黑龙江省哈三中2021学年高一数学下学期期末考试试题

哈三中2021—2021学年度下学期高一学年第二模块考试数学试卷考试说明：〔1〕本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷〔非选择题〕两局部, 总分值150分.考试时间为120分钟；第I 卷 〔选择题, 共60分〕一、选择题〔本大题共12小题, 每题5分, 共60分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 线段AB 在平面α内，那么直线AB 与平面α的位置关系是A . AB α⊂ B . AB α⊄C . 由线段AB 的长短而定D . 以上都不对2. 假设直线l ∥平面α，直线a α⊂，那么l 与a 的位置关系是A . l ∥aB . l 与a 异面C . l 与a 相交D . l 与a 没有公共点3. 以下说法正确的选项是A .圆上的三点可确定一个平面B .四条线段首尾顺次相接构成平面图形C .两组对边分别相等的四边形是平行四边形D .空间四点中，假设任意三点不共线, 那么四点不共面4. 正方体1111D C B A ABCD -中，假设E 为棱AB 的中点，那么直线E C 1与平面11B BCC 所成角 的正切值为 A.62 B.42C.1717D.175.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 平面ABC ,正视图如 图所示，俯视图为一个等边三角形，那么该三棱柱的侧视图面积为 A ．4 B ．3 C ．22 D ．326 . 设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：A BC 1A 1B 1C① 假设//,//,αβαγ 那么//βγ ②假设αβ⊥，//m α，那么m β⊥③ 假设,//m m αβ⊥，那么αβ⊥ ④假设//,m n n α⊂，那么//m α其中真命题的序号是A . ①④B . ②③C . ②④D . ①③7. 在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ,,两两垂直，1===PC PB PA ，那么P 到平面ABC 的距离为 A . 33 B ． 3 C . 1 D.3328. 某个几何体的三视图如图〔主视图中的弧线 是半圆〕，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可 得这个几何体的体积是(单位:3cm )．A . π+8B ．328π+C .π+12 D.3212π+9. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，假设∠CMN ＝90°，那么异面直线AD 1与DM 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10.,,,S A B C 是球O 外表上的点，SA ABC ⊥平面， AB BC ⊥1SA AB ==BC =那么球O 的表 面积等于A ．4π B.3π π D.π 11. 在正四棱柱1111D CB A ABCD -中，3,11==AA AB ，E 为AB 上一个动点，那么CE E D +1的最小值为A ． 22 B.10 C ．15+ D ．22+12. 等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --的余弦M N ， 分别是AC BC ，的中点， 那么EM AN ，所成角的余弦值等于侧视图主视图俯视图A ．61 B ． 1 C ．61- D ．31 哈三中2021—2021学年度下学期高一学年第二模块考试数学试卷第二卷 〔非选择题, 共90分〕二、填空题(本大题共4个小题, 每题5分, 共20分，将答案填在题后的横线上) 13. 三棱台111ABC A B C -中，11:1:2AB A B =，那么三棱锥1A ABC -，111C A B C -的体积比为14.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是1,2==BC AB 的矩形ABCD , 沿对角线BD 将BDC ∆折起得到三棱锥ABD E -,且三棱锥的体积为155，那么二面角C BD E --的正弦值为16.γβα,,是三个不同的平面,n m ,是两条不同的直线,有以下三个条件 ①βγ⊂n m ,//;②βγ//,//n m ; ③βγ//,n m ⊂,要使命题“假设γβα⊂=n m , ,且_________,那么n m //〞为真命题,那么可以在横线处填入的条件是_________(把你认为正确条件的序号填上)三、解答题(本大题共6小题, 共70分, 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. 〔本小题总分值10分〕装订线 内禁止答题考号 姓名 班级序号________正视图 侧视图 俯视图ABCD1A1CB如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,且⊥1AA 底面ABCD ,2=AB ,41==BC AA ,60=∠ABC , 点E 为BC 中点，点F 为11C B 中点． (Ⅰ) 求证:平面ED A 1⊥平面AEF A 1； 〔Ⅱ〕求点F 到平面ED A 1的距离.18．(此题总分值12分)如图，平面⊥PAD 平面ABCD , 四边形ABCD 为正方形,PAD ∆是直角三角形，且2==AD PA ，H G F E ,,,分别是线段,,PA PD CD ,AB 的中点. 〔Ⅰ〕求证：PB ∥平面EFGH ； 〔Ⅱ〕求二面角C EF G --的余弦值.19. 〔本小题总分值12分〕如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． 〔Ⅰ〕求证：1AB ⊥平面1A BD ；〔Ⅱ〕求直线11C B 与平面1A BD 所成角的正弦值.1D 1B BDA PBCD AG FE H20. 〔本小题总分值12分〕ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上,2,1==OD OA ,ODF OED OAC OAB ,,,∆∆∆都是正三角形.〔Ⅰ〕证明：平面//ABC 平面OEF ; 〔Ⅱ〕求棱锥ABC F -的体积;〔III 〕求异面直线AB 与FD21. 〔本小题总分值12分〕如图，平面QBC 与直线PA 均垂直于ABC Rt ∆所在平面，且AC AB PA == 〔Ⅰ〕求证：//PA 平面QBC ；〔Ⅱ〕假设⊥PQ 平面QBC ，求二面角A PB Q --的余弦值.QPCBA22.〔本小题总分值12分〕如图，三棱柱111C B A ABC -中，2=BC ，21=BC ，21=CC ，ABC ∆是以BC 为底边的等腰三角形，平面⊥ABC 平面11B BCC ，E 为棱AB 的中点, F 为1CC 上的动点. 〔Ⅰ〕在线段1CC 上是否存在一点F ，使得//EF 平面11BC A ?假设存在，确定其位置；假设不存在，说明理由.〔Ⅱ〕在线段1CC 上是否存在一点F ，使得1BB EF ⊥?假设存在， 确定其位置；假设不存在，说明理由.〔III 〕当F 为1CC 的中点时,假设1CC AC ≤，且EF 与平面11A ACC 所成的角的正弦值为32，求二面角B AA C --1的余弦值．高一期末考试数学答案1-----12: A,D,A,B,D,D A,A,D,A,B,A 13----16 1:4, 38000, 21, ①③ 17.(1)略. (2)554 18.(1)略. (2)10103 19.(1)略. (2)42 20.(1)略.(2) 81 (3) 4121.(1)略. (2) 33-22. 〔I 〕存在,中点.〔Ⅱ〕存在,当F 在靠端点1C 一侧的四等分点时.量为〔III 〕设平面11A ACC 的一个法向),,(1111z y x n = 又),0,1(),0,1,1(1b AC CC -=-=xyzO那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n CC ，⎩⎨⎧=-=+-001111bz x y x ，令11=z ，那么)1,,(1b b n =又)2,21,1(bEF -=EF n =><∴1,cos 324451222=++b b b ...... 6分解得,1=b 或210=b ， 1CC AC ≤ 1=∴b 所以)1,1,1(1=n 同理可求得平面B AA 1的一个法向量)1,1,1(2-=n||||,cos 212121n n n n ⋅>=<∴31又二面角B AA C --1为锐二面角，故余弦值为31。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第二模块考试（期末考试）数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则z+＝（）A．2 B．2C．6i D．6i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝＝，∴z+＝1+3i+1﹣3i＝2．故选：A．2．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是直角梯形ABCD，其中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝1，CD＝2，则原平面图形的面积是（）A．B．C．D．3【分析】求出直观图是直角梯形ABCD的面积，利用公式S原＝2S直求出原图形面积．解：计算直观图是直角梯形ABCD的面积为：S＝×（1+2）×1＝，直则原平面图形的面积是：S＝2S直＝2×＝3．原故选：D．3．以下调查中适合普查的是（）A．一个水库的所有鱼中卿鱼所占的比例B．一批种子的发芽率C．境外返哈人员的核酸检测结果D．全市中学生的平均身高【分析】根据所调查的对象数目不多，调查时没有破坏性，且对调查的结果要求较高时，常用普查方式．解：对于A，一个水库中所有鱼中鲫鱼所占的比例，调查的对象数目多，不适合用普查；对于B，一批种子的发芽率，调查的对象数目多，且具有破坏性，不适合用普查；对于C，境外返哈人员的核酸检测结果，所调查的结果非常重要，必须用普查；对于D，全市中学生的平均身高，调查的对象数目多，要求精确度不是很高，可以适用抽样调查．故选：C．4．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若1∥α，α∥β，则1∥βC．若l⊥m，m⊥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝l，A∈α，A∈m，m⊥l，则m⊥β【分析】由空间中直线与直线平行、直线与平面平行判断线面关系分析A与B；由直线与直线、直线与平面垂直分析面面关系判断C；由平面与平面垂直的性质判断D．解：若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；若1∥α，α∥β，则1∥β或l⊂β，故B错误；若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，又l⊥β，则α⊥β，故C正确；若α⊥β，α∩β＝l，A∈α，A∈m，m⊥l，则m⊥β错误，只有添加条件m⊂α，才有m ⊥β．故选：C．5．已知15个不同数据的第25百分位数是9．则下列说法正确的是（）A．这15个数据中一定有4个数小于9B．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据C．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据和第5个数据的平均数D．把这15个数据从小到大排列后，9是第3个数据和第4个数据的平均数【分析】先求出15×25%＝3.75，然后由百分位数的定义分析即可．解：因为15×25%＝3.75，又15个不同数据的第25百分位数是9，所以把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据．故选：B．6．若一个圆锥的轴截面是斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为（）A．4πB．2（+1）πC．2（+2）πD．4（+1）π【分析】由题意求出圆锥的底面圆半径和侧棱长，再求圆锥的表面积．解：圆锥的轴截面是斜边长为4的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为r＝2，侧棱长为l＝2，所以圆锥的表面积为S＝πrl+πr2＝π•2•2+π•22＝4π（+1）．故选：D．7．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，有下列说法：①改变其中一个数据，平均数一定改变，中位数可能不变；②频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数；④样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差也变为原来的2倍．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：改变其中一个数据时，平均数肯定会发生变化，当改变的数据为最大值，且改变后的最大值比原始最大值大，则中位数不变，故①正确，根据频率分布直方图中位数的求法，故②正确，根据频率分布直方图可得，右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，故③正确，样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差也变为原来的4倍，故④错误，故正确的个数为3个．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．πD．28π解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为4，底面三角形外接圆的半径为，则正三棱柱外接球的半径R满足＝．∴该几何体外接球的表面积为．故选：A．9．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝2BC＝2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】连接AC和BD，设AC与BD交于点O，则EO∥SC，所以异面直线SC与DE所成的角即直线EO与直线ED所成的夹角，求出EO，OD，DE，结合余弦定理可求出∠OED的余弦值，进而得到异面直线SC与DE所成的角的余弦值．解：如图所示，连接AC和BD，设AC与BD交于点O，则EO是△ASC的中位线，所以EO∥SC，于是异面直线SC与DE所成的角即直线EO与直线ED所成的夹角，即∠OED或其补角，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AC⋅BC cos∠ABC＝3，故，所以，又SA⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以SA⊥AO，所以，因为BC2+AC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以，因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AD，所以，在△EOD中，由余弦定理可得．故选：B．10．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，则AC1＝（）A．3B．5 C．2+D．3+【分析】利用＝（）2＝+++2+2+2计算即可．解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AB＝2，AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∴＝（）2＝+++2+2+2＝4+1+8+2•2•1•cos60°+2•2•2•cos45°+2•1•2•os45°＝13+2+8+4＝27．∴AC1＝3．故选：A．11．用0，1，2，3，4，5，6构成无重复数字的三位偶数共有（）个A．75 B．90 C．105 D．120【分析】利用元素优先法，结合偶数的定义分别进行讨论求解即可．解：若个位数字是0，则有＝30个，若个位数字是2，则先排首位有＝5，然后连同0在内再选一个排在十位有5种，此时共有5×5＝25种，若个位数是4或6和个位数是2方法相同，则共有30+25×3＝105，故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝4，将△ABD沿着BD向上翻折至△A'BD，记锐二面角A'﹣BD﹣C的平面角为α，A'B与平面ABCD所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（）A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβC．α＜2βD．α﹣β＞【分析】取BC的中点F，连接EF，连接AF与BE交于点O，过点A'作A'H⊥OF于点H，连接BF，由线面角和二面角的定义确定α和β，然后利用三角形的边角关系求出sinα和sinβ，比较即可判断选项A，将选项A的结论平方，结合二倍角公式和余弦函数的单调性，即可判断选项C，计算cosα和cosβ，即可判断选项B，判断，结合α＜2β，可得α﹣β＜，即可判断选项D．解：取BC的中点F，连接EF，连接AF与BE交于点O，由题意可得，四边形ABFE为正方形，则A'O⊥BE，OF⊥BE，所以锐二面角A'﹣BE﹣C的平面角为α＝∠A'OF，由翻折的性质可得，BE⊥平面AOF，过点A'作A'H⊥OF于点H，则BE⊥A'H，又BE∩OF＝O，BE，OF⊂平面BCDE，所以A'H⊥平面BCDE，连接BH，则A'B与平面BCDE所成的角为∠A'BH，令A'H＝h，在Rt△A'OH中，故，在Rt△A'BH中，，故sinα＝sinβ①，故选项A正确；将①平方可得，sin2α＝2sin2β，所以1﹣cos2α＝2（1﹣cos2β），即cos2α＝2cos2β﹣1＝cos2β，因为α和β都是锐角，则cos2α＜cosα，所以cos2β＜cosα，又0＜2β＜π，0＜α＜π，由余弦函数的单调性可知，α＜2β，故选项C正确；因为，若要使得，则需2OH＝BH，即当∠OBH＝时可以成立，故选项B可能成立；由于α，β都是锐角，且，则，所以，由选项C可知，α＜2β，则α﹣β＜2β﹣β＝β＜，故选项D错误．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（5+2），则与的夹角为0 ．【分析】根据题意，设||＝||＝t，与的夹角为θ，由向量垂直的判断方法可得（﹣）•（5+2）＝52﹣22﹣3•＝0，求出cosθ的值，分析可得答案．解：根据题意，设||＝||＝t，与的夹角为θ，若（﹣）⊥（5+2），则有（﹣）•（5+2）＝52﹣22﹣3•＝0，又由||＝||＝t，变形可得：•＝t2cosθ＝t2，必有cosθ＝1，与的夹角为0，故答案为：0．14．已知正四面体ABCD中，AB＝2，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC上，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，则四边形EFGH的面积的最大值为 1 ．【分析】由题意画出图形，证明四边形EFGH为矩形，再由平行线截线段成比例列式，结合基本不等式即可求得四边形EFGH的面积的最大值．解：如图，∵AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EH，∴AC∥EH，同理AC∥FG，则EH∥FG，∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EF，∴BD∥EF，同理BD∥GH，则EF∥GH．则四边形EFGH为平行四边形，又由正四面体的对称性可证得AC⊥BD，则EH⊥EF，即四边形EFGH为矩形，∵正四面体的棱长为2，则，，两式相加可得：1＝，即GH•GF≤1，当且仅当GH＝GF时等号成立．∴四边形EFGH的面积的最大值为1．故答案为：1．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足a cos B+b cos A＝a，b＝2，B∈[，]，则•的取值范围是[0，2] ．【分析】由a cos B+b cos A＝a可得a＝c，设边AC的中点为O，可得1≤|BO|，则•＝（）•（）＝（）•（）＝﹣，即可求解．解：∵a cos B+b cos A＝a，∴a+b•＝a，整理可得a＝c，设边AC的中点为O，当B＝时，BO＝，当B＝时，BO＝1．∴1≤|BO|则•＝（）•（）＝（）•（）＝﹣＝|BO|2﹣＝|BO|2﹣1，∴则•的取值范围是：[0，2]．故答案为：：[0，2]．16．现有4种颜色可供选用，给三棱柱的每个顶点涂色，同一条棱的顶点不同色，则共有264 种不同的涂色方法（用数字作答）．【分析】利用分类讨论思想分别进行讨论即可．解：先给顶点A，B，C染色，有A＝24种方法，再给顶点D染色，①若它和点B染同﹣﹣种颜色，点E和点C染相同颜色，点F就有2种方法，若点E和点C染不同颜色，则点E有2种方法，点F也有1种方法，则D，E，F的染色方法一共有2+2×1＝4种方法；②若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点D有1种方法，点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点F有1种方法，此时有1种方法；若最后E与C相同，则F有2种方法，则共有2种方法；点D与点C颜色相同，则点D有1种方法，则点E有2种方法，则点F有2种方法，共有2×2＝4种方法，所以点D和点B染不同，颜色共有1+2+4＝7种方法；所以点D，E，F的染色方法一共有4+7＝11种，所以共有24×11＝264种方法．故答案为：264．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在中国共产党建党100周年华诞之际，哈三中积极响应党和国家的号召，为激发学生的爱国热情，举办了党史知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的历程．为了解学生此次知识竞赛成绩，现随机抽取了50名学生作为样本，将分数按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分为5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．已知[70，80）组的频数比[80，90）组的频数多3．（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）估计这50名学生知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）学校给成绩在从高到低的前30%学生准备了奖品，试估计多少分以上的同学可以获奖？【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及频数与频率的关系，即可求解．（2）根据已知条件，结合平均数的公式，即可求解．（3）设x分以上的同学可以获奖，可得0.1+，即可求解．解：（1）由频率分布直方图的性质可得，（a+b）×10＝1﹣（0.018+0.01+0.006）×10，即a+b＝0.066 ①，∵[70，80）组的频数比[80，90）组的频数多3，∴（a﹣b）×10×50＝3，即a﹣b＝0.006 ②，联立①②解得a＝0.036，b＝0.03．（2）估计这50名学生知识竞赛成绩的平均数为55×0.06+65×0.18+75×0.36+85×0.3+95×0.1＝77．（3）设x分以上的同学可以获奖，则0.1+，解得x＝83.3，故83.3分以上的同学可以获奖．18．在△ABC中，|﹣|＝2，•＝6，∠C＝60°，D为BC中点．（1）求AD的长；（2）求AC的长．【分析】（1）根据条件，可得＝（+），两边平方后，求出||，即可得到AD的长度；（2）根据条件，直接在△ACD中利用余弦定理，求出AC的值．解：（1）△ABC中，|﹣|＝2，•＝6，D为BC中点；所以＝﹣2•+＝4，所以+＝4+2×6＝16；因为＝（+），所以＝×（+2•+）＝×（16+2×6）＝7，所以||＝，即AD＝；（2）△ACD中，∠C＝60°，DC＝BC＝1，AD＝，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即7＝AC2+1﹣2AC×1×cos60°，解得AC＝3或AC＝﹣2（不合题意，舍去）；所以AC＝3．19．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝AB＝AC＝BC＝2，CE＝1．（1）在线段AB上是否存在点F，使得CF∥平面BDE？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．【分析】（1）取BD的中点M，连接ME，MF，利用中位线定理证明四边形MFCE为平行四边形，从而得到CF∥ME，由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE和平面BEC的法向量，由向量的夹角公式求解即可．解：（1）线段AB上存在中点F，使得CF∥平面BDE．证明如下：取BD的中点M，连接ME，MF，因为M，F分别为BD，AB的中点，则MF∥AD且MF＝，因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，则CE∥AD，又CE＝1，AD＝2，则CE＝，所以MF∥CE且MF＝CE，故四边形MFCE为平行四边形，则CF∥ME，因为CF⊄平面BDE，ME⊂平面BDE，故CF∥平面BDE；（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BDE的法向量为，则，即，令z＝2，则x＝1，，所以，因为，设平面BEC的法向量为，则，即，令，则b＝﹣1，所以，则＝，所以二面角D﹣BE﹣C的余弦值为．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，AC＝BC＝，∠BAA1＝60°，点E为棱AB的中点，点F为棱A1C1上的动点．（1）求证：EF⊥BC；（2）当直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为时，求三棱锥C1﹣B1EF的体积．【分析】（1）证明A1F⊥AB．推出A1F⊥平面ABC，得到A1F⊥BC，证明BC⊥AC，然后证明EF，即可推出BC⊥EF．BC⊥面A1（2）以E为原点，EC，EB，EA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量及直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为，确定F的位置，从而求出三棱锥C1﹣B1EF的体积．解：（1）证明：因为AB＝AA1＝A1B，F为AB中点，所以A1F⊥AB．因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，A1F⊂平面AA1B1B，所以A1F⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，故A1F⊥BC，又因为BC2+AC2＝AB2，所以BC⊥AC，又∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1∴BC⊥A1C1，BC⊥A1E又A1C1∩A1E＝A1，∴BC⊥面A1EC1，又EF⊂面A1EC1，所以BC⊥EF，即EF⊥BC．（2）由（1）知△ACB为等腰直角三角形，又E为AB的中点，所以CE⊥AB，由（1）知A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AB，A1E⊥EC，所以以E为原点，EC，EB，EA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为A1E＝＝，AE＝1，所以E（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（1，0，0），A（0，0，），B1（0，2，），1所以＝（0，0，），＝（0，﹣2，﹣），设＝λ＝λ＝λ（1，1，0）＝（λ，λ，0），（0＜λ＜1）＝+＝（0，0，）+（λ，λ，0）＝（λ，λ，），设平面B1FE的法向量为＝（x，y，z），所以，即，取＝（，﹣，2）因为直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为，所以cos＜，＞＝||＝＝，解得λ＝．则三棱锥C1﹣B1EF的体积V＝V＝•A1E＝＝＝．21．现多个省份的高考以实行“3+1+2”模式，“3”指必考科目，语文、数学、外语是全国统考科目，不分文理；“1”是指学生需要从首选科目物理、历史中选择一门；“2”为再选科目，在政治、地理、化学、生物四个学科中再选择两门．在这种模式下，后期的专业报考就被划分为了“物理类”和“历史类”两大类．某校高三年级共有1500名学生，其中1000人选择了物理，500人选择了历史．在某次模拟考试中，为了了解学生的数学成绩，计划从1500名学生中随机抽取一个容量为30的样本．若采用比例分配的分层随机抽样，按照学生选择物理或历史将学生分为两层：样本中选择物理的学生数学成绩的平均数为124，方差为379；选择历史的学生数学成绩的平均数为110，方差为300．（1）后来发现在计算样本中选择物理的学生的数学成绩的平均数和方差时，甲同学的成绩有误，甲实得145分却记为125分，试计算数据更正后，样本中选择物理的学生数学成绩的平均数和方差；（2）在（1）的条件下，在成绩更正后，试用样本估计本次模拟考试中该校高三年级1500名学生数学成绩的平均数和方差．【分析】（1）由分层抽样可得物理类学生有20人，历史类学生有10人，结合平均数，方差公式，计算即可得出答案．（2）结合（1）的计算结果，可得30人的平均数，方差．解：（1）因为从1500名学生中随机抽取一个容量为30的样本，所以由分层抽样可得物理类学生有×30＝20人，历史类学生有×30＝10人，由于样本中选择物理的学生数学成绩的平均数为124，则物理类学生分数总和为124×20＝2480分，去掉甲同学125分后物理类其他学生分数总和为2480﹣125＝2355分，换成甲实得145分后物理类30名学生分数总和为2355+145＝2500分，所以数据更正后物理类学生平均分为＝125分，因为更正前物理类方差为379，所以去掉甲同学这个数据后，其他19人的方差为＝，所以更正甲同学的成绩后，20人的方差为[19×+（145﹣125）2]＝398.95．（2）30人的总分为20×125+10×110＝3600，所以30人的平均分为＝120分，30人的方差为≈366．22．如图，已知点A，B，C在平面α的同侧，在三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OA＝2，OB＝3，OC＝4，直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°．（1）在棱OC上是否存在一点M，使二面角M﹣AB﹣O为60°？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若G为△ABC的重心，求点G到平面α的距离．【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，设M（0，0，m），m∈[0，4]，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MAB的法向量，由向量的夹角公式列出关于m的关系，求解即可得到答案；（2）利用重心的坐标公式求出点G的坐标，然后由直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°，可得GO⊥平面α，再利用两点间距离公式求解即可．解：（1）因为OA、OB、OC两两垂直，则以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，又OA＝2，OB＝3，OC＝4，则A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），因为点M在棱OC上，设M（0，0，m），m∈[0，4]，所以，设平面MAB的法向量为，则，即，令x＝3，则y＝2，z＝，所以，又平面ABO的一个法向量为，因为二面角M﹣AB﹣O为60°，则＝，解得，所以在棱OC上是存在一点M，且＝，使得二面角M﹣AB﹣O为60°；（2）因为G为△ABC的重心，则，即，因为直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°，设点A，B到平面α的距离分别为h，h'，则，故，则GO⊥平面α，所以点G到平面α的距离为＝．。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市杨树第三中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则( )A．和都是锐角三角形B．是锐角三角形，是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．和都是钝角三角形参考答案：B2. 设全集，集合，，则=（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 已知变量满足则的最小值是A．6 B．5 C．3 D．2参考答案：C4. 下列函数是偶函数，并且在（0，+∞）上为增函数的为（）A．B．C．D．y=﹣2x2+3参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】探究型；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，二次函数的图象和性质，分析函数的单调性和奇偶性，可得答案．【解答】解：函数是偶函数，由y′=＞0在（0，+∞）恒成立，可得函数在（0，+∞）上为增函数，函数是非奇非偶函数，函数是非奇非偶函数，函数y=﹣2x2+3偶函数，由y′=﹣4x＜0在（0，+∞）恒成立，可得函数在（0，+∞）上为减函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．5. 函数的单调增区间为（）A. （，+∞） B .（3，+∞）C.（-∞，） D.（-∞，2）参考答案：D6. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是A． B．C． D．参考答案：D7. 已知函数的定义域为R,当时,,且对任意的实数R,等式成立.若数列满足,且(N*),则的值为（）A.4016 B.4017 C.4018 D.4019参考答案：B略8. 下图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（）7984464793A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，4参考答案：C去掉最高分93，去掉最低分79，剩下5个数据：84,84,84,86,87，所以平均数为，方差等于9. 若正数满足，则的取值范围是（）A、 B、 C、 D、参考答案：D10. 已知是R上的增函数，那么实数的取值范围是( )A． B． C．（0，1）D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．参考答案：【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．12. 设则的值为．参考答案：略13. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的轴、轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→……），且每秒移动一个单位，那么2000秒时这个粒子所处的位置为______________．参考答案：（24，44）略14. 关于函数f(x)=4si n（2x＋）（x∈R ），有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4c os（2x－)；③y=f(x)的图象关于点(－，0）对称；其中正确的命题的序号是 (注：把正确的命题的序号都填上.)参考答案：②③略15. sin600°的值为__________．参考答案：【分析】直接利用诱导公式化简求值.【详解】, 故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式的应用,属于基础题.16. 已知lg2=a，10b=3，则log125= ．（用a、b表示）参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】化指数式为对数式，把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有lg2和lg3的代数式得答案．【解答】解：∵10b=3，∴lg3=b，又lg2=a，∴log125=．故答案为：．【点评】本题考查了对数的换底公式，考查了对数的运算性质，是基础题．17. 关于的不等式的解集是，若，则实数的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

黑龙江省2021版高一下学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2016·桂林模拟) 若三点共线则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若, 若有两解,则m的范围是（）A . （1,2）B . （2,3）C . （2,）D . （4,）3. （2分） (2020高一下·金华期末) 已知：点，，则线段的中垂线方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·贺州期末) 已知矩形中，，，为的中点，在矩形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·阳高月考) 已知一组数据的平均数是2,标准差是1,则另一组数据的平均数和标准差分别为（）A . 5,B . 2, 2C . 5, 2D . 2,6. （2分） (2020高二下·南昌期末) 如图，正方体的棱长为1，P，Q分别是线段和上的动点，且满足，则下列命题错误的是（）A . 存在P，Q的某一位置，使B . 的面积为定值C . 当时，直线与是异面直线D . 无论P，Q运动到任何位置，均有7. （2分） (2019高三上·襄阳月考) 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·南昌模拟) 已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（）A .B . 8C . 6D .9. （2分） (2016高一上·天河期末) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC= ，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2020高二上·会昌月考) 已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点,则的最大值为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2020高二下·丽水期末) 已知直线，，若，则 ________；若，则 ________.12. （1分） (2018高二上·武邑月考) 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．13. （1分） (2016高一下·昆明期中) 在△ABC中，已知a=7，c=5，B=120°，则△ABC的面积为________．14. （1分） (2019高二下·瑞安期中) 棱长均为的正四棱锥的体积为________．15. （1分） (2017高一上·葫芦岛期末) 已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0与圆C2：x2+y2﹣6y﹣27=0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．16. （1分） (2019高三上·鹤岗月考) 在中，角所对的边分别为的平分线交于点D ，且，则的最小值为________三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2018高二上·黑龙江月考) 直线过定点，交、正半轴于、两点，其中为坐标原点.（Ⅰ）当的倾斜角为时，斜边的中点为，求；（Ⅱ）记直线在、轴上的截距分别为，其中，求的最小值.18. （10分） (2017高二上·潮阳期末) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19. （15分） (2018高一下·枣庄期末) 某单位需要从甲、乙两人中选拔一人参加新岗位培训，特别组织了5个专项的考试，成绩统计如下：第一项第二项第三项第四项第五项甲的成绩8182799687乙的成绩9476809085（1）根据有关统计知识，回答问题：若从甲、乙2人中选出1人参加新岗位培训，你认为选谁合适，请说明理由；（2）根据有关概率知识，解答以下问题：从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为，抽到乙的成绩为，用表示满足条件的事件，求事件的概率.20. （15分） (2016高一下·黄冈期末) 如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC 于点E，F是PC中点，G为AC上一点．（1）求证：BD⊥FG；（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；（3）当二面角B﹣PC﹣D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．21. （15分） (2017高一下·河北期末) 已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x 轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

黑龙江省2021年高一下学期期末数学试卷 D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·南宁月考) 曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A . ( ，＋∞)B . ( ， ]C . (0， )D . ( ， ]2. （2分） (2016高二上·宜昌期中) 设不等式组，表示的平面区域为D，若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）经过区域D上的点，则r的取值范围是（）A . [2 ，2 ]B . （2 ，3 ]C . （3 ，2 ]D . （0，2 ）∪（2 ，+∞）3. （2分）以点（3，﹣1）为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·鞍山期末) 直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 135°5. （2分）在x轴和y轴上的截距分别为﹣2，3的直线方程是（）A . 2x﹣3y﹣6=0B . 3x﹣2y﹣6=0C . 3x﹣2y+6=0D . 2x﹣3y+6=06. （2分） (2019高一下·上海月考) 如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：① 测量② 测量③测量则一定能确定间距离的所有方案的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 07. （2分）在△ABC中，E为AC上一点，且=4， P为BE上一点，且=m+n（m＞0，n＞0），则取最小值时，向量=（m，n）的模为（）A .B .C .D . 28. （2分）(2020·蚌埠模拟) 已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为P，若为等腰三角形，则直线的斜率为（）A .B .C .D .9. （2分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）。