一阶动态电路的三要素法

第6章一阶动态电路分析6.1 学习要求（1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。

（2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。

（3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。

（4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。

（5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。

6.2 学习指导本章重点：（1）电流、电压初始值的确定。

（2）一阶电路的三要素法分析方法。

（3）时间常数的物理意义及其计算。

本章难点：（1）电流、电压初始值的确定。

（2）一阶电路的三要素法分析方法。

（3）电流、电压变化曲线的绘制。

本章考点：（1）电流、电压初始值的确定。

（2）一阶电路的三要素法分析方法。

（3）时间常数的计算。

（4）电流、电压变化曲线的绘制。

6.2.1 换路定理1．电路中产生过渡过程的原因过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。

电路中产生过渡过程的原因是：（1）内因：电路中的能量不能突变。

电路中的电场能和磁场能不能突变是电路电工技术学习指导与习题解答124 产生过渡过程的根本原因。

（2）外因或条件：换路。

电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。

换路是电路产生过渡过程的外部条件。

2．研究电路过渡过程的意义（1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。

（2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。

3．换路定理与初始值的确定设换路发生的时刻为0=t ，换路前的终了时刻用-=0t 表示，换路后的初始时刻用+=0t 表示。

由于换路是瞬间完成的，因此-0和+0在数值上都等于0。

根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为：（1）电容两端电压u C 不能突变，即：)0()0(C C -+=u u（2）电感中的电流i L 不能突变，即：)0()0(L L -+=i i电路中+=0t 时的电流、电压值称为初始值。

初始值的确定步骤如下： （1）求出-=0t 时电路的)0(C -u 和)0(L -i 。

一阶动态电路的三要素法一阶动态电路是指电路中只有一个电感或一个电容元件的电路，在分析这种电路时可以使用三要素法。

三要素法是一种基本的电路分析方法，它利用电路中三个基本元件（电源、电感、电容）的电压或电流关系来描述电路中的动态行为。

在使用三要素法时，需要使用线性微分方程来描述电路中的电压和电流关系。

在使用三要素法时，需要按照以下步骤进行分析：1.画出电路图，并确定电路中的电压和电流的参考方向。

2.根据电路图和电压和电流的参考方向，写出电路中的基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律等式。

3.根据电路元件的特性方程，写出电感或电容元件的电流和电压之间的关系。

4.将基尔霍夫定律和元件特性方程联立，并进行求解，得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。

5.根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。

在使用三要素法进行电路分析时，首先需要根据电路图和电压、电流的参考方向写出基尔霍夫定律方程，例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据基尔霍夫电压定律写出方程：\[V_L-V_s=0\]其中\(V_L\)是电感元件的电压，\(V_s\)是电源的电压。

接下来，根据电感元件的特性方程写出电感元件的电流和电压之间的关系，例如：\[V_L = L \frac{di_L}{dt}\]其中\(L\)是电感元件的感值，\(di_L\)是电感元件的电流微分，\(dt\)是时间微分。

将基尔霍夫定律方程和元件特性方程联立，并进行求解，可以得到电路中的电流和电压随时间变化的函数关系。

例如，可以得到电感元件的电流随时间变化的函数关系：\[i_L(t) = \frac{V_s}{L} \cdot t + i_L(0)\]其中，\(i_L(0)\)是初始时刻电感元件的电流。

最后，根据所求得的电流和电压随时间变化的函数关系，来分析电路的动态行为。

例如，在一个带有电感元件和电源的串联电路中，可以根据电压随时间变化的函数关系来分析电路中电压的变化情况。

第
4章
一阶线性电路的暂态分析 67
图4.2.5 RC 电路的零状态响应
4.2.2 一阶动态电路暂态分析的三要素法
通过前面的分析可知，零输入响应和零状态响应可看成是全响应的特例。

直流电源激励下的一阶动态电路中的电压或电流，其全响应总是由初始值开始，按指数规律变化而接近于稳态值。

则全响应f (t )可表示为
()()[(0)()]e t
f t f f f τ−+=+−∞∞ （4.2.12）
只要知道了初始值f (0+)、稳态值f (∞)和时间常数τ 这三个要素，就可以通过式（4.2.12）直接写出直流电源激励下的一阶动态电路的全响应，这种方法称为三要素法。

时间常数 L RC R ττ⎛⎞==⎜⎟⎝
⎠或，其中R 为等效电阻，是换路后从储能元件C （或L ）两端看进去的除源网络外的入端电阻，即戴维宁或诺顿等效电路的等效电阻。

三要素法具有方便、实用和物理概念清楚等特点，是求解一阶电路常用的方法。

例4.2.1 在图4.2.6（a ）所示的电路中，U S =180 V ，R 1=30Ω，R 2=60Ω，C =100μF ，电容初始电压为0，t =0时开关S 合上。

试求换路后的u C (t )
、i
1(t
)。

图4.2.6 例4.2.1题图
解：利用三要素法求解。

（1）求初始值u C (0+)、i 1(0+)
由换路定律知
u C (0+) = u C (0-) = 0
由于u C (0+ ) = 0，此时电容可视为短路，因此有换路后t = 0+时的等效电路，如图4.2.6（b ）所示。

则有。

一阶动态电路三要素法求解公式
在一阶动态电路中，三要素法是一种常用的方法，用于求解各个元件的电流和电压。

三要素法基于基尔霍夫电压和电流定律，帮助我们分析和解决电路中复杂的问题。

首先，我们需要了解三要素法中的三个要素。

这三个要素分别是电源电压、初始条件和电路响应。

电源电压指的是电路中的电源电压源。

它可以是直流电压源或交流电压源，根据具体情况决定。

电源电压对电路元件和电路响应产生重要影响。

初始条件是指在电路初始时刻的电压和电流数值。

对于电容器和电感器，初始电压和电流应该已知，而对于电阻器则不需要初始条件。

电路响应是指在电路中元件电压和电流的变化情况。

我们可以通过求解电路响应来了解电路中各个元件的具体情况。

为了使用三要素法求解电路，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据实际情况，确定电源的类型和数值。

如果是直流电压源，则电压大小为常数；如果是交流电压源，则根据频率和幅值确定相应的电压函数。

2. 根据电路中的初始条件，确定各个元件的初始电压和电流数值。

对于电容器和电感器，需要初始电压和电流；对于电阻器则不需要。

3. 根据基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），建立电路方程。

根据电路中的元件和电源关系，写出各个元件的电压和电流表达式。

4. 解析电路方程，得到元件的电流和电压表达式。

这些表达式将告诉我们在不同时间点，电路中各个元件的具体数值。

通过使用以上步骤，我们可以使用三要素法求解一阶动态电路中各个元件的电流和电压。

这个方法有效地帮助我们理解和解决电路中的问题。

在电路中，由于电感L 、电容C 两元件的电压、电流关系均为微分或积分关系，因此称其为动态元件，含有动态元件的电路就是动态电路。

用三要素法分析一阶线性动态电路时，需要确定待求响应f （t ）的初始值f （0+）、稳态值f 1（t ）和时间常数τ三个要素。

以下就一阶动态电路三要素分析法中的初始值、稳态值；动态电路中电感L 、电容C 的等效电路问题谈自己的教学体会。

1初始值f （0+）图1初始值就是换路后0+时待求响应的值。

求初始值的理论依据是换路定律：u C （0+）=u C （0-），i L （0+）=i L （0-）。

u C （0-），i L （0-）可根据0-时的等效电路求取。

需要注意的是，换路时除电容电压和电感电流外，电路中其它电压、电流都可以跃变，换路定律只适于求电容电压和电感电流的初始值。

图1是一RC 零状态响应电路，t=（0-）时，电容电压u C （0-）=0、电阻电压u R （0-）=0。

换路后，t=（0+）时，由换路定律得u C （0+）=0，若u R （0+）=u R （0-）=0，则u C （0+）+u R （0+）=0，显然不符合KVL 。

正确答案的是R （+）=U S ，（+）+R （+）=U S ，。

求初始值时，首先求u C （0+）、i L （0+），然后根据0+时的等效电路，求其它初始值。

2非齐次特解f 1（t）f 1（t）是一阶微分方程的非齐次特解，也是一阶线性动态电路的稳态解，稳态解就是t →∞时待求响应的值，因此f 1（t ）也可表示为f （∞），其函数形式取决于激励源的函数形式，故非齐次特解又称为强迫分量。

可根据t →∞时的电路求f 1（t ）。

2.1零激励时的情况零激励时，f 1（t ）等于0，如零输入响应电路中的u C （∞）=0，i L （∞）=0。

2.2直流激励时的情况激励源为直流电源时，f 1（t ）是一个常数，如由直流激励的零状态响应、全响应及阶跃响应电路中的稳态解。

非直流激励下的一阶动态电路三要素法的研究摘要：本文在直流激励下的一阶动态电路三要素法的基础上，进行了非直流激励形式下一阶动态电路的相应分析，用举例说明的方法给出了相应的三要素法，并进一步分析了这种推广后的三要素法与直接解微分方程方法的优劣。

关键词：一阶动态电路 三要素法 非直流激励1、前言动态电路的一般规律是动态电路的全响应可以分解为自有响应与强制响应两部分。

这两部分对应着电路的齐次方程的通解和非齐次方程的特解。

而一阶电路三要素法的基础是将全响应分解为暂态响应和稳态响应两部分，用待定系数的思想求解响应。

现行电路基础教材着重介绍了三要素法在直流激励下的应用。

在此基础上进行推广，研究非直流激励下的一阶动态电路三要素法同样具有重大的意义。

2、一阶电路的三要素法三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的电路求出三个要素，并列写出响应的数学表达式。

由电路的经典方法以及初始条件，一阶电路解的一般形式为：/()[(0)(0)]t s s y t y y e y τ-++=-+①所以，只要求得(0)y +、()s y t 和τ三个量，代入①中就得到全响应()y t [1]。

3、非直流激励下的一阶电路三要素法基本原理一般地，当激励是直流形式时，换路后，响应逐渐趋向于一个稳定的状态y(∞)。

当激励是非直流的形式时，无法求得y(∞)的确定数值，此时，我们可求取非齐次微分方程的特解作为电路响应的强制响应分量。

从三要素法的角度看，这一分量与原三要素法公式的稳态响应分量有类似之处。

所以，可以把这个分量看做三要素法的一个要求，进而得到推广后的三要素法。

公式推导如下：一阶电路的微分方程的一般形式为：()1()()dy t y t Kf t dt τ+= 其中，y(t)代表一阶电路中任一支路或元件的电流或电压，τ是时间常数，f(t)是激励电源。

解的形式为()()()p h y t y t y t =+。

其中()p y t 是原非齐次微分方程的特解，对于直流激励或阶跃激励，可以直接由电路条件得到；对于非直流激励情况，由于()p y t 与激励电源有着相同的形式，所以可以先设出特解的形式，再运用待定系数法求得特解。