(10.4) 第四节 函数展开为幂级数(同济少学时第三版简约型)

同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数四、小结三、函数同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章一、集合总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 , , an }有限集M = { x x所具有的特征无限集}x . 若x ∈ A,则必∈ B, 就说A是B的子集记作A B.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章数集分类: 数集分类N----自然数集自然数集Q----有理数集有理数集Z----整数集整数集R----实数集实数集数集间的关系: 数集间的关系N Z, Z Q, Q R.= A 若A B,且B A, 就称集合与B相等. ( A= B)例如A = {1,2},C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则A= C. = 不含任何元素的集合称为空集空集. 不含任何元素的集合称为空集(记作)例如, 例如{ x x ∈ R, x + 1 = 0} = 2空集为任何集合的子集. 规定空集为任何集合的子集同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算(1)集合的并), 设有集合A和B,由A和B的所有元素构成的集合的并，称为A 与B的并，记为A∪ B,即A∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}(2)集合的交) 设有集合A和B,由A和B的所有公共元素构成的集合，的交，集合，称为A与B的交，记为A∩ B,即A∪ B = { x | x ∈ A且x ∈ B}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3)集合的差)设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的差，的集合，的集合，称为A与B的差，记为A B,即 A B = { x | x ∈ A且x B}(4)集合的补)的元素构成的集合，全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A' ,即的补集，A = { x | x ∈U且x A}'同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算律(1)交换律：A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A )交换律：( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) (2)结合律：)结合律：( A∩ B) ∩C =A∩(B ∩C) ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) (3)分配律：)分配律：( A∩ B) ∪C = ( A∪C) ∩(B ∪C)(4)摩根律：)摩根律：( A∪ B)' = A' ∩ B' ( A∩ B) = A ∪ B' ' '同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数区间这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点a, b ∈ R,且a b.{x a x b} 称为开区间记作(a, b) 称为开区间,o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作[a, b]oabx同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章{x a ≤ x b} {x a x ≤ b}称为半开区间, 称为半开区间记作[a, b) 称为半开区间, 称为半开区间记作(a, b] 有限区间[a,+∞) = {x a ≤ x}( ∞, b) = {x x b}无限区间oa obx x区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数, 且δ 0. 邻域{ 数集x x a δ }称为点a的δ邻域,点a叫做这邻域的中心, δ 叫做这邻域的半径 .Uδ (a) = {x a δ x a + δ }. δ δa a δ a+δ 0 点a的去心的邻域, 记作Uδ (a). δUδ (a) = { x 0 x aδ }.x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母y, t等表示变量.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章a a≥0 a = a a 0 运算性质: 运算性质ab = a b;5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值( a ≥ 0)a a = ;b b绝对值不等式: 绝对值不等式a b ≤ a ± b ≤ a + b.x ≤ a (a 0) x ≥ a (a 0)a ≤ x ≤ a;x ≥ a 或x ≤ a;同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章二、映射1 映射概念、是两个非空集合，设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得对于X中每个元素x,按法则 f 在Y中有唯使得对于与之对应，的映射，一确定的元素y与之对应，则 f 称为从X到Y的映射，记作f : X →Y 的像，其中y称为元素x 在映射f 下)的像，并记作 f (x), ( y = f (x) 即的一个原像；而元素x称为元素y 在映射 f 下)的一个原像；集( 的定义域，合X称为映射 f 的定义域，记作Df ,即Df = X ;X 的值域，中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作Rf 或 f (X ) ,即Rf = f ( X ) = { f ( x) | x ∈ X}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：(1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集构成一个映射必须具备以下三个要素：合X,即定义域Df = X;集合Y ,即值域的范R ∈ 围： f Y;对应法则f ,使对每个x∈ X,有唯与之对应. 一确定的y = f (x)与之对应. (2)对每个x∈ X,元素x 的像y 是唯一的；而对是唯一的；x∈ ∈ 的原像不一定是唯一的；于每个y∈ Rf ,元素y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域Rf 是Y 的一个子集，即Rf Y,不一定的一个子集，Rf = Y . 满射、满射、单射与双射同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章的映射，设f 是从集合X到集合Y的映射，若Rf = Y ,即Y中中某元素的像，任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1 ≠ x2 , 的单射；它们的像 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ),则称f 为X到Y 的单射；若既是单射又是满射，为一一映射(或双射) 映射f 既是单射又是满射，则称f 为一一映射(或双射) 2.逆映射与复合映射2.逆映射与复合映射设 f 是从集合X到集合Y 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，y∈ Rf 有唯一的x∈ X ,适合 f ( x) = y.于是，可以定∈ 于是，于是∈ 义一个从Rf 到X的新映射g ,即g : Rf → X ∈ 对每个y∈ Rf ,规定g( y) = x,这x 满足 f ( x) = y. 这个的逆映射，映射g称为 f 的逆映射，记作f 1,其定义域Df 1 = Rf, 值域Rf 1 = X同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章注意：只有单射才存在逆映射注意：只有单射才存在逆映射. 复合映射：复合映射：设有两个映射g : X →Y1, f :Y2 → Z 到其中Y1 Y2 .则有映射g和f 可以定义一个从X到Z 则有映射和∈ 的对应法则，它将每个x∈ X映成f [g( x)]∈ Z. 显然，的对应法则，显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射到的映射，和构成的复合映射，称为映射g和f 构成的复合映射，记作 f g,即f g : X → Z,注意：的定义域内，注意：g 的值域Rg 必须包含在f 的定义域内，即Rg Df同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章三、函数定义设数集D R,则称映射f : D → R为定义在D上的函数.上的函数. 量照定则总有即对于每个数x∈ D, 变y按一法∈确的值它应则y是x的数记作定数和对，称函，y = f (x)自变量因变量数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域数集叫做这个函数的定义域x . 当x0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点0处的函数值函数值全体组成的数集W = { y y = f ( x), x ∈ D} 称为函数的值域.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则x ((D对应法则f 对应法则x0)f ( x0 )自变量Wy)因变量约定: 约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 的一切实数值例如，例如，y = 1 x2 1 例如，例如，y = 1 x2D :[ 1,1]D : ( 1,1)同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章如果自变量在定y 义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函W y 数叫做单值函数，数叫做单值函数，否则叫与多值函数. 则叫与多值函数.(x, y)xo例如，例如，x2 + y2 = a2.xD定义: 定义: 点集= {( x, y) y = f ( x), x ∈ D} 称为C. 函数y = f ( x)的图形同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章几个特殊的函数举例(1) 符号函数1 y1 y = sgn x = 0 1当x 0 当x = 0 当x 0o -1xx = sgn x x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(2) 取整函数y=[x][x]表示不超过x 的最大整数表示不超过4 3 2 1 oy-4 -3 -2 -11 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4阶梯曲线同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3) 狄利克雷函数1 当x是有理数时y = D( x) = 0 当x是无理数时y1。