分析一阶电路全响应的三要素法

Su s1RL i 图6.15 例6.3图R Ru s 2分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。

所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即te f f f t f )]()0([)()(（6-36）式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。

初始值)0(f ，稳态值)(f 和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。

1、求初始值)0(f 的要点：(1)求换路前的)0()0(L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(u 或)0(i 。

2、求稳态值)(f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。

3、求时间常数的要点：(1)求0t 时的；(2) eqeq R LC R ,；(3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求eq R 。

[例6.3]图 6.15所示电路原已处于稳态，0t 时开关闭合。

已知82s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源401s u V 激励时的电感电流L i 。

[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以2)0(322R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为)0(L i 2)0(L i A 换路后电感两端的等效电阻为321213R R R R R R eq 所以时间常数为。

一阶电路三要素法的公式
一阶电路三要素法是一种对一阶电路进行分析的方法，它可以将一阶电路分解为三个简单元件：电阻、电感和电容。

其中，电阻是一种能够吸收运动电流，产生热量和电势差的元件；电感是一种在电路中存在的磁场，并能够存储能量的元件；而电容则可以在电路中存储电荷，具有调节电路的功能。

一阶电路三要素法的公式主要分为以下几个部分：
第一，电阻R：R=V/I，其中V为电压，I为电流。

第二，电感L：L=U/I，其中U为电势差，I为电流。

第三，电容C：C=Q/V，Q为电荷，V为电压。

第四，电路总模型：V=RI+L(dI/dt)+Q/C，其中V为电压，R为电阻，I为电流，L为电感，Q为电荷，C为电容。

第五，电路增益：A=Vout/Vin，Vout为输出电压，Vin为输入电压。

第六，电路阻抗：Z=V/I，V为电压，I为电流。

第七，电路时间常数：τ=L/R，L为电感，R为电阻。

以上就是一阶电路三要素法的公式，它可以用来分析一阶电路的不同特性，如电阻、电感、电容、增益、阻抗以及时间常数等。

要使用一阶电路三要素法，首先应该确定电路中所有组成元件的电压、电流和电荷。

然后，根据上述公式，依次计算电阻、电感、电容、增益、阻抗和时间常数，最终形成一个完整的一阶电路模型。

通过一阶电路三要素法，我们可以更好地理解电路，并给出有效的解决方案，可以大大提高工作的效率。

§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。

本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。

5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。

根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。

其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。

图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。

(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。

显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。

三元素法分析一阶电路的全响应电路论文学院：电子信息工程学院班级：电气091502班姓名：***学号：************三元素法分析一阶电路的全响应摘要：本文主要介绍用三元素法分析解决一阶电路问题。

用三元素法求一阶电路问题首先要求出三元素：初始值，稳态值，时间常数，用三元素法可以直接代入公式求解，求解过程简单。

关键词：一阶电路 三元素法一、 全响应定义当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路全响应。

全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。

二、 三元素法的基本原理一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 其解答一般形式为：令 t = 0+ 全响应f （t ）的三要素求解公式为f （t ）=f （∞）＋[f （0+）－f （∞）]e －t/τ其中，f （0+）为t=0+时刻的初始值，f （∞）为t →∞时的特解稳态值，τ为t ≥0时的时间常数。

f （0+）、f （∞）和τ称为三要素。

只要知道f （0+）、f （∞）和τ这三个要素，就可以根据上述公式直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。

三、 三元素法的解题步骤⒈ 求初始值 ⑴ 初始值定义t=0+时电路中电压与电流的值称为初始值。

⑵ 初始值的求解① 由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)； ② 由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。

③ 画0+等效电路。

c bf tfa=+d d τteA t f t f -+'=)()(a.换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。

（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。

④由0+电路求所需各变量的0+值。

⒉求稳态值⑴稳态值的定义t=∞时电路中电压与电流的值称为稳态值。

⑵稳态值的求解稳态时，电容C视为开路，电感L视为短路，稳态值即求直流电阻性电路中的电压和电源。

⒊求时间常数τ⑴时间常数τ的定义当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，乘积RC的单位为s，称为RC电路的时间常数，用τ表示。

三要素法求一阶电路全响应证明好嘞，今天咱们聊聊一阶电路的全响应，听起来有点高大上，但其实就像喝水一样简单。

先说说什么是一阶电路，简单来说，就是那些只包含一个电感或一个电容的电路。

就好比你家里的水管，要么是直的，要么有个弯头，没啥复杂的。

电路响应嘛，顾名思义，就是电路对输入信号的反应。

咱们要用三要素法来求它，听起来神秘，但其实就是记住三样东西，轻松愉快。

电路里总有个电压源，就像家里有电灯，没电源的电路就像没电的灯，啥也干不了。

我们要知道电路的初始状态，想象一下你刚起床，头发乱七八糟，睁不开眼，那时候你就像一个电路的初态。

我们得搞清楚，这时候电压和电流是什么样的。

电路的状态方程就像你做饭的配方，得先量好材料。

咱们用基尔霍夫定律，这就像你家人争抢遥控器时的规则，谁先抢到，谁就能看电视。

要把这些公式整理一下。

这里的计算过程就像是做一道数学题，心里有个谱，按部就班。

算出来的结果就是电路在某一时刻的状态。

这里面有个关键的地方，时间常数，它就像你的闹钟，一响就能把你叫醒。

时间常数越大，电路的反应越慢，仿佛你还在梦中打转，不愿意醒过来。

反之，时间常数越小，反应速度就快，像个喝了咖啡的年轻人，瞬间就清醒了。

然后，我们得用到强迫响应和自然响应。

强迫响应就像你被老板叫去加班，没得选，只能硬着头皮上班；自然响应就像放假了，终于可以自在地享受生活。

这两者结合起来，就是电路的全响应。

也就是说，我们的电路既要应对外部的电压源，又要考虑到内部的电流状态。

咱们把这两部分结合起来，得到的就是电路的全响应，这就像一盘美味的拼盘，各种口味交融在一起，才叫个美。

大家可能会想，为什么要用三要素法？这就像咱们做菜的时候，要有食材、火候和调味，缺一不可。

三要素法让我们从不同的角度看待问题，找到解决方案。

就算你是个新手，只要有这三样东西，也能做出一桌好菜。

用这个方法求电路全响应，简直是小菜一碟，谁都能搞定。

咱们回顾一下，电路的初始状态、状态方程和时间常数这三样东西，不仅能帮助你求解全响应，还能让你在电路的海洋里遨游自如。

一阶电路的三要素法公式
其中：
- f(t)为电路中所求的响应（电压或电流）。

- f(0_+)为响应的初始值，即换路后瞬间t = 0_+时的值。

- f(∞)为响应的稳态值，即t→∞时的值。

- τ为一阶电路的时间常数，对于RC电路τ = RC，对于RL电路τ=(L)/(R)（这里R为从储能元件（电容C或电感L）两端看进去的戴维南等效电阻）。

在使用三要素法求解一阶电路时，一般按照以下步骤：
1. 求初始值f(0_+)：
- 首先根据换路前的电路（t = 0_-时的电路）求出储能元件（电容电压
u_C(0_-)或电感电流i_L(0_-)）的初始值。

- 然后根据换路定律（u_C(0_+) = u_C(0_-)，i_L(0_+)=i_L(0_-)）确定换路后瞬间电容电压和电感电流的值。

- 再根据换路后瞬间的电路（t = 0_+时的电路），利用电路的基本定律（如欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的初始值f(0_+)。

2. 求稳态值f(∞)：
- 画出换路后t→∞时的电路，此时电容相当于开路（i_C(∞)=0），电感相当于短路（u_L(∞)=0）。

- 利用电路的基本分析方法（如电阻的串并联化简、欧姆定律、基尔霍夫定律等）求出所求响应的稳态值f(∞)。

3. 求时间常数τ：
- 对于RC电路，τ = RC，其中R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻。

- 对于RL电路，τ=(L)/(R)，其中R为从电感两端看进去的戴维南等效电阻。

最后将f(0_+)、f(∞)和τ代入三要素法公式f(t)=f(∞)+[f(0_+) - f(∞)]e^-(t)/(τ)中，即可求出一阶电路的响应f(t)。