2020届江苏省南通市启东市2017级高三上学期期中考试数学试卷及解析

绝密★启用前 江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题 试卷副标题 xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题 1．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 3．设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a ma b ⊥-，则m =_________. 4．已知复数z 满足(1i)34i z +=-（i 是虚数单位），则||z =________.5．化简：tan17tan133(tan17tan13)++=________.6．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= __________. 7．在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是____．8．已知02πα-<<，且5cos 13α=．则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____.9．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.10．设α为锐角，若π3cos()65α+=，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_______.11．已知函数()((0)6f x sin x cos x πωωω＝＋－＞．若函数()f x 的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的取值集合为______.12．设点O 在ABC ∆所在平面内，若230OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积比为___.13．正方形ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为________.14．已知等腰直角三角形ABC 中=2AB AC =，半径为2的圆O 在三角形外与斜边BC 相切，P 为圆上任意一点，且满足AP xAB y AC =+，则x y +的最大值为________.……○…………线_______……○…………线二、解答题 15．已知函数π()2sin()(0)2f x x ωϕωϕ=+><，的图像的一部分如图所示，5(,0)2C 是图像与x 轴的交点，,A B 分别是图像的最高点与最低点且5AB =．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数31()()(,0,22g x f x f x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦的最大值． 16．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，，()sin cos b ββ=-，，()12c =-． （1）若a b c +=，求sin ()αβ-的值； （2）设5π6α=，0πβ<<，且()//a b c +，求β的值． 17．已知函数()2sin cos sin()sin()44f x x x x x x ππ=-++-. （1）求()f x 的最小值并写出此时x 的取值集合； （2）若[]0,x π∈，求出()f x 的单调减区间； （3）若()0042x x x f x ππ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos2x 的值. 18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．…………装…………○…………线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线…………装…………○…………线…………○…… （1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值； （2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19．启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下：如图所示的圆O 是圆形湖的边界,沿线段AB ,BC ,CD ,DA 建一个观景长廊,其中A ,B ,C ,D 是观景长廊的四个出入口且都在圆O 上，已知：BC =12百米,AB =8百米,在湖中P 处和湖边D 处各建一个观景亭,且它们关于直线AC 对称,在湖面建一条观景桥APC .观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设ABC α∠=．（1）若观景长廊AD ＝4百米，CD =AB ，求由观景长廊所围成的四边形ABCD 内的湖面面积；（2）当60α=︒时，求三角形区域ADC 内的湖面面积的最大值；（3）若CD =8百米且规划建亭点P 在三角形ABC 区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP 内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时α的值；若没有，请说明理由．20．已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈．（1）若函数()f x 在[]0,π上存在单调增区间，求实数a 的取值范围；（2）若()02f π=，证明：对于11,2x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+-->参考答案1．－1【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．二【解析】【分析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 3．-1.【解析】【分析】根据,a b 坐标表示出ma b -r r ，再根据()a ma b ⊥-，得坐标关系，解方程即可.【详解】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则①1221//0a b x y x y ⇔-=；②12120a b x x y y ⊥⇔+=.4．2【解析】【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据模长的概念即可得出结果．【详解】复数z 满足(1i)34i z +=-（i 为虚数单位）， ∴()()()()341341711122i i i z i i i i ---===--++-，则2z ==，故答案为2. 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．1【解析】【分析】逆用两角和的正切公式：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-即可求得答案．【详解】∵()tan13tan17tan 30tan 13171tan13tan17︒+︒︒=︒+︒==-︒︒∴)tan13tan171tan13tan17︒+︒=-︒︒，∴)tan13tan17tan13tan171︒︒+︒=．故答案为1.【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，逆用公式是关键，属于中档题．6．6425【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系把1换成22sin cos αα+，22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+， 分子分母同时除以2cos α，最后把tan α的值代入即可求得答案．【详解】22222cos 2sin2cos 4sin cos cos 2sin21sin cos ααααααααα+++==+ 2231414tan 644.tan 125314αα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即答案为6425. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．7【解析】由题可知：1sin sin 22AB AC A A ⋅⋅==，又为锐角三角形，所以60A =，由余弦定理222cos 2b c a A a BC bc+-=⇒==8．2316- 【解析】【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin α和tan α，根据诱导公式化简所求后即可代入求值．【详解】 ∵02πα-<<，且5cos 13α=， ∴12sin 13α=-，12tan 5α=-， ∴12232cos()3sin()2cos 3sin 23tan 235124cos()sin(2)4cos sin 4tan 1645παπαααααπαααα⎛⎫-+⨯- ⎪--+-+-+⎝⎭====--+---+， 故答案为2316-. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，三角函数齐次式值的求法，属于基础题.9．32【解析】【分析】 先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，， 当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-， ∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈，∴3 62k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力，属于中档题.10．50【解析】 【分析】由条件求得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用二倍角公式求得sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据221234sin sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式计算求得结果． 【详解】∵α为锐角，π3cos()65α+=，∴465sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴24sin 22sin cos 36625πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 27cos 22cos 13625ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故sin 2sin 21234πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 2cos cos 2sin 3434ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24725225250=⋅+⋅=50. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．11．154,,363⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】()1sin cos sin cos sin 6226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x π=是一条对称轴，2=+62k πππωπ∴-，得()1=+32kk Z ω∈， 又()f x 在区间44，ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调， 2T ππω∴=≥，得2ω≤，且462{462πππωπππω--≥--≤，得403ω<≤，154=363ω∴，，，集合表示为154363⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，。

专题05 三角函数的实际应用一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.三、与三角形有关的应用题注意与正余弦定理的结合，要善于发现或者挖掘图形中的三角形特别是给的条件比较多的三角形，若没有三角形可以作辅助线，把三角形显现出来。

然后再三角形中研究边角的关系。

例1、（江苏省镇江八校2019_2020学年上学期2020届高三第二次大联考数学试卷）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知．AB ,CD CE CD AB ⊥2π3DCE ∠=E π3MEN ∠=4m,2m CD CE ==（1）当重合时，求路灯在路面的照明宽度； （2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．解析：（1）当,M D 重合时，由余弦定理知，ME DE ===，所以222cos 2CD DE CE CDE CD DE +-∠==⋅分，因为π2CDE EMN ∠+∠=，所以sin cos EMN CDE ∠=∠=因为cos 0EMN ∠＞，所以cos 14EMN ∠==，……4分 因为π3MEN ∠=，所以2πsin sin 3ENM EMN ⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭2π2πsincos cos sin 337EMN EMN =∠-∠=……6分 ∴在EMN ∆中，由正弦定理可知，sin sin MN EMMEN ENM =∠∠，解得2MN =……8分； （2）易知E 到地面的距离2ππ42sin 5m 32h ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，……10分 由三角形面积公式可知，11π5sin 223EMN S MN EM EN =⋅⋅=⋅⋅△，EM EN =⋅,……12分 又由余弦定理可知，222π2cos 3MN EM EN EM EN EM EN =+-⋅⋅⋅≥，……13分当且仅当EM EN =时，等号成立，所以2MN MN，解得3MN ≥……14分；,M D MNMN答：（1）路灯在路面的照明宽度为73m ； （2）照明宽度MN 的最小值为103m 3.……16分 变式1、(2017苏北四市期末）如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1 km 处，tan ∠BAN ＝34，∠BCN ＝π4.现计划铺设一条电缆连通A ，B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km 、4万元km.(1) 求A ，B 两镇间的距离；(2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？规范解答 (1) 如图，过B 作MN 的垂线，垂足为D. 在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝tan ∠BAN ＝BD AD ＝34，所以AD ＝43BD.在Rt △BCD 中，tan ∠BCD ＝tan ∠BCN ＝BDCD ＝1，所以CD ＝BD.则AC ＝AD －CD ＝43BD －BD ＝13BD ＝1，所以BD ＝3，则CD ＝3，AD ＝4.(2分) 由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝5(km )．所以A ，B 两镇间的距离为5 km .(4分)(2) 方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20(万元)．(6分) 方案②：设∠BPD ＝θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π2，其中θ0＝∠BAN. 在Rt △BDP 中，DP ＝BD tan θ＝3tan θ，BP ＝BD sin θ＝3sin θ，所以AP ＝4－DP ＝4－3tan θ.则总铺设费用为2AP ＋4BP ＝8－6tan θ＋12sin θ＝8＋6·2－cos θsin θ.(8分)设f(θ)＝2－cos θsin θ，则f ′(θ)＝sin 2θ－(2－cos θ)cos θsin 2θ＝1－2cos θsin 2θ，令f ′(θ)＝0，得θ＝π3，列表如下：所以f(θ)的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 3.所以方案②的总铺设费用最低为8＋63(万元)，此时AP ＝4－ 3.(12分)而8＋63＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 镇的正西方向(4－3) km 处，总铺设费用最低．(14分)变式2、(2019泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB ︵的中点．现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB.已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3.记∠APQ ＝θrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示为θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．规范解答 (1) 因为点Q 是弧AB 的中点，所以∠AOP ＝π6，PA ＝PB ，因为∠APQ ＝θ，所以∠APO ＝π－θ，∠PAO ＝θ－π6，在△OPA 中，由正弦定理，得PA sin π6＝OA sin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即PA 12＝2sin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ，(4分)所以y ＝PO ＋PA ＋PB ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＋1sin θ＋1sin θ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12.(7分)(2) 因为y ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12，所以y′＝1－2cos θsin 2θ，令y′＝0，得θ＝π3，(10分) 当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，y ′<0，当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，7π12时，y ′>0，所以当θ＝π3时，y 有极小值，且是最小值，此时OP ＝2sinπ6sin π3＝233.(13分)答：(1) y ＝2－cos θsin θ＋3，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，7π12.(2) 当OP 为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．(14分)例2、【2018江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 变式1、(2019苏州期初调查）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场EFGH ，剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O ，半径为r ，矩形的一边AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且∠BOG ＝60°，设∠BOC ＝θ.(1) 记市民活动广场及停车场的占地总面积为f(θ)，求f(θ)的表达式； (2) 当cos θ为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．规范解答(1)因为半圆的半径为r ，∠BOC ＝θ，∠OBC ＝90°. 所以在Rt △OBC 中，OB ＝r cos θ，BC ＝r sin θ，所以AB ＝2r cos θ.所以S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝2r 2sin θcos θ.(2分)又因为∠BOG ＝60°，由半圆的对称性可知，∠HOA ＝60°，所以∠HOG ＝60°. 所以△HOG 为等边三角形，所以HG ＝EF ＝r ，HE ＝32r －r sin θ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θr. 所以S 矩形EFGH ＝EF·EH ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θr 2.(4分)所以f(θ)＝S 矩形ABCD ＋S 矩形EFGH ＝(2sin θcos θ－sin θ＋32)r 2，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3.(7分) (2) 因为f′(θ)＝r 2(2cos 2θ－2sin 2θ－cos θ)＝r 2(4cos 2θ－cos θ－2)．(9分) 令f′(θ)＝0，即4cos 2θ－cos θ－2＝0，解得cos θ＝1＋338或cos θ＝1－338(舍去)．(11分)令cos θ0＝1＋338，θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π3.1° 当θ∈(0，θ0)时，f ′(θ)>0，f (θ)单调递增；2° 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ0，π3时，f ′(θ)<0，f (θ)单调递减．所以当θ＝θ0时，f (θ)取得最大值．(13分)答：当cos θ＝1＋338时，可使市民活动广场和停车场的面积总和最大．(14分)例3、(2017苏州暑假测试）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB ＝20 m ，广场的一角是半径为16 m 的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN (宽度不计)，点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN (宽度不计)摆放．已知双人靠背直排椅的造价为2a 元/m ，单人弧形椅的造价为a 元/m ，记锐角∠NBE ＝θ，总造价为W 元．(1) 试将W 表示为θ的函数W (θ)，并写出cos θ的取值范围； (2) 如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小？规范解答 (1) 过点N 作AB 的垂线，垂足为F ；过M 作NF 的垂线，垂足为G .在Rt △BNF 中，BF ＝16cos θ，则MG ＝20－16cos θ. 在Rt △MNG 中，MN ＝20－16cos θsin θ.(4分)由题意易得CN ＝16⎝⎛⎭⎫π2－θ，(6分)因此，W (θ)＝2a ·20－16cos θsin θ＋16a ⎝⎛⎭⎫π2－θ，(7分) 当点M 与点A 重合时，cos θ＝1620＝45； 当点M 与点D 重合时，cos θ＝0， 故cos θ∈⎝⎛⎭⎫0，45.(9分) (2) W ′(θ)＝－16a ＋8a ·4－5cos θsin 2θ＝8a ·(2cos θ－1)(cos θ－2)sin 2θ.令W ′(θ)＝0，cos θ＝12，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＝π3.(12分) 设锐角θ1满足cos θ1＝45， θ1∈⎝⎛⎭⎫0，π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫θ1，π3时，W ′(θ)＜0，W (θ)单调递减；当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，W ′(θ)＞0，W (θ)单调递增．(14分)所以当θ＝π3时，总造价W 最小，最小值为⎝⎛⎭⎫163＋8π3a 元，此时MN ＝83，NG ＝43，NF ＝83，因此当AM ＝4 3 m 时，总造价最小．(16分)易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视．一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少． 变式1、(2019通州、海门、启东期末）如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD ，已知AB ＝100米，BC ＝80米，以AD ，BC 为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN ，MN 和弧形路MD 三部分组成的观赏道路，其中直路MN 与绿地区域边界AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a 元，修建的总造价为W 元，设∠NBC＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1) 求W 关于θ的函数关系式；(2) 如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价．思路分析 第1问，注意到成本与线路的长度有关，因此，本题的本质就是将线段BN ，MN 以及弧DM 表示为θ的函数，BN 可以在直角三角形内求得，MN 可以用AB 减去2倍的点N 到BC 的距离，难点在于求弧DM 的长，注意到图形的对称性，可知弧DM 所对的圆心角为2θ，从而根据弧长公式求得．第2问，注意到所求的函数中即有θ三角函数形式，又有θ的一次形式，因此，应用导数求它的最值． (1)连NC ，AM ，设AD 的中点为O ，连结MQ ，过N 作EN ⊥BC ，垂足为E. 由BC 为直径知，∠BNC ＝90°，又BC ＝80米，∠NBC ＝θ， 所以BN ＝80 cos θ米，NE ＝BN sin θ＝80 sin θcos θ，因为MN ∥AB ，AB ＝100米，所以MN ＝AB －2NE ＝100－160sin θcos θ米，由于∠DOM ＝2∠MAD ＝2θ，OM ＝40米．所以DM ︵＝40×20＝800米，(4分)因为直路的工程造价为每米2a 元，弧形路的工程造价为每米3a 元，所以总造价为 W ＝2a(BN ＋MN)＋3aDM ︵＝2a(80cos θ＋100－160sin θcos θ)＋3a·80θ ＝40a(4cos θ－8sin θcos ＋6θ＋5)＝40a(4cos θ－4sin 2θ＋6θ＋5)⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2.(8分)所以W 关于θ的函数关系式为W ＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(2)设f(θ)＝4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5，0<θ<π2.则f′(θ)＝－4sin θ－8cos 2θ＋8sin 2θ＋6 ＝16sin 2θ－4sin θ－2 ＝2(4sin ＋1)(2sin θ－1)(10分) 令f′(θ)＝0，得θ＝π6，列表如下：所以，当θ＝π6时，f (θ)取得最小值．(14分)此时，总造价W 最少，最少总造价为(200＋40π)a 元．答：(1)W 关于θ的函数关系式为W ＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋60＋5)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2；(2) 当θ＝π6时，修建的总造价最少，最少总造价为(200＋40π)a 元．(16分)变式2、(2018苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2，已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大，求S 取得最大值时腰AB 的长度．（图1）（图2）思路分析 (1) 母线长l 是OA 在AB 上的射影的两倍，可用θ表示．底面半径r 是l 在底面上的射影，可用l 和θ表示．从而S ＝πrl 可用θ表示；(2) 求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值． 规范解答 (1) 设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E. 在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ.(2分) 在△ABD 中，BD ＝AB·sin θ＝20cos θ·sin θ，(4分) 所以S ＝12·2π·20sin θcos θ·20cos θ＝400πsin θcos 2θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(6分)(2) 由(1)得S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．(8分) 令x ＝sin θ(0<x<1)，设f(x)＝x －x 3， 则f′(x)＝1－3x 2，由f′(x)＝1－3x 2＝0得x ＝33. 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在x ＝33时取得极大值，也是最大值． 所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值，(11分) 此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－⎝⎛⎭⎫332＝2063(cm )．答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm .(14分)1、(2019扬州期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1) 当cos θ＝－55时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．规范解答 (1)在△ABD 中，AB ＝3，AD ＝5，cos θ＝－55. 由余弦定理得，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·AD cos θ＝14－65cos θ＝14＋6＝20，所以BD ＝2 5.(2分)因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫－552＝255. 由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB ，即2525＝3sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝35.因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠CDB ＝π2且CD ＝BD ＝25，所以cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ADB ＋π2＝－sin ∠ADB ＝－35.(5分)在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DC cos ∠ADC ＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝⎛⎭⎫－35＝37，解得AC ＝37.(7分)(2)由(1)得，BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2＝7＋352sin θ－35cos θ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)，此时sin φ＝25，cos φ＝15，且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分)当θ－φ＝π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25，所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×⎝⎛⎭⎫－25＝26，即BD ＝26.(13分) 答：(1)当cos θ＝－55时，小路AC 的长度为37百米；(2)草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米．(14分)2、（2017年江苏卷）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而 3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的焦点为1P ,过1P 作P 1Q 1⊥AC , Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12， 从而AP 1=1116sin PQ MAC=∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.（如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm ）（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足，则GK =OO 1=32.容器Ⅱ容器ⅠAH 11E 1A因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是sin sin()sin()sin cos cos sin 424373()5255255NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P Q NEG=∠.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)3、(2018苏锡常镇调研（一））如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝2π3.计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(1) 当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．思路分析 设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式．规范解答 因为∠AQC ＝2π3，所以∠AQO ＝π3.又OA ＝OB ＝3，所以OQ ＝ 3.(2分)在△OPQ 中，OQ ＝3，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝π2－α＋θ.由正弦定理，得3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋θ＝3sin α，即3sin α＝cos (α－θ)．(4分)展开并整理，得tan α＝cos θ3－sin θ，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(8分)(1) 当θ＝π3时，tan α＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝π6.答：当θ＝π3时，∠OPQ ＝π6.(10分) (2) 解法1 设f(θ)＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.则f′(θ)＝－sin θ（3－sin θ）＋cos 2θ（3－sin θ）2＝1－3sin θ（3－sin θ）2.令f′(θ)＝0，得sin θ＝33，记锐角θ0满足sin θ0＝33.(13分) 列表如下：由上表可知，f (θ0)＝22是极大值，也是最大值． 因为tan α＝f(θ)>0，且α∈(0，π)，所以当tan α取最大值22时，α也取得最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分) 解法2 记T ＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则3T ＝cos θ＋T sin θ＝(1，T)·(cos θ，sin θ)≤1＋T 2，得T ≤22，当且仅当tan θ＝22，即sin θ＝33时取等号．(13分) 所以tan α的最大值为22.显然tan α>0，所以当tan α＝22时，α取最大值． 答：游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sin θ＝33.(16分)4、（2018苏中三市、苏北四市三调）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD ，AB ∥CD ，AB BC ⊥，3AB =百米，2CD =百米．该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A C ，两点），π6BAC DPA θ∠=∠=，． （1）用θ表示直道DP 的长度；（2）计划在△ADP 区域内种植观赏植物，在△CDP 区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元， 新建道路DP 的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．规范解答 （1）过点D 作DD '垂直于线段AB ，垂足为D '．在直角ABC △中，因为AB ⊥BC ，π6BAC =∠，3AB =，所以BC =在直角ADD '△中，因为1AD '=，DD '=2AD =，则sin DAD '∠=故π3DAD '=∠，又π6BAC =∠，所以π6DAP =∠．…… 2分在ADP △中，由正弦定理得sin πsin 6AD DP θ=，所以1sin DP θ=，π5π66θ<<． …… 6分）（2）在ADP △中，由正弦定理得sin sin AP AD ADP θ=∠，所以()5π2sin 2sin 6sin sin ADP AP θθθ-∠==．CBADPD '所以()()5π5π2sin sin 11166sin sin 22sin sin sin APDS AP PD θθθθθθθ--=⋅⋅=⋅⋅⋅=V ．又112πsin 22sin 223ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠=⨯⨯=V所以()5πsin 6sin DPC ADC APDS S S θθ-=-=V V V ． ………………………… 8分设三项费用总和为()f θ，则5π5πsin()sin()166()2)11sin sin sin f θθθθθθ--=⨯+⨯+⨯5πsin()16sin θθ-+=，π5π66θ<<，1cos 12sin θθ+=+π5π66θ<<．………………………………… 10分所以21cos 2()sin f θθθ--'=，令()0f '=θ，则2π3θ=．列表：2π3θ=时，所以[]min ()f θ=答：以上三项费用总和的最小值为 14分5、（江苏省启东市2020届高三上学期期中考试数学试题）如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为045，沿倾斜角为α（其中21tan =α）的斜坡前进5km 后到达D 处，休息后继续行驶5km 到达山顶B . （1）求山的高度BE ； （2）现山顶处有一塔83=CB km. 从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为θ（θ=∠CPB ）.若点P 处高度x PF =km,则x 为何值时，视角θ最大？【解】（1）法一：因为1tan2α=，α是锐角，所以sin α=cos α=，所以πcos cos()4BAD α∠=-ππcos cos sin sin 44αα=+=， ……2分在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .因为AD BD ==所以22cos AB AM AD BAD ==∠= ……4分 在ABE ∆中，=cos453BE AB =o .所以山的高度为3 km. ……6分 法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，在ADG ∆中，=DAG α∠，1tan2α=，所以sin α=cos α所以sin 1DG AD α===，cos 2AG AD α==. ……2分设BE h =，在直角BDH ∆中，1,2BH h DH h =-=-，由于222BD BH DH =+，所以()()222=12h h -+-， ……4分因为0h >，所以3h =.所以山的高度为3 km. ……6分（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因为PF x =，所以2AF x =，因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈， ……8分 所以3tan =32BM x BPM PM x-∠=-，327388tan 3232x x CM CPM PM x x +--∠===--， ……10分 所以tan tan tan tan()1tan tan CPM BPM CPM BPM CPM BPMθ∠-∠=∠-∠=+∠∠27338323282727()(3)3881(32)323232xxx x x x x x x x x x-----==----+⨯-+---，[]0,1x ∈，……12分令[]321,3t x =-∈，所以32t x -=，则tan θ38153()()8222t t t t=+++()695427t t =++229=， 当且仅当94t t =，即[]31,32t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229.所以，当34x =km 时，视角θ最大.6、(2017扬州期末）如图，矩形ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN 为监控角，其中M ，N 在线段DE(含端点)上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：AD ＝6 m ，AE ＝6 m ，AP ＝2 m ，∠MPN ＝π4.记∠EPM ＝θ(rad )，监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S m 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；参考数据：tan 54≈3ABC F GH M(2) 求S 的最小值．规范解答 (1) 解法1 在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4 m ，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ.由正弦定理得PM sin ∠PEM ＝PEsin ∠PME，所以PM ＝PE ×sin ∠PEM sin ∠PME ＝22sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝4sin θ＋cos θ.(2分)同理在△PNE 中，由正弦定理得PN sin ∠PEN ＝PEsin ∠PNE ，所以PN ＝PE ×sin ∠PENsin ∠PNE＝22sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝22cos θ，(4分) 所以△PMN 的面积S ＝12PM ×PN ×sin ∠MPN ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos2θ2＋12sin2θ＝8sin2θ＋cos2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1.(8分)当M 与E 重合时，θ＝0；当N 与D 重合时，tan ∠APD ＝3，因为tan 54≈3，所以即有∠APD ＝54，θ＝3π4－54，所以0≤θ≤3π4－54. 综上可得，S ＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，3π4－54.(10分) 解法2 在△PME 中，∠EPM ＝θ，PE ＝AE －AP ＝4 m ，∠PEM ＝π4，∠PME ＝3π4－θ.由正弦定理可知ME sin θ＝PEsin ∠PME ，所以ME ＝PE ×sin θsin ∠PME＝4sin θsin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝42sin θsin θ＋cos θ.(2分) 在△PNE 中，由正弦定理可知NE sin ∠EPN ＝PEsin ∠PNE，所以NE ＝PE ×sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos θ＝22(sin θ＋cos θ)cos θ，(4分)所以MN ＝NE －ME ＝22cos 2θ＋sin θcos θ.又点P 到DE 的距离为d ＝4sin π4＝22，(6分)所以△PMN 的面积S ＝12MN ×d ＝4cos 2θ＋sin θcos θ＝41＋cos2θ2＋12sin2θ＝8sin2θ＋cos2θ＋1＝82sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋1.(8分)以下同解法1.(2) 当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8∈⎣⎡⎦⎤0，3π4－54时，S 取得最小值为82＋1＝8(2－1)．(13分) 所以可视区域△PMN 面积的最小值为8(2－1) m 2.(14分)7、(2017苏锡常镇调研（一））某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)．设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数)．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度之和记为l .(1) 请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2) 问：当α为何值时l 最小，并求最小值．规范解答 (1) 过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝α⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2， DH ＝h, 设AD ＝x . 则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.(3分)因为S ＝12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，则 x ＝S h －h tan α，(5分) 则l ＝f (α)＝2DC ＋AD＝Sh ＋h ⎝⎛⎭⎫2sin α－1tan α⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2.(7分)(2) f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α，(8分) 令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3.(9分)当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝3h ＋Sh.(12分) 答：(1) l 表示成关于α的函数为l ＝f (α)＝Sh ＋h ⎝⎛⎭⎫2sin α－1tan α⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2； (2) 当α＝π3时，l 有最小值，为3h ＋Sh .(14分)。

江苏省南通中学2020学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|22}=-<<A x x ，{|13}=<≤B x x ，则A B =I ▲ ． 2．命题“∀∈x R ，3x a >”的否定是 ▲ ． 3．2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+= ▲ ．4．已知||2=a ，||1=b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角大小为 ▲ ．5．已知曲线cos 1y x x =+在点π(,1)2处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数a = ▲ ．6．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆ 是 ▲ 三角形．7．已知,αβ均为锐角，且π1tan()43α-=，5sin β=，则αβ+= ▲ ．8．若()f x 是偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，且(2)0f -=，则不等式(2)(1)0x f x -->的解集是 ▲ ．9．直角三角形ABC 中，π2C =，2AC =，4BC =．已知()CP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．10．若函数()f x 对于任意的两个不相等的实数12,x x A ∈都有1212()()01f x f x x x -<<-成立，则称()f x 在区间A 上为“0-1函数”． 则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有 ▲ （请填写相应的序号）． （1）ππsin ,[,]22y x x =∈-；（2）ln ,1y x x =>；（3）e ,x y x =∈R ；（4）223,01y x x x =++<<． 11．如图所示的是定义域为R 的函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0ω>，[π,π)ϕ∈-）的部分图象，则不等式()3f x >的解集为 ▲ ．12．若[1,1]x ∃∈-，使不等式212731x x a -⋅+>成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．-2（第11题图）Ox y 37π1213．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．则“对于任意的(0,)x ∈+∞有()1f x ≤恒成立”的充要条件是 ▲ ．14．已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在π[0,]2x ∈时有最大值为72，则实数m 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合2{|320}A x x x =-+<，集合22{|(32)2310}B x x m x m m =--+-+<． （1）若1m =，求A B U ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()2cos sin cos f x a x x x b =-+的定义域为R ，且2b ≤． 又{}π(),[0,]2y y f x x =∈[1,4]=．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的对称轴方程；（3）求函数2log [()3]y f x =-的单调增区间．已知函数222(1)log 2mx f x x -=-，其中1m >．（1）判断并证明()f x 的奇偶性； （2）解关于x 的不等式2()(1)23f x f x≥-+．18．（本小题满分16分）锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ．已知m =(2,)c a b -，n =(cos ,cos )B C ，且||||+=-m n m n ．又b =（1）求三角形ABC 的面积S 的最大值； （2）求三角形ABC 的周长l 的取值范围．已知某工厂生产并销售某种产品，每月生产该产品的成本()C x （单位：万元）与产品数量x （单位：吨）之间的函数关系为21()ln 2a C x x x -=+，每吨该产品的销售价为a 万元．且为保证设备的正常运转，每月至少生产1吨该产品．（1）若2a =，且每月的生产能力不超过5吨，求()C x 的变化范围； （2）若需要保证在该产品的生产销售中不出现亏本，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．高三数学试卷（理科Ⅱ）本卷共4题，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为πsin()4ρθ+=C上任意一点P 到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 的作用下，点(1,3)P 变化为点1(10,6)P ，点(2,1)Q 变化为1(5,2)Q ． 求二阶矩阵M ．23．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ，2PA =，点M ，N 分别为边PA ，BC（1）求异面直线AN 与MD 所成角的余弦值； （2）求点B 到平面MND 的距离．24．（本小题满分10分）已知1221201212(12)x a a x a x a x +=++++L ． （1）求1212a a a +++L 的值；（2）求01231112a a a a a a -+-+-+L 的值； （3）求1212212a a a +++L 的值．（第23题图）。

江苏省启东中学2020届高三期中考试数学试题Ⅰ（选修）2020．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ . 2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02,上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图 象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ . 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ . 12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤ {}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（第11题图）（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．1l2lDABC1l2lDABC（图甲） （图乙）19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．2020届高三年级期中考试 数学Ⅰ（选修物理）2020．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1． 已知集合{}1A =，{}19B =,，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()f x =式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =▲ .7． 若集合{}22011x x <()a ⊆-∞, ，则整数a 8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、372、327、354、361、345、337，则打印出的第59． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+= （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式： 211122S n n =+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .（第11题图）12．已知函数e x y =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN u u u u r ≤，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .【填空题答案】1. {}1 9，；2. ；3. 0 sin x x x ∀>>，；； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--u u u r u u u r u u u r , , , , , , 且//AD BC u u u r u u u r．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥u u u r u u u r，求四边形ABCD 的面积．【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，,()BC x y =u u u r ,, ………………………2分 因为//AD BC u u u r u u u r，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分（2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r，，(2 3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r ，， ………………6分因为AC BD ⊥u u u r u u u r，所以(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分 当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =u u u r ，，(0 4)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………12分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =u u u r ，，(8 0)BD =-u u u r ，，则1=162ABCD S AC BD =u u u r u u u r 四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>， 化简得()sin ωπ+=4 ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()minωπ3π+=44，即min ωπ=2， 所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222sin cos 2sin cos x x x x ωωωω=+-()212sin cos x x ωω=- 211sin 22x ω=-()11cos 4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+． （1）求sin b B c的值； （2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B c c =，由正弦定理得sin sin a B A c =， 所以，sin b B c ………………………………………………………………………………7分（2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知 不失一般性，可设1c =， 则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-o ，………………………………………1l2l DABC1l2lDABC（图甲）（图乙）2分解得tan α，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin 6091sin 60)sin tan S αα=⋅=+⋅=oo； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈o o ，，则AB 与2l 所成夹角为()180θα-+o，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+o ，……………………………………8分 解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D ⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间． （1）已知12()f x x =是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x=是[)0+∞，上的正函数，且()f x=在[)0+∞，上单调递增，所以当[]x a b∈，时，() ()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即ab=，，…………………………………………………3分解得01a b==，，故函数()f x的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m=+是() 0-∞，上的减函数，所以当[]x a b∈，时，()()g a bg b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a m bb m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………………7分两式相减得22a b b a-=-，即()1b a=-+，……………………………………………………9分代入2a m b+=得210a a m+++=，由0a b<<，且()1b a=-+得112a-<<-，……………………………………………………11分故关于a的方程210a a m+++=在区间()112--，内有实数解，………………………………13分记()21h a a a m=+++，则()()10102hh->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()314m∈--，．……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()kf n为关于n的k()k∈N次多项式．数列{a n}的首项11a=，前n项和为nS．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==．而且当2n ≥时，2n n a S +=， ①112n n a S --+=， ②①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．(ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数），当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． ……………………………………16分。