因式分解(超全方法)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2

=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2

；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2

)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2

)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)；

例.已知a b

c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

练习：分解因式3、y y x x 392

2

--- 4、yz z y x 22

2

2

---

综合练习：（1）3

2

2

3

y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）1816962

22-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++-

（5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

2

2

2

44+--

（7）2

2

2y yz xz xy x ++-- （8）12222

2++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （

11

）

abc

b a

c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）

abc c b a 3333-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

例5、分解因式：652

++x x

例6、分解因式：672+-x x

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522

--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162

++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -⨯+-++