R的函数f＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．求a，b的值；若对任意的t∈R，不等式f＋f<0恒成立，求k的取值范围．0．已知函数f＝3x，f＝18，g＝λ•3ax－4x的定义域为[0,1]．求a的值．若函数g在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．1．函数y＝1＋2x＋4xa在x∈a的n次方根根式根指数被开方数①na②na －na ±na ③a ⑤a 2.①nam ②1nam③0①ar＋s②ars③arbr 3.R y>1 0<y<1 0<y<1y>1 增函数减函数自我检测．B [只有④正确．①中a<0时，>0，a3<0，所以≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，nan＝a；③中定义域为[2，73)∪．]2．c [∵y＝ax是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1．]3．D [y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.]4．D [2＝2－4＝4，∵a>1，b>0，∴ab>1,0<a－b<1，∴ab －a－b＝2.]5．D [由f＝ax－b的图象可以观察出，函数f＝ax－b 在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f＝ax－b的图象是在f＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.]课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则化负数指数为正指数；化根式为分数指数幂；化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解∵a，b是方程的两根，而由9x2－82x＋9＝0解得x1＝19，x2＝9，且a<b，故a＝19，b＝9，化去负指数后求解．a－1＋b－1ab－1＝1a＋1b1ab＝a＋bab1ab＝a＋b.∵a＝19，b＝9，∴a＋b＝829，即原式＝829.原式＝•÷＝＝.∵a＝19，∴原式＝3.变式迁移1 c [原式＝＝＝ab－1＝ab.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解方法一由函数解析式可得y＝|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3xx<－1.其图象由两部分组成：一部分是：y＝x――→向左平移1个单位y＝x＋1；另一部分是：y＝3x――→向左平移1个单位y＝3x＋1．如图所示．方法二①由y＝|x|可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y＝x的图象，保留x≥0的部分，当x<0时，其图象是将y＝x图象关于y轴对折，从而得出y＝|x|的图象．②将y＝|x|向左移动1个单位，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．由图象知函数在上是减函数．由图象知当x＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y ＝1＋2e2x－1>1且随着x的增大而减小，即函数y在上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．] 例3 解题导引 1.指数函数y＝ax的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t＝ax，则y＝f＝t2＋2t－1＝2－2.当a>1时，t∈[a－1，a]，∴ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3，满足a>1；当0<a<1时，t∈[a，a－1]，∴ymax＝2＋2a－1－1＝14，解得a＝13，满足0<a<1.故所求a的值为3或13.变式迁移3 解由2x－1≠0⇒x≠0，所以定义域为∪．证明f＝x3可化为f＝2x＋122x－1•x3，则f＝2－x＋122－x－13＝2x＋122x－1x3＝f，所以f＝f．证明当x>0时，2x>1，x3>0，所以x3>0.因为f＝f，所以当x<0时，f＝f>0.综上所述，f>0.课后练习区．B [由y＝中x≥0，所以y＝≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x>0－ax，x<0.当x>0时，函数是一个指数函数，其底数a满足0<a<1，所以函数递减；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax的图象关于x轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R，关于原点对称，∵f＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f，∴f是偶函数，图象关于y轴对称．]4．A [当x<0时，0<2x<1，此时f＝2x；当x≥0时，2x≥1，此时f＝1.所以f＝12x＝2x x<0，1x≥0.]5．D [方程|ax－1|＝2a有两个不等实根可转化为函数y＝|ax－1|与函数y＝2a有两个不同交点，作出函数y＝|ax －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f为减函数应满足：0<a<1，3a≥a0，即13≤a<1.7．－1解析设g＝ex＋ae－x，则f＝xg是偶函数．∴g＝ex＋ae－x是奇函数．∴g＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.8.3解析当a>1时，f＝2，∴a2－1＝2，a＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f＝2，即1－1＝2，无解．∴a＝3.9．解∵f是定义域为R的奇函数，∴f＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，…………………………………………………从而有f＝－2x＋12x＋1＋a.又由f＝－f知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.经检验a＝2适合题意，∴所求a、b的值分别为2、1.……………………………………………………………由知f＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1.由上式易知f在上为减函数．…………………………………………又因f是奇函数，从而不等式f<－f＝f．……………………………………………………………………………因为f是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.………………………………………………0．解方法一由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.…………………………此时g＝λ•2x－4x，设0≤x1<x2≤1，因为g在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g－g＝>0恒成立，……………………………即λ<恒成立．由于＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………方法二由已知得3a＋2＝18⇒3a＝2⇒a＝log32.……………………………………………………………………………………………此时g＝λ•2x－4x，因为g在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g′＝λln2•2x－ln4•4x＝2xln2≤0成立，…………………………所以只需要λ≤2•2x恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………1．解由题意得1＋2x＋4xa>0在x∈又因为－1＋2x4x＝－2x－x，设t＝x，∵x≤1，∴t≥12且函数f＝－t2－t＝－2＋14在t＝12时，取到最大值．∴x＝12即x＝1时，－1＋2x4x的最大值为－34，………………………………………∴a>－34.…………………………………………………………………………………www.5ykj.co m。
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习指数与指数函数教案负数没有偶次方根两个重要公式．有理数指数幂(1)幂的有关概念在x 轴 . 当x 逐渐增大时逐渐增大时，定义域2、化简)41()3)(2(324132213141-----÷-b a b a b a =24bnD (0a > ( B )6.若,221=+-x x 则=+-33xx 102 。
7. 知函数26112()x x y -+=考试题形式出现，也可能与方程、不等式等知识积结合出现在解答题中。
41(1)-2答案（1）④（2）0＜a＜1,b＜0 (3)1个()()2x上的单f(x)=2^x/(4^x+1)=1/(2^x+1/2^如下图中曲线分别、、比较下列各题中两个值的大小：B.的解析式；C.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
