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杆系结构有限元Finite Element Method工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。

杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。

杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。

(a) Liebherr塔式起重机(b) Liebherr履带式起重机(c) 钢结构桥梁(d) 埃菲尔铁塔杆系结构有限元Finite Element MethodFinite Element Method杆系结构有限元杆系结构采用矩阵方法来求解，然后又将杆系结构矩阵分析方法推广应用于连续介质，把连续介质离散化为有限个单元的集合进行分析。

广义上讲，杆系结构矩阵分析方法可以包含在有限元法中。

在求解超静定问题中，应兼顾平衡条件，变形条件及物理条件三方面的要求。

而解决问题的关键往往在于正确的分析变形条件。

当构件的长度远远大于其宽度和厚度时，可简化为杆件，由杆件组成的结构为杆系结构。

常见的有刚架、桁架等。

超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。

其特性：a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。

b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而且与材料的力学性能和截面尺寸有关。

c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制，结构内必将产生内力。

d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持几何不变性，因而仍有一定的承载能力，不致整个结构遭受破坏。

e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性，在载荷作用下，内力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。

Finite Element MethodFinite Element Method 设l ，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l 14=l 34=l 1，l 24=l 2;A 14=A 34 =A 1，A 24=A 2; E 14= E 34=E 1；E 24=E 2。

试求各杆的轴力。

杆系结构有限元B D CA 132FB 1a a32D C A D l 344Finite Element Method AP a aN2N1N1yx 解：一次超静定问题P N y y =+21N 2力：由节点A 的平衡条件列出平衡方程等截面杆在轴力N 的作用下，杆端变形为：;cos ;;cos 434424414a a v v v =D =D =D 由于对称，节点4的水平位移为0，设节点4的垂直位移为v 4，则有：EAl N =D (a)(b)(c)Finite Element Method;cos N ;cos cos cos N 424222242222241412111411111v k v l A E l A E N v k v l A E l A E N yy ==D ====D ==a a a a D l 3由(a)，(b)式可得：(d)K 1，k 2为单元的刚度系数，物理意义为当节点4位移为1时的杆端力。

将(d)带入(c ）P v k k =+421)2()2(214k k P v +=2k 1+k 2即为整体结构的刚度系数。

Finite Element Method联立平衡方程、补充方程，求解得;2N N ;cos )2(cos cos N N N N 2124224221141113441k k P k v k k k P k v k y+====+=====aa a 在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关。

这种以位移作为基本未知量，通过节点平衡方程求出节点位移，再由位移反推出各单元的内力的方法，称为“位移法”。

有限元分析的基本步骤：结构离散化单元分析整体分析Finite Element Method单元分析Ø单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。

Ø单元分析的步骤：节点位移单元内部各点位移单元应变单元应力节点力(1)(2)(3)(4)单元分析Finite Element Method杆系结构有限元杆系结构离散化由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元)作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为节点。

杆系结构的离散化的要点可参考如下：a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成节点。

这些节点都是根据结构本身特点来确定的。

b. 结构中两个节点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。

Finite Element MethodFinite Element Methodc. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。

d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。

如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加节点。

e. 在有限元法计算中，载荷作用到节点上。

当结构有非节点载荷作用时，应该按照静力等效的原则，变换为作用在节点上的等效节点载荷。

(a ) 节点载荷处理方式(b ) 等效节点载荷处理方式图3-2杆系结构离散化示意图杆系结构有限元Finite Element Method向量表示在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。

对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。

(a)刚架结构示意图(b) 节点位移和节点力分向量图3-4平面刚架分析示意图杆系结构有限元Finite Element Method{}[]Ti i i i v u q q =={}[]Tjj jjv uq q ==节点位移列向量为单元e 节点位移列向量为{}[]Te jj j ii i j e i e eu u q q q q u q u =þýüîíì=节点力向量为{}[]Te i i i ei M V U F =={}[]Te jjjejM VU F ==单元e 节点力列向量为{}[]Te jj j i i i e j e i eM V U M V U F F F =ïþïýüïîïíì=Finite Element Method杆系结构有限元1. 杆单元（bar element ）特点：两端一般都是铰接接头，不能传递和承受弯矩。

下图为典型的杆单元。

单元节点力和节点位移分别表示为：F2F1{}{}Te T e u u q F F F 2121,==2. 选择位移函数有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。

一、位移模式的唯一性，二、解答的收敛性；为保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列要求:a. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。

满足条件的单元成为：完备性单元。

b. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移要协调。

即在相邻单元公共边上的位移要连续，这一条件称为单元的协调性。

理论上讲，这种完备协调单元的解是收敛的。

还要求位移模式与局部坐标的方向性无关，几何各向同性。

Finite Element MethodFinite Element Method2. 选择位移函数设该单元内任一点处的位移函数为u(x),用Taylor 级数，它可表示为：该函数将由两个端节点的位移u 1和u 2来进行插值确定，取前两项作为该单元的位移插值模式（interpolation model ）：其中a 0和a 1是待定系数（unknows ）。

单元节点条件：L+++=221)(x a x a a x u Ta a x x a a x u ]][1[)(1010=+=;:;:0u u l x u u x ====杆系结构有限元用矩阵形式表达为:eq x N u u N N u u l x lxx u )(][]1[)(212121=þýüîíì=þýüîíì-=]1[)(lxl x x N -=ee q x B q ll l u u x u ·=·-=-=¶¶=)(]11[12e 式中N(x)称为形状函数或插值函数（Shape function matrix):3. 应变位移关系与应力应变关系应变位移关系x lu u u x u 121)(-+=11[)()(ll x N dx d x B -==B(x)为几何函数矩阵Finite Element Method杆系结构有限元4. 单元刚度矩阵，单元力-位移方程杆单元内力节点力与内力之间的关系：单元刚度矩阵(stiffness matrix of element)：单元力-位移方程：lu u EAA F N 12-==s )(211u u lEAF F N -=-=)(122u u lEAF F N -==e e q K u u l EA F F =þýüîíìúûùêëé--=þýüîíì21211111úûùêëé--=1111l EA K e ee e F q K =Finite Element Method{}Te u u q 21={}Te F F F 21=节点位移列阵（nodal displacement vector)节点力列阵（nodal force vector)将每一个描述物体位置状态的独立变量称为一个自由度DOF （degree of freedom)单元刚度矩阵(Stiffness matrix of element)：úûùêëé--=1111l EA K e ee e F q K =单元刚度方程(Stiffness equation of element)：杆系结构有限元杆系结构有限元例求节点1，2，3 的位移，节点4的约束力。