复数复习课导学案

主题复习课复数教案一、教学目标：1. 理解复数的概念及其表示方法；2. 掌握复数的四则运算规则；3. 能够运用复数解决实际问题；4. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

二、教学内容：1. 复数的概念及其表示方法；2. 复数的四则运算规则；3. 复数的几何意义；4. 运用复数解决实际问题。

三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题；2. 通过小组合作、讨论和汇报，培养学生的团队合作能力；3. 利用多媒体教学手段，辅助学生直观地理解复数的概念和运算规则；4. 结合数学软件和几何图形，展示复数的几何意义。

四、教学准备：1. 多媒体教学设备；2. 数学软件和几何绘图工具；3. 教案、PPT和教学素材。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习复数的概念和表示方法，引导学生回顾已学知识；2. 学习复数的四则运算规则，通过例题讲解和练习，让学生掌握运算方法；3. 探索复数的几何意义，利用数学软件和几何图形，展示复数在平面坐标系中的位置和运算规律；4. 运用复数解决实际问题，引导学生运用所学的知识和方法解决生活中的问题；5. 课堂小结：对本节课的主要内容和知识点进行总结归纳；6. 布置作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对复数概念和运算规则的理解程度；2. 小组讨论：观察学生在小组合作中的表现，评估他们的团队合作能力和问题解决能力；3. 作业批改：对学生的作业进行批改，评估他们对复数知识的掌握情况。

七、教学拓展：1. 介绍复数在工程、物理学等领域的应用，激发学生对复数知识的兴趣；2. 引导学生思考复数运算的算法优化问题，提升学生的逻辑思维能力；3. 组织学生进行数学探究活动，让学生自主发现复数运算的规律。

八、教学反思：1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性；2. 分析学生的学习情况，调整教学策略，以提高教学效果；3. 针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的复数知识水平。

人教版小学一年级导学案认识复数形式一、导学目标通过本节课的学习，学生将能够准确理解和掌握人教版小学一年级教材中关于认识复数形式的知识点，能够正确运用复数形式进行表达。

二、导学准备1. 教材：人教版小学一年级语文教材第X册第X单元。

2. 教具：黑板、粘贴纸、彩笔。

三、导学过程Step 1：导入新知1. 老师出示一张图片，引导学生讨论其中的人和物品。

2. 通过问题引导学生思考：如何表示一个人或物品的复数形式？Step 2：学习新知1. 老师出示包含一组图片的幻灯片，教学说明每个图片上的人或物品是单数还是复数形式。

2. 老师逐个指向每个图片，与学生一起念读单数和复数形式。

3. 引导学生总结复数形式的规则，例如：在名词后加上“-s”、“-es”形成复数。

4. 老师以示例句的形式，教学复数形式的正确运用。

Step 3：练习巩固1. 学生分组进行练习，每个小组拿到一张包含人和物品图片的卡片。

2. 学生通过观察图片，思考并用正确的复数形式将卡片上的内容填写完整。

3. 每个小组轮流展示并念读自己的卡片。

Step 4：拓展延伸1. 老师出示一段对话，其中出现了一些名词的复数形式。

2. 学生阅读对话并回答问题，确保他们能够理解复数形式在对话中的应用。

四、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了人教版小学一年级教材中关于认识复数形式的知识点，并通过练习加以巩固。

希望同学们能够继续在实际生活中积极运用所学知识，提高语言表达能力。

五、课后作业完成课堂练习中的填空任务，并写一段关于你家人的短文，使用正确的复数形式进行描述。

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：第五章 数系的扩充与复数的引入（复习课）【教学目标】1. 掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.2.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。

【自主探究】1：复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为：2：已知1510z i =+，234z i =-，12111z z z =+，求z .3：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.变式：（1）12z z 对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a 的取值范围.（2）12z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值.反思：若复数(,)a bi a b R +∈是实数，则是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；其模为 ；其共轭复数为 .若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则 .【合作探究】例1 已知m R ∈，复数2(2)(23)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时， （1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？变式：已知11m ni i=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m ni +=小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视.例2 设存在复数z 同时满足下列条件：（1）在复平面内对应的点位于第二象限；（2）28()zz iz ai a R +=+∈；试求z 的取值范围变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z例3 在复平面内（1）复数22(24)(22)z a a a a i =-+--+，（2）满足|1||1|4z z ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？【巩固提高】1. 已知复数26(2)2(1)1m z i m i i=+----，当实数m 取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.2. 若2222log (32)log (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 .3. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数.【课堂小结】：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量. 根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.。

第1节 数系的扩充和复数的概念※知识要点教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件 1．复数(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，且i 2＝－1，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则➀ a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ， ➁ a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.即时训练1：1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【答案】 D2．若(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝_____. 【答案】 －10教材整理2 复数的分类 1． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：即时训练2：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√※题型讲练考点一 复数的有关概念【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 (1)A (2)B[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题： ①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1 考点二 复数的分类【例2】已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解答】(1) ⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.考点三 复数相等的条件【例3】(1)设复数z 1＝(x －y )＋(x ＋3)i ，z 2＝(3x ＋2y )－y i ，若z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【答案】 (1)－9 6 (2)112 －12[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3 D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a的值为________．【答案】 (1)A (2)11或－715考点四 复数的不相等关系探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？ 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.【例4】已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎨⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合．∴x ＝1.※课堂反馈1．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(∁S B )＝∅ D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C 【答案】 D 3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2 D ．－2,0 【答案】 C 2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2 D ．1或2 【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2； ③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【答案】 x ＝12，y ＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成； ②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数； ④复数m ＋n i 的实部一定是m . 其中正确说法的个数为________． 【答案】 1 三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数． 【解】(1)∵z 是零，∴⎩⎨⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1.(2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数． 10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.[能力提升]1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1或3 B ．{a |a >3或a <－1} C ．{a |a >－3或a <1} D ．{a |a >3或a ＝－1} 【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4 B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z )【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x=_____．【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2第2节 复数的几何意义※知识要点教材整理 复数的几何意义及复数的模1．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴；注意：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点，除了原点外都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 一一对应．为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量→OZ ，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 3．复数的模向量→OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|， 即：r ＝|z |＝|a ＋b i|＝r ≥0，且r ∈R )．即时训练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)复数的模一定是正实数．( )(3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×※题型讲练考点一 复数与复平面内点的关系【例1】已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)． (1)在实轴上； (2)在第三象限； 【解答】 复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 的实部为a 2－1，虚部为2a －1，在复平面内对应的点为(a 2－1,2a －1)． (1)若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.[再练一题]1．在复平面内，当复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点满足下列条件时，分别求实数m 的取值范围： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上.【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.考点二 复数与向量的对应关系【例2】(1)已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝2a ＋i(a ∈R )对应的点分别为Z 1和Z 2，且→OZ 1⊥→OZ 2，则a 的值为________．(2)已知向量→OA 对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量→OA 1平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.①求向量→OA 1对应的复数； ②求点A 2对应的复数．【解答】 (1) 23(2)①→OA 1对应的复数是4－3i. ②点A 2对应的复数是8.[再练一题]2．在复平面内，O 是原点，若向量→OA 对应的复数z 的实部为3，且|→OA |＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量→OB 对应的复数．【解】 根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R )，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得→OA ＝(3，b )，已知|→OA |＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)．因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)，所以向量→OB 对应的复数为z ′＝－3.考点三 复数模的几何意义及应用探究1 若z ∈C ，则满足|z |＝2的点Z 的集合是什么图形？【提示】 (1)因为|z |＝2，即|→OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．探究2 若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？ 【提示】 是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．【例3】已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i.(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【解答】 (1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝()－122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.所以是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．[再练一题]3．若复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，则a 的取值范围是_____． 【答案】 (－3， 3)※课堂反馈 1．在复平面内，若→OZ ＝(0，－5)，则→OZ 对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5i D ．5 【答案】 C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】 D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11 【答案】 D4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i 【答案】 C 2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量→OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量→OB 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．1＋2iD ．－1＋2i 【答案】 B 5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，→AB ，→AC 对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则→BC 对应的复数为________． 【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？ 【解】 ∵|z |＝2， ∴(x ＋3)2＋(y －2)2＝2， 即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎨⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎨⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限． (3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需 m 2－5m －14＝m －3， ∴m 2－6m －11＝0， ∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 D 2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆心在原点的圆 C ．圆心不在原点的圆 D ．椭圆 【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量→OZ 1，→OZ 2，→OZ 3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示． |z 1|＝()122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝()122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1.如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．第3节 复数代数形式的加减运算及其几何意义※知识要点教材整理1 复数代数形式的加法运算及几何意义1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.2．加法运算律 交换律 z 1＋z 2＝z 2＋z 1 结合律 (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 3.复数加法的几何意义如图1，设复数z 1，z 2对应向量分别为→OZ 1，→OZ 2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是 →OZ .即时训练2：在复平面内，向量→OZ 1对应的复数为－1－i ，向量 →OZ 2对应的复数为1－i ，则→OZ 1＋→OZ 2对应的复数为________． 【答案】 －2i图1 图2教材整理2 复数代数形式的减法运算及几何意义1．运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数减法的几何意义 如图2所示，设→OZ 1，→OZ 2分别与复数z 1，z 2对应，则z 1－z 2与向量→OZ 1－→OZ 2 (即→Z 1Z 2)对应，这就是复数减法的几何意义．即时训练2：已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 1－z 2对应的点位于第________象限． 【答案】 四※题型讲练考点一 复数的加减运算 【例1】计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)； (2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)； (3)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (4)(a ＋b i)－(3a －4b i)＋5i ． 【解答】 (1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a ＋5b i)＋5i ＝－2a ＋(5b ＋5)i.[再练一题] 1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)； (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝－a ＋(4b －3)i.考点二 复数加减运算的几何意义【例2】在复平面内，A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．【解答】由复数加减运算的几何意义得AD →＝AB →＋AC →， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)， ∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ，∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.[再练一题]2．复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量→BA 对应的复数为1＋2i ，向量→BC 对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．【解】 ∵→BA 对应的复数为1＋2i ，→BC 对应的复数为3－i ， ∴→AC ＝→BC －→BA 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵→OC ＝→OA ＋→AC ，∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.考点三复数加减法几何意义的综合应用探究1|z1－z2|的几何意义是什么？【提示】|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．探究2满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？【提示】设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|(x＋y i)＋2－2i|＝1，即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1，∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z的轨迹为以(－2,2)为圆心，1为半径的圆．【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．【解答】由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.[再练一题]3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．【解】由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3,2)的距离．∴|z－3－2i|min＝(3＋2)2＋(2－2)2－1＝4.|z－3－2i|max＝(3＋2)2＋(2－2)2＋1＝6.※课堂反馈1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－I C．i D．－i【答案】 A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 B3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限【答案】 B4．在复平面内，O是原点，→OA，→OC，→AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么→BC对应的复数为________.【答案】4－4i5．如图3所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1) →AO表示的复数；(2)→CA表示的复数；(3)→OB表示的复数．【解】(1)因为AO→＝－→OA图3所以AO→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA→＝→OA－OC→，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3i B．3＋5i C．7－8i D．7－2i【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量→OA和→OB，其中O为坐标原点，则|→AB|＝()A. 2 B．2 C.10 D．4【答案】 B3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋b i，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4【答案】 A4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】 B5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_________.【答案】16i7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝【答案】i8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．【答案】22＋1三、解答题9．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，且z1－z2＝43，求复数z＝a＋b i.【解】z1－z2＝⎣⎡⎦⎤32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a＋33b＋(a－b－1)i，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a＋33b＝43，a－b－1＝0，解得⎩⎨⎧a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.10．如图4，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解】设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为 (x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ， BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵AD →＝BC →， 图4 ∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即⎩⎨⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.[能力提升]1．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 【答案】 A2．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心 【答案】 D3．已知z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx最大值为_____．【答案】 34．在复平面内，A ，B ，C 三点分别对应复数1,2＋i ，－1＋2i.(1)求→AB ，→AC ，→BC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)． ∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)， BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)． 即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8， |BC →|＝(－3)2＋1＝10， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|， ∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.第4节 复数代数形式的乘除运算※知识要点教材整理1 复数的乘法法则及运算律 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1. (2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． (3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3. 即时训练1：已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 【答案】 1＋2i教材整理2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用 −z 表示，即： 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则−z ＝ a －b i .即时训练2：若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________. 【答案】 －1 1教材整理3 复数的除法法则设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0 且c ，d ∈R )，则：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．即时训练3：i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.【答案】 2－i※题型讲练考点一 复数代数形式的乘除法运算【例1】(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 (2)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i(3)计算：(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i＝________.【答案】 (1)A (2)C (3)－1＋i[再练一题]1．(1)复数1＋3i3－i等于( )A ．iB ．－I C.3＋i D.3－i(2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．(3)计算：(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i＝________.【答案】 (1)A (2)21 (3)15＋25i考点二 共轭复数及其应用【例2】已知z －−z ＝－4i ，z ·−z ＝13，试求z−z . 【解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )⎩⎨⎧(x ＋y i )－(x －y i )＝－4i ，(x ＋y i )(x －y i )＝13，即⎩⎨⎧2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i.＝3－2i 3＋2i ＝(3－2i )2(3＋2i )(3－2i )＝5－12i 13＝513－1213i ，＝－3－2i－3＋2i ＝－3－2i )2(－3＋2i )(－3－2i )＝5＋12i 13＝513＋1213i.[再练一题]2．已知复数z 满足z ·−z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z . 【解】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.考点三 i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？ 【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？【提示】 四种：1，i ，－1，－i.探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.【例3】(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝⎛⎭⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解答】 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1.(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z， 而z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i1－i＝1.[再练一题]3．在上例(2)中，若z ＝1－i1＋i ，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【解】 ∵z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i.∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z ＝1－(－i )2 0171－(－i )＝1＋i 2 0171－(－i )＝1＋i 2 0171＋i ＝1＋i1＋i＝1.※课堂反馈1．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 【答案】 A 2．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B3．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－IC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】 D4．已知a 为实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.【答案】 15．计算：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i .【解】3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z ＝2－i ，则z ·−z 的值为( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 3 【答案】 A2．i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋I C.1725＋3125i D ．－177＋257i【答案】 A3．z 1，z 2是复数，且z 21＋z 22<0，则正确的是( )A ．z 21<－z 22B ．z 1，z 2中至少有一个是虚数C ．z 1，z 2中至少有一个是实数D ．z 1，z 2都不是实数 【答案】 B 4．若复数z 满足2z ＋−z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i【答案】 B5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，−z 是z 的共轭复数，则z ·−z ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】 A 二、填空题6．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 【答案】 27．复数52－i的共轭复数是________．【答案】 2－i8．复数2－2a ia ＋2i的模为2，则实数a 的值是________．【答案】 ± 3 三、解答题9．若z 满足z －1＝3(1＋z )i ，求z ＋z 2的值. 【解】 ∵z －1＝3(1＋z )i ，∴z ＝1＋3i1－3i ＝(1＋3i )2(1－3i )(1＋3i )＝－12＋32i ，∴z ＋z 2＝－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12－32i ＝－1.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数； (2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ， 所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应的向量为(－2,4＋a )，其模为4＋(4＋a )2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2,4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.[能力提升] 1．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i【答案】 C2．设z 的共轭复数为−z ，z ＝1＋i ，z 1＝z ·−z ，则1z ＋1i z 1等于( ) A.12＋i B.12－I C.12 D.32 【答案】 C3．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________． ①|z －−z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2；③|z －−z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |. 【答案】 ④4．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2. 【解】 ∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝1－2i －12＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4. ∴z 2＝4＋2i.*第5节 复数的三角表示※知识要点教材整理1 复数的三角表示相关概念1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的 模 ；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量→OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ．注意：r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．即时训练1：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复数的辐角是唯一的． ( )(2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． ( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． ( )(4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝____2()cos π4＋isin π4 ____.3．复数6()cos π2＋isin π2的代数形式为__6i ______．2．复数三角形式的乘、除运算若z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2) ＝ r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． (2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝ r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 注意：(1)两复数相乘，积的模等于 各复数的模的积 ，积的辐角等于各复数的辐角的 和 ．(2)两复数相除，商的模等于 被除数的模除以除数 的模所得的商，商的辐角等于被除数 的辐角减去除数 的辐角所得的差．即时训练2：1．计算：(1)6()cos π3＋isin π3×4()cos π6＋isin π6＝____24i ____；(2)6()cos π3＋isin π3÷4()cos π6＋isin π6＝____334＋34i ____.※题型讲练考点一 复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i. [解] (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2()cos π6＋isin π6. (2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2()cos 7π4＋isin 7π4.角度二 三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4()cos π6＋isin π6 (2)32(cos 60°＋isin 60°) (3)2()cos π3－isin π3[解] (1) r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.＝4cos π6＋4isin π6＝23＋2i.(2) r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.＝34＋34i.(3) r ＝2，辐角的主值为53π.＝2cos 53π＋2isin 53π＝1－3i.[再练一题]1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12()cos π4－isin π4； (2)－12()cos π3＋isin π3； (3)12()sin 3π4＋icos 3π4； (4)cos 7π5＋isin 7π5； [解] 根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)不是，(4)是复数的三角形式．(1)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4.(2)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()π＋π3＋isin ()π＋π3＝12()cos 4π3＋isin 4π3.(3)原式＝12⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4.考点二 复数三角形式的乘、除运算 【例3】计算：(1)8()cos 43π＋isin 43π×4()cos 56π＋isin 56π；(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷()cos π4＋isin π4.[解] (1)＝32⎣⎡⎦⎤cos ()43π＋56π＋isin ()43π＋56π＝32()cos 136π＋isin 136π＝32()cos π6＋isin π6＝163＋16i.(2)＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝3－34＋3＋34i. (3)＝4(cos 0＋isin 0)÷()cos π4＋isin π4＝4⎣⎡⎦⎤cos ()－π4＋isin ()－π4＝22－22i.[再练一题] 2．计算：(1)⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π32； (2)2(cos 75°＋isin 75°)×()12－12i ；(3)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ÷⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3.[解] (1)＝(2)2()cos 23π＋isin 23π＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)＝2()cos 512π＋isin 512π×⎣⎡⎦⎤22()cos 74π＋isin 74π＝2×22⎣⎡⎦⎤cos ()512π＋74π＋isin ()512π＋74π＝cos 2612π＋isin 2612π＝cos π6＋isin π6＝32＋12i.(3)＝()cos 23π＋isin 23π÷⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3 ＝12⎣⎡⎦⎤cos ()23π－π3＋isin ()23π－π3 ＝12()cos π3＋isin π3＝14＋34i.- 11 -考点三 复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．[解] 因为3－3i ＝23()cos 116π＋isin 116π，所以逆时针23()cos 116π＋isin 116π×()cos π3＋isin π3＝3＋3i ，逆时针23()cos 116π＋isin 116π×⎣⎡⎦⎤cos ()－π3＋isin ()－π3＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.[再练一题]3．在复平面内，把与复数334＋34i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)[解] 334＋34i ＝32()cos π6＋isin π6，由题意得32()cos π6＋isin π6×⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3＝3i ，即与所得向量对应的复数为3i.※课堂反馈1．arg(1－3i)=( A )A ．53πB ．23πC ．56πD ．π32．复数9(cos π＋isin π)的模是____9____． 3．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝____ i ____.4．2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎡⎦⎤2()cos 34π＋isin 34π＝____－1＋32＋3－12i ____. 5．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为____2____．※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]1．若a <0，则a 的三角形式为( C )A ．a (cos 0＋isin 0)B ．a (cos π＋isin π)C ．－a (cos π＋isin π)D ．－a (cos π－isin π) 2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)三角形式是( B ) A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°3．若|z |＝2，arg z ＝π3，则复数z ＝___1＋3i _____.4．复数cos 15π7＋isin 15π7的辐角主值是____π7____．5．复数10()cos 7π6＋isin 7π6表示成代数形式为___－53－5i ．6．在复平面内，将复数3＋i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为___－1＋3i _____．7．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝___32＋12i __.8．把下列复数表示成代数形式：(1)4()cos 5π3＋isin 5π3； (2)23()cos 7π4＋isin 7π4.解：(1)4()cos 5π3＋isin 5π3＝4⎝⎛⎭⎫12－32i ＝2－23i.(2)23()cos 7π4＋isin 7π4＝23⎝⎛⎭⎫22－22i ＝6－6i.- 12 -9．将下列复数表示成三角形式(1)tan θ＋i ，θ∈()0，π2； (2)1＋cos α＋isin α，α∈[0,2π)．解：(1)tan θ＋i ＝sin θcos θ＋i ＝1cos θ(sin θ＋icos θ)，∵θ∈()0，π2，∴cos θ>0，∴tan θ＋i ＝1cos θ⎣⎡⎦⎤cos ()π2－θ＋isin ()π2－θ.(2)1＋cos α＋isin α＝2cos 2α2＋i·2sin α2cos α2＝2cos α2()cos α2＋isin α2.∵当0≤α<π时，0≤α2<π2，cos α2>0，∴1＋cos α＋isin α＝2cos α2()cos α2＋isin α2， 当π≤α<2π时，π2≤α2<π，cos α2≤0，∴1＋cos α＋isin α＝－2cos α2()－cos α2－isin α2＝－2cos α2⎣⎡⎦⎤cos ()π＋α2＋isin ()π＋α2.[能力提升]1．向量→OZ 1，→OZ 2，分别对应非零复数z 1，z 2，若→OZ 1⊥→OZ 2，则z 1z 2是( ) A ．负实数 B ．纯虚数 C ．正实数 D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)解析：选B 设复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，由于OZ 1―→⊥OZ 2―→，所以z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[]cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2)＝r 1r 2[cos(±90°)＋isin(±90°)]＝±r 1r 2i ，即z 1z 2为纯虚数．故选B.2．复数z ＝(a ＋i)2的辐角主值为3π2，则实数a ＝________.解析：由于复数z 的辐角主值为3π2，故z ＝r cos 3π2＋isin 3π2＝－i r ，又z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，所以a 2－1＋2a i ＝－i r ，所以a 2－1＝0,2a ＝－r ，故a ＝－1.答案：－1 3．已知z ＝4()cos π12＋isin π12，则1z 的辐角主值为________．解析：1z ＝14()cos π12＋isin π12＝cos 0＋isin 04()cos π12＋isin π12＝14⎣⎡⎦⎤cos ()－π12＋isin ()－π12 ＝14()cos 23π12＋isin 23π12. ∴1z 的辐角主值为23π12. 答案：23π124．已知复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，且z 1＋z 2＝1＋3i2，则z 1z 2＝________.解析：设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，因为z 1＋z 2＝1＋3i2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝12， ①sin α＋sin β＝32， ②和差化积，②①得tanα＋β2＝3， 所以sin(α＋β)＝32，cos(α＋β)＝－12， 所以z 1z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝－12＋32i.答案：－12＋32i5．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z 1，z 2，z 3，满足z 22＝z 1z 3且z 2＋i z 3－i ＝0，求复数z 1，z 2，z 3.解：设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ，则由z 2＋i z 3－i ＝0，可得⎩⎨⎧cos β－sin γ＝0，sin β＋cos γ－1＝0.利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos γ＝12，sin γ＝±32.所以，z 3＝1±3i2. 当z 3＝1＋3i 2时，z 2＝－i(z 3－1)＝3＋i 2，z 1＝z 22z 3＝1；当z 3＝1－3i2时， z 2＝－i(z 3－1)＝－3＋i 2，z 1＝z 22z 3＝1.- 13 -。

复数的有关概念导学案学习目标1.理解复平面、复数的模等相关概念.2.了解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其 对应的点及向量.3.了解复数的代数表示法及其几何意义．一、自主学习【复习】1.设R m ∈，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.2.复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？二、新课探究问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两个实数，不难想到有序实数对或点的坐标. 结论：复数与平面内的点是一一对应的.1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ； 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ；复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量 OZ ，规定相等的向量表示同一个复数.3.复数的模设复数z a bi =+在复平面内对应的点是)b ,a (Z ，点Z 到原点的距离|OZ |叫做复数Z 的模或绝对值,记作|z |或||a bi +，显然22b a |z |+=.注意：两个复数一般不能比较大小，但是可以比较它们模的大小.例1．在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模：（1）23i +；（2）i 5-；（3）i 2321-；（4）29i --.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).例2．实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？三、课堂检测1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3.复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形4. 若1z =，则||z =5. 已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）。

复数教案一轮复习教案标题：复数教案一轮复习教案目标：1. 通过一轮复习，帮助学生巩固和掌握复数形式的基本规则。

2. 培养学生对于复数形式的正确运用能力。

3. 提高学生的听说读写能力，培养他们对于复数形式的敏感度。

教学重点：1. 复习复数形式的基本规则。

2. 练习运用复数形式进行口头和书面表达。

3. 培养学生的听说读写能力。

教学难点：1. 区分不规则复数形式和规则复数形式。

2. 运用正确的复数形式进行交流和表达。

教学准备：1. 复数形式的规则总结表格。

2. 复数形式的练习题和答案。

3. 多媒体设备和投影仪。

教学过程：步骤一：复习复数形式的基本规则（10分钟）1. 使用多媒体设备展示复数形式的规则总结表格，包括一般名词、不规则名词和特殊名词的复数形式规则。

2. 与学生一起快速回顾并复习这些规则，提醒他们注意不同类型名词的复数形式规则。

步骤二：练习运用复数形式进行口头表达（15分钟）1. 将学生分成小组，每组选择一个话题，例如“家庭成员”、“学校设施”等。

2. 要求学生在小组内轮流用正确的复数形式表达自己的观点、意见和建议。

3. 教师在小组之间巡视，纠正学生的发音和语法错误，并给予必要的指导和建议。

步骤三：练习运用复数形式进行书面表达（20分钟）1. 分发练习题和答案，要求学生根据题目要求填写正确的复数形式。

2. 学生独立完成练习题，教师提供必要的辅导和解答。

3. 学生交换答案并互相检查，教师进行梳理和总结。

步骤四：听说读写综合训练（15分钟）1. 教师朗读一段包含复数形式的短文，要求学生仔细听，并回答相关问题。

2. 学生进行小组讨论，分享听到的信息和自己的理解。

3. 学生个别完成一篇关于自己喜欢的事物的短文，要求使用正确的复数形式进行书写。

4. 学生互相交换短文，进行修改和改进。

步骤五：课堂总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结复数形式的基本规则和运用技巧。

2. 学生回答教师提出的问题，分享自己的学习心得和体会。

复数的概念导学案导学案是一种帮助学生自主学习的教学工具，通过引导学生思考和探索，帮助他们建立知识的框架和理解概念。

本篇文档将为您提供一份关于复数概念的导学案，旨在帮助学生理解和运用复数的基本概念。

导学目标：1. 掌握复数的基本概念。

2. 理解复数的表示形式。

3. 掌握复数的四则运算规则。

导学步骤：步骤一：引入复数是数学中一个重要的概念，它在代数运算、函数理论、电磁学等领域有着广泛的应用。

那么，你能简单地解释一下什么是复数吗？步骤二：概念梳理请在纸上写下你对复数的理解，包括复数的定义、表示形式、基本性质等。

步骤三：基本概念让我们一起来学习和梳理复数的基本概念：1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数。

一般形式为a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 实数部分和虚数部分：在复数a+bi中，a是其实数部分，b 是其虚数部分。

3. 复数的表示形式：- 代数形式：a+bi，a和b都是实数。

- 平面形式：复平面上，实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。

复数a+bi对应于平面上的一个点。

步骤四：运算规则复数的四则运算规则可以通过对每个复数的实部和虚部进行运算来实现。

下面我们来看一下复数的四则运算规则：1. 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i步骤五：应用练习请在纸上完成以下练习，以便将所学内容应用到实际问题中：1. 计算复数 (3+2i) + (4-5i)2. 计算复数 (5+4i) - (2-3i)3. 计算复数 (2+3i) * (4-2i)4. 计算复数 (6+2i) / (2+4i)步骤六：总结通过本导学案，我们回顾了复数的基本概念，包括定义、表示形式和四则运算规则。

人教B版高中数学
选修1-2第三章
数系的扩充与复数的引入复习课
教学设计
第三章数系的扩充与复数的引入复习课
学习活动二：例题解析 1、复数的有关概念 例1.已知复数（Z•为虚数单
-1+z 位），则（）
数的几何意义是向量，所以在学习时 可以类比向量来学；复数有代数和几 何两种表示方法，这又给我们使用数 形结合的思想提供的条件；复数相等 的理论之下，我们又可以用方程思想 解决一些有关问题。

让学生从宏观上 把握本章知识结 构，通过展示优秀
学案，让学生规范 整体构建的形式，
通过解决例一的 有关问题，让学生 熟练掌握复数的 有关概念O
学习活动一：整体建构
业」JLZ_ -Li
娄系的扩充
【课堂导 入】
A. -
B.豆
C.豆
D. 2
2 2 2
变式训练2 :已知复数满足
贝 1] z =( )
(l+^z)z =A/3Z
,
A. -+^i
B. -- ^-i
2 2 2 2
C. -+^i
D. -- ^-i
4 4 4 4
小结：复数的运算法则有哪些？点拨提升3.
实数集中的数的运算法则在复数集里也是适用的。

实现了数的运算法则的扩充。

提升训练1.
1.求下列式子的值
(1) l+2z+3z2 + +2019严I'
(2)2+2? | y/2 2018
(1")2 1+Z
2.
已知夏数z =1- i ,贝4 -
Z - 1
3、复数的几何意义
例4.设zeC,满足下列条件的点Z。

理科高三数学教案：复数总复习教学案
【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“理科高三数学教案：复数总复习教学案”，供大家参考!
本文题目：理科高三数学教案：复数总复习教学案
第十五章复数
高考导航
考试要求重难点击命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用. 本章重点：1.复数的有关概念;2.复数代数形式的四则运算.。

第五章 第4课时 《复数》导学案 考纲点击 1.考查复数的基本概念，复数相等的条件；2.考查复数的代数形式的运算，复数的几何意义． 复习备考要这样做 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义；2.要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．【要点梳理】自主学习1． 复数的有关概念(1)复数的概念：设a ，b 都是实数，形如___ __的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的__ __和__ ___,若______则a ＋b i 为实数；若_____，则a ＋b i 为虚数；若______________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔_______________；a ＋b i ＝0⇔_______________.(3)共轭复数：如果两个复数的实部_______，而虚部__________，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z ＝________. z z ⋅＝_______________（4）复数的模：设z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则|z|＝ ； .2． 复数的几何意义复数z ＝a ＋b i −−−→←一一对应有序实数对(a ，b ) −−−→←一一对应点Z (a ，b )． 3． 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝________ ____________；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝__________________________；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝_________ __________________；④ 除法：))(())((21di c di c di c bi a di c bi a z z -+-+=++=＝_________________________(c ＋d i ≠0)． （注：以上公式不需死记，可类比多项式的运算，将12-换为i 即可，除法可通过分母实数化转化为乘法）(2)复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝__________， (z 1＋z 2)＋z 3＝____________________注：)(,1,,1,2)1(,2)1(342414422z n i i i i i ii i i i n n n n ∈-=-===-=-=++++【考点透析】考点1 复数的概念及复数相等的条件例1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式1：设z 是复数，若_______,432=+=+z zi i z 则考点2 复数或复数运算的几何意义例2.在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式2.a 为正实数，i 为虚数单位，2=+i ia ，则a ＝( )A ．2 B.3 C. 2 D ．1考点3 复数的四则运算例3.复数3223ii +=- （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i -【基础题自测】1．设i 是虚数单位，复数i ai-+21为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．21- D. 212．复数i1＋2i (i 是虚数单位)的实部是( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－153.已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________.4.已知1i Z＋=2+i,则复数z=（ ）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i5．i 为虚数单位，则(1＋i1－i )2011＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1。