杆系结构的有限元法

3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。

其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。

本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。

有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。

它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。

有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。

杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。

在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。

杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。

线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。

线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。

非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。

这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。

非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。

杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。

力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。

其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。

位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。

位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。

杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。

2杆系结构的有限元有限元法是一种常用的数值计算方法，用于求解连续介质力学问题。

它将连续结构简化为有限个节点和单元，通过在这些节点上建立适当的位移函数，进而得到结构的应力、应变和位移分布。

有限元法的应用非常广泛，特别是在结构力学领域。

本文将重点介绍2杆系结构的有限元方法。

2杆系结构是指由两个杆件组成的简单结构，它们一端固定，另一端可以自由位移。

2杆系结构的分析问题可以用一维线弹性力学理论来描述。

首先，我们需要对2杆系结构进行离散化，将其简化为有限个节点和单元。

节点是结构的关键点，单元是相邻节点之间的连接。

我们可以选择线性单元，即每个单元内部的位移是线性分布的，也可以选择非线性单元，进行更为精确的计算。

然后，在每个节点上引入适当的位移函数，用来描述结构的变形情况。

接下来，我们需要确定2杆系结构的刚度矩阵和荷载向量。

刚度矩阵描述了杆件的刚度关系，荷载向量描述了外部施加的荷载。

通过求解结构的平衡方程，我们可以得到结构的位移。

这个过程可以通过线性代数方法来实现，也可以使用迭代方法求解非线性方程组。

最后，我们可以通过计算得到的位移来计算结构的应力和应变分布。

这些信息可以用来评估结构的稳定性和耐久性。

此外，我们还可以通过有限元法来模拟结构在不同工况下的响应，进一步优化设计。

总结来说，2杆系结构的有限元方法是一种有效的工具，用于分析和设计各种类型的结构。

它可以提供结构的应力、应变和位移分布，帮助工程师评估结构的性能和安全性。

这种方法的应用范围非常广泛，可以用于建筑、桥梁、机械等领域。

在实际工程中，我们可以使用专业的有限元软件，例如ANSYS、ABAQUS等，来进行2杆系结构的有限元分析。

第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。

其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。

杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。

杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。

显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。

杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。

因此，本章将采用这种方法进行单元分析。

至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。

5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。

3． 外载荷均为作用于节点的集中力。

由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。

5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。

两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。

图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。

由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。

§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。

其中提出最早并且应用最广的是位移法。

对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。

杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。

其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。

这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。

根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。

研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。

研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。

在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。

因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。

§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。

在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。

杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。

在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。

结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。

○2结点的编号。

为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。

2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。