哈三中2020-2021学年上学期高三期中考试数学(理)试题+答案!

2020-2021学年哈师大附中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. (0,1)B. (0,3]C. (1,3)D. (1,3]2.当m<0时，复数2+m⋅i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A. log a b·log c b=log c aB. log a b·log c a=log c bC. log a(bc)=log a b·log a cD. log a(b+c)=log a b+log a c4.函数y=x(3−2x)(0<x<32)的最大值是()A. 98B. 94C. 32D. 385.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是A. 若α≠，则tanα≠1B. 若α=，则tanα≠1C. 若tanα≠1，则α≠D. 若tanα≠1，则α=6.设a k⃗⃗⃗⃗ =(cos kπ6,sin kπ6+cos kπ6),k∈Z,则a2015⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a2016⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. √3B. √3−12C. 2√3−1D. 27.对于函数f(x)=2sin(2x+π3)给出下列结论：①图象关于原点中心对称；②图象关于直线x=π12轴对称；③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位得到；④图象向左平移π12个单位，即得到函数y=2cos2x的图象．其中正确结论的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.函数，已知在时取得极值，则=A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，四棱锥S−ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥AD，且SD=1，SB=√3，M为SA的中点，则异面直线DM与SB所成角为()A. 30°B. 60°C. 45°D. 90°10.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面中，面积最大的面的面积是()A. 8B. 10C.D.11.设f(x)=√33x+√3，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：f(−12)+f(−11)+ f(−10)+⋯+f(11)+f(12)+f(13)的值()A. 11B. 14C. 12D. 1312.若cosθ=1−log2x，则x的取值范围是()A. [1,4]B. [14,1] C. [2,4] D. [14,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={x 2,x≥0−x,x<0，若关于x的方程f(x)−|kx−2|=0，k∈R恰有3个不同的实数根，则k的取值范围是______．14.某班共有50名学生，已知以下信息：①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有15人；⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人．15.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为______ cm3，外接球的表面积为______ cm2．16.已知方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是_________________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=2√2，sinC=√2sinA．(Ⅰ)求边c的值；(Ⅱ)若cosC=√2，求△ABC的面积．418.在数列{a n}(n∈N∗)中，a1=1，前n项和S n满足nS n+1−(n+3)S n=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；)2，求数列{(−1)n b n}的前n项和T n．(Ⅱ)若b n=4(a nn19.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且√2a=2csinA．(1)确定角C的大小；(2)若c=3，且△ABC的面积为3√2，求a2+b2的值．220.18.(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为正方形，平面，//，且(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={2,5，9}，B ={x|x =2m −1,m ∈A}，则A ∪B =( )A. {2,3，5，9，17}B. {2,3，5，17}C. {9}D. {5}2. 设非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则( )A. a ⃗ ⊥b ⃗B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ //b ⃗D. |a ⃗ | > |b ⃗ |3. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n =1+1an−1(n >1)，则a 2=( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知向量a ⃗ =(3,−4),|b ⃗ |=2，若a ⃗ ⋅b ⃗ =5，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. 2π3B. π3C. π4D. π65. 如图，在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 49AB ⃗⃗⃗⃗⃗+59AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 49AB ⃗⃗⃗⃗⃗−79AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 43AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −49AB ⃗⃗⃗⃗⃗+79AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至4000，则C 大约增加了( )附：lg2≈0.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%7. 已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2a 4=16，S 3=7，则a 8=( )A. 32B. 64C. 128D. 2568.函数f(x)=(21+e x−1)sinx图象的大致形状是()A. B.C. D.9.已知|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则a⃗+b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 3B. 2C. 1D. 010.设数列{a n}的前n项和为S n，若S n=−n2−n，则数列{2(n+1)a n}的前40项的和为()A. 3940B. −3940C. 4041D. −404111.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在x∈(0,+∞)上是增函数，则m=()A. −1B. 2C. −1或2D. 112.定义在R的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|，满足f(2x−1)>f(x+1)，则x满足的关系是()A. (2,+∞)∪(−∞,−1)B. (2,+∞)∪(−∞,1)C. (−∞,1)∪(3,+∞)D. (2,+∞)∪(−∞,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量b⃗ =(−1, 0)，a⃗=(1, √3)，c⃗=(−√3,k).若b⃗ −2a⃗与c⃗共线，则k=______ ．14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9−a6，则S8=______ ．15.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数的解析式为______ ．16.已知△ABC的面积为√32，AC=2，∠BAC=60°，则BC=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a4=2a2+1，求数列{a n}的通项公式及前n项和S n．18.已知函数f(x)=1+2sin(2x−π3)．(1)用五点法作图作出在x∈[0,π]的图象；(2)求f(x)在x∈[π4,π2]的最大值和最小值；19.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n−1a n+3．(1)证明数列{1a n+1}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．(2)若b n=2na n+1，求数列{b n}的前n项和S n．20.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3，且sin(C−π6)⋅cosC=14．(1)求角C的大小；(2)若向量m⃗⃗⃗ =(1,sinA)与n⃗=(2,sinB)共线，求a、b的值．21.已知函数f(x)=lnx−a2x+2a．(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在非负实数a，使得f(x)在(0,+∞)上的最大值为12?请证明你的结论．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cosφy=sinφ(φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(2,π2)，半径为l的圆．(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+2)≥3；(Ⅱ)若f(x)>2−|x−a|恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}={3,9，17}，∴A∪B={2,3，5，9，17}．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．由已知得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，从而a⃗⋅b⃗ =0，由此得到a⃗⊥b⃗ ．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，a⃗2+b⃗ 2+2a⃗·b⃗ =a⃗2+b⃗ 2−2a⃗·b⃗ ，4a⃗·b⃗ =0，解得a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⊥b⃗ ．故选A．3.答案：B(n>1)，解析：解：数列{a n}中，a1=1，a n=1+1an−1=2，则a2=1+1a1故选：B．直接利用递推关系式求解即可．。

2020-2021学年哈尔滨三中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合M ={x|lgx =0}，N ={x|10x =1}，则M ∪N 等于( )A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,0}2.在中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在线段AM 上且满足，则等于( )A.B.C.D.3.设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=a n 2+a n (n ∈N ∗)，记S n =11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n，则S 10的整数部分为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是( )A. 4元B. 5元C. 3元D. 6 元5.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB =4，AD =3，AA 1=5，∠BAA 1=∠DAA 1=60°则|AC 1|=( )A. √95B. √59C. √85D. √586.在数列{a n }中a 1=14,a 2=15，且a 1⋅a 2+a 2⋅a 3+⋯+a n ⋅a n+1=na 1⋅a n+1，则1a 10+1a 11+⋯+1a 84=( )A. 3750B. 3700C. 3650D. 36007.与函数f(x)=sin(2x)+xx 2的部分图象最符合的是( )A.B.C. D.8.若向量a⃗，b⃗ ，c⃗两两所成的角相等，且|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，则|a⃗+b⃗ +c⃗|=()A. 0B. 3C. 3或 0D. 1或√39.设函数有三个零点则下列结论正确的是()A. B. C. D.10.若函数是幂函数，则的值为()A. B. C. D.11.函数y=lg(1−x)+lg(1+x)的图象关于()A. y轴对称B. x轴对称C. 原点对称D. 点(1,1)对称12.函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x−π6)的最大值为()A. 65B. 1 C. 35D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(−12,4)，c⃗=(2,−4)，且a⃗//b⃗ ，则向量c⃗在向量a⃗方向上的投影为______ ．14.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则y=f(x)+cos(ωx+7π12)的增区间是______ ．15.在△ABC中，AB=2,AC=4,∠BAC=2π3，AD为BC边上的中线，则AD=______．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2，则S3等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，(1)已知a 1=1，d =2，n =15，求a n 和S n ； (2)已知a 1=−13，d =2，a n =7，求n 和S n ； (3)已知a 1=8，n =5.a n =12，求d 和S n ； (4)已知a n =2，n =12，S n =90，求a 1和d ．18. 已知sin(π2+α)=−35α∈(0,π)， (1)求sin(α2) (2)求cos(2α−3π4)19. 已知公差不为零的等差数列{a n }，满足a 1+a 3+a 5=12，且a 1，a 5，a 17成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =a n 2+1a n2−1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n −n <32．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(√3sin x4,1)，n ⃗ =(cos x4,cos 2x4) (1)若m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =1，求sin(−2x +π6)的值；(2)记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a −c)cosB =bcosC ，求函数f(A)的取值范围．21. 已知函数f(x)=(x −1)e x +ax 2．(1)当a =0时，求函数f(x)的图象与直线y =1的交点个数； (2)若f(x)有两个零点 (i)求a 的取值范围；(ii)x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明x 1+x 2<0．22. 已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C 2的极坐标方程为θ=π4(p ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(Ⅰ)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(Ⅱ)求弦AB的长度．23.已知函数f(x)=|x|，且关于x的不等式f(x−a)<b的解集为(−1,3)．(1)求实数a，b的值；(2)证明：f(2x−a)+f(x−b)≥3．2【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵M={1}，N={0}，∴M∪N={0,1}．故选：C．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了对数和指数的运算性质，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题主要考查向量的数量积．解：由题知P为△ABC重心，则.则，故选A．3.答案：B解析：解：∵数列{a n}满足a1=13，a n+1=a n2+a n=a n(a n+1)(n∈N∗)，∴1a n+1=1a n(a n+1)=1a n×1a n+1=1a n−1a n+1，∴1a n+1=1a n−1a n+1，∴S10=1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1a10−1a11=1a1−1a11，∵a1=13，a2=19+13 =49，a3=1681+49=5281，a4=27046561+5281>1，。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．设集合[2,2]A =-，{}2|(1),B y y x x A ==-∈，则A B =I （ ）A ．[]22-,B ．[]1,2C ．[]0,2D ．[]2,9-【答案】C【解析】求出B 中函数的值域确定B ，找出两集合的交集即可. 【详解】解： 由B 中2(1),[2,2]y x x =-∈-，得到[0,9]B =，则[0,2]A B ⋂=. 故选：C. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值. 【详解】 解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a ii i i -----+==++-Q为纯虚数， 1010a a -=⎧∴⎨+≠⎩，解得：1a =. 故选：C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题. 3．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断，即可得到答案． 【详解】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误； 对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β， ∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α， ∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误； 对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．4．已知函数()f x 是奇函数，满足0x >时，()2xf x =，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3 B ．13C ．13-D ．3-【答案】D【解析】利用函数的奇偶性即可得出. 【详解】解：当0x >时，()2xf x =，又()f x 是奇函数，∴()2log 322211log log log 33323f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则8S =（ ） A ．8 B ．64 C ．8或64 D ．64-【答案】C【解析】由已知可得，2215a a a =⋅即2(1)14d d +=+，从而可求d ，由等差数列的前n项和公式可求8S . 【详解】解：由已知可得，2215a a a =⋅，∴2(1)14d d +=+∴0d =或2d =，由等差数列的前n 项和公式可得，8188S a ==或8187878826422S a d ⨯⨯=+=+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题.6．《九章算术》卷五商功中记载了一个问题：今有圆亭：下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？答曰：五百二十七尺，九分尺之七．术曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一，文中给出了如三视图所示几何体体积的一种近似算法：（上底面周长⨯下底面周长+上底面周长的平方+下底面周长的平方）⨯高⨯136，如此求出的体积的近似值与实际值的比值为（ ）A ．3π B ．3πC ．227πD ．722π 【答案】A【解析】先根据题目提供的公式计算出近似体积的表达式，再求出实际体积的表达式，两者相除即可. 【详解】解：由三视图可知，几何体为一个圆台，设上底半径a ，下底半径为b ，高为h ， 则根据近似算法得体积：()()()22222112222369V a b a b h ab a b h πππππ⎡⎤=⋅++⋅=++⎣⎦， 实际体积：()22213V h a b ab π=++则()()22212229133ab a b hV V h a b ab πππ++==++. 故选：A. 【点睛】本题考查圆台的体积的计算，是基础题.7．如果将函数()y g x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移3π个单位长度，得到函数1()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()y g x =图象的一条对称轴的直线方程为（ ） A ．2x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=【答案】A【解析】由题意根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】解：将函数1()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点向右平移3π个单位长度得11sin sin 2623y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，再将所有点的横坐标缩小为原来的12，可得的()sin y g x x ==图象，令2x π=，求得()1g x =，为函数()g x 的最大值，则()y g x =图象的一条对称轴是直线2x π=.故选：A. 【点睛】本题主要考查函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.8．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4C ．92D ．112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥9．已知四面体ABCD 的所有棱长相等，E 为棱AC 的中点，F 为棱AB 上一点，且14AF AB =，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】在AG 上取一点G ，使14AG AE =，连接GD ，GF ，GFD ∠(或其补角)为异面直线BE ，DF 所成角，求出各边，再用余弦定理求角的余弦值. 【详解】解：如图：在AC 上取一点G ，使14AG AE =，连接GD ，GF因为14AF AB =，14AG AE =， //BE GF ∴，则GFD ∠(或其补角)为异面直线BE ，DF 所成角，设四面体ABCD 的棱长为4，113344422FG BE ==⨯⨯=， 2241214cos6013FD =+-⨯⨯⨯=o ，2221157424cos60224GD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭o ， 则22233571344cos 2392132GF FD GD GFD GF FD +-+-∠===⋅⨯⨯，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为3978. 故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是要通过平移线段产生平面角，是基础题.10．函数22cos 22sin cos 2sin cos ()24x x x x x f x x π+⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值域为（ ） A ．()221 B ．)221-⎡⎣ C ．5214⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5214⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】将原式化简为()cos sin 2sin cos f x x x x x =++，再令cos sin t x x ⎡=+∈⎣，将()f x 转化为关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求解值域. 【详解】解：22cos 22sin cos 2sin cos ()4x x x x xf x x π+⋅-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()22cos sin 2sin cos cos sin cos sin x x x x x x x x-+-=- cos sin 2sin cos (sin cos )x x x x x x =++≠，令cos sin 4t x x x π⎛⎫⎡=+=-∈ ⎪⎣⎝⎭且t ≠，则22sin cos 1x x t =-， 则2()1f x t t =+-，t ⎡∈⎣且t ≠，当t =时，()11f x f <==， 当12t =-时，2min 1115()()()()12224f x f =-=-+--=-， 故()f x的值域为514⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】本题二次型三角函数的最值问题，考查换元法求函数值域，要注意新元的取值范围，是中档题.11．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，60BAC ∠=o ，2PA =，AB AC == ）A ．43π B．3C ．8πD ．12π【答案】C【解析】取BC 中点D ，且2AG DG =，可知G 为ABC ∆的外心；作//OG PA 且12OG PA =，//OM AG ，可验证出四边形OGAM 为平行四边形，从而得到OA OP =，又OA OB OC ==，可知O 为所求球的球心；利用勾股定理可求得球的半径，进而利用球的表面积公式求得结果.【详解】取BC 中点D ，连接AD ，取点G ，满足2AG DG =AB AC =Q ，60BAC ∠=o ABC ∆∴为等边三角形 G ∴为ABC ∆的外心作//OG PA 且12OG PA =，作//OM AG ，交PA 于M ∴四边形OGAM 为平行四边形 12AM OG PA MP ∴===22OM AM OA OP +==，又G 为ABC ∆外心222222OG CG OG BG OG AG ++=+OA OB OC ==O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心∴外接球半径22222111232R OA OM AM AD AP ⎛⎫⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴该球的表面积248S R ππ==故选C 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据球的性质确定球心一定在过底面三角形的外心且垂直于底面的直线上，进而根据长度关系确定球心的位置. 12．已知三棱锥S ABC -的体积为4，且4AC =，2224SA BC +=，30ACB ∠=︒，则三棱锥S ABC -的表面积为（ ） A ．3B ．123C ．6123D ．963【答案】B【解析】设h 为底面ABC 上的高，,SA m BC n ==，根据体积可得12nh =，结合222m n mn +≥及基本不等式等号成立条件，可得12m n h ===，进而可得SA ⊥面ABC ，再通过计算求出每个面的面积即可.【详解】解：如图：h 为底面ABC 上的高，设,SA m BC n ==，则1114sin 304332S ABC ABC V S h n h -==⨯⨯⨯⨯︒⨯=V ， 得12nh =，,12m h mn ≥∴≥Q ，又22242m n mn =+≥，得12mn ≤， 所以12mn =，故12m n h ===，SA ∴⊥面ABC ，在ABC V 中22341224124AB =+-⨯=，则2AB =， 在Rt ABS V 中22124SB =+=，在Rt ACS V 中121628SC =+=所以在SBC V 中，222SC SB BC =+，则SBC V 为直角三角形， 三棱锥S ABC -的表面积11111=223+423+423+423=12322222S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故选：B. 【点睛】本题考查棱锥表面积的计算，关键是通过基本不等式的等号成立条件得到SA ⊥面ABC ，是中档题.二、填空题 13．若曲线y x =()P a a ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是_______．【答案】4 【解析】【详解】 由y '=，则切线斜率k =，则过(P a 的切线方程为:)y x a =-，与坐标轴交点分别为()0,,,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又所成三角形面积为2，可得1222a ⋅=，所以4a =,故答案为4.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m r ，n r满足),cos m c C =-r ，(,cos )n a A =r ，//m n r r，则cos A 的值为：_____________．【答案】13【解析】根据平面向量平行的性质求及两角和的公式对其进行化简，即可求得cos A 的值. 【详解】解：//cos (3)cos sin cos (3sin sin )cos m n a C b c A A C B C A ⇒=-⇒=-r r， 即sin cos cos sin 3sin cos A C A C B A +=， 即sin()3sin cos A C B A +=， 所以sin 3sin cos B B A =， 所以1cos 3A =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，考查两角和的正弦公式的应用，是基础题..15．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，AB 上运动（不含端点），且//EF AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B ECDAF -的体积最大时，EF 的长为________________．【答案】263【解析】连接BD ，交EF 与点G ，设EF x =，02x <<，用x 表示出BG ，表示出五边形ECDAF 的面积，进而可求出331234ECDAF V x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数求出体积最大时x 的值即可. 【详解】解：如图：连接BD ，交EF 于点G ，因为平面BEF ⊥底面ECDAF ，又BG EF ⊥， 则BG ⊥面ECDAF ，设EF x =，02x <<，则3BG x =，23BD = 则211332232322ECDAF ABCD BEF S S S x x x =-=⨯⨯⨯=X V ， 则2313312323434ECDAF V x x x x ⎛⎫⎫=⋅⋅=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()3124f x x x =-，则()'2324f x x =-， 当()'23204fx x =-=时， 83x = 则()3124f x x x =-在83⎛⎝上单调递增，在8,3⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，所以当83x=时，()f x最大，即ECDAFV最大.所以当五棱锥B ECDAF-的体积最大时，EF的长为26.故答案为：263.【点睛】本题考查棱柱体积的计算，考查利用导数求解最值，是中档题.16．已知函数()f x满足21,0(),0xx xf x ee xx⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，若方程22[()]2()20f x mf x m-+-=有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为_______________．【答案】212m-<≤-或12m>+或2m=【解析】作出函数()f x的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的个数，利用函数与方程之间的关系转化为二次函数，利用根的分布进行求解即可.【详解】解：当0x>时，函数22(1)()x x xe x e e xf xx x'--==，则当1x>时，()0f x'>，函数为增函数，当01x<<时，()0f x'<，函数为减函数，即当1x=时函数取得极小值，同时也是最小值(1)0f e e=-=，画出的图象如图所示，设()t f x=，则二次方程等价为22220t mt m-+-=，设22g ()22t t mt m =-+-，要使方程22[()]2()20f x mf x m -+-=，有4个不相等的实数根，等价为方程22220t mt m -+-=有两个根，一个根1(0,1]t ∈内，一个根2(,0)t ∈-∞或者21(1,,)t t ∈+∞或210,(1,)t t ∈+∞=,当1(0,1]t ∈，2(,0)t ∈-∞时，22(0)20(1)1220g m g m m ⎧=-<⎨=-+-≥⎩，解得1m <≤当21(1,,)t t ∈+∞时，()()2222420212(1)1220m m mg m m ⎧∆=-->⎪⎪-->⎨⎪=-+->⎪⎩，解得：1m >+当210,(1,)t t ∈+∞=时，2g (0)20m =-=，解得m =，将m =22220t mt m -+-=得20t ±=，则t =符合，即m =综合得1m <≤-1m >+m =故答案为：1m ≤1m >m =.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用换元法转化为一元二次函数，利用根的分布是解决本题的关键.注意利用数形结合.三、解答题17．已知ABC ∆外接圆直径是2，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()222sin sin ()sin A B a c C -=-．（1）求角B ；（2）求ABC ∆的周长的最大值． 【答案】（1）3B π=；（2）2【解析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B 的大小；（2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出+a b 的范围即可求ABC ∆的周长的最大值. 【详解】解：（1）由已知()222sin sin ()sin A B a c C -=-，由正弦定理2sin 2sin ,2sin 2sin ,2sin 2sin a R A A b R B B c R C C ======， 得()222sin sin 2(sin sin )sin A B A C C -=-， 由正弦定理角化边得22()b a a c c -=-，则22221cos 222()a c b c B a c c a c c a +-+===-，又()0,B π∈ 所以3B π=；（2）ABC ∆的周长2sin 2sin 2sin L a b c A B C =++=++ 22sin 2sin2sin 33A A ππ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2sin sin A A A =-+2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， ,33A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， (]sin 0,13A π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2L ∴∈，即ABC ∆的周长的最大值为2. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角恒等变形及三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强.18．已知长方体1111ABCD A B C D -，1AA =22AB BC ==，E 为棱AB 的中点，F 为线段1D C 的中点．（1）求证：//EF 平面11BCC B（2）求直线1AD 与平面DEF 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3020【解析】（1）取1CC 的中点G ，连接GF ，GB ，可得四边形FGBE 为平行四边形，则//EF GB ，进而可证明//EF 平面11BCC B ；（2）建立空间直角坐标系，求出面DEF 的法向量，利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】解：（1）如图：取1CC 的中点G ，连接GF ，GB ，则1//2FG AB ，又1//2EB AB ， //FG EB ∴，则四边形FGBE 为平行四边形，//EF GB ∴，又EF ⊄面11BCC B ，GB ⊂面11BCC B ， //EF ∴平面11BCC B ；（2）如果建立空间直角坐标系,则()()(131,1,0,,1,0,0,3E F A D ⎛ ⎝⎭， 则()(131,1,0,,3DE DF AD ⎛===- ⎝⎭u u u r u u u r u u u ur ，设面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，则00DE n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z =，可得)3,3,2n =-r，设直线1AD 与平面DEF 所成角为θ，则12132330sin 2013332AD n AD n θ-+⋅===⋅+⋅++u u u u r ru u u u r r ， 所以直线1AD 与平面DEF 所成角的正弦值3020. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求线面角，是基础题.19．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若数列{}n a 和数列{}nS 都是等差数列，且公差相等． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：34n T <． 【答案】（1）142n na =-+；（2）证明见解析 【解析】（1）设出()11n a a n d +-=n S c nd =+，利用待定系数法，列方程求解即可；（2）利用错位相减和分组求和法可求出n T ，然后观察可得34n T <. 【详解】解：（1）由已知设()11n a a n d +-=，1(1)2n n n S na d -=+，c nd ==+， ()22221122n S na n n d d n dcn c +=+-=+， 22221()2122ddn a n d n dcn c +-=++， 观察系数得120222c d a dcdd =⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎩， 所以100d a =⎧⎨=⎩或11214d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又数列{}n a 的各项均为正数， 所以()11142n a n =+-，即142n n a =-+； （2）1211242222n n n n n n a n ++-==-, 设()23411232222n nH n +=++++L ， 两式相减得：()23451221111111114212222222212n n n n n n H n +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=--L ，整理得()11122n n n H n +=--，11111821122123123442nn n n n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=---+-=⋅-123042nn +⋅>Q， 34n T ∴<. 【点睛】本题考查等差数列及前n 项和公式的计算，考查错位相减求和及分组求和，是一道中档题.20．如图，四棱锥S ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，BC AB ⊥，6AB =，4BC CD SD ===，平面SCD ⊥平面ABCD ，二面角S AD B --的大小为θ，15tan θ=-，M 为线段SC 的中点，N 为线段AB 上的动点．（1）求证：平面SBC ⊥平面SCD ；（2）是否存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，若存在，求ANAB的值，不存在说出理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，此时79AN AB = 【解析】（1）通过平面SCD ⊥平面ABCD 可得BC ⊥平面SCD ，进而可证明平面SBC ⊥平面SCD ；（2）过点S 作SO ⊥面ABCD ，交CD 的延长线于点O ，过O 作OE AD ⊥交AD 于E ，连接SE ，可证明SEO ∠为二面角S AD B --的平面角的补角，通过计算可得3SC =假设存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，过N 作NP CD ⊥交CD 于点P ，过P 作PQ DM ⊥交DM 于点Q ，连接NQ ，可得NQP ∠为二面角C DM N --的平面角，计算可得43NB =，进而可得AN AB. 【详解】（1）证明：Q 平面SCD ⊥平面ABCD ，且BC CD ⊥，平面SCD I 平面ABCD CD =，BC ∴⊥平面SCD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SCD ；（2）如图：Q 平面SCD ⊥平面ABCD ，则过点S 作SO ⊥面ABCD ，交CD 的延长线于点O ，过O 作OE AD ⊥交AD 于E ，连接SE ，,,OE AD SO AD OE SO O ⊥⊥=Q I ，AD ∴⊥面SOE ，则AD SE ⊥，所以SEO ∠为二面角S AD B --的平面角的补角， 则tan 15SO SEO OE ∠==， 又22sin sin 542OE CBODE DAB OD AD=∠=∠===+， 两式相乘得tan 3SOSDO OD∠==， 即60SDO ∠=o ，120SDC ∠=o ，24sin 6043SC ∴=⨯=o ，假设存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒过N 作NP CD ⊥交CD 于点P ，过P 作PQ DM ⊥交DM 于点Q ，连接NQ ，可得DM ⊥面NPQ ，则NQP ∠为二面角C DM N --的平面角，即60NQP ∠=o，设,04BN x x =<<，因为NP CD ⊥，四边形BCPN 为矩形，则CP x =，44QP DP x CM DC -∴==，则42xQP -=4tan 42NP NQP x QP ∴∠====- 解得43x =， 此时467369ANAB-==. 存在点N ，使二面角C DM N --的大小为60︒，此时79AN AB =. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查几何法作出二面角，本题的关键在于作出二面角的平面，要充分利用面面垂直产生线面垂直来作二面角的平面角，考查学生空间想象能力，是一道难度较大的题目.21．若函数2()ln 2f x x x mx x m =+-+()m R ∈在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求实数m 的取值范围；（2）试比较20202019与20192020的大小，并说明理由；（3）设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明：212x x e >．【答案】（1）102m e-<<；（2）2019201820182019>；（3）证明见解析 【解析】(1) 求函数的导数，利用()0f x '=在(0,)+∞有两个不同根，转化为函数ln ()xg x x =与函数2y m =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，从而()g x 极大值1(e)g e=，利用数形结合所以要想函数ln ()x g x x =与函数2y m =-的图象在(0,)+∞上有两个不同交点，只需102m e <-<，可得m 的取值范围；(2)由(1)利用()g x 在(0,)e 上单调性质可得试比较20202019与20192020的大小；(3)证明212x x e >等价于证明()()12112122122ln ln 222lnx x x x x m x x x x x -+>⇔-+>⇔>+， 令12x t x =，则1t >，等价于2(1)()ln ,11t g t t t t -=->+的最小值大于0即可. 【详解】解：（1）由已知2()ln 2f x x x mx x m =+-+得函数定义域为(0,)+∞，则()0f x '=在(0,)+∞有两个不同的根， 又()ln 2f x x mx '=+，即方程ln 20x mx +=在(0,)+∞上有两个不同的根， 转化为函数ln ()xg x x=与函数2y m =-的图像在(0,)+∞上有两个不同的交点， 又21ln ()xg x x -'=， 即0x e <<，()0g x '>，x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，从而1()()g x g e e==极大， 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x =→+∞时，()0g x →，所以要想函数ln ()xg x x=与函数2y m =-的图像在(0,)+∞上有两个不同的交点， 只需102m e<-<， 即102m e-<<； （2）由（1）()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以(2018)(2019)g g >，即ln 2018ln 201920182019>，即2019ln 20182018ln 2019>， 即20192018ln 2018ln 2019>， 所以2019201820182019>；（3）设()f x 的两个极值点为12,x x ，由（1）可知12,x x 分别是方程ln 20x mx +=的两个根，即1122ln 2,ln 2x mx x mx =-=-， 设120x x >>，作差得，()1122ln 2x m x x x =--，即1212ln 2x x m x x -=-，要证明不等式212x x e >，即等价于证明()()12112122122ln ln 222ln x x x x x m x x x x x -+>⇔-+>⇔>+， 令12x t x =，则1t >， ()12121222(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++， 设2(1)()ln ,11t g t t t t -=->+， 22(1)()0,1(1)t g t t t t '-=>>+，则函数()g t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g t g ∴>=，即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立， 故所证不等式212x x e >成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，极值，最值的综合问题，考查学生分析问题，转化问题的能力，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值. 【答案】（1）2233144x y -=，20x --=（2【解析】（1）平方相减，消掉参数m ，即可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标与直角坐标互化公式即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）根据第一问，求出直线l 的倾斜角，写出直线l 的参数方程，将其与曲线C 的方程联立，利用t 的几何意义，即可求出11MP MQ+的值。

第七章第一节 面向海洋的开放地区——珠江三角洲 一、目标导学 1．珠江三角洲的位置、范围、外向型的经济特征（重点） 2．分析珠江三角洲的经济特征及有利因素、城镇发展（难点） 二、知识探究 探究获知一：:对外开放的前沿 读“珠江三角洲地区”图观察： 说明珠江三角洲的地理位置。

①纬度位置：___________________________________。

②海陆位置：_____________________________________________________。

③相对位置：__________________________________________________________。

[学以致用]: 1．珠江三角洲地区农业生产的耕作制度是 ?A．一年三熟 B．一年二熟 C．二年三熟 D．一年一熟 ．珠江三角洲地区最常遇到的自然灾害是 A．寒潮 B．台风侵袭 C．沙尘暴 D．伏旱 ．珠江三角洲地区最大的城市是 A．上海 B．广州 C．深圳 D．武汉 ．珠江三角洲地区盛产的经济作物是 A．天然橡胶B．棉花 C．油棕 D．甘蔗 3、还应具备哪些因素才能使珠江三角洲成为我国“对外开放的前沿”呢? ① 区位因素：_____________________________。

② 人文因素：_____________________________。

③政策因素：______________________________。

[学以致用]: 5．下列经济特区位于珠江三角洲的是 ?A．深圳和汕头? B．珠海和厦门C．珠海和深圳 D．深圳和海南 ．珠江三角洲地区与北京之间的铁路干线是 A．京广线与京沪线 B．京九线与京沪线 C．京广线与京九线 D．京九线与焦柳线能力提高：读珠江三角洲略图，回答： （1）在图上填出：深圳 珠海 香港特别行政区 澳门特别行政区 （2）珠江三角洲位于_______省东南部，毗邻_______特别行政区和_______特别行政区，与_______地区隔海相望有利于引进外资和先进技术。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.3.，则（）A. B. C. D.4.若，则=（）A. B. C. D.5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.11.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.12.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与的夹角为______．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．15.数列满足，，，则数列的前项和______．16.下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和．20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点，求四边形面积的最大值．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，且，求证：．黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案．【详解】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由求得结果．【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．3.，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案．【详解】根据题意，，且，则.故选：C．【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题．4.若，则=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【详解】若，则，故选：A．【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，，，再将转化为含有的算式即可．【详解】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差中项，等差数列的前项和．属于基础题．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C 7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，有的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案．【详解】根据题意，在中，，则，且为锐角；又由，可得，又由，则，则，故选：A．【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一）数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++- 对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[)(]2,00,2-UD ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22M x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆， 因此： 当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+C ．3π+D ．532π+【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯ 则该几何体的表面积为：332π+故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题.4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误； 对于D ，正确. 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞(](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ．3-C ．39D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ） A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题.10．若函数()()()2log 20,1af x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题.12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点， 可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】7【解析】先计算a r 与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案.【详解】根据题意||||cos 603oa b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，|2|7a b ∴-=r r故答案为：27【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______. 【答案】12【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cxa b-=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+ 故答案为：12+ 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=， 所以1cos 2C =，3C π=. （2）133sin 22ABC S ab C ∆==6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F⊥平面AEF；（2）求直线1B F与平面1AB E所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF⊥，再结合1AF B F⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）因为AF BC⊥，1AF BB⊥.所以AF⊥平面11BCC B，所以1AF B F⊥.11AB AC AA===，则2132B F=，234EF=，2194B E=，所以22211B EFF B E+=，所以1B F EF⊥，所以1B F⊥平面AEF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()11,0,1B，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，111,,122B F⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，平面1AB E的法向量为()2,1,2u=-r，设直线1B F与平面1AB E所成的角为α，则1116sin cos,6||||B F uB F uB F uα⋅===⋅u u u u r ru u u u r ru u u u r r.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98Eξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S=甲，231839.758S==乙，因为22S S<甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程； （2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，利用韦达定理即得证. 【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：3333y x =-+，即23A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=；（2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题. 21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立. 当1a >时，()m x 在()10,1a e--上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ， 又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+-⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+，111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解. 【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 1042+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立 当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭（2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。