当前位置：文档之家 › 计算固体力学-trussbarelement

计算固体力学-trussbarelement

  • 格式：pdf
  • 大小：1.17 MB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

计算固体力学讲义(第一部分)

计算固体力学讲义(第一部分)

原名《变分及有限元素法原理》教案现在用名《计算固体力学》讲义参考书1．诸德超. 升阶谱有限元素法.国防工业出版社；2．胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用.科学出版社，1981。

3．冯康. 弹性结构的数学理论.科学出版社，1987。

4．胡海昌. 变分法；教授本课程的基本思想：回答如下问题“计算”主要体现在有限元离散数值方法上。

为了讲清楚和帮助学生理解如何才能高精度、高效和可靠地得到所需要的数值结果，需要如下知识：有限元方法的理论基础是什么？如何进行有限元离散？（精度和效率）如何构造的单元以及单元的性能（收敛性）是什么？（精度和效率）有限元的计算结果与精确解和试验结果的关系是什么？（精度）有限元静动力平衡方程是如何求解的（差分及各种各样的求解方法）？（精度和效率）如何保证有限元结果向正确解收敛？（精度和效率）为何有限元得到如此普遍的应用？（商用软件的开发和能够求解问题的广泛性）有限元适合求解什么样的问题？（适用性和可靠性）总的思路：基本原理（变分原理和各种工程理论）――单元及性能（低阶、高阶及非协调）――离散平衡方程的求解――结果的特征分析变分原理包括：最小势能原理，Rayleigh商和Hamilton变分原理；工程理论：杆、梁（Euler和Timoshenko）、板（Kirchhof和Midlin）理论和平面理论。

单元的阶次：基本单元，高阶单元，升阶谱单元单元的协调性：杆、梁和平面单元是协调的，但板单元基本是不协调的。

离散平衡方程的求解：各种差分方法和算法（保结构和不保结构，人工阻尼现象）结果的特性：协调单元的结果，非协调单元的结果第1讲强调变分原理的数学和物理含义；强调变分原理的运算法则；强调变分原理与弹性力学的等价性。

要求同学熟练掌握最小势能原理、Hamilton变分原理与Rayleigh商。

一、引言1．解决实际问题的基本步骤图1.1 实际问题的分析步骤2．力学体系为了建立力学模型，首先应该知道基本的力学体系。

固体力学专业英语词汇精选

固体力学专业英语词汇精选
拱Arch
三铰拱three-hinged arch
抛物线拱parabolic arch
圆拱circular arch
穹顶Dome
空间结构space structure
空间桁架space truss
雪载[荷] snow load
风载[荷] wind load
土压力earth pressure
地震载荷earthquake loading
wwwxuelixuecn塑性动力学dynamicplasticity塑性动力屈曲dynamicplasticbuckling塑性动力响应dynamicplasticresponse塑性波plasticwave运动容许场kinematicallyadmissiblefield静力容许场staticallyadmissiblefield流动法则flowrule速度间断velocitydiscontinuity滑移线sliplines滑移线场sliplinesfield移行塑性铰travellingplastichinge塑性增量理论incrementaltheoryplasticity米泽斯屈服准则misesyieldcriterion普朗特罗伊斯关系prandtlreussrelation特雷斯卡屈服准则trescayieldcriterion洛德应力参数lodestressparameterlevymisesrelation亨基应力方程henckystressequation赫艾韦斯特加德应力空间haighwestergaardstressspace洛德应变参数lodestrainparameter德鲁克公设druckerpostulate盖林格速度方程geiringervelocityequation结构力学structuralmechanics结构分析structuralanalysis大学力学论坛搜集整理http

固体力学跨尺度计算若干问题研究

固体力学跨尺度计算若干问题研究

固体力学跨尺度计算若干问题研究
庄茁;严子铭;姚凯丽;崔一南;柳占立
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2024(41)1
【摘要】本文展示了固体力学领域跨尺度计算的若干问题和研究概况。

(1)建立位错动力学与有限元耦合DDD-FEM的计算模型,实现了能够基于纳米尺度离散位错运动机制计算分析连续介质有限变形晶体塑性问题,提出微纳尺度(200 nm~10μm)晶体塑性流动应力解析公式,结合试验数据揭示了在无应变梯度下强度和变形的尺寸效应;(2)建立具有微相分离结构的纳米尺度粗粒化分子动力学模型CG-MD,计算获得聚脲材料在时域和频域下的存储模量和损耗模量,通过动态加载分析的DMA 试验和超声波试验的数据验证,解决了连续介质尺度下微相分离高分子共聚物的设计难题;(3)通过数据驱动关联高分辨率的微米尺度CT影像和临床低分辨率的毫米尺度CT影像的特征值,建立了围关节松质骨小梁的等效模量和结构张量,为骨组织增材制造点阵结构设计和实现个性化骨缺损重建奠定了基础。

【总页数】7页(P40-46)
【作者】庄茁;严子铭;姚凯丽;崔一南;柳占立
【作者单位】清华大学航天航空学院
【正文语种】中文
【中图分类】O302
【相关文献】
1.非线性计算固体力学的若干问题
2.水化硅酸钙力学参数跨纳-微观尺度计算方法
3.漫步微观世界的“跨尺度”对话——北京化工大学机电学院教授梁立红与其先进材料及结构跨尺度力学研究
4.固体跨尺度压痕标度律的研究与展望
5.仿生石墨烯增强纳米复合材料力学性能的跨尺度数值模拟和实验研究
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

计算固体力学-truss bar element

计算固体力学-truss bar element

⎪⎭
可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力
ε (e)
=
du(e) (x) dx
=
d(e) dx
[N1(x)
N
2
(
x)]
T
⎧U ⎪⎪U ⎨ ⎪U
( 1
( 2
( 3
e e e
) ) )
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩U
( 4
e
)
⎪⎭
σ
(e)
=
E
ε
(e)
=
E
du(e) (x) dx
=
E
d (e) dx
[N1(x)
G e2 '
γY
元坐标系中的分量为 γx、γy。 γX、γY 在单元坐标x轴上投影的代数和给出
γy
G e1 '
x
γx 。同理， γX、γY 在单元坐标 y 轴上 投影的代数和给出 γy ：
α
γx
i
γX
X
γ γ
x y
= =
γK γK
GG
⋅ eG1 ' = (eG1γ X ⋅ e2 ' = (e1γ X
N1
1
N2
1
1
2
1
2
89
位移插值
可简单地将形函数取为一次多项式的形式：
N1(x) = a0 + a1x N2 ( x) = b0 + b1x
杆上无分布力时，一次多 项式可精确描述杆件变形
考虑到边界条件，
N1(0) = 1
N1(L) = 0
N2(0) = 0 N2(L) = 1
因此
a0 = 1 b0 = 0 a1 = −(1 / L) b1 = 1 / L

清华大学计算固体力学全套课件

清华大学计算固体力学全套课件
清华大学计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
全套课件
计算固体力学
TSINGHUA UNIVERSITY
第1章 绪论
计算固体力学课程体系
TSINGHUA UNIVERSITY
全面介绍非线性有限元的前沿性内容，使学习 者能进入这一领域的前沿，应用非线性有限元方法 求解弹塑性材料、几何大变形和接触碰撞这些非线 性力学的主要问题，增强工程结构中非线性计算和 虚拟仿真的能力，提高非线性有限元的教学和科研 水平。
TSINGHUA UNIVERSITY
计算固体力学课程体系
教学内容：
1. 绪论：非线性有限元的基本概念，发展历史，工程应用， 标记方法，网格表述和偏微分方程的分类。（2） 2. 一维L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式 的控制方程，弱形式与强形式。（4） 3. 连续介质力学：变形和运动，应力－应变的度量，守恒 方程，框架不变性。（4） 4. L网格：UL有限元离散，编制程序，旋转公式。（4） 5. 材料本构模型：一维弹性，非线性弹性，如次弹性和超 弹性。一维塑性，多轴塑性，超弹－塑性（橡胶和泡沫 模型），粘弹性（蠕变和松弛等），经验本构模型，如 J-C方程等。应变硬化和软化。（4） 6. 求解方法：应力更新算法，平衡解答和隐式时间积分 （N-R求解等），显示时间积分（中心差分等） ，波的 传播问题。（4） TSINGHUA UNIVERSITY
Engineering Science- is the systematic acquisition of knowledge for the purpose of applying it to the solution of problems effecting the needs and well-being of human kind. SBES- engineering science and science that employs the principles and methods of modeling and computer simulation to acquire and apply knowledge for the benefit of human kind.

固体力学基本方程

固体力学基本方程

固体力学基本方程固体力学是研究物体在受力作用下的变形和运动的学科。

其基础是一些基本方程，这些方程是描述固体材料力学行为的数学表达式。

本文将介绍固体力学中的基本方程，包括应力-应变关系、变形与位移关系、能量方法、力学平衡方程和边界条件等。

1.应力-应变关系应力-应变关系是固体力学中最基础的方程之一。

它描述了外力作用下固体材料的应变与应力之间的关系。

根据麦克斯韦方程，应变是应力与弹性模量之间的比例关系。

对于线弹性材料，应力与应变之间满足胡克定律，即应力等于弹性模量与应变的乘积。

2.变形与位移关系变形与位移关系是描述固体材料在受力作用下发生变形时，材料内部各点位移与应变之间的关系。

对于小变形情况，可以利用拉格朗日描述变形。

拉格朗日公式用位移场来描述固体的运动，并与应变场相关联。

位移与应变之间的关系可由位移梯度张量和应变张量之间的关系给出。

3.能量方法能量方法是固体力学中一种重要的分析方法。

它基于能量守恒原理，通过计算系统储存的弹性势能和外界对系统做的功来得出力学行为。

能量方法不仅可以用于弹性材料的分析，还可以用于塑性、粘弹性和断裂等不同力学行为的分析。

4.力学平衡方程力学平衡方程是固体力学中最基本的方程之一。

它描述了固体物体在受力作用下的平衡条件。

根据牛顿定律和力的平衡性，可以得出力学平衡方程。

对于静力学平衡，作用在物体上的体力之和等于零；对于动力学平衡，还需要考虑物体的加速度。

5.边界条件边界条件是解固体力学问题时必须考虑的重要因素之一。

它描述了固体物体与外界的相互作用。

边界条件可以包括位移边界条件、力边界条件和热边界条件等。

位移边界条件描述了物体的边界上的位移情况，力边界条件描述了物体与外界的力的作用关系，热边界条件描述了物体在温度变化下的行为。

固体力学基本方程是固体力学研究的基础，它们为解决工程和科学问题提供了框架和方法。

这些方程的应用范围广泛，包括材料强度分析、结构力学、固体材料的变形和破坏行为等。

清华大学计算固体力学第八次课件单元技术


2 单元性能
沙漏模式
在ABAQUS中，对减缩积分单元引入少量的人工“沙漏刚度” 以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种“刚 度”限制沙漏模式是更有效的。这说明只要采用合理的精细网格， 线性减缩积分单元会给出可接受的结果，所产生的误差是在一个 可接受的范围内。
当应用这类单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用4 个单元。当只有1个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于 中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷(见表4-2中的*号项)。
忽略了升阶谱单元和P单元，它们在非线性分析中极少应用。
P单元（Polynomial），增加单元基底函数的阶次，改善计算 精度，如多项式插值函数。
升阶谱单元，属于P单元，由常规的位移协调元逐渐增加附加 自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。
1 引言
分片试验（patch test）
对于一个单元理论的可靠性和它的程序的正确性，重要的是试 验。分片试验可以用于检验单元是否收敛、是否避免了自锁和是否 稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。
线性减缩积分单元对变形的要求不严格，因此可在变形较大 的任何模拟中采用划分较细的此类单元。
2 单元性能
在大变形问题中，当边界中间的节点有明显地移动时，这些单 元的性能退化；高阶单元令人苦恼的缺陷是扭曲，它们的收敛率明 显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。
对于不可压缩材料，6节点三角形不满足LBB条件。在一个线性 压力场作用下，由多场变分原理建立的9节点四边形单元满足LBB条 件，并且不发生自锁。到目前为止，对于不可压缩材料，这是唯一 没有缺陷行为的单元。
在各种形式的应力、应变度量和位移三场弱形式上，它们 与Hu-Washizu变分原理有关，在弱形式中，应力、应变度量和 位移是依赖于变量的，即未知场，将给出完全的Lagrangian形 式和变分原理的扩展。

三参数固体单元

三参数固体单元固体单元是固体力学中研究物质本构行为的基本单元。

它可以通过力学实验得到应力-应变关系，并可以用于解决复杂的力学问题。

在固体单元中，有许多不同类型的单元可供选择，其中包括三参数固体单元。

本文将介绍三参数固体单元的基本概念、应用和特点。

三参数固体单元是一种用于模拟材料行为的数学模型。

它通过三个参数来描述材料的本构行为，即弹性模量、泊松比和屈服应力。

弹性模量是材料在应力作用下的应变程度，泊松比是材料在应力作用下的体积变形情况，屈服应力是材料开始塑性变形的临界应力值。

三参数固体单元的应用十分广泛。

在工程领域中，三参数固体单元常用于模拟材料的力学性能。

例如，在建筑设计中，可以使用三参数固体单元来模拟混凝土的强度和刚度，从而评估建筑物的结构安全性。

在汽车工程中，可以使用三参数固体单元来模拟汽车零件的应力分布，从而优化零件的设计。

三参数固体单元的特点之一是它可以模拟材料的非线性行为。

在实际应用中，材料的力学行为往往是非线性的，即应力和应变之间的关系不是简单的比例关系。

三参数固体单元通过引入非线性参数，可以更准确地描述材料的应力-应变关系。

这使得它在模拟实际材料的力学行为方面更加可靠和准确。

此外，三参数固体单元还具有可调节性的特点。

通过调整三个参数的数值，可以灵活地模拟不同材料的力学性能。

例如，当需要模拟刚性材料时，可以将弹性模量设置为一个很大的值，从而使材料的应变非常小。

当需要模拟弹性材料时，可以将泊松比设置为一个较小的值，从而使材料的体积变形非常小。

这种可调节性使得三参数固体单元在不同应用场景下具有较大的灵活性和适用性。

总结起来，三参数固体单元是固体力学中用于模拟材料行为的一种数学模型。

它通过三个参数来描述材料的本构行为，并具有模拟非线性行为和可调节性的特点。

在工程领域中，三参数固体单元被广泛应用于模拟材料的力学性能，以评估和优化结构的安全性和设计。

通过深入研究和应用三参数固体单元，我们可以更好地理解和预测材料的力学行为，为工程实践提供有力的支持。

abaqus应用桁架单元 (truss element) 模拟钢缆

应用"桁架单元" (truss element) 模拟钢缆"桁架单元" (truss element) 是1D element, 只能计算轴向(长度方向)的应力但是不能计算弯矩。

所有的结点均为"绞结点"，不是"钢结点" (不能传递弯矩)。

所以用来模拟杆件之间用绞接(结构力学中的桁架). 在结构力学中, 假如桁架模型不是几何不变体系，则不能运算(无唯一确定解)。

几何自由度< = 0 是几何不变体系的必要条件，但非充分条件。

钢缆是一亇特例，它不是结构力学中的几何不变体系。

在工程上, 钢缆的细长比较大，故其弯，剪，扭力通常可以略去不计，只需考虑拉力。

所以可以用多亇"桁架单元" (truss element) 来模拟钢缆。

在数值计算中使用多亇"桁架单元"来模拟钢缆可能导致计算不收敛。

因为使用多亇"桁架单元"时其中的轴向力必须大于零，所以加载的苐一亇increment 就无法进行。

因为这亇收敛问题是数值计算问题而非物理问题，所以可以work around。

在此介绍两种常用的方法，希望大家能举一反三。

1. 沿truss element 加沿长度方向初始拉应力。

2. 使用STABILIZE parameter on the *STATIC.例题；100 m 长钢缆水平放置从x = 0到x = 100。

两端固定。

无初始拉力，计算重力下垂量。

截面；A = 0.01539 m2Density: ρ =7800 kg/m3 , g = 9.8 m/s2, E = 2.1e+11 N/m2 Analytical solution of maximum displacement (u2) at x = 50m :U2_max = -((3*ρ*g*L^4)/(64*E))^(1/3) = -1.194944005 m方法一. 沿truss element 加沿长度方向初始拉应力(see job-1.inp)此文件中使用了initial condition, type = stress方法加初始拉应力。

计算固体力学5本构模型


C
26
E22
S S
33 23
C33
C34 C44
C35 C45
C36 C46
2EE3233
S13
Sym
S12
C55
C56
2
E13
C66 2E12
对于正交各向异性，具有正交的三个弹性对称面，当坐标变号， 为使应变能密度不变，有
C14 C15 C24 C25 C34 C35 C45 0
某些次弹性本构关系共同应用的形式为
σ J CJ : D
σ T CT : D
σ G CG : D
对于各向同性材料Jaumann率的切线模量为
CJ ijkl
ij kl
( ik jl
il jk )
对于同一种材料，切线模量不同，材料反应的率形式不同，如
CT CJ C σ I CJ C* 如果 CJ 是常数，
x f ( x , Dx ) 一个特殊的线性次弹性关系给出为 对上式的关系积分，得到
x
EDx
E
x x
x E ln x
x
d
d x
x
1
E ln xdx
这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性 关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。 然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。 因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在 有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。
次弹性材料是路径无关程度最弱的材料，遵从Cauchy弹性， 其应力是路径无关的，但是其能量不是路径无关的。
超弹性材料或者Green弹性，它是路径无关和完全可逆的， 应力由应变势能导出。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

sinα cosα
⎤ ⎥ ⎦
⎧γ ⎩⎨γ
X Y
⎫ ⎬ ⎭
坐标 变换
令 u'i , v'i , u' j , v' j 表示两个端点的位移矢量在单元局部坐 标系的分量， ui , vi , u j , v j 表示两个端点的位移矢量在全局坐
标系的分量，则
⎧u 'i ⎫e ⎡ cosα
⎪⎪ v ⎨⎪u
'i 'j
⎡ cosα
R
=
⎢⎢− ⎢
sin 0
α
⎢ ⎣
0
sin α cosα
0 0
0 0
cosα − sinα
0⎤
0
⎥ ⎥
sinα ⎥
cosα
⎥ ⎦
用节点坐标描述方向余弦：
cosα = X j − X i ,
L
sin α = Yj − Yi
L
（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点 i
和节点 j 在全局坐标系中的坐标值
⎩⎪v2 ⎭⎪
u2
⎧ F1x ⎫
r
=
⎪⎪ F1y
⎨ ⎪
F2
x
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩F2 y ⎭⎪
96
边界条件
全局平衡方程
⎡ k11 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤ ⎧U 1 ⎫ ⎧ F1 ⎫
⎢ ⎢
k
21
k 22
k 23
k 24
k 25
k
26
⎥ ⎥
⎪⎪U
2
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F2
⎪ ⎪
⎢ ⎢ ⎢
k k
如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的
零位移约束条件
U1 = U2 = U3 = U4 = 0
97
边界条件处理
零位移约束条件代人平衡方程，得到
⎡k11 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤⎧ 0 ⎫ ⎧ F1 ⎫
⎢⎢k21
k22
k23
k24
k25
k26
⎥ ⎥
⎪ ⎪
0
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F2
⎪ ⎪
⎢k31 ⎢⎢k41
31 41
k 32 k 42
k 33 k 43
k 34 k 44
k 35 k 45
k 36 k 46
⎥ ⎪⎪U
⎥ ⎥
⎪⎨U
3 4
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
F3 F4
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎢ ⎢
k
51
k 52
k 53
k 54
k 55
k
56
⎥ ⎥
⎪U ⎪
5
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F5
⎪ ⎪
⎢⎣ k 61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 ⎥⎦ ⎪⎩U 6 ⎪⎭ ⎪⎩ F6 ⎪⎭
可得到
N1(x) = 1− x / L
N2(x) = x / L
90
位移及应变
位移模式为
u(x) = (1− x / L)u1 + (x / L)u2
u(x) = [N1(x)
小位移假设下，应变为
N
2
(
x)]⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
≡
Nu
位移模式包括 刚体位移和常 应变模式
εx
=
du dx
=
d dx
位移插值
建立轴线方向的坐标系
记任一点轴向位移为 u( x)
并将节点位移表示为
u1 = u(0) u2 = u(L)
建立杆件位移与节点位移的插值关系
节点位移协 调关系满足
u(x) = N1(x)u1 + N2 (x)u2
为满足 u(xi ) = ui ,形函数需满足 N1(0) = 1, N1(L) = 0, N2 (0) = 0, N2 (L) = 1
Nu
=
[
d dx
N1 (
x)
d dx
N2
(
x)]⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
u2
− L
u1
91
单元刚度阵
利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为
σx
=
Eε x
=
E
u2
− u1 L
P
=σxA
=
AE L
(u2
− u1)
则节点力为
F1
=
−
AE L
(u2
−
u1 )
F2
=
AE L
(u2
− u1)
其矩阵形式表示为
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪⎩v ' j ⎭⎪
= ⎢⎢− sinα
⎢0
⎢ ⎣
0
sin α cosα
0 0
0 0
cosα − sinα
0 ⎤ ⎧ui ⎫
0
sin α cosα
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎪⎪⎨⎪uvij ⎩⎪v j
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
94
坐标变换矩阵
上式可写成
d 'e = Rde
坐标变换矩阵 R 的具体内容为：
N1
1
N2
1
1
2
1
2
89
位移插值
可简单地将形函数取为一次多项式的形式：
N1(x) = a0 + a1x N2 ( x) = b0 + b1x
杆上无分布力时，一次多 项式可精确描述杆件变形
考虑到边界条件，
N1(0) = 1
N1(L) = 0
N2(0) = 0 N2(L) = 1
因此
a0 = 1 b0 = 0 a1 = −(1 / L) b1 = 1 / L
由单元局部坐标系下的关系 K′ed′ = −r′
可得到 TT K′eTd = −r
y
或写成 K ed = −r 其中 K e = TT K′eT
u2 v2 1
β x
x′ u2′
2
d′
=
⎧⎨⎩uu12′′
⎫ ⎬ ⎭
r
'
=
⎧ ⎨ ⎩
F1 F2
'⎫
'
⎬ ⎭
x′ v2
2
⎧u1 ⎫
d
=
⎪⎪⎨⎪uv12
⎪⎪ ⎬ ⎪
k32 k42
k33 k43
k34 k44
k35 k45
k36 k46
⎥ ⎥
⎥
⎪ ⎨ ⎪
0 0
⎪ ⎬ ⎪
=
⎪ ⎨ ⎪
F3 F4
⎪ ⎬ ⎪
⎢⎢k51
k52
k53
k54
k55
k56
⎥ ⎥
⎪⎪U5
⎪ ⎪
⎪ ⎪
F5
⎪ ⎪
⎣k61 k62 k63 k64 k65 k66 ⎦⎩U6 ⎭ ⎩F6 ⎭
G e2 '
γY
元坐标系中的分量为 γx、γy。 γX、γY 在单元坐标x轴上投影的代数和给出
γy
G e1 '
x
γx 。同理， γX、γY 在单元坐标 y 轴上 投影的代数和给出 γy ：
α
γx
i
γX
X
γ γ
x y
= =
γK γK
GG
⋅ eG1 ' = (eG1γ X ⋅ e2 ' = (e1γ X
G
G
G
+ eG2γ Y ) ⋅ (e1 Gcosα + e2Gsinα ) =
+ e2γ Y ) ⋅ (−e1 sinα + e2 cosα )
γ X cosα + γ Y sinα = −γ X sinα + γ Y cosα
93
坐标变换矩阵
即
⎧γ ⎩⎨γ
x y
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡ cosα ⎢⎣− sinα
95
平面内任意方向的杆单元
为求杆单元应变，我们只关心轴向位移分量。从前面推导给出
⎧u1 ⎫
⎧⎨⎩uu12′′
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡cos ⎢⎣0
β
sin β
0
0
cos β
0 sin
β
⎤ ⎥ ⎦
⎪⎪⎪⎨uv12
⎪⎪ ⎬ ⎪
y
记为 d′ Td
⎩⎪v2 ⎭⎪ u1′
1
β x
而节点力向量同样满足 r = TT r′ (或 r′ = Tr )
AE ⎡ 1 L ⎢⎣−1
−11⎥⎦⎤⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎩⎨⎧FF12
⎫ ⎬ ⎭
≡
−r
Ke
=
AE L
⎡1 ⎢⎣−1
−1⎤
1
⎥ ⎦
称为单元刚度阵（有对称性、奇异性）Biblioteka 92坐标变换矩阵Y
y 设OXY为结构坐标，oxy 为单元坐标。
γ 为任意单元 i 端的任一矢量。它在 结构坐标系中的分量为 γX、γY；在单