初等数学研究 代数部分 第二章 多项式的 因式分解

多项式的因式分解方法在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。

多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。

本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。

一、公式法公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。

它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。

1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。

例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为$(x+3)(x+3)$。

2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。

例如，对于多项式$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。

3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。

例如，对于多项式$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。

二、提公因式法提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。

1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。

例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。

2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。

例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。

《多项式的因式分解》教案《《多项式的因式分解》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标1.使学生进一步理解因式分解的意义;2.使学生了解平方差公式的几何意义，掌握公式的形式和特征;3.会运用平方差公式进行简单的分解因式;4.通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力;5.感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点;6.培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力.二、教学重点、难点1.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征;2.会运用平方差公式对多项式进行分解因式.三、教具、学具多媒体演示、PPT课件、三角尺.四、教学过程(一)创设情景：1.数学游戏：教师：你给出任意两个正整数，我马上就能说出它们的平方差被哪个数整除.大家都喜欢做游戏吧?有兴趣的同学和老师来做这个游戏(教师根据学生说出的数字快速写出结果，激发学生的好奇心，调动学生的学习欲望).2.分析探寻：大家想知道老师刚才说的结果对不对吗?为什么我那么快得出结果吗?我们就从这幅图开始吧.问题：1.下图阴影部分的面积是多少?(a2-b2)2.你能将该图只剪一刀拼成长方形吗?请大家以小组的形式探寻剪拼的方法，并比较剪拼前后的面积，你得出什么结果?a2-b2=(a+b)(a-b)出示课题：9.5多项式的因式分解(平方差公式法)(二)平方差公式的特征辨析：1.对比与思考：我们现在学习的乘法公式与前面学习的整式乘法中的平方差公式是什么关系呢?乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2(动画演示左右两边交换过程.)反过来得：a2-b2=(a+b)(a-b)由此可见：它们是互逆的过程.问题：这个公式是用字母a和b表达的，我们能不能用文字语言表达呢?请同学之间交流总结.(归纳结论：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数差的积.)2.试一试：(1)问题：例如x2-52能使用平方差公式分解因式吗?其中的x相当于公式里的a，5相当于公式里的b，然后套用公式就可以了.(2)分解因式：a2-16=a2-()2=(a+)(a-)64-b2=()2-b2=(+b)(-b)(学生解答填空，确定a和b.)(3)下列多项式能否用平方差公式分解因式?说说你的理由.①a2+b2②b2-a2③a2+(-b2)④-a2-b2⑤a2-b ⑥a2-b2-c(这里的6题是根据公式的变形，是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以了.先让学生判断，并说出为什么能用又为什么不能用的理由.最后，让学生讨论总结能用平方差公式分解的多项式的特征.)1.由两项组成;2.两项的符号相反;3.每项都能写成某个式子的平方.(三)例题教学：(1)例1：把下列多项式分解因式：①36-25x2;②16a2-9b2.分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.解：36-25x2=62-(5x)2=(6+5x)(6-5x)16a2-9b2=(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b)((1)对于多项式中的两部分不明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式分解，以免出现16a2-9b2=(16a+9b)(16a-9b)的错误.(2)在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.)设计问题：现在来揭示在这节课开始时我们做的那个数学游戏吧.你们知道老师是怎么计算得那么快了吗?(学生已经会使用平方差公式进行简单的计算了，能迅速得出正确结果，同时也和这节课的开头遥相呼应.)(2)尝试与交流：③分解因式：(a-b)2-(c-b)2;④分解因式：9(a+b)2-4(a-b)2.(在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式的观察和心算，而后是进行变形.这一点在这儿尤为重要.设计本题的目的是让学生加深理解平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、一般单项式，也可以表示多项式，进一步渗透整体、类比的思想.)对于题④上课教师鼓励学生先讨论，再让语言组织能力强的同学到黑板前把解法讲解给大家听.(3)小结与思考：a2-b2=(a+b)(a-b)问题：公式中的a和b分别可以是什么式子呢?(公式中的a和b 可以是数字、字母、数字与字母的积、多项式等，但都能化成一个式子平方的形式.)小结：使用平方差公式分解因式的步骤(学生以小组进行讨论总结，教师跟随讨论引导).(1.审.2.找.3.转.4.套.5.验.)(四)数学活动：请同学们设计能用平方差公式分解因式的题目，请其他同学做出解答，你再给予评价.活动要求：每位同学都写一个能够用平方差公式分解因式的题目，其中两名同学点其他组的同学到黑板前解答，其余同学小组之间互相交换，按要求进行因式分解.然后出题者要当众表述出题意图并给做题的同学以评价.(本环节是这节课的灵魂环节，是对本节所学知识掌握程度的检验，所以要求教师能充分放手给学生，让学生大胆争论.同时鼓励学生把自己认为值得推荐的题目展示给大家.)(五)学以致用：如图，求圆环形绿化区的面积S.解：S=π×322-π×182=π×(322-182)=π(32+18)(32-18)=π50×14=700π(m2)答：这个绿化区的面积是700πm2.(在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过分析我们能将所学数学知识用于解决实际问题，同时也是将本节知识与提公因式法的综合运用.)(六)课堂小结：共同分享这节课的收获!运用本节课知识时有哪些注意点?(七)作业题：必做题：课本练一练第2题;习题9.5第3题.选做题：992-1是100的整倍数吗?请写出你的解答过程.(必做与选做相结合，体现作业的合理性和层次性.)(八)课外连连看：英国数学家德·摩根在青年时代，曾有人问他：“您今年多大年龄?”摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗?”假设德·摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为y岁，你能算出他们的年龄吗?(既培养学生学习数学的兴趣也增长了学生的数学知识.)《多项式的因式分解》教案这篇文章共7102字。

多项式的因式分解多项式的因式分解是高等代数，初等数学中非常重要的一个概念，它是对于一元或多元多项式，即一组有限个集合中的有序项它们乘积相加得到的函数的分解式。

该概念常常应用在初等数学、高等数学和应用数学中，但它也是一个强大的工具，可以用来解决许多科学，工程和技术问题。

因式分解可以定义为把一个多项式拆分成几个单项式的乘积，从而帮助我们理解多项式的特征。

如果一个多项式有n项，那么它可以被分解成n个因子乘积，每个因子也被称为一个项。

因式分解可以使多项式变得更容易理解，例如，如果一个多项式被分解成几个单项式的乘积，就可以把它用简单的方法表示出来。

因式分解的技术是由倍数原理引出的。

倍数原理的观点是，一个多项式可以把各个项的系数都看作一个因子，它们的乘积就得到了这个多项式的值。

这意味着，可以把一个多项式的每一项都分解成一个常数和一个变量的乘积，然后把所有的项相乘获得这个多项式。

因式分解也可以用来解决多元多项式的方程。

多元多项式的方程包括一组有关某些变量的多项式方程，它们之间可能有不同种类的关系，比如等式、不等式和线性等式等。

如果一个多元多项式的方程是可解的，那么可以通过因式分解法来解决它。

在解决这类方程时，首先要把多元多项式的各个项都分解为几个单项式的乘积，然后把它们两两化成简单式，从而解出变量的值。

多项式的因式分解也可以用来解决求根问题，即把一个多项式分解为一个常数和一组变量的乘积，从而找出多项式的根。

为了找出多项式的根，首先要把多项式的各个项都分解成几个单项式的乘积，然后把它们两两化简，从而找出多项式的根。

多项式的因式分解是一种非常重要的知识，它可以帮助我们解决许多复杂的数学问题，例如求根、多元多项式的方程求解等。

同时，它也可以帮助我们理解一个多项式的特征，从而更加有效地掌握它。

因此，多项式的因式分解是一种非常有用的知识，它可以在解决复杂数学问题和掌握多项式之间发挥重要作用。

《多项式的因式分解》教案教学目标1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法；2、使学生明白可以将因式分解的结果现乘出来就能检验因式分解的正确性.3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值.重点难点重点掌握提公因式法，公式法进行因式分解；难点怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底. 教学设计一、知识回顾：运用前两节课的知识填空：1、()m a b c ++= ；2、()()a b a b +-= ；3、2()a b += .二、探索问题：请完成以下填空：1、()()ma mb mc ++= 2、22()()a b -= 3、2222()a ab b ++= 通过学生的动手，发现：运用多项式乘法的逆思维来探索出因式分解的新知识，“探索”与“回忆”正好相反，它是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就是因式分解.(1)中的多项式ma mb mc ++中的每一项都含有相同因式m ，称m 为公因式，把公因式提出来，多项式ma mb mc ++就可以分解成两个因式m 与a b c ++的积了，这种因式分解的方法，叫做提公因式法；(2)、(3)，是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称之为公式法.师：由a (a +1)(a -1)得到a 3-a 的变形是什么运算？由a 3-a 得到a (a +1)(a -1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？[生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法如：m(a+b+c)=ma+mb+mc(1)ma+mb+mc=m(a+b+c) (2)联系：等式(1)和(2)是同一个多项式的两种不同表现形式．区别：等式(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．等式(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．即ma+mb+mc=m(a+b+c)．所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．练习下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？(1)4a(a+2b)=4a2+8ab；(2)6ax-3ax2=3ax(2-x)；(3)a2-4=(a+2)(a-2)；(4)x2-3x+2=x(x-3)+2．[生](1)左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；(2)左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；(3)和(2)相同，是因式分解；(4)是因式分解．[师]大家认可吗？[生]第(4)题不对，因为虽然x2-3x=x(x-3)，但是等号右边x(x-3)+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以(4)的变形不是因式分解．[师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？[生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2．[师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)=a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2=(a+b)(a-b)是否成立呢？[生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．[师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．明确目标，互助探究：1､讨论993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．[生]993-99能被100整除．因为993-99=99×992-99=99×(992-1)=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993-99能被100整除．[师]993-99还能被哪些正整数整除？[生]还能被99，98，980，990，9702等整除．[师]从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2､议一议你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．[师]大家可以观察a3-a与993-99这两个代数式．[生]a3-a=a(a2-1)=a(a-1)(a+1)3､做一做(1)计算下列各式：①(m+4)(m-4)=__________；②(y-3)2=__________；③3x(x-1)=__________；④m(a+b+c)=__________；⑤a(a+1)(a-1)=__________．[生]解：①(m+4)(m-4)=m2-16；②(y-3)2=y2-6y+9；③3x(x-1)=3x2-3x；④m(a+b+c)=ma+mb+mc；⑤a(a+1)(a-1)=a(a2-1)=a3-a．(2)根据上面的算式填空：①3x2-3x=( )( )；②m2-16=( )( )；③ma+mb+mc=( )( )；④y2-6y+9=( )2．⑤a3-a=( )( )．[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．即：①3x2-3x=3x(x-1)；②m2-16=(m+4)(m-4)；③ma+mb+mc=m(a+b+c)；④y2-6y+9=(y-3)2；⑤a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)．[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．[师]在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法；在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(factorization)．总结归纳，课堂反馈本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与因式分解的关系是相反方向的变形．布置作业：课后习题．。

初等数学研究代数部分第二章多项式的因式分解多项式因式分解是代数学中的重要内容，它主要研究如何将一个多项式表达式分解成多个较简单的因子的乘积形式。

因式分解在数学中有广泛的应用，它可以帮助我们简化计算、解决方程、求解多项式的根等问题。

本文将介绍多项式因式分解的基本概念、方法和例题。

一、多项式因式分解的基本概念1.1多项式的定义多项式是由常数和变量的乘积相加减而成的代数式，形如f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0，其中an, an-1, ..., a2, a1, a0为常数，n为非负整数，x为变量，称为多项式的系数、次数和未知数。

1.2因式的定义如果一个多项式f(x)除以一次或多次的多项式g(x)得到一个除法式时，那么g(x)称为f(x)的因式，也可以说f(x)被g(x)整除。

多项式的因式分解是将一个多项式表示成若干个因子的乘积形式。

如果一个多项式无法再进行因式分解，我们称其为不可约多项式。

二、多项式因式分解的方法2.1公因式提取如果一个多项式的各项有一个公因子，我们可以提取出来，从而将多项式分解成若干个因子的乘积形式。

例如，多项式6x3+9x2可以提取公因式3x2，得到3x2(2x+3)。

2.2平方差公式平方差公式是一种常用的因式分解方法，它可以将形如a2-b2的多项式分解成(a+b)(a-b)形式。

例如，多项式x2-4可以分解成(x+2)(x-2)。

2.3完全平方公式完全平方公式是一种将二次多项式分解的方法，它可以将形如a2 + 2ab + b2的多项式分解成(a + b)2形式。

例如，多项式x2 + 4x + 4可以分解成(x + 2)22.4完全立方公式完全立方公式是一种将立方多项式分解的方法，它可以将形如a3 + 3a2b + 3ab2 + b3的多项式分解成(a + b)3形式。

例如，多项式x3 + 3x2 + 3x + 1可以分解成(x + 1)32.5因式分解公式除了上述方法外，还有一些常用的因式分解公式，例如二次多项式的因式分解公式、差二次多项式的因式分解公式等。

多项式因式分解的方法学院：专业：班级：学号：姓名:摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具，在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能，发展思维能力，都有着独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作一些整理.关键词：多项式定义因式分解转化十字相乘法拆项添项分项分组换元配方公式综合双十字相乘主元图像在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.（一）定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.（二）基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm解：在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)解1：通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2：a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.、例3 分解因式 4a 2-9b 2解：①∵4a 2=(2a)2,9b 2=(3b)2,那么只要把2a 和3b 看作平方差公式中的a 和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.4a 2-9b 2 =(2a)2-(3b)2 =(2a+3b)(2a-3b)注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 解：题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解：设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行 例5 分解因式 (m 2+n 2+1)2-4m 2n 2 解：(m 2+n 2-1)2-4m 2n 2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例6 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3解：（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例7 把多项式ax+ay+bx+by分解因式解：通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，利用乘法分配律，两两相配.（法一） ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)（法二） ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例8、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

初等数学中多项式因式分解方法探析由高等代数知识可以知道，在复数域中，只有一次多项式是不可约的，而在实数域中，只有一次和二次的不可约多项式。

主要讨论在有理数域范围内多项式的因式分解.在中学代数里，曾学习过一些较简单的因式分解的方法，这里介绍一些难度较大，技巧性更强的方法。

标签：多项式;可约；分解因式；待定系数；余数定理。

1 待定系数法用待定系数法分解因式，就是按已知条件把原多项式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原多项式构成恒等式，然后利用多项式恒等定理，求出各待定系数的值.这一方法的关键是如何判定各因式的形式。

2 用余数定理和综合除法分解因式引用余数定理：多项式f（x）有因式x-a 的充要条件是f（a）=0，a就是f（x）的一个根。

因此，用综合除法求出f（x）的根，就能得到f（x）的一次因式。

这一方法的关键是如何寻求试除数和选用试除数，使问题迅速得到解决。

当f（x）是整系数多项式时，用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定.常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商。

例1分解因式：f（x）=f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6解：因为f（x）的首项系数为2，常数项是6，由高等代数知识可知，其可能的有理根是±1，±2，±3±12，±32它们都可作为综合除法的试除数。

经过逐项试除，有3 用行列式分解因式有时被分解的多项式可以表示成适当的行列式，这样，就可以根据行列式的性质，对所得行列式进行推演，逐步转化成因式乘积的形式。

性质1［1］把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k后，加到另一行（列）的对应元素上，所得的行列式与原行列式相等。

高等代数中，规定二阶行列式a11a12a21a22=a11a22-a12a21。

由此启发，可以将一个多项式F看成2个多项式的差，而每个多项式又可表成2个多项式的乘积，即F=MN-PQ （M，N，Q，P均为多项式），于是F=M PQ N。

多项式的因式分解方法多项式的因式分解方法有提公因式法，公式法，十字相乘法，轮换对称法，分组分解法，拆添项法，配方法。

一、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

公因式可以是单项式，也可以是多项式。

具体方法：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。

如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式；①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

二、公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。

三、十字相乘法十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。

(拆两头，凑中间)(1)用十字相乘法分解二次项，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．(3)先以一个字母的一次系数分数常数项；(4)再按另一个字母的一次系数进行检验；(5)横向相加，纵向相乘。

§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r = 其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。