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课时提升作业(三十四)解直角三角形(第1课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·重庆一中质检)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为()A.2B.C.D.12.(2013·广州中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB=()A.2B.2C.D.3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连结CD,若BD=1,则AC的长是()A.2B.2C.4D.4二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为cm2.5.(2013·泰安中考)如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50n mile/h,则A,B之间的距离为n mile(取≈1.7,结果精确到0.1n mile).【变式训练】如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2h后相遇在点P处,问乙货船每小时航行n mile.6.如图,A市北偏东30°方向有一旅游景点M,在A市北偏东60°的公路上向前行800m到C处,测得M位于C的北偏西15°,则景点M到公路AC的距离MN为m(结果保留根号).三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值.(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.【培优训练】8.(14分)(2013·南充中考)如图,公路AB为东西走向,在点A的北偏东36.5°方向上,距离5km处是村庄M;在点A的北偏东53.5°方向上,距离10km处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.74).(1)求M,N两村之间的距离.(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.课时提升作业(三十四)解直角三角形(第1课时)答案(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·重庆一中质检)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为()A.2B.C.D.1【解析】选A.设AD=x,作DE⊥AB于E,则DE=AD·sinA=x,在Rt△DEB中,∵tan∠DBE==,∴BE=5DE=x,∴BD2=DE2+BE2=13x2,在Rt△DCB中,BD2=CD2+BC2,又CD=6－x,BC=6,∴(6－x)2+62=13x2,解得x1=2,x2=－3(舍),∴AD=2.2.(2013·广州中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB=()A.2B.2C.D.【解析】选B.如图所示,∵CA是∠BCD的平分线,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠3,从而∠3=∠2.∵AD=6,∴CD=AD=6.作DE⊥AC于E,可知AE=CE.∵∠1=∠2,∠BAC=∠DEC,∴△ABC∽△EDC.∴=,∵AE=CE,CD=6,∴BC=12.在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=8,所以,tanB=2.3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连结CD,若BD=1,则AC的长是()A.2B.2C.4D.4【解析】选A.∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD.∴∠ACD=∠A=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△BCD中,∵tan∠BCD=,∴BC===,在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AC=2BC=2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为cm2.【解题指南】解答本题的两个关键1.菱形的对角线互相垂直,能构成直角三角形.(连结AC,对角线交点为O)2.在Rt△AOB中,由tan∠ABD=得出OA,OB的关系.【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD,AO=OC,BO=DO.∵tan∠ABD=,∴可设BO=3xcm,AO=4xcm,则AB=5xcm,又∵菱形ABCD的周长为20cm,∴4×5x=20(cm),解得:x=1,故可得AO=4cm,BO=3cm,AC=2AO=8cm,BD=2BO=6cm,S菱形ABCD=AC×BD=24(cm2).答案:245.(2013·泰安中考)如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50n mile/h,则A,B之间的距离为n mile(取≈1.7,结果精确到0.1n mile).【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°,∴△DAB是等腰直角三角形,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=AB.设DE=x,则AB=2x,在Rt△CDE中,∠DCE=30°,则CE=DE=x,在Rt△BDE中,∠DBE=45°,则DE=BE=x,由题意得,CB=CE－BE=x－x=25,解得:x=≈≈35.7,∴AB=2x=2×35.7=71.4(n mile)答案:71.4【变式训练】如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2h后相遇在点P处,问乙货船每小时航行n mile.【解析】过点P作PE⊥AB,由题知AP=8n mile,在Rt△PAE中,∵∠PAE=30°,∴PE=AP=4n mile,在Rt△PBE中,∵∠PBE=45°,∴PB=PE=4n mile,∴乙货船的速度为=2(n mile/h).答案:26.如图,A市北偏东30°方向有一旅游景点M,在A市北偏东60°的公路上向前行800m到C处,测得M位于C的北偏西15°,则景点M到公路AC的距离MN为m(结果保留根号).【解析】过点C作CP⊥AM于P.∵AC=800m,∠MAC=30°,∠ACM=180°－(90°－30°+15°)=105°, ∴∠AMC=45°,∴CP=PM=400m,AP=400m,∴AM=(400+400)m,∵AM·PC=AC·MN,∴MN=(200+200)m.答案:(200+200)三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值.(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.【解析】(1)∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD.∵AD∥CB,∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.∵在梯形ABCD中,AB=CD,∴∠ABD+∠DBC=∠C=∠ABD+∠ADB=2∠DBC.∵BD⊥CD,∴3∠DBC=90°,∴∠DBC=30°.∴sin∠DBC=.(2)过D作DF⊥BC于F,在Rt△CDB中,CD=BC×sin∠DBC=2(cm),BD=BC×cos∠DBC=2(cm),在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=(cm),∴S梯=(2+4)×=3(cm2).【培优训练】8.(14分)(2013·南充中考)如图,公路AB为东西走向,在点A的北偏东36.5°方向上,距离5km处是村庄M;在点A的北偏东53.5°方向上,距离10km处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.74).(1)求M,N两村之间的距离.(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.【解析】(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB.在Rt△ACM中,∠CAM=36.5°,AM=5,∴sin36.5°==0.6,∴CM=3,AC=4.在Rt△ANE中,∠NAE=90°－53.5°=36.5°,AN=10,∴sin36.5°==0.6,∴NE=6,AE=8.在Rt△MND中,MD=5,ND=2.∴MN==(km).(2)作点N关于AB的对称点G,连结MG交AB于点P.点P即为站点.连结PN.∴PM+PN=PM+PG=MG.在Rt△MDG中,MG===5(km), ∴最短距离为5km.。
24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384（米）.∵ABAC=cos50°,∴AC=20005050ABcos cos=︒︒≈3111（米）.答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确.问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）【答案】1.6米2.9.4海里四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.在实际问题中，计算时尽可能使用题中原始数据，这样可以让答案准确度接近真实值。
